2020全國3卷高考數(shù)學(xué)試題解析

2020全國1卷高考數(shù)學(xué)試題解析

1.已知集合A={(x,y)|x,yeN*,y..x],B={(x,y)|x+y=8},則限8中元素的個(gè)數(shù)為()

A.2B.3C.4D.6

【思路分析】利用交集定義求出Af8={(7,1),(6,2),(5,3),(4,4)}.由此能求出A8中元素的個(gè)數(shù).

【解析】：集合A={(x,y)|x,yeN*，y..x],3={(%,y)|x+y=8},

，A'8={(x,y)|卜"xx,ye2V}={(7,l),(6,2),(5,3),(4,4)).

[x+y=8,

，A；8中元素的個(gè)數(shù)為4.故選：C.

【總結(jié)與歸納】本題考查交集中元素個(gè)數(shù)的求法，考查交集定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)

題.

2.復(fù)數(shù)一^的虛部是（）

1-3/

C.—

10101010

【思路分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案.

1l+3z_1復(fù)數(shù)一!一的虛部是上.故選：D.

【解析】:1-3;-(1-3/)(1+3?)-10+T0Z

1-3/10

【總結(jié)與歸納】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題.

3.在一組樣本數(shù)據(jù)中，1,2,3,4出現(xiàn)的頻率分別為口，p2,P},Pi,且￡p,=l,則下面四種情形中,

/=1

對(duì)應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是()

A.Pi=p&=0.1,p2=P3=0-4B?P]=P4=0.4,p,=P3—0.1

C■Pi—Pa—0.2,p,—P3—0.3D.P1—p&-0.3,P2—P3—0.2

【思路分析】根據(jù)題意，求出各組數(shù)據(jù)的方差，方差大的對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差也大.

【解析】：選項(xiàng)A:E(x)=lx0.1+2x0.4+3x0.4+4x0.1=2.5,所以

222

D(x)=(1-2.5)x0.1+(2-2.5/x04+(3-2.5)x0.4+(4-2.5)x0.1=0.65；

同理選項(xiàng)B:E(x)=2.5,￡>(x)=1.85；

選項(xiàng)C:E(x)=2.5,D(x)=1.05；

選項(xiàng)￡>:E(x)=2.5,D(x)=1.45；故選:B.

法二：標(biāo)準(zhǔn)差是反映數(shù)據(jù)波動(dòng)的大小，波動(dòng)越大，則方差越大，根據(jù)四個(gè)選項(xiàng)概率分布可知B偏離平均值

較大，所以標(biāo)準(zhǔn)差最大.

【總結(jié)與歸納】本題考查了方差和標(biāo)準(zhǔn)差的問題，記住方差、標(biāo)準(zhǔn)差的公式是解題的關(guān)鍵.

4.模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域.有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺

炎累計(jì)確診病例數(shù)/⑺。的單位：天)的Logisric模型：/?)=—,其中K為最大確診病例數(shù).當(dāng)

1+e()

")=0.95K時(shí)，標(biāo)志著已初步遏制疫情，則/約為()(/?19?3)

A.60B.63C.66D.69

【思路分析】根據(jù)所給材料的公式列出方程一裊==O.95K,解出f即可.

j+g-O.23(1-53)

【解析】：由已知可得一今K=0.95K,解得e53“-53)=J_,

1+e-O,23(/-53)19

兩邊取對(duì)數(shù)有-O.23Q—53)=-歷19,解得r*66,故選：C.

【總結(jié)與歸納】本題考查函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用，考查學(xué)生計(jì)算能力，屬于中檔題

5.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線x=2與拋物線Uy?=2px(p>0)交于。，E兩點(diǎn)，若ODLOE,則C的焦點(diǎn)坐

標(biāo)為()

A.(L0)B.(L0)C.(1,0)D.(2,0)

【思路分析】利用已知條件轉(zhuǎn)化求解E、￡>坐標(biāo)，通過自。.自￡=7,求解拋物線方程，即可得到拋物線的

焦點(diǎn)坐標(biāo).

【解析工法一：將x=2代入拋物線丁=2px,可得y=±2)，ODLOE,可得*.曝=7，

即平?42=-1，解得P=1,所以拋物線方程為：/=2%,它的焦點(diǎn)坐標(biāo)(；，0).

故選：B.

法二：拋物線過頂點(diǎn)0垂直的兩條弦則DE直線過定點(diǎn)(2p,0),則可知2〃=2n〃=1,所

以焦點(diǎn)坐標(biāo)為d,o)

2

【總結(jié)與歸納】本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，是基本知識(shí)的考查.

6.己知向量〃，6滿足|=5,|Z?|=6,a?b=-6,則8sva,a+h>=()

A.-21B.-吧C.11D.12

35353535

【思路分析】利用已知條件求出|a+b|,然后利用向量的數(shù)量積求解即可.

【解析】：向量〃，b滿足|a1=5,|〃|=6,a?b=-6,

可得|“+b|=yla23+2a.b+b2=,25-12+36=7,

【總結(jié)與歸納】本題考查平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用，數(shù)量積的運(yùn)算以及向量的夾角的求法，是中檔題.

2

7.在AABC中，cosC=-,AC=4,BC=3,貝ljcos8=()

1112

A.-B.-C.-D.-

9323

【思路分析】先根據(jù)余弦定理求出A8,再代入余弦定理求出結(jié)論.

2

【解析】：在AABC中，cosC=-,AC=4,BC=3,

3

2

由余弦定理可得AB2=AC2+BC2-2AC.BC.cosC=42+32-2x4x3x-=9;

3

一，故選：A.

2AB.BC2x3x39

【總結(jié)與歸納】本題主要考查了余弦定理的應(yīng)用，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵.

8.如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是（）

A.6+4夜B.4+4及C.6+2百D.4+2有

【思路分析】先由三視圖畫出幾何體的直觀圖，利用三視圖的數(shù)據(jù)，利用三棱錐的表面積公式計(jì)算即可.

【解析】：由三視圖可知幾何體的直觀圖如圖：幾何體是正方體的一個(gè)角，

PA=AB=AC=2,PA.AB.AC兩兩垂直，故PB=BC=PC=2五,

幾何體的表面積為：3x1x2x2+@x（2&>=6+26故選：C.

24

【總結(jié)與歸納】本題考查多面體的表面積的求法，兒何體的三視圖與直觀圖的應(yīng)用，考查空間想象能力,

計(jì)算能力.

9.已知2tan6-tan（e+工）=7,則tan，=（）

4

A.-2B.-1C.1D.2

【思路分析】利用兩角和差的正切公式進(jìn)行展開化簡(jiǎn)，結(jié)合一元二次方程的解法進(jìn)行求解即可.

【解析】：由2tan6?-tan（e+工）=7,得2tan。-^^=7,

41-tan。

即2tane-2tan2，-tan6-l=7-7tan。，得2tan*-8tane+8=0,

B|ltan26?-4tan6?+4=0,B|J（tan-2）2=0,則tan6=2,故選：D.

【總結(jié)與歸納】本題主要考查三角函數(shù)值的化簡(jiǎn)和求解，結(jié)合兩角和差的正切公式以及配方法是解決本題

的關(guān)鍵.難度中等.

10.若直線/與曲線y=6和圓/+/="都相切，貝心的方程為（）

A.y=2x+1B.y=2x+—C.y--x+\D.y=—x+—

2222

【思路分析】根據(jù)直線/與圓f+y2="相切，利用選項(xiàng)到圓心的距離等于半徑，在將直線與曲線y=4求

一解可得答案；

【解析】：法一：直線/與圓/+/=（相切，那么直線到圓心（0,0）的距離等于半徑手，

四個(gè)選項(xiàng)中，只有A,。滿足題意;

對(duì)于A選項(xiàng)：y=2x+l與y=&聯(lián)立可得：2工一?+1=0,此時(shí)：無解;

對(duì)于。選項(xiàng)：y=+』與y=五聯(lián)立可得：—X—Vx+—=0,此時(shí)解得％=1;

2222

???直線/與曲線y=4和圓V+y2=(都相切，方程為),=gx+g,故選：D.

法二：設(shè)直線1為丁="+人，法/⑸,好(1)

5

11

設(shè)直線與曲線y=4切點(diǎn)為(毛,、①)，則丁1氣=5/2=后，(2)

y/x^=Ax0+b(3)

根據(jù)(2)(3)可得：b=gF代入(1)得尤0=1或%=一；(舍去)

所以％

2

【總結(jié)與歸納】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題，采用選項(xiàng)檢驗(yàn)，排除思想做題，有時(shí)事半功

倍.

22

11.設(shè)雙曲線C:0-A=l(a>O,Z?>O)的左、右焦點(diǎn)分別為月，入，離心率為P是C上一點(diǎn)，且

arb~

F,PVF2P.若△尸片鳥的面積為4,則。=()

A.1B.2C.4D.8

【思路分析】利用雙曲線的定義，三角形的面積以及雙曲線的離心率，轉(zhuǎn)化求解。即可.

1cI—

2

【解析】：法一：由題意，設(shè)尸乙=根，PFt=n,可得利—〃=2?,—mn=4>m'+rr=4c.e=—=<5,

2a

可得4c2=16+4/,可得5a2=4+a2,解得a=l.故選：A.

h22

法二：=------^=4n〃=4,根據(jù)離心率有r二=5,又因?yàn)?2=。2+/,所以a=i

"'虜tan45°a2

【總結(jié)與歸納】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，雙曲線的定義以及勾股定理的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以

及計(jì)算能力.

45

12.已知SVG,13<8.設(shè)a=log53,b=\ogs5,c=log138,則（）

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

【思路分析】根據(jù)幺，可得avZ?,然后由/?=logg5<0.8和。=log]38>0.8,得至再確定b,c的

b

大小關(guān)系.

4---

【解析】：法一：因?yàn)镸=k）g8854=log85,,因?yàn)椋?5）5=84>55,所以85>5,所以

4-4

5

-=logg8>log85=b,即b<§

4士￡14-

因?yàn)镸=logI3135,c=log|38,,因?yàn)椋?35）5=134<85,所以135<8,所以S=logi3135<log|38=c,

4

即c>-

5

41ii

因?yàn)椤?logs55,a=logs3,,因?yàn)椋?5y=54=625>243=3、，所以55>3,所以

5

所以Ig37<lg55,所以71g3<51g5,所以螞<2

又因?yàn)?187=37<5$=3125,

lg57

,所以。=姮<3<&

1g575

所以姮>3,所以人=姮>2,所以C>方>a

W85<5\所以51g8<71g5,

1g87lg87

壯一alog、3(/og,3+fog,8)2,log24

法一：——=———=log,3.1og,8<----2-------2——=(---5)2<1,:.a<b；

blogs542

54

5<8,/.5<4log58,log58>1.25,/.b=log85<0.8；

45

13<8,4<51ogl38.c=log138>0.8,:.c>b,綜上，c>b>a.故選:A.

【總結(jié)與歸納】本題考查了三個(gè)數(shù)大小的判斷，指數(shù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算和基本不等式的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想,

是基礎(chǔ)題.

x+y..0,

13.若x,y滿足約束條件,2x-y..O,則z=3x+2y的最大值為」

x,,1,

【思路分析】先根據(jù)約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值，z=3x+2y表示直線在y軸上的截距的

一半，只需求出可行域內(nèi)直線在y軸上的截距最大值即可.

【解析】：先根據(jù)約束條件畫出可行域，由I：制八解得A(l,2),

[2x-y=0

如圖，當(dāng)直線z=3x+2y過點(diǎn)A(l,2)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)在y軸上的截距取得最大值時(shí)，此時(shí)z取得最大值，即當(dāng)

x=l,y=2時(shí)，zllulx=3xl+2x2=7.故答案為：7.

【總結(jié)與歸納】本題主要考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值，屬于基礎(chǔ)題.

14.+2)6的展開式中常數(shù)項(xiàng)是240(用數(shù)字作答).

X

【思路分析】先求出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，再令x的暴指數(shù)等于0,求得「的值，即可求得展開式中的

常數(shù)項(xiàng)的值.

【解析工由于，+的展開式的通項(xiàng)公式為Tr+i=。.2，?產(chǎn)-%

X

令12—3r=0,求得r=4,故常數(shù)項(xiàng)的值等于C：3=240,故答案為：240.

【總結(jié)與歸納】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求展開

式中某項(xiàng)的系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

15.已知圓錐的底面半徑為1,母線長(zhǎng)為3,則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為_立"_.

【思路分析】易知圓錐內(nèi)半徑最大的球應(yīng)為圓錐的內(nèi)切球，作圖，求得出該內(nèi)切球的半徑即可求出球的體

積.

【解析】：因?yàn)閳A錐內(nèi)半徑最大的球應(yīng)該為該圓錐的內(nèi)切球，

如圖，圓錐母線55=3,底面半徑BC=1,

則其高SC=\lBS2-BC2=2V2,

不妨設(shè)該內(nèi)切球與母線3S切于點(diǎn)Z),

令OD=OC=r,由IJBJ—=—,

OSBS

即'-g—,解得r=V=-7rr3=^-rr?故答案為：也~兀.

272-r32333

【總結(jié)與歸納】本題考查圓錐內(nèi)切球，考查球的體積公式，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.

16.關(guān)于函數(shù)/(x)=sinx+—有如下四個(gè)命題：

sinx

①/(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.

②/(X)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

③/(X)的圖象關(guān)于直線x=：對(duì)稱.

(4)f(x)的最小值為2.

其中所有真命題的序號(hào)是②③.

【思路分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，對(duì)稱性的判定，對(duì)稱軸的求法，逐一判斷即可.

【解析】：對(duì)于①，由sinxxO可得函數(shù)的定義域?yàn)閗&Z],故定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，由

f(-x)=sin(-x)+.:、=-sinx--=-/(%);

sin(-x)sinx

所以該函數(shù)為奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以①錯(cuò)②對(duì)；

對(duì)于③，由fOr-x)=sinO-x)+--------=sinx+」一=/(x),所以該函數(shù)/(x)關(guān)于x=工對(duì)稱，③對(duì)；

sinQr-x)sinx2

對(duì)于④，令f=sinx，則r,0)U(0,1],由雙勾函數(shù)g(f)=f+1的性質(zhì)，可知，g(f)=f+；e(ro,-2]Q[2,

+oo),所以/(x)無最小值，④錯(cuò)；故答案為：②③.

【總結(jié)與歸納】本題考查了函數(shù)的基本性質(zhì)，奇偶性的判斷，求函數(shù)的對(duì)稱軸、值域，屬于基礎(chǔ)題.

17.(12分)設(shè)數(shù)列｛4｝滿足q=3,a?+1=3an-4n.

(1)計(jì)算的，%，猜想｛q｝的通項(xiàng)公式并加以證明；

(2)求數(shù)列｛2〃,,｝的前〃項(xiàng)和5“.

【思路分析】（1）利用數(shù)列的遞推關(guān)系式求出的,4，猜想｛凡｝的通項(xiàng)公式，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明即

可.

(2)化簡(jiǎn)數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法求解數(shù)列的前〃項(xiàng)和5“.

【解析】：(1)數(shù)列｛。,,｝滿足q=3,a.+|=3a“-4",

貝lja,=3<71—4=5,4=3a2—4x2=7,…，

猜想｛an］的通項(xiàng)公式為a?=2n+l.

證明如下：(i)當(dāng)〃=1,2,3時(shí)，顯然成立，

(門)假設(shè)〃=々時(shí)，q.=2%+l(keN*)成立，

當(dāng)〃=A+1時(shí)，=34—44=3(22+1)-4/=2左+3=2伏+1)+1,故〃=%+1時(shí)成立,

由《)(")知，a?=2?+1,猜想成立，

所以｛”“)的通項(xiàng)公式=2〃+1.

(2)令2=2%=(2〃+1).2",則數(shù)列｛27“)的前〃項(xiàng)和

5?=3x2'+5x22+...+(2rt+l)2M,…①

兩邊同乘2得，2S?=3x22+5x23+...+(2n+l)2,,+l,…②

①-②得，-$“=3x2+2x22+...+2"-(2"+1)2"”

<,8(1-2-2),“，八wi

=6H-----------(2〃+1)2,

1-2

所以5,=(2〃-1)2"”+2.

【總結(jié)與歸納】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)學(xué)歸納法和數(shù)列求和，考查了轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力,

屬中檔題.

18.（12分）某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級(jí)和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次，整

理數(shù)據(jù)得到下表（單位：天）：

鍛煉人次[0,200](200,4001(400,600]

空氣質(zhì)量等級(jí)

1（優(yōu)）21625

2（良）51012

3（輕度污染）678

4（中度污染）720

（1）分別估計(jì)該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1，2,3,4的概率；

（2）求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；

（3）若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1或2,則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為3或4,則稱這

天“空氣質(zhì)量不好”.根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2x2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認(rèn)

為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)?

人次”400人次＞400

空氣質(zhì)量好

空氣質(zhì)量不好

_n(ad-be)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2..k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【思路分析】(1)用頻率估計(jì)概率，從而得到估計(jì)該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1,2,3,4的概率;

(2)采用頻率分布直方圖估計(jì)樣本平均值的方法可得得答案；

(3)由公式犬=------"(丸-⑹------計(jì)算”的值，從而查表即可，

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

【解析⑴該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為I的概率為：中43

100

5+10+1227

該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為2的概率為:

loo--Too

6+7+8_21

該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為3的概率為:

too-Too

7+2+09

該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為4的概率為:

100100

(2)由題意可得：一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值為：x=100x0.20+300x0.35+500x0.45=350；

(3)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，可得下面的2x2列聯(lián)表,

人次”400人次＞400總計(jì)

空氣質(zhì)量好333770

空氣質(zhì)量不好22830

總計(jì)5545100

1+,主1+1蚪4H-r爾叱、n{ad-be)2100x(33x8-37x22)?___

由表中數(shù)據(jù)可得：K-=----------------------=------------------—x5.802>3,841,

(a+b)(c+d)(a+c)S+d)70x30x55x45

所以有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān).

【總結(jié)與歸納】本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)與頻率估計(jì)概率，估計(jì)平均值的求法，屬于中檔題.

19.(12分)如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)E,尸分別在棱。0，BB］上，且2DE=ER,BF=2FB、.

(1)證明：點(diǎn)G在平面AEF內(nèi)；

(2)若A3=2,AD=\,例=3,求二面角A-EF-A的正弦值.

【思路分析】(1)在照上取點(diǎn)使得=連接EM,BXM,EC,,FCX,由已知證明四邊形

及E4M和四邊形￡￡為用都是平行四邊形，可得AF//M與，且AF=M及，AD//ME,且AO=ME,進(jìn)一

步證明四邊形8CEM為平行四邊形，得到EJ〃MB,,S.ECt=MBt,結(jié)合AF〃加4，S.AF=MBt,可得

AF"EC、,且4F=EC1,則四邊形AFRE為平行四邊形，從而得到點(diǎn)C1在平面AEF內(nèi)；

(2)在長(zhǎng)方體AB8-A4GA中，以c為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以GA，G4，G。所在直線為0y，z軸

建立空間直角坐標(biāo)系.分別求出平面的一個(gè)法向量與平面AEF的一個(gè)法向量，由兩法向量所成角的

余弦值可得二面角A-EF-A的余弦值，再由同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求得二面角A-E尸-A的正弦值.

【解答】(1)證明：在例上取點(diǎn)M,使得AM=2AM,連接RM,B\M,EC,,FCX,

在長(zhǎng)方體A8CO-AqC|R中，有DDJ/AAJ/BB、,且OR=/U,=8旦.

又2DE=ED、,A,M=2AM,BF=2FBt,:.DE=AM=FBt.

四邊形BXFAM和四邊形EDAM都是平行四邊形.

AF//MB,,S.AF=MB,,AD!/ME,且AT>=ME.

又在長(zhǎng)方體A3C￡)-ABCR中，有A。//用C「且與G，

B.CJ/ME且B、C\=ME,則四邊形B￡EM為平行四邊形，

:.ECJiMB\,且EG=MB1,

又AF//MB1,且AF=M4，:.AF//ECt,HAF=EC,,

則四邊形AFGE為平行四邊形,

7

.?.點(diǎn)G在平面姐內(nèi);

(2)解：在長(zhǎng)方體ABC。-A4Gq中，以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，

分別以GA，G烏，CC所在直線為x,y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

AB=2,AD=\,AA,=3,IDE=ED,,BF=2FB、,

A(2,1,3),3(2,0,2),F(O,1,1),A(2,1,0),

則EF=(-2,1,-1),AE=(O,-1,-1),AE=(0,-l,2).

設(shè)平面AEF的一個(gè)法向量為％=(x,,y,4).

.EF=-2x.+y.-z.=0宜

則{1,711，取玉=1,z得a勺=(1,1,—1)；

n}^AE=-yl-z,=0

設(shè)平面\EF的一個(gè)法向量為%=(X2，%，Z2).

??EF=-2蒼+%-Z)=0口r’口

則I--?--，取工2=1，得〃2=(1，4,2).

%?4石=一%+2z)=0

〃?〃1+4-2_g

/.cos<n,n>=|2

]2區(qū)歷一7

In}|.|n21

設(shè)二面角A-EF-A為0,貝ijsind=

二面角A-EF-A,的正弦值為叵.

【總結(jié)與歸納】本題考查平面的基本性質(zhì)與推理，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了利用空間向量求

解空間角，是中檔題.

20.(12分)已知橢圓C:二+工=1(0<m<5)的離心率為巫，A,8分別為C的左、右頂點(diǎn).

25nr4

(1)求C的方程；

(2)若點(diǎn)P在C上，點(diǎn)。在直線x=6上，且18PlBPA.BQ,求AAPQ的面積.

【思路分析】(1)根據(jù)e=￡,〃=25,h2=nr,代入計(jì)算］的值，求出C的方程即可；

a

(2)設(shè)出P,。的坐標(biāo)，得到關(guān)于s,f,”的方程組，求出AP=(8,1),4。=(11,2),從而求出入4PQ的

面積.

【解析工(1)由e=￡得e2=l-4,即￡=>厘，，浮=紀(jì)，

aa2162516

故C的方程是：江+空=1；

2525

(2)由(1)A(-5,0),設(shè)尸(s,r),點(diǎn)。(6,〃)，

根據(jù)對(duì)稱性，只需考慮〃>0的情況，

此時(shí)-5<s<5,0<t?-,

4

\BP\^BQ\,二有(s-5)2+/=/+1①,

又BP1BQ,:.s-5+nt=0@,

又工+%③,

2525

5=3s=-3

聯(lián)立①②③得t=\或，t=\

n=2〃=8

5=3

當(dāng)卜=1時(shí)，AP=(8,1),AQ=(11,2),

n=2

=^AP2.AQ2-(AP.AQ)2=l|8x2-llxlh|,

s=-3

同理可得當(dāng)，1=1時(shí)，

〃二8

綜上，AAP。的面積是|.

【總結(jié)與歸納】本題考查求橢圓方程以及了直線和橢圓的關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題.

21.（12分）設(shè)函數(shù)/。）=^+法+。，曲線y=f（x）在點(diǎn)（；，/（g））處的切線與y軸垂直.

(1)求。；

(2)若/(幻有一個(gè)絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，證明：/*)所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1.

【思路分析】(1)求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由題意可得r(；)=3xg)2+b=o,由此求得人值；

(2)設(shè)X。為/(X)的一個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)題意，f(X0)=與3—［Xo+c=O,且|與I,,1,得到c=—年+卜。，由1%1,

對(duì)c(x)求導(dǎo)數(shù)，可得c(x)在［-1,1］上的單調(diào)性，得到融設(shè)不為/(X)的零點(diǎn)，則必有

44

3

/(x,)-x1-^xl+c=O,可得一；領(lǐng)上=-x：+1為；,由此求得不的范圍得答案.

【解答】(1)解：由f(x)=x3+bx+c,得r(x)=3f+6,

.?.r(；)=3x(；)2+b=o,即卜=一：；

(2)證明：設(shè)X。為/(x)的一個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)題意，/(%)=%3_?%+。=0,且|玉

3

3

則c=-x0+-x0,由IX。I,,1,

3

令以%)=「？+—%(-啜W1),

4

3ii

d(x)=-3f+—=—3(x4—)(x—),

422

當(dāng)工￡(一1,一;)1