3.3 垂徑定理 北師大版數(shù)學(xué)九年級下冊導(dǎo)學(xué)課件

*3垂徑定理第三章圓逐點(diǎn)學(xué)練本節(jié)小結(jié)作業(yè)提升學(xué)習(xí)目標(biāo)本節(jié)要點(diǎn)1學(xué)習(xí)流程2垂徑定理的推論知識點(diǎn)感悟新知1垂徑定理1.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧.特別提醒1.“垂直于弦的直徑”中的“直徑”，其實(shí)質(zhì)是：過圓心且垂直于弦的線段、直線均可.2.“兩條弧”是指弦所對的劣弧和優(yōu)弧或兩個半圓.感悟新知2.示例：如圖3-3-1，CD⊥AB

于點(diǎn)E，CD是⊙O

的直徑，那么可用幾何語言表述為感悟新知如圖3-3-2，弦CD

垂直于⊙O

的直徑AB，垂足為點(diǎn)H，且CD=2，BD=，則AB

的長為()A.2B.3C.4D.5例1B感悟新知解題秘方：構(gòu)造垂徑定理的基本圖形解題.把半徑、圓心到弦的垂線段、弦的一半構(gòu)建在一個直角三角形里是解題的關(guān)鍵.解：連接OD，如圖3-3-2.∵CD⊥AB，CD=2，∴CH=DH=.感悟新知在Rt△BHD

中，由勾股定理，得BH=1.設(shè)⊙O的半徑為r，在Rt△OHD

中，OH2+HD2=OD2，即(r－1)2+()2=r2，解得r=.∴AB=3.利用勾股定理列方程感悟新知1-1.［中考·瀘州］如圖，AB

是⊙O

的直徑，OD垂直于弦AC于點(diǎn)D，DO

的延長線交⊙O

于點(diǎn)E.若AC=4

，DE=4，則BC

的長是()A.1

B.

C.2D.4C感悟新知如圖3-3-3，在⊙O

中，AB

為⊙O的弦，C，D

是直線AB

上的兩點(diǎn)，且AC=BD.求證：△OCD

為等腰三角形.例2感悟新知解題秘方：構(gòu)建垂徑定理的基本圖形結(jié)合線段垂直平分線的性質(zhì)證明.作垂直于弦的半徑(或直徑)或連半徑是常用的作輔助線的方法.感悟新知證明：過點(diǎn)O

作OM⊥AB，垂足為M，如圖3-3-3.∵OM⊥AB，∴

AM=BM.∵AC=BD，∴CM=DM.又∵OM⊥CD，∴OC=OD.∴△OCD

為等腰三角感悟新知2-1.如圖，已知在以點(diǎn)O

為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于點(diǎn)C，D．若大圓的半徑R=10，小圓的半徑r=8，且圓心O

到直線AB

的距離為6，求AC

的長.感悟新知知識點(diǎn)垂徑定理的推論感悟新知21.推論平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.感悟新知2.示例如圖3-3-4，CD

是⊙O

的直徑，AB

是弦(非直徑)，AB與CD

相交于點(diǎn)E，且AE=BE，那么CD

垂直于AB，并且AC

=CB，AD=DB

.可用幾何語言表述為︵︵︵︵感悟新知拓寬視野對于圓中的一條直線，如果具備下列五個條件中的任意兩個，那么一定具備其他三個：(1)過圓心；(2)垂直于弦；(3)平分弦(非直徑)；(4)平分弦所對的劣??；(5)平分弦所對的優(yōu)弧.簡記為“知二推三”.感悟新知如圖3-3-5，AB，CD是⊙O

的弦，M，N

分別為AB，CD

的中點(diǎn)，且∠

AMN=∠CNM.求證：AB=CD.例3解題秘方：緊扣弦的中點(diǎn)作符合垂徑定理推論的基本圖形，再結(jié)合全等三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行證明.感悟新知證明：如圖3-3-5，連接OM，ON，OA，OC.∵O為圓心，且M，N

分別為AB，CD

的中點(diǎn)，∴AB=2AM，CD=2CN，OM⊥AB，ON⊥CD.∴∠OMA=∠ONC=90°.∵∠AMN=∠CNM，∴∠OMN=∠ONM.∴OM=ON.又∵

OA=OC，∴Rt△OAM≌Rt△OCN(HL).∴AM=CN.∴AB=CD.感悟新知3-1.如圖，⊙O

的弦AB=12，M

是AB

的中點(diǎn)，且OM=2，則⊙O的半徑等于________.感悟新知如圖3-3-6，要把殘破的圓片復(fù)制完整.已知弧上的三點(diǎn)A，B，C，用尺規(guī)作圖找出ABC所在圓的圓心(保留作圖痕跡).解題秘方：緊扣垂徑定理的推論，利用垂直平分弦的直線經(jīng)過圓心來找圓心.例4︵感悟新知解：如圖3-3-6，連接AB，BC，分別作AB，BC的垂直平分線，兩條垂直平分線的交點(diǎn)即為所求圓的圓心.感悟新知4-1.一塊圓形宣傳標(biāo)志牌如圖所示，點(diǎn)A，B，C

在⊙O

上，CD

垂直平分AB

于點(diǎn)D．現(xiàn)測得AB=8dm，DC=2dm，則圓形標(biāo)志牌的半徑為_______.5dm感悟新知如圖3-3-7，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧(AB)，點(diǎn)O

是這段弧所在圓的圓心，點(diǎn)C

是AB的中點(diǎn)，半徑OC

與AB相交于點(diǎn)D，AB=120m，CD=20m，求這段彎路所在圓的半徑.例5解題秘方：緊扣垂徑定理的推論，利用“平分弧，且經(jīng)過圓心”推出“垂直平分弦”，結(jié)合勾股定理求出半徑的長.︵︵感悟新知解：連接OB，如圖3-3-7.∵點(diǎn)C

是AB的中點(diǎn)，∴

OC⊥AB，AD=BD=AB=60m.設(shè)OB=OC=rm，在Rt△OBD中，OB2=OD2+BD2,∴r2=(r－20)2+602，∴r=100，即這段彎路所在圓的半徑為1