材料-06彎曲變形

第六章彎曲變形材料力學§6–1概述§6–2梁的撓曲線近似微分方程及其積分§6–3按疊加原理求梁的撓度與轉(zhuǎn)角§6–4梁的剛度校核第六章彎曲變形§6–5

梁內(nèi)的彎曲應變能§6–6簡單超靜定梁的求解方法§6–7提高梁彎曲剛度的措施§6－１概述彎曲變形研究范圍：等直梁在平面彎曲時位移的計算。研究目的：①對梁作剛度校核；②解超靜定梁（變形幾何條件提供補充方程）。1.撓度：橫截面形心沿垂直于軸線方向的線位移。用w(x)表示。符號：與y軸同向為正，反之為負。[w(x)]

2.轉(zhuǎn)角：橫截面繞其中性軸轉(zhuǎn)動的角度。用

表示，逆時針轉(zhuǎn)動為正，反之為負。

二、撓曲線：變形后，梁的軸線變?yōu)榭v向?qū)ΨQ面內(nèi)的一條光滑連續(xù)的曲線，稱為撓曲線。其方程：

w=w(x)撓曲線方程三、轉(zhuǎn)角與撓曲線的關系：彎曲變形一、度量梁變形的兩個基本位移量FxwCqC1y小變形q

§6-2

梁的撓曲線近似微分方程及其積分一、撓曲線近似微分方程撓曲線近似微分方程EIxMxw)()(=￠￠

彎曲變形小變形yxM>0yxM<0對于等截面直梁，撓曲線近似微分方程可寫成如下形式：二、積分法求撓曲線方程（彈性曲線）1.微分方程的積分彎曲變形

支座邊界條件：

連續(xù)條件：

光滑條件：彎曲變形FABCFD2.待定系數(shù)的確定（邊界條件及光滑連續(xù)條件）討論：①適用于小變形情況下、線彈性材料、平面彎曲。②可應用于求解承受各種載荷的等截面或變截面梁的位移。③積分常數(shù)由撓曲線變形的位移條件確定。支座邊界條件連續(xù)條件光滑條件④優(yōu)點：使用范圍廣，直接求出撓曲線的精確解；基本方法。缺點：計算較繁。彎曲變形例1求等截面直梁的彈性曲線、最大撓度及最大轉(zhuǎn)角。

建立坐標系并寫出彎矩方程

寫出微分方程的積分并積分

應用位移邊界條件求積分常數(shù)彎曲變形解：FLxyx

寫出彈性曲線方程并畫出曲線

最大撓度及最大轉(zhuǎn)角彎曲變形xyFL解：

建立坐標系并寫出彎矩方程

寫出微分方程的積分并積分彎曲變形xyFLa例2求等截面直梁的彈性曲線、最大撓度及最大轉(zhuǎn)角。

應用位移邊界條件求積分常數(shù)彎曲變形FLaxy

寫出彈性曲線方程并畫出曲線

最大撓度及最大轉(zhuǎn)角彎曲變形FLaxy彎曲變形例3用積分法求圖示梁（剛度為EI）的wA

、

B、

A及最大撓度。解：求支反力，列彎矩方程：建立微分方程并積分：用邊界條件確定積分常數(shù)：Cl/2l/2ABMeFAxy彎曲變形例3用積分法求下列各梁（剛度為EI）的wA

、

B、

A及最大撓度。Cl/2l/2ABMeFAxy列撓度方程和轉(zhuǎn)角方程，求指定截面的撓度和轉(zhuǎn)角：[例4]用積分法求梁（剛度為EI）的wA和

B。解：求支反力，列彎矩方程：建立微分方程并積分：FBClaABF彎曲變形xy[例4]用積分法求梁（剛度為EI）的wA和

B。彎曲變形用邊界條件確定積分常數(shù)：FBClaABFxy列撓度方程和轉(zhuǎn)角方程，求指定截面的撓度和轉(zhuǎn)角：彎曲變形FBClaABFxy［例5］試畫出下列梁的撓曲線大致形狀，并寫出邊界條件。（a）CaaABmDa（b）CaaABq（c）C3aaABqD（d）CaaABmDam彎曲變形[例5]試畫出下列梁的撓曲線大致形狀，并寫出邊界條件。解：作彎矩圖：邊界條件：（a）CaaABmDam/2m/2解：作彎矩圖：邊界條件：（b）CaaABqqa2/49qa2/32解：作彎矩圖：邊界條件：（c）C3aaABqDqa2/28qa2/9解：作彎矩圖：邊界條件：（d）CaaABmDamm§6-3按疊加原理求梁的撓度與轉(zhuǎn)角一、載荷疊加（直接疊加法）：

多個載荷同時作用于結構而引起的變形等于每個載荷單獨作用于結構而引起的變形的代數(shù)和。彎曲變形CL/2L/2BF1F2F3Fn彎曲變形Cl/2l/2ABMeCl/2l/2ABFCl/2l/2ABqCl-bbABFP188表6－1彎曲變形qlABFlABlABMe例1按疊加原理求A截面轉(zhuǎn)角和C截面撓度。解、

載荷分解如圖

由梁的簡單載荷變形表，查簡單載荷引起的變形。彎曲變形qqFF=+AAABBBCaa表1彎曲變形qqFF=+AAABBB

Caa

疊加例2按疊加原理求C截面撓度。解：

載荷無限分解如圖

由梁的簡單載荷變形表，查簡單載荷引起的變形。

疊加彎曲變形q00.5L0.5LxyC表1xdx例3用疊加法求梁（剛度為EI）的wB和

B。解：Cl/2l/2ABF彎曲變形2Cl/2l/2ABFqCl/2l/2ABq

BqwBq例4用疊加法求梁（剛度為EI）的wB

和

B。解：彎曲變形Cl/2l/2ABqCl/2l/2ABqCl/2l/2ABq

B2wB22彎曲變形qCABl/2l/2例5用疊加法求梁（剛度為EI）的wC。qCABl/2l/2qCABl/2l/2qwC1wC2wC解：1例6用疊加法求梁（剛度為EI）的wA和

B。解：將載荷分解：Cl/2l/2ABFLFCl/2l/2ABFCl/2l/2ABFl=+彎曲變形表2例6用疊加法求梁（剛度為EI）的wA和

B。解：將載荷分解：Cl/2l/2ABFLFCl/2l/2ABF=Cl/2l/2ABFl+彎曲變形表2Cl/2l/2ABFFl/2=+彎曲變形FL1L2ABCBCFL2w1w2等價等價xywFL1L2ABC剛化AC段FL1L2ABC剛化BC段FL1L2ABCMxyxy二、結構形式疊加（逐段剛化法）：例7用疊加法求梁（剛度為EI）的wA和

B。解：qCaABqaaaCaABqaaaqCaABaa=+彎曲變形表1表2wA1

B1例7用疊加法求梁（剛度為EI）的wA和

B。ACaBaaqCaABaa+=彎曲變形表1表2qa2/2qawA2

B2wA3qAB例7用疊加法求梁（剛度為EI）的wA和

B。qCaABqaaa+彎曲變形表1表2CaABqaaa=wA1

B1ACaBaa+qa2/2wA2

B2wA3qABqa例8已知：梁的剛度為EI，欲使wD＝0，求：F與q的關系及wC。解：F彎曲變形CaABaaDCFqCaABaaDqCaABaaDFaF例8已知：梁的剛度為EI，欲使wD＝0，求：F與q的關系及wC。彎曲變形FCaABaaDCFqCaABaaDqCaABaaDFaF§6-4梁的剛度校核一、梁的剛度條件其中[

]稱為許用轉(zhuǎn)角；[w]稱為許用撓度。通常依此條件進行如下三種剛度計算：

、校核剛度：

、設計截面尺寸；

、確定許可載荷。彎曲變形L=400mmF2=2kNACa=100mm200mmDF1=1kNB例9

一空心圓桿，內(nèi)外徑分別為：d=40mm、D=80mm，桿的E=210GPa，工程規(guī)定C截面的[w]=110-5m,B截面的[

]=0.001rad,試核此桿的剛度。=++=彎曲變形F1=1kNABDCF2BCDAF2=2kNBCDAF2BCaF2BCDAMF2BCa=++圖1圖2圖3解：

結構變換，查表求簡單

載荷變形。彎曲變形L=400mmF2=2kNACa=0.1m200mmDF1=1kNBF1=1kNABDCF2BCDAMxy表1表2F2BCa=++圖1圖2圖3彎曲變形L=400mmF2=2kNACa=0.1m200mmDF1=1kNBF1=1kNABDCF2BCDAMxy

疊加求復雜載荷下的變形

校核剛度彎曲變形[例10]已知：F=20KN，E=200GPa，規(guī)定A處的許可轉(zhuǎn)角為：[

]=0.50。試確定軸的直徑。解：用逐段剛化法：（設軸的直徑為d）CABF20001000CABF20001000mF=+彎曲變形表1dxxFSFS+dFSMM+dM彎曲應變能的計算：§6–5

梁的彎曲應變能

彎曲變形應變能等于外力功。不計剪切應變能并略去dqM(x)F1MxyF2dxdqr例1用能量法求C點的撓度。梁為等截面直梁。解：外力功等于應變能應用對稱性，得：思考：分布荷載時，可否用此法求C點位移？彎曲變形FaaqxyC§6-6簡單超靜定梁的求解方法處理方法：變形協(xié)調(diào)方程、物理方程與平衡方程相結合，求全部未知力。解法：

建立靜定基相當系統(tǒng)確定超靜定次數(shù)，用反力代替多余約束得到原結構的靜定基相當系統(tǒng)（基本結構）。=彎曲變形q0LABLq0MABAq0LFBABxy

幾何方程——變形協(xié)調(diào)方程+彎曲變形q0LFBAB=FBABq0AB

物理方程——變形與力的關系

補充方程

求解其它問題（反力、應力、

變形等）表2彎曲變形q0LFBAB

求解其它問題（反力、應力、變形等）MAFAFSM由幾何方程（變形協(xié)調(diào)方程）和物理方程（變形與力的關系）建立補充方程。彎曲變形

求多余約束反力，必要時需建立平衡方程。

求解其它問題（反力、應力、變形及強度與剛度計算。）解超靜定梁的方法：

建立靜定基相當系統(tǒng)：確定超靜定次數(shù)，用反力代替多余約束，得到靜定基相當系統(tǒng)（基本結構）。

幾何方程——變形協(xié)調(diào)方程：解：

建立靜定基相當系統(tǒng)=例1結構如圖，求B點反力。LBC彎曲變形xyq0LABCq0LFBAB=FBAB+q0AB=LBC彎曲變形xfq0LABCFBAB+q0AB

物理方程——變形與力的關系

補充方程反力與EI、EA有關表2[例2]已知：梁AB、CD長度均為L，抗彎剛度均為EI，求：B點的撓度。解：此結構為一次超靜定，取靜定基相當系統(tǒng)如圖所示：OL/2L/2ABPFODCL/2L/2F'利用變形協(xié)調(diào)條件建立補充方程：彎曲變形表1表2利用疊加法求B點的撓度：彎曲變形OL/2L/2ABPFODCL/2L/2F'[例3]已知：梁AB在自由端受集中力P、DF為加固梁，兩梁在C點可視為簡支支承，抗彎剛度均為EI，求：（1）C處反力F，（2）梁AB的最大彎矩和B點的撓度比無加固時減少