數(shù)學(xué)-專項18.14四邊形中的線段最值問題提升專練（重難點培優(yōu)30題）-【】2022-2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊尖子生培優(yōu)必刷題（帶答案）【人教版】

【拔尖特訓(xùn)】2022-2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊尖子生培優(yōu)必刷題【人教版】專題18.14四邊形中的線段最值問題提升專練（重難點培優(yōu)30題）班級：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事項：本試卷試題解答30道，共分成三個層組：基礎(chǔ)過關(guān)題（第1-10題）、能力提升題（第11-20題）、培優(yōu)壓軸題（第21-30題），每個題組各10題，可以靈活選用．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、單選題1．（2021秋·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，在邊長為6的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E為AB的中點，F(xiàn)是AC上的一動點，則EF+A．33 B．6 C．3 D．【答案】A【分析】根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分，點B關(guān)于AC的對稱點是點D，連接ED，EF+BF最小值等于ED的長，然后解直角三角形即可求解．【詳解】解：如圖，連接BD，∵菱形ABCD中，∠DAB=60°，∴△ABD是等邊三角形，∵在菱形ABCD中，AC與BD互相垂直平分，∴點B、D關(guān)于AC對稱，如圖，連接ED，則ED的長就是所求的EF+BF的最小值，∵E為AB的中點，∠DAB=60°，∴DE⊥AB，∴ED=AD∴EF+BF的最小值為33故選：A．

【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)和解直角三角形，關(guān)鍵是判斷出ED的長就是所求的EF+BF的最小值．2．（2022秋·廣東湛江·八年級統(tǒng)考期末）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點M在DC上，且DM=1，N是AC上一動點，則DN+MN的最小值為（

）A．4 B．42 C．25 D【答案】D【分析】由正方形的對稱性可知點B與D關(guān)于直線AC對稱，連接BM交AC于N′，N′即為所求在Rt△BCM中利用勾股定理即可求出BM的長即可．【詳解】∵四邊形ABCD是正方形，∴點B與D關(guān)于直線AC對稱，∴DN=BN，連接BD，BM交AC于N′，連接DN′，∴當(dāng)B、N、M共線時，DN+MN有最小值，則BM的長即為DN+MN的最小值，∴AC是線段BD的垂直平分線，又∵CD=4，DM=1∴CM=CD-DM=4-1=3，

在Rt△BCM中，BM=C故DN+MN的最小值是5．故選：D．【點睛】本題考查的是軸對稱-最短路線問題及正方形的性質(zhì)，先作出D關(guān)于直線AC的對稱點，由軸對稱及正方形的性質(zhì)判斷出D的對稱點是點B是解答此題的關(guān)鍵．3．（2021秋·全國·八年級期末）如圖，P為正方形ABCD內(nèi)一動點，PA=AB=4，M為PB的中點，則CMA．125 B．135 C．22【答案】D【分析】取AB的中點N，連接MN，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可求出MN的長度，然后根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可求出CM的最小值．【詳解】解：因為PA=AB=4，M取AB的中點N，連接MN，CN，易得CN=2所以MN=在點P的運動過程中，MN的值不變，因為CM+當(dāng)C，M，N三點在同一條直線上時，CM最小，此時CM=

故選：D【點睛】此題考查了三角形中位線的性質(zhì)和三角形三邊的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是由題意作出輔助線．4．（2021秋·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，正方形OABC的兩邊在坐標(biāo)軸上，AB=6，OD=2，點P為OB上一動點，PA+A．8 B．10 C．210 D．【答案】C【分析】先找到點A關(guān)于OB的對稱點C，連結(jié)CD交OB于點P′，當(dāng)點P運動到P′時PA+PD最短，在Rt△COD中用勾股定理求出CD即可．【詳解】正方形ABCO，∴A、C兩點關(guān)于OB對稱，∴連接CD，交OB于P'∴C∴A當(dāng)C、P、D三點共線時，PA+∵OD=2，∴CD故選擇：C．【點睛】本題考查動點問題，掌握正方形的性質(zhì)，與軸對稱的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，勾股定理，會利用對稱性找對稱點，會利用P、C、D三點一線最短，會用勾股定理求出最短距離是解題關(guān)鍵．

5．（2020秋·江蘇無錫·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點E、F分別是邊BC、CD上的動點，且BE＝CF，連接BF、DE，則BF＋DE的最小值為（）A．12 B．20 C．48 D．80【答案】D【分析】連接AE，利用△ABE≌△BCF轉(zhuǎn)化線段BF得到BF＋DE＝AE＋DE，則通過作A點關(guān)于BC對稱點H，連接DH交BC于E點，利用勾股定理求出DH長即可．【詳解】解：解：連接AE，如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°．又BE＝CF，∴△ABE≌△BCF（SAS）．∴AE＝BF．所以BF＋DE最小值等于AE＋DE最小值．作點A關(guān)于BC的對稱點H點，如圖2，連接BH，則A、B、H三點共線，連接DH，DH與BC的交點即為所求的E點．根據(jù)對稱性可知AE＝HE，所以AE＋DE＝DH．在Rt△ADH中，DH2＝AH2＋AD2＝82＋42＝80∴DH＝45

∴BF＋DE最小值為45故選：

D．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、最短距離問題，一般求兩條線段最短距離問題，都轉(zhuǎn)化為一條線段．6．（2022秋·浙江金華·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠C=120°，AB=4，AD=8，點H、G分別是邊CD、BC上的動點．連接AH、HG，點E為AH的中點，點F為GH的中點，連接EF．則EF的最大值與最小值的差為（A．2 B．23-2 C．3【答案】C【分析】如圖，取AD的中點M，連接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．首先證明∠ACD＝90°，求出AC，AN，利用三角形中位線定理，可知EF＝12AG，求出AG【詳解】解：如圖，取AD的中點M，連接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠BCD＝120°，AD∴∠D＝180°?∠BCD＝60°，AB＝CD＝4，∵AM＝DM＝DC＝4，∴△CDM是等邊三角形，∴∠DMC＝∠MCD＝60°，AM＝MC，∴∠MAC＝∠MCA＝30°，∴∠ACD＝90°，∴AC＝4

在Rt△ACN中，∵AC＝43，∠ACN＝∠DAC＝30°∴AN＝12AC＝∵AE＝EH，GF＝FH，∴EF＝12AG∵點G在BC上，∴AG的最大值為AC的長，最小值為AN的長，∴AG的最大值為43，最小值為2∴EF的最大值為23，最小值為3∴EF的最大值與最小值的差為：3故選C．【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、三角形的中位線定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形30度角性質(zhì)、垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，本題的突破點是證明∠ACD＝90°，屬于中考選擇題中的壓軸題．7．（2022秋·安徽合肥·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在矩形ABCD中，點N、O、P、M分別是邊AB、BC、CD、DA上的點(不與端點重合)，若AN=CP，BO=DM，且AB=2BC=2，則四邊形MNOP周長的最小值等于（

）A．25 B．23 C．5 D．3【答案】A【分析】首先利用SAS證明△AMN≌△COP，得MN=PO，同理得NO=MP，則四邊形MNOP是平行四邊形，作點N關(guān)于BC的對稱點N【詳解】解：∵BO=∴CO=

∵AN=CP，∴△AMN∴MN=同理得，NO=∴四邊形MNOP是平行四邊形，作點N關(guān)于BC的對稱點N'，連接ON'，PN'，過點P和PH則NO=N'∴PO+ON的最小值為∵四邊形ABCD是矩形，PH∥BC，∴四邊形PCBH是矩形，∴PH=BC=∵NB=∴HN'=由勾股定理得，PN∴四邊形MNOP周長的最小值為25故選：A．【點睛】本題主要考查了矩形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，軸對稱最短路線問題，勾股定理等知識，證明四邊形MNOP是平行四邊形是解題的關(guān)鍵．8．（2022秋·重慶·八年級統(tǒng)考期末）如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點P是BC上任意一點，PE⊥BD于點E，PF⊥AC于點F，若AC=2

A．2 B．1 C．2 D．2【答案】B【分析】如圖，連接OP、EF，根據(jù)已知條件和正方形的性質(zhì)可以得到當(dāng)EF最小就是OP最小，然后利用垂線段最短即可求解．【詳解】解：如圖，連接OP、EF，∵正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點P是BC上任意一點，PE⊥BD于點E，PF⊥AC于點F，∴四邊形OEPF為矩形，∴EF=OP，∴EF最小時OP最小，當(dāng)OP⊥BC于P的時候OP最小，而當(dāng)OP⊥BC時，P為BC的中點，∴OP=12BC∵AC=22則BC=2，∴OP=1，∴EF的長的最小值為1．故選：B．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，同時也利用了垂線段最短解決問題．9．（2022秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，BC=6，ΔBDC面積為21，AB的垂直平分線MN分別交AB,AC于點M,N，若點P和點Q分別是線段

A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】連接AQ，過點D作DH⊥BC，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到PA=【詳解】連接AQ，過點D作DH⊥∵BC=6，ΔBDC面積為∴12∴DH=7∵MN垂直平分AB，∴PA=∴PB+∴當(dāng)AQ的值最小時，PB+PQ的值最小，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)AQ⊥∵AD∥∴AQ=∴PB+PQ的值最小值為故選C．【點睛】本題主要考查了四邊形綜合，垂直平分線的性質(zhì)，準(zhǔn)確分析計算是解題的關(guān)鍵．10．（2022春·上?！ぐ四昙夒A段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，動點P滿足S△PBC＝14

矩形ABCD，則點P到B，C兩點距離之和PB+PC的最小值為（）A．10 B．13 C．15 D．23【答案】B【分析】先由S△PBC＝14S矩形ABCD．得出動點P在與BC平行且與BC的距離是1的直線l上，作B關(guān)于直線l的對稱點E，連接CE，則CE的長就是所求的最短距離．然后在直角三角形BCE中，由勾股定理求得CE的值，即PB＋PC【詳解】解：設(shè)△PBC中BC邊上的高是h．∵S△PBC＝14S矩形ABCD∴12BC?h＝14AB?∴h＝12AB＝1∴動點P在與BC平行且與BC的距離是1的直線l上，如圖，作B關(guān)于直線l的對稱點E，連接CE，則CE的長就是所求的最短距離．在Rt△BCE中，∵BC＝3，BE＝BA＝2，∴CE＝AB即PB＋PC的最小值為13．故選：B．【點睛】本題考查了軸對稱?最短路線問題，三角形的面積，矩形的性質(zhì)，勾股定理，兩點之間線段最短的性質(zhì)．得出動點P所在的位置是解題的關(guān)鍵．二、填空題11．（2022秋·北京西城·八年級?？计谥校┮阎?，如圖，正方形ABCD的邊長是8，M在DC上，且DM=2，

是AC邊上的一動點，則DN+MN的最小值是【答案】10【分析】要求DN+MN的最小值，DN，MN不能直接求，可考慮通過作輔助線轉(zhuǎn)化DN，MN【詳解】解：∵正方形是軸對稱圖形，點B與點D是以直線AC為對稱軸的對稱點，∴連接BN，BD，則直線AC即為BD的垂直平分線，∴BN=ND∴DN+MN連接BM交AC于點P，∵點N為AC上的動點，由三角形兩邊和大于第三邊，知當(dāng)點N運動到點P時，BN+MN=BN+MN的最小值為BM∵四邊形ABCD為正方形，∴BC=CD=8，CM∴BM=∴DN+MN的最小值是故答案為10．

【點睛】本題考查軸對稱的應(yīng)用和勾股定理的基本概念．解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，知道根據(jù)正方形的性質(zhì)得到DN+MN的最小值即為線段BM的長．12．（2022秋·重慶大足·八年級統(tǒng)考期末）在正方形ABCD中，AB=4，點E、F分別為AD、CD上一點，且AE=CF，連接BF【答案】4【分析】首先利用正方形的性質(zhì)可以證明ΔADF和ΔCDE(SAS)【詳解】解：如圖，連接AF，∵正方形ABCD中，AE=∴AD=CD在ΔADF和ΔAD=∴ΔADF和∴CE∴BF∴BF+CE如圖，作A關(guān)于CD的對稱點H，連接BH交CD于F，則F即可滿足BF+∵AB∴AD=DH∴BF∴BF+CE故答案：45

【點睛】本題主要考查了軸對稱的性質(zhì)，最短路徑問題，同時也利用了正方形的性質(zhì)，有一定的綜合性．13．（2022秋·江蘇常州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，正方形ABCD的邊長是8，點E、F分別是邊AB、BC上的點，且AE=CF=1，若點P是對角線AC上一個動點，則EP【答案】10【分析】過E作AC的垂線交AD于點E′，連接E′F交AC于點P，過F作AD的垂線交AD于點G，則E′F即為所求，根據(jù)正方形的性質(zhì)可知△AEE′是等腰三角形，AE′=1，GD=CF=1，由AD=10即可求出GE′的長，再由勾股定理即可求出E′F的長．【詳解】解：過E作AC的垂線交AD于點E′，連接E′F交AC于點P，過F作AD的垂線交AD于點G，∵四邊形ABCD是正方形，∴AC是正方形ABCD的一條對稱軸，∴點E、E′關(guān)于AC對稱，∴PE=PE′，∴PE+PF的最小值是E′F的長，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DAC=∠BAC=45°，∵EE′⊥AC，

∴△AEE′是等腰三角形，∴AE=AE′=3，∵GF⊥AD，∴GD=CF=1，∴GE′=8-GD-AE′=8-1-1=6，在Rt△GFE′中，GE′=6，GF=8，∴E′F=E'G故答案為：10．【點睛】本題考查的是最短路線問題及正方形的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．14．（2022秋·重慶·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在正方形ABCD中，AB=22，AC與BD交于點O，N是AO的中點，點M在BC邊上，且BM=3，P為對角線BD上一點，則PM【答案】1【分析】作N關(guān)于BD的對稱點E，連接PE，ME，過點M作MQ⊥AC，垂足為Q，可判定當(dāng)點P，E，M三點共線時，PM-PE的值最大，為ME的長，求出CE，CQ，得到EQ，利用垂直平分線的性質(zhì)得到EM=CM=1即可．【詳解】解：如圖：作N關(guān)于BD的對稱點E，連接PE，ME，過點M作MQ⊥AC，垂足為Q，∴PN=PE，則PM-PN=PM-PE，

∴當(dāng)點P，E，M三點共線時，PM-PE的值最大，為ME的長，在正方形ABCD中，AB=4，∴AC=42∵N是AO的中點，點N和E關(guān)于BD成軸對稱，∴點E是OC中點，∴CE=14AC=2∵BC=4，BM=3，∴CM=1=14BC∵∠BCQ=45°，∴△MCQ為等腰直角三角形，∴CQ=CM2=2∴EQ=22∴CM=EM=1，即PM-PN的最大值為1，故答案為：1．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)以及最短路線問題，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點關(guān)于某直線的對稱點．15．（2022秋·重慶·八年級重慶一中?？计谥校┤鐖D，正方形ABCD邊長為4，P是正方形內(nèi)一動點，且S△PAB:S△【答案】2【分析】過點P作EF∥AD，由S△PAB:S△PCD=1:3可得PEPF=13，得PE=1，PF=3，過點P作MN//AB交AD于點M，交BC于點N，可得出四邊形PFCN是矩形，得CN=PF=3，延長CB到

【詳解】解：如圖，過點P作EF∥AD，交AB于點E，交CD于點∵四邊形ABCD是正方形，∴AB⊥AD，AB⊥BC，∴EF∵S△PAB=1∴S△∴PE∵EF∴EF=∴PF=3，PE過點P作MN//AB交AD于點M，交BC于點N，則PN⊥∴∠PNC∴四邊形CFPN是矩形，∴四邊形AEFD是矩形，∴CN=∵∠DAE=∠延長CB到K，使NK=CN=3，則有：CK連接DK，當(dāng)D，P，K在一條直線上時，DP+故當(dāng)D，P又N是CK的中點，PN⊥∴PN是CK的垂直平分線，∴CP=PK，

所以PC+PD的最小值為故答案為：213【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)，矩形的判斷與性質(zhì)，勾股定理以及線段的垂直平分線的判斷與性質(zhì)等知識，掌握正方形的性質(zhì)，正確做出輔助線是解題的關(guān)鍵．16．（2022秋·江蘇揚州·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝20，點E在AD上且DE＝4.點G在AE上且GE＝8，點P為BC邊上的一個動點，F(xiàn)為EP的中點，則GF＋EF的最小值為____．【答案】10【分析】作A點關(guān)于BC的對稱點A'，連接A'E，交BC于點P，連接AP，此時GF+EF的值最小，根據(jù)已知條件可得AP=2GF，進而可得GF+EF=12A'E，在Rt△AA'E中，由勾股定理可求A'E【詳解】作A點關(guān)于BC的對稱點A'，連接A'E，交，BC于點P，連接AP，∵AD=20，DE=4，∴AE=16，∵GE=8，∴G是AE的中點，∵F是EP的中點，∴AP=2GF，∴GF+EF=12AP+1

=12此時，GF+EF取得最小值，∵AB=6，∴AA`=12，在Rt?AA`E中，A'E∴GF+EF的最小值為10．故答案為：10．【點睛】本題考查軸對稱求最短距離、三角形的中位線定理、勾股定理，熟練掌握軸對稱求最短距離的方法及三角形中位線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．（2022秋·山東泰安·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在菱形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊CD，BC上的動點，連接AE，EF，G，H分別為AE，EF的中點，連接GH．若∠B=45°，BC=23，則【答案】6【分析】連接AF，利用三角形中位線定理，可知GH=12AF，求出AF【詳解】連接AF，如圖所示：∵四邊形ABCD是菱形，AB=BC=23∵G，H分別為AE，EF的中點，∴GH是△AEF的中位線，GH=12AF當(dāng)AF⊥BC時，AF最小，GH得到最小值，則∠AFB=90°，

∵∠B=45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴AF=22AB=22×23=6∴GH=62即GH的最小值為6故答案為：6【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、三角形的中位線定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，屬于中考?？碱}型．18．（2021秋·河南安陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，點E為對角線DB的中點，P為線段AD上一動點，則△EPB的周長最小值為______．【答案】37【分析】延長BA至F，使得AF＝AB，連接EF，取AB中點G，連EG，先說明B、F關(guān)于直線AD對稱，將EP＋PB轉(zhuǎn)化為EP＋PF≥EF，由E、G分別為DB、AB的中點，再結(jié)合中位線定理得EG＝12AD＝12BC＝1，EG⊥AB，從而有EF=37，EB＝EG2+【詳解】解：延長BA至F，使得AF＝AB，連接EF，取AB中點G，連EG，∵AF＝AB，∠DAB＝90°，∴AD垂直平分BF，即B、F關(guān)于直線AD對稱，∴PB＝PF，∴EP＋PB＝EP＋PF≥EF，∵E、G分別為DB、AB的中點，

∴EG∥AD，EG＝12AD＝12BC＝1，F(xiàn)G＝AF＋AG＝4＋2＝∴EG⊥AB，∴EF＝EGEB＝EG∴△EPB的周長最小值為37+故答案為：37+【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、最短距離問題、勾股定理、中位線定理，延長BA至F，使得AF＝AB，構(gòu)造B、F關(guān)于直線AD對稱，將EP＋PB轉(zhuǎn)化為EP＋PF≥EF是解決本題的關(guān)鍵．19．（2021秋·重慶·八年級重慶實驗外國語學(xué)校?？计谥校┮阎?，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，對角線BD將菱形ABCD分成2個三角形，點E、F將對角線BD三等分，BD=12，點P在菱形ABCD的邊上（含頂點），則能夠滿足PE+PF【答案】8【分析】先作點E關(guān)于AD的對稱點E'，連接EF交AD與點P，求出PE+PF的最小值，再求出P與A重合及P與D重合時PE+PF的值判斷AD邊上符合條件的P的個數(shù)，再根據(jù)對稱性求解．【詳解】解：①當(dāng)點P菱形的邊上時，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，則△ABD∵點E、F將對角線BD三等分，則DE=作點E關(guān)于CD的對稱點E'，則A、D、E連接E'F交CD于點P，則此時則PE+PF最小值過點E'作E'H⊥BD在Rt△DHE'中，DE則DH=HE'=在Rt△HE'則E'②當(dāng)P在D點時，PE+故P在菱形的每條邊上符合距離和等于11的點是兩個，

那么四條邊上一共8個．故答案為：8．【點睛】本題考查菱形與最值問題．熟練掌握求四邊形中的最值問題為解題關(guān)鍵．20．（2021秋·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·八年級統(tǒng)考期末）如圖，AC是邊長為2的正方形ABCD的對角線，P為BC邊上一動點，E，F(xiàn)為AB，AC的中點．當(dāng)PE+PF的值最小時，CP的值為________．【答案】3【分析】作點E關(guān)于BC的對稱點Q，連接FQ，交BC于點P，此時PE+PF最小，再利用中位線的性質(zhì)求解即可．【詳解】如圖，作點E關(guān)于BC的對稱點Q，連接FQ，交BC于點P，此時PE+PF最小，∵E，F(xiàn)為AB，AC的中點，BC=2，

∴EF//BC，∵B為EQ中點，BP//∴BP為△EFQ∴BP=∴CP=故答案為：32【點睛】本題考查了最短路線問題-將軍飲馬模型，中位線的性質(zhì)，熟練掌握將軍飲馬模型的作法是解題的關(guān)鍵．三、解答題21．（2022秋·廣東廣州·八年級?？计谥校┤鐖D，菱形ABCD的邊長為1，∠ABC=60°，點E是邊AB上任意一點(端點除外)，線段CE的垂直平分線交BD，CE分別于點F，C，AE，EF的中點分別為M，(1)求證：AF=(2)求MN+【答案】(1)見解析(2)1【分析】（1）連接CF，根據(jù)FG垂直平分CE和菱形的對稱性即可得到CF=EF，（2）利用M和N分別是AE和EF的中點，點G為CE的中點，即可得到MN+NG=12(AF+CF)，當(dāng)點F與菱形（1）

證明：連接CF，∵FG垂直平分CE∴CF∵四邊形ABCD為菱形，∴A和C關(guān)于對角線BD∴CF∴AF（2）解：連接AC，∵M和N分別是AE和EF的中點，點G為CE∴MNMN當(dāng)點F與菱形ABCD對角線交點O重合時，AF+即此時MN+∵菱形ABCD邊長為1，∠ABC∴△ABC為等邊三角形，AC即MN+NG的最小值為

【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，中位線的性質(zhì)、等邊三角形性質(zhì)的知識，關(guān)鍵在于熟悉各個知識點在本題的靈活運用．22．（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在□ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點，BD是對角線，過A點作AG∥DB交CB(1)求證：DE∥(2)當(dāng)△ABD滿足什么條件時，四邊形DEBF(3)請利用備用圖分析，在（2）的條件下，若BE=2，∠DEB=120°，點M為BF的中點，當(dāng)點P在BD【答案】(1)見解析(2)當(dāng)∠ADB=90°時，四邊形DEBF是菱形，證明見解析(3)3【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到DF=BE，AB∥CD，根據(jù)平行四邊形的判定定理證明四邊形DEBF是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明結(jié)論；（2）根據(jù)矩形的判定定理得到四邊形AGBD是矩形，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到ED=EB，證明結(jié)論；（3）連接EM交BD于P，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)證明此時PF+PM的值最小，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)計算即可．【詳解】（1）解：證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AB∥CD，∵E、F分別為邊AB、CD的中點，∴DF=BE，又AB∥CD，∴四邊形DEBF是平行四邊形，∴DE∥BF；（2）當(dāng)∠ADB=90°時，四邊形DEBF是菱形．理由：∵∠ADB=90°，又E為邊AB的中點，

∴ED=EB，又四邊形DEBF是平行四邊形，∴四邊形DEBF是菱形；（3）連接EF，連接EM交BD于P，∵四邊形DEBF是菱形，∴點E和點F關(guān)于BD軸對稱，此時PF+PM的值最小，∵四邊形DEBF是菱形，∠DEB=120°，∴∠EBF=60°，∴△BEF是等邊三角形，又BE=2，∴EM=3，即PF+PM的最小值為3．【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查的是平行四邊形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)，軸對稱變換的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)的綜合運用，掌握相關(guān)的判定定理和性質(zhì)定理、正確作出輔助性是解題的關(guān)鍵．23．（2021秋·廣西河池·八年級統(tǒng)考期中）如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，將ΔCOD沿CD所在直線折疊，得到ΔCED．（1）求證：四邊形OCED是菱形；（2）若BD=3，∠ACD=30°，P是CD邊上的動點，Q是CE邊上的動點，【答案】（1）見解析；（2）3【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)即可得到OC=OD，再根據(jù)翻折，即可得到四邊相等，即可求證菱形；

（2）作OQ⊥CE于Q，交CD于P，證明OP=PE，所以PE+PQ轉(zhuǎn)化為OP+PQ，當(dāng)【詳解】解：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形∴AC與BD∴∵ΔCOD關(guān)于CD的對稱圖形為∴OD=∴∴四邊形OCED是菱形（2）解：作OQ⊥CE于Q，交CD于P，則∵ΔCOD沿CD所在直線折疊，得到∴∠DCE=∠∴∵AC=∵∠ACD=30°∴∠∴∠∴∴在RtΔCOQ中，OQ即PE+PQ的最小值為【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，菱形的判定和最短路徑問題，熟練菱形的判定方法以及最短路徑的方法是解決本題的關(guān)鍵．24．（2021秋·河北滄州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，BC＝AC，E、F分別是AB、CD的中點，連接CE、AF．

（1）求證：四邊形AECF是矩形；（2）當(dāng)平行四邊形ABCD的邊或角滿足什么關(guān)系時，四邊形AECF是正方形？請說明理由．（3）在（2）的條件下，若AE＝4，點M為EC中點，當(dāng)點P在線段AC上運動時，求PE+PM的最小值．【答案】（1）見解析；（2）∠B＝45°或AB＝2BC，理由見解析；（3）2【分析】（1）由四邊形ABCD是平行四邊形得AB＝CD，AB∥CD，再由E、F分別是AB、CD的中點得AE＝12AB，CF＝12CD，即可證得四邊形AECF為平行四邊形，再由BC＝AC，E為AB中點，得CE⊥AB，故四邊形（2）當(dāng)∠B＝45°時，可證∠BAC＝90°，由E為AB的中點得EC＝12AB＝AE，故矩形AECF為正方形；當(dāng)AB＝2BC時，由BC＝AC，AB＝2BC，可證得AC2+BC2＝AB2，△ACB為直角三角形，再由E為AB的中點得EC＝12AB＝AE，故矩形（3）連接EF，連接FM交AC于P，由E和F關(guān)于AC對稱得此時PE+PM最小，再在Rt△MCF中用勾股定理求出FM即可．【詳解】解：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵E、F分別是AB、CD的中點，∴AE＝12AB，CF＝12∴AE＝CF，∵AE∥CF，∴四邊形AECF為平行四邊形，∵BC＝AC，E為AB中點，∴CE⊥AB，∴∠AEC＝90°四邊形AECF是矩形；（2）解：①當(dāng)∠B＝45°時，四邊形AECF是正方形，

理由：∵BC＝AC，∠B＝45°，∴∠BAC＝∠B＝45°，∴∠BAC＝90°，∵E為AB的中點，∴EC＝12AB＝AE∴矩形AECF為正方形，或②當(dāng)AB＝2BC時，矩形AECF為正方形，理由：∵BC＝AC，AB＝2BC，∴AC2+BC2＝2BC2，AB2＝（2BC）2＝2BC2，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ACB為直角三角形，∵E為AB的中點，∴EC＝12AB＝AE∴矩形AECF為正方形；（3）解：連接EF，連接FM交AC于P，∵四邊形AECF為正方形，∴E和F關(guān)于AC對稱，此時PE+PM最小且為FM，在Rt△MCF中，CM＝2，CF＝AE＝4，∴FM＝C∴PE+PM最小值為25【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，矩形的判定，正方形的性質(zhì)與判定，勾股定理和勾股定理的逆定理等等，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進行求解.25．（2021秋·廣東惠州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，將△COD沿

CD所在直線折疊，得到△CED．（1）求證：四邊形OCED是菱形；（2）若AB＝2，當(dāng)四邊形OCED是正方形時，求OC的長；（3）若BD＝3，∠ACD＝30°，P是CD邊上的動點，Q是CE邊上的動點，求PE+PQ的最小值．【答案】（1）見解析；（2）2；（3）33【分析】（1）根據(jù)四邊相等的四邊形是菱形即可判斷．（2）矩形的性質(zhì)和勾股定理求解．（3）作OQ⊥CE于Q，交CD于P，此時PE+PQ的值最小，由折疊的性質(zhì)得出∠DCE＝∠DCO，PE＝PO，得出PE+PQ＝PO+PQ＝OQ，由直角三角形的性質(zhì)得出CQ＝12OC=【詳解】解：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC與BD相等且互相平分，∴OC＝OD，∵△COD關(guān)于CD的對稱圖形為△CED，∴OD＝ED，EC＝OC，∴OD＝ED＝EC＝OC，∴四邊形OCED是菱形．（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝2．∵四邊形OCED是正方形，∴∠COD＝90°．在直角△COD中，由勾股定理得：OC2+OD2＝22，∵OD＝OC，

∴OC＝2；（3）解：作OQ⊥CE于Q，交CD于P，如圖所示：此時PE+PQ的值最小為33∵△COD沿CD所在直線折疊，得到△CED，∴∠DCE＝∠DCO，PE＝PO，∴PE+PQ＝PO+PQ＝OQ，∵AC＝BD＝3，∴OC＝OD＝32∴∠DCO＝∠ACD＝30°，∴∠DCE＝30°，∴∠OCQ＝60°，∴∠COQ＝30°，∴CQ＝12OC即PE+PQ的最小值為33【點睛】本題主要考查了翻折變換的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)與判定，正方形的判定，勾股定理以及垂線最短等知識，熟練掌握翻折的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.26．（2021秋·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=2,AD=1,∠B=60°，將平行四邊形ABCD沿過點A的直線l折疊，使點D落到AB邊上的點D

（1）求證：四邊形BCED'（2）若點P是直線l上的一個動點，請作出使PD'+PB為最小值的點P，并計算【答案】（1）見解析；（2）作圖見解析，7【分析】（1）利用翻折變換的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)得出∠DAE=∠EAD'=∠DEA=∠D（2）由四邊形DAD'E是平行四邊形，得到?DAD'E是菱形，推出D與D'關(guān)于AE對稱，連接BD交AE于P，則BD的長即為PD'+PB的最小值，過D作【詳解】解：證明：（1）∵將?ABCD沿過點A的直線l折疊，使點D落到AB邊上的點D∴∠DAE=∠D'AE∵DE∴∠DEA∴∠DAE∴∠DAD∴四邊形DAD'∴DE∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=DC∴CE=D∴四邊形BCED∵AD∵AB=2，∴AD∴?BCED（2）∵四邊形DAD'∴D與D'關(guān)于連接BD交AE于P，則BD的長即為PD'+過D作DG⊥BA于

∵CD∴∠DAG∵AD∴AG=1∴BG∴BD∴PD'+PB【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，最短距離問題，勾股定理，菱形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．27．（2019秋·湖南長沙·八年級雅禮中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在平行四邊形ABCD中，AB=10，AD=16，∠A=60°，P是射線AD上一點，連接PB，沿PB將（1）如圖所示，當(dāng)∠DPA'=10°（2）如圖所示，當(dāng)PA'⊥（3）當(dāng)點P為AD中點時，點F是邊AB上不與點A、B重合的一個動點，將ΔAPF沿PF折疊，得到ΔA'

，求ΔBA【答案】（1）85°；（2）53+5；（3【分析】（1）求出∠AP（2）如圖2中，作BH⊥AD于H．根據(jù)30度角所對的直角邊等于斜邊的一半及勾股定理求出AH，PH即可解決問題．（3）ΔBA'F的周長=FA'+BF+BA'=AF+BF+BA【詳解】（1）如圖1：∵∠∴∠由折疊的性質(zhì)可知：∠故答案為：85°（2）如圖2：作BH⊥AD于H在Rt△ABH中∵∠AHB=90°，AB=10，∠∴∠ABH=30°∴AH=12∴BH=A∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AD∥BC∵PA

∴PA∴∠∴∠∴PH∴PA故答案為：5（3）如圖3中，作BH⊥AD于H，連接BP∵PA=8，AH=5∴PH=3∵BH=5∴PB=P由翻折可知:PA=PA'=8，F(xiàn)A=FAΔBFA'FA'+BF+BA'=AF+BF+BA'=AB+∴當(dāng)BA'最小時，ΔBFA∵BA∴BA'≥2∴BA'的最小值為∴ΔBFA'的周長的最小值為:

故答案為：2【點睛】本題考查了軸對稱—最短路線問題、翻折變換（折疊問題），在求解過程中用到了平行四邊形性質(zhì)知識點．28．（2016秋·福建泉州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點P為對角線BD上一動點，點E在射線BC上．（1）填空：∠PBC=度．（2）若BE=t，連結(jié)PE、PC，則|PE+PC的最小值為，|PE﹣PC|的最大值是（用含t的代數(shù)式表示）；（3）若點E是直線AP與射線BC的交點，當(dāng)△PCE為等腰三角形時，求∠PEC的度數(shù)．【答案】（1）45；（2）；|4﹣t|；（3）當(dāng)△PCE為等腰三角形時，∠PEC的度數(shù)為30°或120°．【詳解】試題分析：（1）根據(jù)正方形的對角線平分一組對角，且四個角為直角，確定出所求角度數(shù)即可；（2）連接AP，當(dāng)AP與PE在一條線上時，PE+PC最小，利用勾股定理求出最小值；當(dāng)P與B重合時，|PE﹣PC|最大，表示出最大值即可；（3）分兩種情況考慮：①當(dāng)E在BC延長線上時，如圖2所示，△PCE為等腰三角形，則CP=CE；②當(dāng)E在BC上，如圖3所示，△PCE是等腰三角形，則PE=CE，分別求出∠PEC的度數(shù)即可．解：（1）∠PBC=45度；

故答案為45；（2）如圖1所示：當(dāng)AP與PE在一條線上時，PE+PC最小，∵AB=4，BE=t，∴PE+PC的最小