2024-2024年河南專升本高數(shù)真題及答案

2024年河南省普通高等學校選拔優(yōu)秀專科生進入本科階段學習考試?高等數(shù)學?試卷題號一二三四五六總分核分人分數(shù)一.單項選擇題〔每題2分，共計50分〕在每題的備選答案中選出一個正確答案，并將其代碼寫在題干后面的括號內.不選、錯選或多項選擇者，該題無分.1.集合的所有子集共有〔〕A.5B.6C.7解：子集個數(shù)。2.函數(shù)的定義域為〔〕A.B.C.D.解：。3.當時，與不等價的無窮小量是()A.B.C.D.解：根據(jù)常用等價關系知，只有與比較不是等價的。應選A。4.當是函數(shù)的〔〕A.連續(xù)點B.可去間斷點C.跳躍間斷點D.第二類間斷點解：；。5.設在處可導，且，那么的值為〔〕A.-1B.-2C.-3D.解：。6.假設函數(shù)在區(qū)間內有，那么在區(qū)間內，圖形〔〕A．單調遞減且為凸的B．單調遞增且為凸的C．單調遞減且為凹的D．單調遞增且為凹的解：單調增加；凸的。應選B。7.曲線的拐點是〔〕A.B.C.D.解：，應選A。8.曲線的水平漸近線是〔〕A.B.C.D.解：。9.〔〕A.0B.C.2D.1解：。10.假設函數(shù)是的原函數(shù)，那么以下等式正確的選項是〔〕A.B.C.D.解：根據(jù)不定積分與原函數(shù)的關系知，。應選B。11.〔〕A.B.C.D.解：。12.設，那么〔〕A.-3B.-1C.1D.3解：。13.以下廣義積分收斂的是〔〕A.B.C.D.解：由積分和積分的收斂性知，收斂，應選C。14.對不定積分，以下計算結果錯誤是〔〕A.B.C.D.解：分析結果，就能知道選擇C。15.函數(shù)在區(qū)間的平均值為〔〕A.B.C.8D.4解：。16.過軸及點的平面方程為〔〕A.B.C.D.解：經(jīng)過軸的平面可設為，把點代入得應選C。也可以把點代入所給的方程驗證，且不含。17.雙曲線繞軸旋轉所成的曲面方程為〔〕A.B.C.D.解：把中換成得，應選A。18.〔〕A.B.C.0D.極限不存在解：。19.假設，那么〔〕A.B.1C.D.0解：。20.方程所確定的隱函數(shù)為，那么〔〕A.B.C.D.解：令，應選A。21.設為拋物線上從到的一段弧，那么〔〕A.-1B.0C解：：從0變到1，。22.以下正項級數(shù)收斂的是〔〕A.B.C.D.解：對級數(shù)、需要利用積分判別法，超出大綱范圍。級數(shù)有結論：當時收斂，當時發(fā)散。級數(shù)、與級數(shù)利用比較判別法的極限形式來確定發(fā)散的，應選C。23.冪級數(shù)的收斂區(qū)間為〔〕A.B.C.D.解：令，級數(shù)化為收斂區(qū)間為，即。24.微分特解形式應設為〔〕A.B.C.D.解：不是特征方程的特征根，特解應設為。應選B。25.設函數(shù)是微分方程的解，且，那么在處〔〕A.取極小值B.取極大值C.不取極值D.取最大值解：有。得分評卷人二、填空題〔每題2分，共30分〕26.設，那么_________.解：。27.____________.解：構造級數(shù)，利用比值判別法知它是收斂的，根據(jù)收斂級數(shù)的必要條件。28.假設函數(shù)在處連續(xù)，那么____________.解：。29.曲線上點處的切線平行于直線，那么點的坐標為________解：。30.設，那么_________解：。31.設，那么__________解：。32.假設函數(shù)在處取得極值2，那么______，_____解：；。33._________解：。34．_________解：。35.向量的模________解：。36.平面：與平面：垂直，那么______解：。37.設，那么________解：。38.，交換積分次序后，那么_______解：，所以次序交換后為。39.假設級數(shù)收斂，那么級數(shù)的和為_______解：，而，所以。40.微分方程的通解為________解：有二重特征根1，故通解為〔為任意常數(shù)〕。得分評卷人三、判斷題〔每題2分，共10分〕你認為正確的在題后括號內劃“√〞，反之劃“×〞.41.假設數(shù)列單調，那么必收斂.()解：如數(shù)列單調，但發(fā)散，應為×。42.假設函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，在內可導，且，那么一定不存在，使.()解：如在滿足上述條件，但存在，使得，應為×。43..()解：第二步不滿足或，是錯誤的，事實上。應為×。44..()解：因，由定積分保序性知：，應為√。45.函數(shù)在點處可微是在處連續(xù)的充分條件.()解：在點處可微可得在點處連續(xù)，反之不成立，應為應為√。得分評卷人四、計算題〔每題5分，共40分〕46．求.解：。47.求函數(shù)的導數(shù).解：兩邊取自然對數(shù)得，〔1分〕兩邊對求導得：，〔3分〕即，〔4分〕故?！?分〕48.求不定積分.解：〔1分〕〔3分〕--〔4分〕?！?分〕49.計算定積分.解：因，所以〔2分〕〔4分〕

。〔5分〕50.設，且為可微函數(shù)，求.解：令，有，利用微分的不變性得〔3分〕〔4分〕〔5分〕51．計算，其中為圓環(huán)區(qū)域：.解：積分區(qū)域如圖07-1所示：的邊界、用極坐標表示分別為，；故積分區(qū)域在極坐標系系下為圖07-1，〔2分〕圖07-1故〔3分〕〔4分〕。〔5分〕52．將展開為的冪級數(shù)，并寫出收斂區(qū)間.解：因；〔2分〕。所以；。--〔3分〕故--〔4分〕。--〔5分〕53．求微分方程的通解.解：方程可化為，這是一階線性非齊次微分方程，〔1分〕它對應的齊次方程的通解為，〔2分〕設原方程有通解，代入方程得，即，--〔3分〕所以，〔4分〕故所求方程的通解為?！?分〕得分評卷人五、應用題〔每題7分，共計14分〕54.某工廠欲建造一個無蓋的長方題污水處理池，設計該池容積為V立方米，底面造價每平方米元，側面造價每平方米元,問長、寬、高各為多少米時，才能使污水處理池的造價最低？解：設長方體的長、寬分別為，那么高為，又設造價為，〔1分〕由題意可得；〔3分〕而在定義域內都有意義.令得唯一駐點，〔5分〕由題可知造價一定在內部存在最小值，故就是使造價最小的取值，此時高為。所以，排污無蓋的長方體的長、寬、高分別為、、時，工程造價最低?！?分〕圖07-255.設平面圖形D由曲線,直線及y軸所圍成.求：圖07-2〔1〕平面圖形D的面積;(2)平面圖形D繞y軸旋轉一周所成的旋轉體的體積.解：平面圖形D如圖07-2所示：〔1分〕取為積分變量，且〔1〕平面圖形D的面積為〔3分〕?！?分〕〔2〕平面圖形D繞軸旋轉一周所生成旋轉體的體積為?！?分〕或。得分評卷人六、證明題〔6分〕56.假設在上連續(xù)，那么存在兩個常數(shù)與，對于滿足的任意兩點，證明恒有.證明：因在有意義，從而在上連續(xù)且可導，即在上滿足拉格朗日中值定理的條件，〔2分〕故存在，使得，〔3分〕又因在上連續(xù)，根據(jù)連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上最值定理知，在上既有最大值又有最小值，不妨設分別是最小值和最大值，從而時，有?！?分〕即，故。〔6分〕2024年河南省普通高等學校選拔優(yōu)秀?？粕M入本科階段學習考試高等數(shù)學試卷題號一二三四五總分核分人分數(shù)得分評卷人一.單項選擇題〔每題2分，共計60分〕在每題的四個備選答案中選出一個正確答案，并將其代碼寫在題干后面的括號內.不選、錯選或多項選擇者，該題不得分.1.函數(shù)的定義域為〔〕A.B.C.D.解：.2.〔〕A.1B.0C.D.解：.3.點是函數(shù)的()A.連續(xù)點B.跳躍間斷點C.可去間斷點D.第二類間斷點解:.4.以下極限存在的為〔〕A.B.C.D.解:顯然只有,其他三個都不存在,應選B.5.當時，是比的〔〕A．低階無窮小B．高階無窮小C．等階無窮小D.同階但不等價無窮小解:,.6.設函數(shù)，那么〔〕A．在處連續(xù)，在處不連續(xù)B．在處連續(xù)，在處不連續(xù)C．在，，處均連續(xù)D．在，，處均不連續(xù)解:在處連續(xù);在處不連續(xù);應選A.7.過曲線上的點(0,1)處的法線方程為〔〕A.B.C.D.解:.8.設函數(shù)在處可導，且，那么〔〕A.-1B.1C.-3D.3解：,應選C.9.假設函數(shù)，那么〔〕A.B.C.D.解：,應選B.10.設函數(shù)由參數(shù)方程確定，那么〔〕A.-2B.-1C.D.解：,應選D.11.以下函數(shù)中，在區(qū)間[-1,1]上滿足羅爾中值定理條件的是〔〕A.B.C.D.解：驗證羅爾中值定理的條件,只有滿足,應選C.12.曲線的拐點是〔〕A.B.C.無拐點D.解:,應選B.13.曲線〔〕A.只有水平漸進線B.既有水平漸進線又有垂直漸進線C.只有垂直漸進線D.既無水平漸進線又無垂直漸進線解：.14.如果的一個原函數(shù)是,那么〔〕A.B.C.D.解：,應選D.15.()A.B.C.D.解:,應選A.16.設，那么的取值范圍為()A.B.C.D.解:此題有問題,定積分是一個常數(shù),有,根據(jù)定積分的估值性質,有,但這個常數(shù)也在其它三個區(qū)間,都應該正確,但真題中答案是B.17.以下廣義積分收斂的是〔〕A.B.C.D.解:顯然應選D.18.〔〕A.B.C.D.解：,應選D.19.假設可導函數(shù)，，且滿足，那么〔〕A.B.C.D.解：對兩邊求導有:,即有,還初始條件,代入得,應選A.20.假設函數(shù)滿足，那么〔〕A.B.C.D.解：令,那么,故有,應選C.21.假設那么()ABCD解:,應選C.22.直線與平面的位置關系為A.直線與平面斜交B.直線與平面垂直C.直線在平面內D.直線與平面平行解：,而點(-2,-4,0)不在平面內,為平行,應選D.23.〔〕A.2B.3C.1D.不存在解:,應選A.24.曲面在點〔1，2，5〕處切平面方程〔〕A．B．C．D．解:令,,也可以把點〔1，2，5〕代入方程驗證,應選A.25.設函數(shù)，那么〔〕A.B.C.D.解:,應選B.26.如果區(qū)域D被分成兩個子區(qū)域和且，,那么()A.5B.4C.6D.1解:根據(jù)二重積分的可加性,,應選C.27.如果是擺線從點到點的一段弧，那么()A.B.C.D.解:有此積分與路徑無關,取直線段從變到0,那么,應選C.28.以通解為〔為任意常數(shù)〕的微分方程為()A.B.C.D.解:,應選B.29.微分方程的特解形式應設為〔〕A.B.C.D.解:-1是單特征方程的根,是一次多項式,應設,應選A.30．以下四個級數(shù)中，發(fā)散的級數(shù)是〔〕A.B.C.D.解:級數(shù)的一般項的極限為,是發(fā)散的,應選B.二、填空題〔每題2分，共30分〕31．的____________條件是.解：顯然為充要(充分且必要).32.函數(shù)在區(qū)間單調，其曲線在區(qū)間內的凹凸性為的.解：在內單調增加,在內大于零,應為凹的.33.設方程為常數(shù))所確定的隱函數(shù),那么_____.解：.34..解:.35..解：函數(shù)在區(qū)間是奇函數(shù)，所以.36.在空間直角坐標系中,以為頂點的的面積為__.解：，所以的面積為.37.方程在空間直角坐標下的圖形為__________.解:是橢圓柱面與平面的交線,為兩條平行直線.38.函數(shù)的駐點為.解:.39.假設，那么.解:.40.解:.41.直角坐標系下的二重積分(其中為環(huán)域)化為極坐標形式為___________________________.解：.42.以為通解的二階常系數(shù)線性齊次微分方程為.解:由為通解知,有二重特征根-3,從而,微分方程為.43.等比級數(shù),當_______時級數(shù)收斂,當_______時級數(shù)發(fā)散.解:級數(shù)是等比級數(shù),當時,級數(shù)收斂,當時,級數(shù)發(fā)散.44.函數(shù)展開為的冪級數(shù)為__________________解:.45.的斂散性為________的級數(shù).解:,級數(shù)發(fā)散.三、計算題〔每題5分，共40分〕46．求.解：.47.求.解：.48.,求.解：.49.計算不定積分.解：.50.求函數(shù)的全微分.解：利用微分的不變性,11211251．計算，其中是由所圍成的閉區(qū)域.解：積分區(qū)域如以下列圖:把區(qū)域看作Y型,那么有,故.52．求微分方程滿足初始條件的特解.解:這是一階線性非齊次微分方程,它對應的齊次微分方程的通解為,設是原方程解,代入方程有,即有,所以,故原方程的通解為,把初始條件代入得:,故所求的特解為.53．求級數(shù)的收斂半徑及收斂區(qū)間(考慮區(qū)間端點).解：這是標準的不缺項的冪級數(shù),收斂半徑,而,故收斂半徑.當時,級數(shù)化為,這是調和級數(shù),發(fā)散的;當時,級數(shù)化為,這是交錯級數(shù),滿足萊布尼茲定理的條件,收斂的;所以級數(shù)的收斂域為.得分評卷人四、應用題〔每題7分，共計14分〕54.過曲線上一點作切線，是由曲線，切線及軸所圍成的平面圖形，求〔1〕平面圖形的面積;11〔2〕該平面圖形繞軸旋轉一周所成的旋轉體的體積.11解：平面圖形D如以下列圖：因,所以切線的斜率,切線的方程為,即取為積分變量，且.〔1〕平面圖形D的面積為.〔2〕平面圖形D繞軸旋轉一周所生成旋轉體的體積為.55.一塊鐵皮寬為24厘米,把它的兩邊折上去,做成一正截面為等腰梯形的槽(如以以下列圖),要使梯形的面積最大,求腰長和它對底邊的傾斜角.解:梯形截面的下底長為,上底長為,高為,所以截面面積為,即,令得唯一駐點.根據(jù)題意可知,截面的面積最大值一定存在,且在內取得,又函數(shù)在內只有一個可能的最值點,因此可以斷定時,截面的面積最大.得分評卷人五、證明題〔6分〕56.證明方程在區(qū)間內僅有一個實根.證明：構造函數(shù),即有,顯然函數(shù)在區(qū)間連續(xù),且有,由連續(xù)函數(shù)的零點定理知方程即在區(qū)間有至少有一實數(shù)根.另一方面,在區(qū)間內恒小于零,有方程,即在區(qū)間有至多有一實數(shù)根.綜上所述,方程在區(qū)間內僅有一個實根.150614403060分值總分五四三二一題號第1頁〔共6頁〕高等數(shù)學試卷－2D.C.1A.2x→0B.12x6.設函數(shù)f(x)可導，且imf)?f1?x)=?1，那么f150614403060分值總分五四三二一題號第1頁〔共6頁〕高等數(shù)學試卷－2D.C.1A.2x→0B.12x6.設函數(shù)f(x)可導，且imf)?f1?x)=?1，那么f)=D.無窮間斷點C.跳躍間點B.可去間點A.連續(xù)點x，那么x=0是f(x)的5.設f(x)=ex?1D.C.ln1+x)3B. xsin2xA.2x2?x4.當x→0時，以下無窮小量中與x等的是D.B.不存在C.0A.1?1x1|x?1|的值是3.極限limx?11?xD.f(x)=C.f(x)=n(x+ x2+1)x2B.f(x)=xtanxA.f(x)=2.以下函中為奇函數(shù)的是HYPERLINKhttp://www.exwwwex+?xD.y=|x|,y=x2C.y=x,y=(x)2xB.y= x2,y=xA.y=x,y=x2一、選擇題〔每題2分，共0在每題的四個備選答案中選出一個正確答案，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。1.以下函相等的是本卷須知：答題前，考生務必將自己的姓名、考場號、座位號、考生號涂寫在答題卡上。本試卷的試題答案應答在答題卡上,答在試卷上無效。2024年河南省普通高等學選拔優(yōu)秀?？飘厴I(yè)生進入本科階段學習考試高等數(shù)學高等數(shù)學試卷第2頁〔共6頁〕22B.21?x2)2+C1D. 1?x2)2+CA.?21?x2)2+CC.?11?x2)2+C16.假設高等數(shù)學試卷第2頁〔共6頁〕22B.21?x2)2+C1D. 1?x2)2+CA.?21?x2)2+CC.?11?x2)2+C16.假設∫f(x)dx=x2+C，那么∫xf1?x2)dx=xx2A.B.?D.xlnxC.lnx1115.假設f(x)的一個原函數(shù)是lnx，那么f(x)=B.既有最值又有最小值D.至少存在一點ξ，使得fξ)=0A.必有最大值或最小值C.既有極值又有極小值A.函數(shù)的極值點一定是函數(shù)的駐點 B.函數(shù)的點一定是函數(shù)的極值點C.二階導非零的駐點一定是極值點D.以上說法都不對14.設f(x)在[a,b]上連續(xù)，且不是常數(shù)函數(shù)，假設f(a)=f(b)，那么在(a,b)內13.以下說正確的選項是B.既有水又有垂直漸近線A.僅有水平漸近線無平無直漸線neaoD.僅垂?jié)u線.x12.曲線y=exD.(?∞,+∞)C.(0,+∞)B.(?∞,0)A.(?,2)1.曲線y=x4?4x2+6x的凸區(qū)間為D.無關條件C.充分必條件B.充分條件A.必要條件10.函數(shù)在點處連續(xù)是其在該點處可導的D.C.B.A.e2x?exe2x+exe2x?e?xe2x+e?x9.d[e?xf(x)]=exdx，且f(0)=0，那么f(x)=2D.y=x?1C.y=x+1B.y=1A.x=24?x=ost8.曲線?在t= 對應點處的法線方程為π?y=int42x2D.C.1B.A.? xx11?37.設函數(shù)f(x)具有四階導數(shù)，且f′(x)= x，那么f(4)(x)=高等數(shù)學試卷第3頁〔共6頁〕A.0D.f′(a,b)C.f(a,b)B.2f(a,b)h23.設f(x,y)在點(a,b)處有偏導數(shù)，那么imh→0f(a+h,b)?f(a?h,b)=B.直線在面上D.相交但不垂直A.平行但直線不在平面上C.高等數(shù)學試卷第3頁〔共6頁〕A.0D.f′(a,b)C.f(a,b)B.2f(a,b)h23.設f(x,y)在點(a,b)處有偏導數(shù)，那么imh→0f(a+h,b)?f(a?h,b)=B.直線在面上D.相交但不垂直A.平行但直線不在平面上C.垂直?2 ?7 322.y+4=z與平面4x?2y?2z=3的位置關系是直線x+3=246D.C.B.A.0πππ21.設a=?,,},b=,,}，那么a與b的夾角為rrrC.旋轉拋面 D.圓柱面B.圓錐面A.球面20.程2+2?=0空直坐標中示曲面D.C.xdx?3lnxxdx(lnx)2∫e∫e+∞+∞11xB.A.dxxlnxdx∫e∫e+∞1+∞lnx19.以下廣積分中收斂的是eeD.?∫1lnxdx?1lnxdxC.?∫1lnxdx+1lnxdxe1e1eeB.∫1lnxdx?1lnxdxA.∫1lnxdx+1lnxdxe1e1e18. |lnx|dx=∫1eD.x∫0edx<∫01+x)dxC.∫0ln1+x)dx<∫0xdx222222B.sinxdx<∫0xdx∫02A.∫1lnxdx>∫1(lnx)dx22ππ17.以下不式中不成立的是高等數(shù)學試卷第4頁〔共6頁〕D.無法確定C.發(fā)散B.絕對收斂A.條件收斂n130.級數(shù) a(x?)n在x=1處收斂，那么此級數(shù)在x=2處∑n∞2 32 3D.?x+ ? +L，?1≤x<1C.?x? ? ?L，?1≤x<1x3x2x3x22 32 3B.x? + ?L，?1<高等數(shù)學試卷第4頁〔共6頁〕D.無法確定C.發(fā)散B.絕對收斂A.條件收斂n130.級數(shù) a(x?)n在x=1處收斂，那么此級數(shù)在x=2處∑n∞2 32 3D.?x+ ? +L，?1≤x<1C.?x? ? ?L，?1≤x<1x3x2x3x22 32 3B.x? + ?L，?1<x≤1A.x+ + +L，?1<x≤1x3x2x3x229.函數(shù)f(x)=ln1?x)的冪級數(shù)展開式為n1n1n1unn110nC.A.D. (u?10)+10)∑ n∑10∑un∞∞∞B.∑(u∞n128.假設級數(shù)∑un收斂，那么以下級數(shù)中收斂的是∞dxyD.+2y=eC. dx+e dy=0x+x2y2dyxxdx xA.= +tanB.(x2+y2)dx?2xydy=0ydy yD.20C.8B.0A.?827.列程，可離量方程.ABCA，那么∫L3x?y)dx+(x?2y)dy=26.設L是以(?,0),B(?,2),C,0)為頂點的三角形區(qū)域的邊界，方向為00D.∫2dθ∫f(rcosθ,rsinθ)rdraπ00f(rcosθ,rsinθ)rdrC.∫2dθ∫asinθπB.∫0dθ∫0 f(rcosθ,rsinθ)rdrcosθ2πA.∫0dθ∫0f(rcosθ,rsinθ)rdra2πf(x,y)dx化為極坐標形式為25.∫0dy∫0aa2?y2(x?y)2(x?y)2D.C.(x?y)2(xdy?ydx)(x?y)2(ydx?xdy)B.A.(ydy?xdx)(xdx?ydy)x?y的全微分dz=24.函數(shù)z=x+y高等數(shù)學試卷第5頁〔共6頁〕n1nn345.級數(shù)∑un的局部和S=n，那么當n≥2時，u=_ .∞4解為 .44.y=?1xe?x是微分方程y′?2高等數(shù)學試卷第5頁〔共6頁〕n1nn345.級數(shù)∑un的局部和S=n，那么當n≥2時，u=_ .∞4解為 .44.y=?1xe?x是微分方程y′?2y′?3y=e?x的一個特解那么該方程的通43.交換積次序后，∫0dx∫x f(x,y)dy=_ .x1D42.設區(qū)域D為x2+y2≤9，那么∫∫x2ydσ=_ .41.函數(shù)f(x,y)=2x2+xy?2y2的駐點為 .x240.設z=ex+y，那么 = .22?2zr39.設向量b與r=,,}共線，且a?b=6，那么b=_ _.rrr2n38.知f(0)=,f(2)=,(2)=4那么0xf(x)x=..37.函數(shù)f(x)=x? x的單調減少區(qū)間是 .的ξ= .36.函數(shù)f(x)=x2?x?2在區(qū)間[0,2]上使用拉格朗日中值定理時，結論中1+x在〔2,2〕點處的切線方程為 .35.曲線y=3xx=0?x?a,x≠0在?,+∞)內處處連續(xù)，那么a= .,34.設函數(shù)f(x)=??sinxx?a??=8，那么a=_ _.33.假設lim?x→∞?2?x+a?xx→0xsinx=_ .32.當x→0時，f(x)與1?cosx等價，那么limf(x)1?x，那么f[f(x)]= .31.f(x)=x二、填空題〔每題2分，共0PAGE第71頁共72頁高等數(shù)學試卷第6頁〔共6頁〕f(x)>0，證明在開區(qū)間(a,b)內，方程F(x)=0有唯一實根.56.設F(x)高等數(shù)學試卷第6頁〔共6頁〕f(x)>0，證明在開區(qū)間(a,b)內，方程F(x)=0有唯一實根.56.設F(x)=∫aft)dt+∫bft)dt其中函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)且xx1五、證明題〔6分〕求D繞y軸旋轉形成的旋轉體的體積.6?x,x>2，f(x)=??x2, x≤255.設D由曲線y=f(x)與直線y=0，y=3圍成的區(qū)域，其中件，增加三墻長多時其長小.54.靠一堵分長的墻邊增加三面墻圍成一矩形場地在限定場地面積為42的四、應用題〔每題7分，共4n12n53.求冪級數(shù)∑ x2n的收斂區(qū)間〔考慮區(qū)間的端點〕.n∞52.求微分程y′?2xy=xe?x的通解.251.求∫∫(2x+y)dσ，其中區(qū)域D由直線y=x,y=2x,y=2圍成.D50.，求全微分dz.z=ex+xy?y2249.求∫?4x(x?)dx.4f(x)dx.48.∫xf(x)dx=e?2x+C，求∫1dx47.設y=f(x)是由方程exy+ylnx=sin2x確定的隱函數(shù)，求dy.x→0?xex?1??.46.求lim? ??1?1三、計算題〔每題5分，共02024年河南省普通高等學選拔優(yōu)秀專科畢業(yè)生進入本科階段學習考試?高等數(shù)學?試卷一.單項選擇題〔每題2分，共計50分〕1.集合的所有子集共有〔〕A.5B.6C.7解：子集個數(shù)。2.函數(shù)的定義域為〔〕A.B.C.D.解：。3.當時，與不等價的無窮小量是()A.B.C.D.解：根據(jù)常用等價關系知，只有與比較不是等價的。應選A。4.當是函數(shù)的〔〕A.連續(xù)點B.可去間斷點C.跳躍間斷點D.第二類間斷點解：；。5.設在處可導，且，那么的值為〔〕A.-1B.-2C.-3解：。6.假設函數(shù)在區(qū)間內有，那么在區(qū)間內，圖形〔〕A．單調遞減且為凸的B．單調遞增且為凸的C．單調遞減且為凹的D．單調遞增且為凹的解：單調增加；凸的。應選B。7.曲線的拐點是〔〕A.B.C.D.解：，應選A。8.曲線的水平漸近線是〔〕A.B.C.D.解：。9.〔〕A.0B.C.2D.1解：。10.假設函數(shù)是的原函數(shù)，那么以下等式正確的選項是〔〕A.B.C.D.解：根據(jù)不定積分與原函數(shù)的關系知，。應選B。11.〔〕A.B.C.D.解：。12.設，那么〔〕A.-3B.-1C.1D.3解：。13.以下廣義積分收斂的是〔〕A.B.C.D.解：由積分和積分的收斂性知，收斂，應選C。14.對不定積分，以下計算結果錯誤是〔〕A.B.C.D.解：分析結果，就能知道選擇C。15.函數(shù)在區(qū)間的平均值為〔〕A.B.C.8D.4解：。16.過軸及點的平面方程為〔〕A.B.C.D.解：經(jīng)過軸的平面可設為，把點代入得應選C。也可以把點代入所給的方程驗證，且不含。17.雙曲線繞軸旋轉所成的曲面方程為〔〕A.B.C.D.解：把中換成得，應選A。18.〔〕A.B.C.0D.極限不存在解：。19.假設，那么〔〕A.B.1C.解：。20.方程所確定的隱函數(shù)為，那么〔〕A.B.C.D.解：令，應選A。21.設為拋物線上從到的一段弧，那么〔〕A.-1B.0C.解：：從0變到1，。22.以下正項級數(shù)收斂的是〔〕A.B.C.D.解：對級數(shù)、需要利用積分判別法，超出大綱范圍。級數(shù)有結論：當時收斂，當時發(fā)散。級數(shù)、與級數(shù)利用比較判別法的極限形式來確定發(fā)散的，應選C。23.冪級數(shù)的收斂區(qū)間為〔〕A.B.C.D.解：令，級數(shù)化為收斂區(qū)間為，即。24.微分特解形式應設為〔〕A.B.C.D.解：不是特征方程的特征根，特解應設為。應選B。25.設函數(shù)是微分方程的解，且，那么在處〔〕A.取極小值B.取極大值C.不取極值D.取最大值解：有。得分評卷人二、填空題〔每題2分，共30分〕26.設，那么_________.解：。27.____________.解：構造級數(shù)，利用比值判別法知它是收斂的，根據(jù)收斂級數(shù)的必要條件。28.假設函數(shù)在處連續(xù)，那么____________.解：。29.曲線上點處的切線平行于直線，那么點的坐標為________解：。30.設，那么_________解：。31.設，那么__________解：。32.假設函數(shù)在處取得極值2，那么______，_____解：；。33._________解：。34．_________解：。35.向量的模________解：。36.平面：與平面：垂直，那么______解：。37.設，那么________解：。38.，交換積分次序后，那么_______解：，所以次序交換后為。39.假設級數(shù)收斂，那么級數(shù)的和為_______解：，而，所以。40.微分方程的通解為________解：有二重特征根1，故通解為〔為任意常數(shù)〕。得分評卷人三、判斷題〔每題2分，共10分〕你認為正確的在題后括號內劃“√〞，反之劃“×〞.41.假設數(shù)列單調，那么必收斂.()解：如數(shù)列單調，但發(fā)散，應為×。42.假設函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，在內可導，且，那么一定不存在，使.()解：如在滿足上述條件，但存在，使得，應為×。43..()解：第二步不滿足或，是錯誤的，事實上。應為×。44..()解：因，由定積分保序性知：，應為√。45.函數(shù)在點處可微是在處連續(xù)的充分條件.()解：在點處可微可得在點處連續(xù)，反之不成立，應為應為√。得分評卷人四、計算題〔每題5分，共40分〕46．求.解：。47.求函數(shù)的導數(shù).解：兩邊取自然對數(shù)得，〔1分〕兩邊對求導得：，〔3分〕即，〔4分〕故?！?分〕48.求不定積分.解：〔1分〕〔3分〕--〔4分〕?！?分〕49.計算定積分.解：因，所以〔2分〕〔4分〕

?！?分〕50.設，且為可微函數(shù)，求.解：令，有，利用微分的不變性得〔3分〕〔4分〕〔5分〕51．計算，其中為圓環(huán)區(qū)域：.解：積分區(qū)域如圖07-1所示：的邊界、用極坐標表示分別為，；故積分區(qū)域在極坐標系系下為圖07-1，〔2分〕圖07-1故〔3分〕〔4分〕?！?分〕52．將展開為的冪級數(shù)，并寫出收斂區(qū)間.解：因；〔2分〕。所以；。--〔3分〕故--〔4分〕。--〔5分〕53．求微分方程的通解.解：方程可化為，這是一階線性非齊次微分方程，〔1分〕它對應的齊次方程的通解為，〔2分〕設原方程有通解，代入方程得，即，--〔3分〕所以，〔4分〕故所求方程的通解為?！?分〕得分評卷人五、應用題〔每題7分，共計14分〕54.某工廠欲建造一個無蓋的長方題污水處理池，設計該池容積為V立方米，底面造價每平方米元，側面造價每平方米元,問長、寬、高各為多少米時，才能使污水處理池的造價最低？解：設長方體的長、寬分別為，那么高為，又設造價為，〔1分〕由題意可得；〔3分〕而在定義域內都有意義.令得唯一駐點，〔5分〕由題可知造價一定在內部存在最小值，故就是使造價最小的取值，此時高為。所以，排污無蓋的長方體的長、寬、高分別為、、時，工程造價最低?！?分〕圖07-255.設平面圖形D由曲線,直線及y軸所圍成.求：圖07-2〔1〕平面圖形D的面積;(2)平面圖形D繞y軸旋轉一周所成的旋轉體的體積.解：平面圖形D如圖07-2所示：〔1分〕取為積分變量，且〔1〕平面圖形D的面積為〔3分〕?！?分〕〔2〕平面圖形D繞軸旋轉一周所生成旋轉體的體積為?！?分〕或。得分評卷人六、證明題〔6分〕56.假設在上連續(xù)，那么存在兩個常數(shù)與，對于滿足的任意兩點，證明恒有.證明：因在有意義，從而在上連續(xù)且可導，即在上滿足拉格朗日中值定理的條件，〔2分〕故存在，使得，〔3分〕又因在上連續(xù)，根據(jù)連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上最值定理知，在上既有最大值又有最小值，不妨設分別是最小值和最大值，從而時，有?！?分〕即，故。〔6分〕河南省普通高等學校選拔優(yōu)秀?？粕M入本科階段學習考試高等數(shù)學試卷題號一二三四五總分核分人分數(shù)得分評卷人一.單項選擇題〔每題2分，共計60分〕在每題的四個備選答案中選出一個正確答案，并將其代碼寫在題干后面的括號內.不選、錯選或多項選擇者，該題不得分.1.函數(shù)的定義域為〔〕A.B.C.D.解：.2.〔〕A.1B.0C.D.解：.3.點是函數(shù)的()A.連續(xù)點B.跳躍間斷點C.可去間斷點D.第二類間斷點解:.4.以下極限存在的為〔〕A.B.C.D.解:顯然只有,其他三個都不存在,應選B.5.當時，是比的〔〕A．低階無窮小B．高階無窮小C．等階無窮小D.同階但不等價無窮小解:,.6.設函數(shù)，那么〔〕A．在處連續(xù)，在處不連續(xù)B．在處連續(xù)，在處不連續(xù)C．在，，處均連續(xù)D．在，，處均不連續(xù)解:在處連續(xù);在處不連續(xù);應選A.7.過曲線上的點(0,1)處的法線方程為〔〕A.B.C.D.解:.8.設函數(shù)在處可導，且，那么〔〕A.-1B.1C.解：,應選C.9.假設函數(shù)，那么〔〕A.B.C.D.解：,應選B.10.設函數(shù)由參數(shù)方程確定，那么〔〕A.-2B.-1C.D.解：,應選D.11.以下函數(shù)中，在區(qū)間[-1,1]上滿足羅爾中值定理條件的是〔〕A.B.C.D.解：驗證羅爾中值定理的條件,只有滿足,應選C.12.曲線的拐點是〔〕A.B.C.無拐點D.解:,應選B.13.曲線〔〕A.只有水平漸進線B.既有水平漸進線又有垂直漸進線C.只有垂直漸進線D.既無水平漸進線又無垂直漸進線解：.14.如果的一個原函數(shù)是,那么〔〕A.B.C.D.解：,應選D.15.()A.B.C.D.解:,應選A.16.設，那么的取值范圍為()A.B.C.D.解:此題有問題,定積分是一個常數(shù),有,根據(jù)定積分的估值性質,有,但這個常數(shù)也在其它三個區(qū)間,都應該正確,但真題中答案是B.17.以下廣義積分收斂的是〔〕A.B.C.D.解:顯然應選D.18.〔〕A.B.C.D.解：,應選D.19.假設可導函數(shù)，，且滿足，那么〔〕A.B.C.D.解：對兩邊求導有:,即有,還初始條件,代入得,應選A.20.假設函數(shù)滿足，那么〔〕A.B.C.D.解：令,那么,故有,應選C.21.假設那么()ABCD解:,應選C.22.直線與平面的位置關系為A.直線與平面斜交B.直線與平面垂直C.直線在平面內