數(shù)學北師大版必修3學案1-8最小二乘估計

§8最小二乘估計知識點最小二乘法及回歸直線方程[填一填]1．最小二乘法設(shè)x、y的一組觀察值為(xi，yi)，i＝1,2，…，n，且回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝a＋bx，當x取值xi(i＝1,2，…，n)時，eq\o(y,\s\up6(^))的觀察值為yi，差yi－eq\o(y,\s\up6(^))i(i＝1,2，…，n)刻畫了實際觀察值yi與回歸直線上相應點縱坐標之間的偏離程度，通常是用離差的平方和，即Q＝eq\a\vs4\al(\i\su(i＝1,n,)yi－a－bxi2)作為總離差，并使之達到最?。@樣，回歸直線就是所有直線中Q取最小值的那一條，由于平方又叫二乘方，所以這種使“離差平方和為最小”的方法，叫作最小二乘法．2．回歸直線方程的系數(shù)計算公式[答一答]利用最小二乘法的思想求得線性回歸方程的步驟是什么？提示：第一步：先求eq\x\to(x)，eq\x\to(y)，eq\a\vs4\al(\x\to(x))2，eq\x\to(x)eq\x\to(y).第二步：求eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)，第三步：求eq\i\su(i＝1,n,x)iyi.第四步：代入公式求b＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\a\vs4\al(\x\to(x))2).第五步：代入公式a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x).代入直線方程得：y＝bx＋a.對回歸直線方程的幾點說明(1)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)的中心點(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))在回歸直線上．(2)由回歸直線方程知x處的估計值為y＝a＋bx.(3)回歸直線使得樣本數(shù)據(jù)中的點到它的距離的平方和最小．(4)求回歸直線方程，計算量大，一般應學會使用計算器求解．(5)利用回歸直線方程可以對總體進行估計．類型一最小二乘法與回歸直線方程的理解【例1】下列有關(guān)線性回歸方程的系數(shù)a，b的公式正確的是()【思路探究】符號eq\i\su(i＝1,n,a)i表示n個實數(shù)a1，a2，…，an的和．【解析】由線性回歸方程的概念我們知道，線性回歸方程的系數(shù)公式b＝eq\f(x1y1＋x2y2＋…＋xnyn－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),x\o\al(2,1)＋x\o\al(2,2)＋…＋x\o\al(2,n)－n\x\to(x)2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)，易知A正確．【答案】A回歸直線方程的系數(shù)a，b，用最小二乘法估計a，b使函數(shù)Q(a，b)最小，Q(a，b)＝(A)A.eq\i\su(i＝1,n,)(yi－a－bxi)2 B.eq\i\su(i＝1,n,|)yi－a－bxi|C．(yi－a－bxi)2 D．|yi－a－bxi|解析：由最小二乘法的定義知通過求Q＝(y1－bx1－a)2＋(y2－bx2－a)2＋…＋(yn－bxn－a)2的最小值而得到回歸直線的方法，叫作最小二乘法，故Q(a，b)＝eq\i\su(i＝1,n,)(yi－bxi－a)2，故選A.類型二求回歸直線方程【例2】某市近5年的煤氣消耗量與使用煤氣戶數(shù)如下表：年份20142015201620172018x/萬戶11.11.51.61.8y/百萬立方米6791112(1)檢驗是否線性相關(guān)；(2)求y對x的回歸直線方程．【思路探究】eq\x(根據(jù)表中的數(shù)據(jù))→eq\x(作出散點圖)→eq\x(判斷是否線性相關(guān))→eq\x(\a\al(若是，則根據(jù)公,式求得a，b))→eq\x(得回歸直線方程)【解】(1)作出散點圖，觀察呈線性相關(guān)，如圖所示．(1)eq\x\to(x)＝eq\f(1＋1.1＋1.5＋1.6＋1.8,5)＝eq\f(7,5)，eq\x\to(y)＝eq\f(6＋7＋9＋11＋12,5)＝9，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝12＋1.12＋1.52＋1.62＋1.82＝10.26，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝1×6＋1.1×7＋1.5×9＋1.6×11＋1.8×12＝66.4.∴b＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\a\vs4\al(\x\to(x))2)＝eq\f(66.4－5×\f(7,5)×9,10.26－5×\f(49,25))＝eq\f(170,23)，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝9－eq\f(170,23)×eq\f(7,5)＝－eq\f(31,23)，∴y對x的回歸直線方程為y＝eq\f(170,23)x－eq\f(31,23).規(guī)律方法求回歸直線方程的步驟：(1)先把數(shù)據(jù)制成表，從表中計算出eq\i\su(i＝1,n,x)i，eq\i\su(i＝1,n,y)i，eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)，eq\i\su(i＝1,n,x)iyi；(2)計算回歸系數(shù)a，b.公式為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，,a＝\x\to(y)－b\x\to(x)；))(3)寫出回歸直線方程y＝bx＋a.某研究機構(gòu)對高三學生的記憶力x和判斷力y進行統(tǒng)計分析，得下表數(shù)據(jù)：x681012y2356已知記憶力x和判斷力y是線性相關(guān)的，求線性回歸方程．解：eq\x\to(x)＝eq\f(6＋8＋10＋12,4)＝9，eq\x\to(y)＝eq\f(2＋3＋5＋6,4)＝4，eq\i\su(i＝1,4,x)eq\o\al(2,i)＝62＋82＋102＋122＝344，eq\i\su(i＝1,4,x)iyi＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，b＝eq\f(158－4×9×4,344－4×92)＝eq\f(14,20)＝0.7，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝4－0.7×9＝－2.3.則所求的線性回歸方程為y＝0.7x－2.3.類型三回歸直線方程的應用【例3】假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x(年)和所支出的維修費用y(萬元)有如下的統(tǒng)計資料：使用年限x23456維修費用y2.23.85.56.57.0若由資料知y對x呈線性相關(guān)關(guān)系．試求：(1)回歸直線方程y＝bx＋a；(2)估計使用年限為10年時，維修費用是多少？【思路探究】先求回歸直線方程，若回歸直線方程為y＝bx＋a，則在x＝x0處的估計值為y0＝bx0＋a.【解】(1)制表如下：于是有b＝eq\f(112.3－5×4×5,90－5×42)＝eq\f(12.3,10)＝1.23.a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝5－1.23×4＝0.08.故回歸直線方程是y＝1.23x＋0.08.(2)根據(jù)回歸直線方程是y＝1.23x＋0.08，當x＝10年時，y＝1.23×10＋0.08＝12.38(萬元)，即估計使用10年時，維修費用是12.38萬元．規(guī)律方法(1)知道x與y呈線性相關(guān)關(guān)系，無需進行相關(guān)性檢驗．否則，應首先進行相關(guān)性檢驗．如果本身兩個變量不具備相關(guān)關(guān)系，或者說，它們之間相關(guān)關(guān)系不顯著即使求出回歸直線方程也是毫無意義的，而且用其估計和預測的量也是不可信的．(2)在求方程時，由于一步代入很煩瑣，所以要分步求解，即分別求得eq\x\to(x)，eq\x\to(y)，eq\x\to(x)·eq\x\to(y)，eq\a\vs4\al(\x\to(x))2，eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)，eq\i\su(i＝1,n,x)iyi，再代入公式求a，b.某種產(chǎn)品的廣告費支出x(單位：百萬元)與銷售額y(單位：百萬元)之間有如下對應數(shù)據(jù)：x24568y3040605070(1)畫出散點圖；(2)求線性回歸方程；(3)預測當廣告費支出為7百萬元時的銷售額．解：(1)(2)從散點圖可以發(fā)現(xiàn)，y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，利用計算器求得：eq\x\to(x)＝5，eq\x\to(y)＝50，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝145，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝1380，設(shè)回歸方程為y＝bx＋a，則b＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\x\to(x)2)＝eq\f(1380－5×5×50,145－5×52)＝6.5，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝50－6.5×5＝17.5，故所求線性回歸方程為y＝6.5x＋17.5.(3)當x＝7時，y＝6.5×7＋17.5＝63.所以，當廣告費支出為7百萬元時，銷售額約為6300萬元．——規(guī)范解答——數(shù)形結(jié)合在線性相關(guān)性中的應用【例4】(12分)下表數(shù)據(jù)是退水溫度x(℃)對黃硐延長性y(%)效應的試驗結(jié)果，y是以延長度計算的，且對于給定的x，y為正態(tài)變量，其方差與x無關(guān).x(℃)300400500600700800y(%)405055606770(1)畫出散點圖；(2)指出x，y是否線性相關(guān)；(3)若線性相關(guān)，求y關(guān)于x的線性回歸方程；(4)估計退水溫度是1000℃【思路點撥】根據(jù)所給數(shù)據(jù)畫出散點圖，然后可借助函數(shù)的思想分析．【滿分樣板】(1)散點圖如圖所示：4分(2)由散點圖可以看出樣本點分布在一條直線的附近，可見y與x線性相關(guān).5分(3)列出下表，并用科學計算器進行有關(guān)計算.于是可得：【思維啟迪】(1)在研究兩個變量是否存在某種關(guān)系時，必須從散點圖入手，對于散點圖，可以做出如下判斷：①如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)曲線上，那么就用該函數(shù)來描述變量之間的關(guān)系，即變量之間具有函數(shù)關(guān)系；②如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)曲線附近，那么變量之間具有相關(guān)關(guān)系；③如果所有的樣本點都落在某一直線附近，那么變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系．(2)利用散點圖判斷兩個變量之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的作用，而用回歸直線方程進行估計又體現(xiàn)了函數(shù)與方程思想的應用．下表是某機構(gòu)記載的某市5月1號到5月12號每天某傳染病治愈者的數(shù)據(jù)，并根據(jù)這些數(shù)據(jù)繪制了散點圖，如圖.下列說法正確的是①③(填序號)．①根據(jù)此散點圖，可以判斷人數(shù)與日期具有線性相關(guān)關(guān)系；②根據(jù)此散點圖，可以判斷人數(shù)與日期具有一次函數(shù)關(guān)系；③后三天治愈者人數(shù)占這12天治愈者總?cè)藬?shù)的30%多；④后三天中每天治愈者人數(shù)均超過這12天內(nèi)治愈者總?cè)藬?shù)的20%.解析：由散點圖可以明顯看出日期與人數(shù)具有線性相關(guān)關(guān)系，故①正確，②不正確．這12天治愈者總?cè)藬?shù)為100＋109＋…＋203＝1722，而后三天治愈者人數(shù)為175＋186＋203＝564，后三天治愈者人數(shù)占這12天治愈者總?cè)藬?shù)的30%還多，故③正確，④不正確．一、選擇題1．下列敘述中：①變量間關(guān)系有函數(shù)關(guān)系，又有相關(guān)關(guān)系；②回歸函數(shù)即用函數(shù)關(guān)系近似地描述相關(guān)關(guān)系；③eq\i\su(i＝1,n,x)i＝x1＋x2＋…＋xn；④線性回歸方程y＝bx＋a中，b＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)；⑤線性回歸方程一定可以表示相關(guān)關(guān)系．其中正確的有(C)A．①②③ B．①②④⑤C．①②③④ D．③④⑤解析：線性回歸方程只能近似地表示線性相關(guān)關(guān)系．2．線性回歸方程y＝bx＋a必過(D)A．(0,0)點 B．(eq\x\to(x)，0)點C．(0，eq\x\to(y))點 D．(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))點解析：回歸直線系數(shù)a、b有公式a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)，所以eq\x\to(y)＝a＋beq\x\to(x)，故直線必過定點(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))．3．實驗測得四組(x，y)的值為(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，則y與x之間的回歸直線方程為(A)A．y＝x＋1 B．y＝x＋2C．y＝2x＋1 D．y＝x－1解析：本題中x與y完全線性相關(guān)．二、填空題4．用身高x(cm)預測體重y(kg)滿足y＝0.849x－85.712，若要找到41.638kg的人，不一定是在150cm中．(填“一定”或“不一定”)解析：因為統(tǒng)計的方法是可能犯錯誤的．利用線性回歸方程預測變量的值不是精確值．但一般認為實際測量值應在預測值左右．5．某地區(qū)近10年居民的年收入x與支出y之間的關(guān)系大致符合y＝0.8x＋0.1(單位：億元)，預計今年該地區(qū)居民收入為15億元，則年支出的估計是12.1億元．解析：因為居民年收