數學北師大版必修2學案1-7-2第2課時棱臺與圓臺的體積

第2課時棱臺與圓臺的體積知識點棱臺和圓臺的體積[填一填]臺體(棱臺和圓臺)的體積公式：V臺體＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上·S下))h，其中S上、S下分別為臺體上、下底面面積，h為臺體的高．特別地，圓臺的體積公式可以表示為V圓臺＝eq\f(1,3)πh(r2＋rr′＋r′2)，其中r、r′分別為圓臺的上、下底面的半徑，h為圓臺的高．[答一答]根據柱體、錐體、臺體之間的關系，你能發(fā)現(xiàn)三者的體積公式之間的關系嗎？提示：柱體和錐體可以看作“特殊”的臺體，它們之間的關系如下：(1)柱體、錐體、臺體之間的關系：(2)體積公式之間的關系：1．計算柱體、錐體和臺體的體積時，關鍵是根據條件找出相應的底面積和高，要充分運用軸截面，將空間問題轉化為平面問題．2．對于圓臺問題，注意“補臺為錐”的思想方法．3．割補法求體積當一個幾何體的形狀不規(guī)則時，無法直接運用體積公式求解，這時一般通過分割與補形，將原幾何體分割或補形成較易計算體積的幾何體，從而求出原幾何體的體積，這種方法就稱為割補法．此時應注意分割過程中的等積特點，切不可出現(xiàn)重復和遺漏.類型一棱臺的體積【例1】已知正四棱臺兩底面邊長分別為20cm和10cm，側面積是780cm2.求正四棱臺的體積．【思路探究】可以嘗試借助四棱臺內的直角梯形．求出棱臺底面積和高，從而求出體積．【解】如圖所示，正四棱臺ABCD－A1B1C1D1中，A1B1＝10cm，AB＝20cm.取A1B1的中點E1，AB的中點E，則E1E是側面ABB1A1的高．設O1、O分別是上、下底面的中心，則四邊形EOO1E由S側＝4×eq\f(1,2)(10＋20)·E1E＝780，得EE1＝13，在直角梯形EOO1E1中，O1E1＝eq\f(1,2)A1B1＝5，OE＝eq\f(1,2)AB＝10，∴O1O＝eq\r(E1E2－OE－O1E12)＝12，V正四棱臺＝eq\f(1,3)×12×(102＋202＋10×20)＝2800(cm3)．故正四棱臺的體積為2800cm3.規(guī)律方法求臺體的體積關鍵是求出上、下底面的面積和臺體的高．要注意充分運用棱臺內的直角梯形或圓臺的軸截面尋求相關量之間的關系．本例若改為“正四棱臺的上、下兩底的底面邊長分別為2cm和4cm，側棱長為2cm”，求該棱臺的體積．解：如圖，正四棱臺ABCD－A1B1C1D1中，上、下底面邊長分別為2cm和4cm則O1B1＝eq\r(2)cm，OB＝2eq\r(2)cm，過點B1作B1M⊥OB于點M，那么B1M為正四棱臺的高，在Rt△BMB1中，BB1＝2cm，MB＝(2eq\r(2)－eq\r(2))＝eq\r(2)(cm)．根據勾股定理MB1＝eq\r(BB\o\al(2,1)－MB2)＝eq\r(22－\r(2)2)＝eq\r(2)(cm)．S上＝22＝4(cm2)，S下＝42＝16(cm2)，∴V正四棱臺＝eq\f(1,3)×eq\r(2)×(4＋eq\r(4×16)＋16)＝eq\f(1,3)×eq\r(2)×28＝eq\f(28,3)eq\r(2)(cm3)．類型二圓臺的體積【例2】設圓臺的高為3，如右圖，在軸截面中，母線AA1與底面圓直徑AB的夾角為60°，軸截面中的一條對角線垂直于腰，求圓臺的體積．【思路探究】在求解公式中的未知量時，應注意運用平面幾何的有關知識．【解】設上、下底面半徑分別為r，R，過點A1作A1D⊥AB于點D，則A1D＝3，∠BA1A＝90°.∵∠A1AB∴∠BA1D＝60°，∴AD＝eq\f(A1D,tan60°)＝eq\r(3)，即R－r＝eq\r(3).又∵BD＝A1D·tan60°＝3eq\r(3)，∴R＋r＝3eq\r(3)，∴R＝2eq\r(3)，r＝eq\r(3).又∵h＝3，∴圓臺的體積V圓臺＝eq\f(1,3)πh(R2＋Rr＋r2)＝eq\f(1,3)π×3×[(2eq\r(3))2＋2eq\r(3)×eq\r(3)＋(eq\r(3))2]＝21π.規(guī)律方法圓臺的軸截面是等腰梯形，將題中的已知量轉移到軸截面中，即可求出圓臺的上、下底面半徑，進一步求出圓臺的體積．已知圓臺的上下底面半徑分別是2,4，且側面面積等于兩底面面積之和，求該圓臺的母線長和體積．解：設圓臺的母線長為l，則圓臺的上底面面積為S上＝π·22＝4π，圓臺的下底面面積為S下＝π·42＝16π，所以圓臺的底面面積為S＝S上＋S下＝20π，又圓臺的側面積S側＝π(2＋4)l＝6πl(wèi)，于是6πl(wèi)＝20π，解得l＝eq\f(10,3)，∴圓臺高h＝eq\r(l2－R－r2)＝eq\r(\f(100,9)－4)＝eq\f(8,3)，∴圓臺體積V＝eq\f(1,3)π·h·(R2＋r2＋Rr)＝eq\f(1,3)π×eq\f(8,3)×(16＋4＋8)＝eq\f(224π,9).類型三實際應用問題【例3】降雨量是指水平地面上單位面積降落雨水的深度，今用上口直徑為32cm，底面直徑為24cm，深為35cm的水桶接收雨水，如果積水達到桶深的eq\f(1,4)處，則降雨量是多少毫米？(降雨量＝eq\f(積水體積,進水口面積))【解】如圖所示，等腰梯形ABCD為水桶的軸截面，EF為桶中雨水的水面，過C作CH⊥AD于H，交EF于G，則由題設可知AD＝32，BC＝24，CH＝35，CG＝eq\f(35,4)，所以HD＝eq\f(AD－BC,2)＝4.由Rt△CGF∽Rt△CHD，得CGGF＝CHHD，所以GF＝1.EF＝BC＋2GF＝26，所以桶中的雨水的水面直徑為26.故桶中雨水的體積為V＝eq\f(1,3)π×eq\f(35,4)×(122＋132＋12×13)≈1367.92π.因此，降雨量為eq\f(1367.92π,π×162)≈5.34(cm)≈53(mm)．規(guī)律方法水桶的進水口為上口，雨水的體積即為水桶內雨水所形成的圓臺的體積，用圓臺體積公式V＝eq\f(1,3)πh(r2＋r′2＋rr′)即可求得．如圖所示，一個三棱柱形容器中盛水，且側棱AA1＝8，若側面AA1B1B水平放置時，液面恰好過AC、BC、A1C1、B1C1的中點，當底面解：當側面AA1B1B水平放置時，水的形狀為四棱柱形，底面ABFE為梯形，設△ABC的面積為S，則S梯形ABFE＝eq\f(3,4)S，V水＝eq\f(3,4)S·AA1＝6S.當底面ABC水平放置時，水形狀為三棱柱形，設水面高為h，則有V水＝Sh.∴6S＝Sh，∴h＝6.∴當底面ABC水平放置時，液面高為6.——分割法與補形法——求不規(guī)則幾何體體積方法探究當一個幾何體形狀不規(guī)則時，常常將幾何體通過分割或者補形變成一個或幾個規(guī)則的、體積易求的幾何體，然后再計算．當一個幾何體的體積很難計算時，經常考慮將三棱錐還原為三棱柱或長方體，將三棱柱還原成平行六面體，將臺體還原成錐體等．【例4】如圖所示，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，且△ADE、△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF＝2，求該多面體的體積．【思路分析】該多面體不是規(guī)則幾何體，不易直接求體積，應將其分割轉化為規(guī)則幾何體求體積．【精解詳析】分別過A、B作EF的垂線，垂足分別為G、H，連接DG、CH，則原幾何體分割為兩個三棱錐和一個直三棱柱，錐高eq\f(1,2)，柱高1，AG＝eq\r(12－\f(1,2)2)＝eq\f(\r(3),2)，取AD中點M，連接MG，則MG＝eq\f(\r(2),2)，S△AGD＝eq\f(1,2)×1×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),4)，∴V＝eq\f(\r(2),4)×1＋2×eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),4)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(2),3).【解后反思】將不規(guī)則的幾何體分割為若干個規(guī)則的幾何體，然后求出這些規(guī)則幾何體的體積，這是求幾何體體積的一種常用思想方法．如圖，長方體ABCD－A′B′C′D′中，用截面A′DC、截面A′D′C、截面CDD′，截下一個棱錐C－A′DD′，求棱錐C－A′DD′的體積與剩余部分的體積之比．解：已知長方體視作以矩形ADD′A′為底面的直四棱柱，底面積S，高為h，則體積V＝Sh.∴棱錐的底面積eq\f(1,2)S，高為h，體積V1＝eq\f(1,3)(eq\f(1,2)S)·h＝eq\f(1,6)Sh，余下部分體積V2＝V－V1＝eq\f(5,6)Sh，∴eq\f(V1,V2)＝eq\f(1,5).∴棱錐C－A′DD′的體積與剩余部分的體積之比為15.一、選擇題1．圓臺的上、下底面半徑分別是2,4，高為3，則該圓臺的體積是(A)A．28π B．6＋2eq\r(2)C．20π D．6π解析：由圓臺的體積公式可得V圓臺＝eq\f(1,3)π×3×(22＋42＋2×4)＝28π.2．正六棱臺的兩底面的邊長分別為a和2a，高為aA.eq\f(21\r(3),2)a3 B.eq\f(3\r(3),2)a3C．7eq\r(3)a3 D.eq\f(7\r(3),2)a3解析：正六棱臺上底面面積為S＝6×eq\f(1,2)×a×eq\f(\r(3),2)a＝eq\f(3,2)eq\r(3)a2，下底面面積S′＝6×eq\f(\r(3),4)(2a)2＝6eq\r(3)a2.其體積V＝eq\f(1,3)×a×(eq\f(3,2)eq\r(3)a2＋3eq\r(3)a2＋6eq\r(3)a2)＝eq\f(7\r(3),2)a3.二、填空題3．正四棱臺的斜高與上、下底面邊長之比為528，體積為14cm3，則棱臺的高為2_cm.解析：如圖，設正四棱臺AC′的上底面邊長為2a，則斜高EE′、下底面邊長AB分別為5a、高OO′＝eq\r(5a2－4a－a2)＝4a.又eq\f(1,3)×4a×(64a2＋4a2＋eq\r(4a2×64a2))＝14.∴a＝eq\f(1,2)，∴高為2cm.4．已知棱臺的上、下底面面積分別為3,27，高為4，則該棱臺的體積為52.解析：V＝eq\f(1,3)h(S＋eq\r(SS′)＋S′)＝eq\f(1,3)×