預(yù)習(xí)19講復(fù)數(shù)的三角表示2024年高一數(shù)學(xué)寒假自學(xué)提升課（人教A版2019）

2024年高一數(shù)學(xué)寒假自學(xué)精品課（人教A版2019必修第二冊）預(yù)習(xí)19講復(fù)數(shù)的三角表示（精講+精練）①復(fù)數(shù)的三角形式②把復(fù)數(shù)表示成代數(shù)形式③復(fù)數(shù)三角形式的乘、除運算④復(fù)數(shù)乘、除運算的幾何意義一、復(fù)數(shù)的三角表示式及復(fù)數(shù)的輻角和輻角的主值（1）復(fù)數(shù)的三角形式一般地，任何一個復(fù)數(shù)都可以表示成的形式.其中是復(fù)數(shù)的模；是以軸的非負半軸為始邊，向量所在射線（射線）為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)的輻角.叫做復(fù)數(shù)的三角表示式，簡稱三角形式.為了與三角形式區(qū)分開來，叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)表示式，簡稱代數(shù)形式.（2）復(fù)數(shù)的俯角任何一個不為零的復(fù)數(shù)的輻角有無限多個值，且這些值相差的整數(shù)倍.復(fù)數(shù)0的輻角也是任意的，不討論它的輻角主值.我們規(guī)定在范圍內(nèi)的輻角的值為輻角的主值.通常記作，即.二、復(fù)數(shù)代數(shù)形式和三角形式的互化復(fù)數(shù)的代數(shù)形式可以轉(zhuǎn)化為三角形式，三角形式也可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式.我們可以根據(jù)運算的需要，將復(fù)數(shù)的三角形式和代數(shù)形式進行互化.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式化三角形式的步驟:①先求復(fù)數(shù)的模；②決定輻角所在的象限；③根據(jù)象限求出輻角(常取它的主值)；④寫出復(fù)數(shù)的三角形式．三、三角形式下復(fù)數(shù)的相等兩個用三角形式表示的復(fù)數(shù)相等的充要條件：兩個非零復(fù)數(shù)相等當且僅當它們模與輻角的主值分別相等．知識點1：復(fù)數(shù)三角形式的乘法設(shè)，的三角形式分別是：，，則簡記為：模數(shù)相乘，幅角相加四、復(fù)數(shù)乘法的幾何意義兩個復(fù)數(shù)相乘時，可以像下圖那樣，先分別畫出與對應(yīng)的向量，然后把向量繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角（如果，就要把繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)角），再把它的模變?yōu)樵瓉淼谋叮玫较蛄?，表示的?fù)數(shù)就是積.這就是復(fù)數(shù)乘法的幾何意義.五、復(fù)數(shù)三角形式的除法及其幾何意義（1）復(fù)數(shù)三角形式的除法設(shè)，，且，因為，所以根據(jù)復(fù)數(shù)除法的定義，有.這就是說，兩個復(fù)數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻角所得的差.簡記為：模數(shù)相除，幅角相減（2）復(fù)數(shù)除法的幾何意義幾何意義：把復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量繞原點順時針旋轉(zhuǎn)的一個輻角，長度除以的模，所得向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)就是zz0．六、復(fù)數(shù)的乘方及其幾何意義利用復(fù)數(shù)的乘法不難得到.這說明,復(fù)數(shù)的次方等于它模的次方,幅角的倍.的幾何意義是將向量的模變?yōu)樵瓉淼拇畏?然后再將它繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)角,就得到對應(yīng)的向量.題型一：題型一：復(fù)數(shù)的三角形式策略方法將復(fù)數(shù)的代數(shù)形式z=a+bi(a,b∈R)化為三角形式z=r(cosθ+isinθ)(r>0),可按如下步驟進行(1)畫圖,并標出r和θ.(2)求θ和r,其中r=a2+b2,cosθ=(3)寫出復(fù)數(shù)z的三角形式.【題型精練】一、單選題1．復(fù)數(shù)的三角形式是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)的三角形式即可得解.【詳解】依題意，令，則，所以，因為，所以，所以的三角形式是.故選：D.2．（i是虛數(shù)單位），則z的輻角主值（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】復(fù)數(shù)可以寫成的形式，即可求得復(fù)數(shù)的輻角主值.【詳解】，所以復(fù)數(shù)的輻角主值.故選：A3．若，則復(fù)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意得到，計算得到答案.【詳解】，故選：A4．設(shè)，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先求，再求，根據(jù)對數(shù)對應(yīng)的點所在的象限，求復(fù)數(shù)的輔角主值.【詳解】，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點是，位于第三象限，且，所以.故選：B5．復(fù)數(shù)與下列復(fù)數(shù)相等的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)的除法化簡，結(jié)合復(fù)數(shù)的三角表示、各項的形式判斷正誤即可.【詳解】由題設(shè)，，故A、C、D錯誤；而，故B正確.故選：B6．若，則（

）A．1 B． C．i D．【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)三角表示的運算求解即可.【詳解】.故選：C二、填空題7．把復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）改寫成三角形式為．【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)三角表示的定義求解即可.【詳解】由題可得，且在第三象限，所以輻角的主值為，所以，故答案為：.8．已知為虛數(shù)單位，，則的輻角主值為.【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的三角表示分析求解.【詳解】因為，所以的輻角主值為.故答案為：.9．設(shè)復(fù)數(shù)，則得一個輻角是.【答案】（答案不唯一）【分析】將化為三角形式，利用三角形式的除法運算，結(jié)合輻角的定義求解即可.【詳解】由題意得，，所以得輻角是（答案不唯一）故答案為：（答案不唯一）三、解答題10．把下列復(fù)數(shù)的代數(shù)形式化成三角形式：(1)；(2)i．【答案】(1)(2)【分析】求出這個復(fù)數(shù)的模，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義確定復(fù)數(shù)對應(yīng)的點所在的位置，找出該復(fù)數(shù)的一個輻角即可寫出復(fù)數(shù)的三角形式．【詳解】（1）因為，所以，又對應(yīng)的點在第一象限內(nèi)，因而可取，所以．（2）因為，對應(yīng)的點在軸正半軸上，因而可?。裕?1．判斷下列復(fù)數(shù)是不是復(fù)數(shù)的三角形式，并說明理由.(1)；(2)．【答案】(1)不是，理由見解析；(2)不是，理由見解析；【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的三角形式即可判斷.【詳解】（1）括號內(nèi)兩項中間不是加號，故不是復(fù)數(shù)的三角形式，其三角形式為.（2）不滿足復(fù)數(shù)的模大于等于0，故不是復(fù)數(shù)的三角形式，其三角形式為.12．求下列復(fù)數(shù)的模和輻角主值.(1)；(2).【答案】(1)復(fù)數(shù)z的模為32，輻角主值為(2)復(fù)數(shù)的模是，輻角主值為【分析】直接求出復(fù)數(shù)的模，然后根據(jù)其對應(yīng)的點可得輻角主值.【詳解】（1）（1），∴復(fù)數(shù)z的模為32，輻角主值為.（2），則復(fù)數(shù)的模.設(shè)輻角為，則，∵點在第四象限，∴，，∴.題型二：題型二：把復(fù)數(shù)表示成代數(shù)形式策略方法(1)類似三角形式的復(fù)數(shù)求模和輻角時,注意三角形式的結(jié)構(gòu)特征:模非負,角相同,余弦前,加號連.(2)由三角形式表示成代數(shù)形式,直接求出角的三角函數(shù)值,化簡即可.【題型精練】一、解答題1．復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與三角形式互化：（1）；（2）.【答案】（1）.（2）【解析】（1）先求得模長，以及輻角主值，再寫出三角形式即可；（2）將三角形式的復(fù)數(shù)進行化簡整理即可.【詳解】（1），所以.（2）所以=.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的三角形式與代數(shù)形式之間的轉(zhuǎn)化，屬基礎(chǔ)題.2．把下列復(fù)數(shù)表示成代數(shù)形式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】由誘導(dǎo)公式及特殊角的三角函數(shù)化簡即可.【詳解】（1）；（2）.3．分別指出下列復(fù)數(shù)的模和輻角的主值，并將復(fù)數(shù)表示成代數(shù)形式．（1）4；（2）2【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析.【解析】（1）復(fù)數(shù)4為復(fù)數(shù)的三角形式，再寫出其模和輻角的主值，然后再轉(zhuǎn)化為的形式；（2）先把復(fù)數(shù)，轉(zhuǎn)化為三角形式，再寫出其模和輻角的主值，然后再轉(zhuǎn)化為的形式；【詳解】（1）復(fù)數(shù)4模r＝4，輻角的主值為θ＝..（2），復(fù)數(shù)的模為2，輻角的主值為θ＝，.4．已知，求復(fù)數(shù)（用代數(shù)形式表示）.【答案】【解析】設(shè)出復(fù)數(shù)，根據(jù)模長以及輻角，列方程，求出復(fù)數(shù)的實部和虛部即可.【詳解】設(shè)，則.∵，∴.①∵，∴.②聯(lián)立①②，解得或（經(jīng)檢驗，為增根，應(yīng)舍去），∴.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的三角形式的認知和辨析，屬綜合中檔題；需要注意增根的情況.題型三：題型三：復(fù)數(shù)三角形式的乘、除運算策略方法復(fù)數(shù)三角形式的運算法則(1)乘法法則:模相乘,輻角相加.(2)除法法則:模相除,輻角相減.(3)復(fù)數(shù)的n次冪:模的n次冪,輻角的n倍.【題型精練】一、解答題1．計算：(1)；(2).【答案】(1)6；(2).【分析】（1）（2）根據(jù)復(fù)數(shù)三角形式的乘法運算結(jié)合條件即得.【詳解】（1）；（2）.2．計算：(1)；(2)．【答案】(1)；(2).【分析】(1)利用復(fù)數(shù)三角形式的乘法法則直接進行計算作答.(2)利用復(fù)數(shù)三角形式的除法法則直接進行計算作答.【詳解】（1）.（2）.3．計算：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【詳解】（1）（2）.（3）（4）.題型四：題型四：復(fù)數(shù)乘、除運算的幾何意義策略方法復(fù)數(shù)三角形式的乘、除法運算的幾何意義:設(shè)復(fù)數(shù)z對應(yīng)的向量為OZ→(1)把向量OZ→繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角θ(θ>0),得到向量OZ→1(2)把向量OZ→繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)角θ(θ>0),得到向量OZ→2,OZ【題型精練】一、解答題1．如圖，向量與復(fù)數(shù)對應(yīng)，把按逆時針方向旋轉(zhuǎn)120°，得到．求向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)（用代數(shù)形式表示）．【答案】【分析】復(fù)數(shù)的旋轉(zhuǎn)用相應(yīng)的三角函數(shù)公式即可.【詳解】如上圖，將Z逆時針旋轉(zhuǎn)到，即是向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)：，故答案為：.2．根據(jù)乘任意復(fù)數(shù)z的幾何意義計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)1【分析】（1）根據(jù)乘任意復(fù)數(shù)z的幾何意義求解即可.（2）根據(jù)乘任意復(fù)數(shù)z的幾何意義求解即可.【詳解】（1）設(shè)，則用乘任意復(fù)數(shù)，其幾何意義是將對應(yīng)的向量旋轉(zhuǎn)45°，于是，用乘的幾何意義是將對應(yīng)的向量連續(xù)旋轉(zhuǎn)兩個45°，也就是將對應(yīng)的向量旋轉(zhuǎn)90°，又由虛數(shù)單位乘任意復(fù)數(shù)的幾何意義可知，，即．（2）設(shè)，則用乘任意復(fù)數(shù)，其幾何意義是將對應(yīng)的向量旋轉(zhuǎn)120°，同理可得，用乘任意復(fù)數(shù)就是將對應(yīng)的向量連續(xù)旋轉(zhuǎn)三個120°，其結(jié)果就是將對應(yīng)的向量旋轉(zhuǎn)360°后回到原處，因而．3．計算下列各式，并作出幾何解釋：（1）（2）（3）（4）.【答案】（1）4，幾何解釋見解析

（2），幾何解釋見解析

（3），幾何解釋見解析

（4），幾何解釋見解析【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘除法運算法則，即可求值，應(yīng)用三角形式的幾何意義，即可解釋運算結(jié)果.【詳解】（1）原式.幾何解釋：設(shè)，作與對應(yīng)的向量，然后把向量繞原點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，再將其長度伸長為原來的倍，得到一個長度為4,輻角為π的向量，則即為積所對應(yīng)的向量.（2）原式.幾何解釋：設(shè)，作與對應(yīng)的向量，然后把向量繞原點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)315°，再將其長度縮短為原來的，得