新教材數(shù)學(xué)人教A版學(xué)案4-1-2無(wú)理數(shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算性質(zhì)

4．1.2無(wú)理數(shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算性質(zhì)必備知識(shí)·探新知基礎(chǔ)知識(shí)知識(shí)點(diǎn)1無(wú)理數(shù)指數(shù)冪無(wú)理數(shù)指數(shù)冪aα(a>0，α是無(wú)理數(shù))是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)．思考1：2eq\s\up3(eq\r(2))一定是實(shí)數(shù)嗎？提示：根據(jù)無(wú)理指數(shù)冪的定理2eq\s\up3(eq\r(2))是實(shí)數(shù)．知識(shí)點(diǎn)2實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)(a>0，b>0，r，s∈R)(1)aras＝ar＋s．(2)(ar)s＝ars．(3)(ab)r＝arbr．思考2：指數(shù)冪是怎樣從正整數(shù)指數(shù)冪推廣到實(shí)數(shù)指數(shù)冪的？提示：基礎(chǔ)自測(cè)1．下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是(B)(1)無(wú)理數(shù)指數(shù)冪有的不是實(shí)數(shù)．(2)指數(shù)冪ax(a>0)中的x只能是有理數(shù)．(3)(3eq\s\up3(eq\r(2)))eq\s\up3(eq\r(2))＝9.A．0 B．1C．2 D．3[解析](1)無(wú)理數(shù)指數(shù)冪對(duì)應(yīng)一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，不正確；(2)指數(shù)冪ax(a>0)中的x是任意實(shí)數(shù)，不正確；(3)(3eq\s\up3(eq\r(2)))eq\s\up3(eq\r(2))＝3eq\s\up3(eq\r(2))×eq\s\up3(eq\r(2))＝32＝9，正確，故選B．2．a(chǎn)eq\s\up6(\f(π,3))aeq\s\up6(\f(π,6))＝aeq\s\up6(\f(π,2))．3．(eq\f(n,m))eq\s\up3(eq\r(3))＝neq\s\up3(eq\r(3))m－eq\s\up3(eq\r(3))．關(guān)鍵能力·攻重難題型探究題型一無(wú)理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算例1計(jì)算下列各式：[解析](1)原式＝(3eq\r(2)×2eq\s\up6(\f(\r(2),3)))3eq\r(2)＝36×22＝2916.(2)原式＝aeq\s\up6(\f(π,6))＋eq\s\up6(\f(2π,3))－π＝a－eq\s\up6(\f(π,6)).[歸納提升]關(guān)于無(wú)理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算(1)底數(shù)相同時(shí)直接對(duì)指數(shù)上的無(wú)理數(shù)進(jìn)行加減運(yùn)算．(2)若式子中含有根式，則先化為指數(shù)式再進(jìn)行運(yùn)算，一般指數(shù)中的根式可以保留．【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?計(jì)算下列各式：[解析](1)原式＝(πeq\s\up3(eq\r(3))－eq\s\up6(\f(\r(3),2)))2eq\r(3)＝(πeq\s\up6(\f(\r(3),2)))2eq\r(3)＝π3.(2)原式＝(meq\s\up6(\f(π,3))－eq\s\up6(\f(π,6)))12＝(meq\s\up6(\f(π,6)))12＝m2π.題型二指數(shù)冪運(yùn)算的綜合應(yīng)用例2已知aeq\s\up6(\f(1,2))＋a－eq\s\up6(\f(1,2))＝3，求下列各式的值．(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3)eq\f(a\s\up6(\f(3,2))－a－\s\up6(\f(3,2)),a\s\up6(\f(1,2))－a－\s\up6(\f(1,2))).[分析]利用完全平方差公式求(1)(2)，利用立方差公式求(3)．[解析](1)將aeq\s\up6(\f(1,2))＋a－eq\s\up6(\f(1,2))＝3兩邊平方，得a＋a－1＋2＝9，即a＋a－1＝7.(2)將a＋a－1＝7兩邊平方，有a2＋a－2＋2＝49，∴a2＋a－2＝47.(3)由于aeq\s\up6(\f(3,2))－a－eq\s\up6(\f(3,2))＝(aeq\s\up6(\f(1,2)))3－(a－eq\s\up6(\f(1,2)))3，所以有eq\f(a\s\up6(\f(3,2))－a－\s\up6(\f(3,2)),a\s\up6(\f(1,2))－a－\s\up6(\f(1,2)))＝eq\f(（a\s\up6(\f(1,2))－a－\s\up6(\f(1,2))）（a＋a－1＋a\s\up6(\f(1,2))·a－\s\up6(\f(1,2))）,a\s\up6(\f(1,2))－a－\s\up6(\f(1,2)))＝a＋a－1＋1＝7＋1＝8.[歸納提升](1)條件求值是代數(shù)式求值中的常見題型，一般要結(jié)合已知條件先化簡(jiǎn)再求值，另外要特別注意條件的應(yīng)用，如條件中的隱含條件，整體代入等，可以簡(jiǎn)化解題過(guò)程．本題若通過(guò)aeq\s\up6(\f(1,2))＋a－eq\s\up6(\f(1,2))＝3解出a的值代入求值，則非常復(fù)雜．(2)解決此類問(wèn)題的一般步驟是【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?已知x－y＝6，xy＝16，求eq\f(x\s\up6(\f(1,2))＋y\s\up6(\f(1,2)),x\s\up6(\f(1,2))－y\s\up6(\f(1,2)))的值．[解析]∵eq\f(x\s\up6(\f(1,2))＋y\s\up6(\f(1,2)),x\s\up6(\f(1,2))－y\s\up6(\f(1,2)))＝eq\f(（x\s\up6(\f(1,2))＋y\s\up6(\f(1,2))）（x\s\up6(\f(1,2))－y\s\up6(\f(1,2))）,（x\s\up6(\f(1,2))－y\s\up6(\f(1,2))）2)＝eq\f(x－y,x＋y－2（xy）\s\up6(\f(1,2)))，又x－y＝6，xy＝16，∴(x＋y)2＝(x－y)2＋4xy＝62＋4×16＝100.∴x＋y＝10或x＋y＝－10.當(dāng)x＋y＝10時(shí)，原式值為eq\f(6,10－2×4)＝3，當(dāng)x＋y＝－10時(shí)，原式值為eq\f(6,－10－2×4)＝－eq\f(1,3).BBBB誤區(qū)警示因忽略冪底數(shù)的范圍而導(dǎo)致錯(cuò)誤例3化簡(jiǎn)(1－a)[(a－1)－2(－a)eq\s\up6(\f(1,2))]eq\s\up6(\f(1,2))＝(－a)eq\s\up6(\f(1,4))．[錯(cuò)解](1－a)[(a－1)－2·(－a)eq\s\up6(\f(1,2))]eq\s\up6(\f(1,2))＝(1－a)(a－1)－1·(－a)eq\s\up6(\f(1,4))＝－(－a)eq\s\up6(\f(1,4)).[錯(cuò)因分析]忽略了題中有(－a)eq\s\up6(\f(1,2))，即相當(dāng)于告知－a≥0，故a≤0，這樣，[(a－1)－2]eq\s\up6(\f(1,2))≠(a－1)－1.實(shí)際上在解答本類題時(shí)除了靈活運(yùn)用運(yùn)算法則外還要關(guān)注條件中的字母是否有隱含的條件．[正解]由(－a)eq\f(1,2)知－a≥0，故a－1<0.∴(1－a)[(a－1)－2(－a)eq\s\up6(\f(1,2))]eq\s\up6(\f(1,2))＝(1－a)(1－a)－1·(－a)eq\s\up6(\f(1,4))＝(－a)eq\s\up6(\f(1,4)).[方法點(diǎn)撥]在利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)時(shí)，要關(guān)注條件中有無(wú)隱含條件，在出現(xiàn)根式時(shí)要注意是否是偶次方根，被開方數(shù)是否符合要求．學(xué)科素養(yǎng)用換元法處理指數(shù)冪中的化簡(jiǎn)與證明問(wèn)題例4設(shè)a，b，c都是正數(shù)，且3a＝4b＝6c，求證：eq\f(2,c)＝eq\f(2,a)＋eq\f(1,b).[分析]根據(jù)已知條件3a＝4b＝6c，設(shè)一個(gè)參數(shù)t，用含t的式子表示a，b，c，從而找到a，b，c之間的關(guān)系．[解析]令3a＝4b＝6c＝t(t>0)，則3＝teq\s\up6(\f(1,a))，2＝teq\s\up6(\f(1,2b))，6＝teq\s\up6(\f(1,c)).因?yàn)?×2＝6，所以teq\s\up6(\f(1,a))·teq\s\up6(\f(1,2b))＝teq\s\up6(\f(1,c))，即eq\f(1,a)＋eq\f(1,2b)＝eq\f(1,c)，所以eq\f(2,c)＝eq\f(2,a)＋eq\f(1,b).[歸納提升]對(duì)于指數(shù)冪等式的證明問(wèn)題常常是將指數(shù)冪化為同底，利用指數(shù)冪相等的規(guī)律進(jìn)行證明．解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是通過(guò)指數(shù)運(yùn)算進(jìn)行等價(jià)代換，以及利用參數(shù)找到已知與結(jié)論的聯(lián)系，這樣才能使問(wèn)題迅速得到解決．課堂檢測(cè)·固雙基1．下列能正確反映指數(shù)冪的推廣過(guò)程的是(A)A．整數(shù)指數(shù)冪→有理數(shù)指數(shù)冪→無(wú)理數(shù)指數(shù)冪B．有理數(shù)指數(shù)冪→整數(shù)指數(shù)冪→無(wú)理數(shù)指數(shù)冪C．整數(shù)指數(shù)冪→無(wú)理數(shù)指數(shù)冪→有理數(shù)指數(shù)冪D．無(wú)理數(shù)指數(shù)冪→有理數(shù)指數(shù)冪→整數(shù)指數(shù)冪2．計(jì)算(2eq\s\up3(eq\r(2)))－eq\s\up6(\f(\r(2),2))的結(jié)果是(D)A．eq\r(2) B．－eq\r(2)C．2 D．eq\f(1,2)[解析](2eq\s\up3(eq\r(2)))－eq\s\up6(\f(\r(2),2))＝2－1＝eq\f(1,2)，故選D．3.eq\r(5,a2)·eq\r(\r(a))＝(A)A．a(chǎn)eq\s\up6(\f(13,20)) B．a(chǎn)eq\s\up6(\f(17,20))C．a(chǎn)eq\s\up6(\f(19,20)) D．a(chǎn)eq\s\up6(\f(7,20))[解析]原式＝aeq