人教A版高中數(shù)學必修2章末測評第1章空間幾何體

章末綜合測評(一)空間幾何體(滿分：150分時間：120分鐘)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．一個等腰三角形繞它的底邊所在直線旋轉(zhuǎn)360°形成的曲面所圍成的幾何體是()A．球體B．圓柱C．圓臺D．兩個共底面的圓錐組成的組合體D[直角三角形的斜邊為旋轉(zhuǎn)軸，所得幾何體是兩個圓錐．]2．如下所示的直觀圖是將正方體模型放置在你的水平視線的左下角而繪制的，其中正確的是()ABCDA[由幾何體的直觀圖的畫法及主體圖形中虛線的使用，知A正確．]3．用斜二測畫法畫水平放置的△ABC的直觀圖，得到如圖所示的等腰直角三角形A′B′C′.已知點O′是斜邊B′C′的中點，且A′O′＝1，則△ABC的邊BC上的高為()A．1B．2C．eq\r(2)D．2eq\r(2)D[∵△ABC的直觀圖是等腰直角三角形A′B′C′，∠B′A′C＝90°，A′O′＝1，∴A′C′＝eq\r(2).根據(jù)直觀圖平行于y軸的長度變?yōu)樵瓉淼囊话?，∴△ABC的高為AC＝2A′C′＝2eq\r(2).故選D.]4．一個棱柱的側(cè)面展開圖是三個全等的矩形，矩形的長和寬分別為6cm，4cm，A．24cm2B．36cm2C．72cm2D．C[棱柱的側(cè)面積S側(cè)＝3×6×4＝72(cm2).]5．如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，則三棱錐D1-ACDA．eq\f(1,6)B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2)D．1A[三棱錐D1-ADC的體積V＝eq\f(1,3)S△ADC×D1D＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×AD×DC×D1D＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,6).]6．棱錐被平行于底面的平面所截，若截面面積與底面面積之比為1∶2,則此棱錐的高被分成的兩段之比為()A．1∶2 B．1∶4C．1∶(eq\r(2)＋1) D．1∶(eq\r(2)－1)D[借助軸截面，利用相似的性質(zhì)，若截面面積與底面面積之比為1∶2,則對應(yīng)小棱錐與原棱錐高之比為1∶eq\r(2)，被截面分成兩段之比為1∶(eq\r(2)－1).]7．若兩球的體積之和是12π，經(jīng)過兩球球心的截面圓周長之和為6π，則兩球的半徑之差為()A．1B．2C．3D．4A[設(shè)兩球的半徑分別為R，r(R>r),則由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)R3＋\f(4π,3)r3＝12π，,2πR＋2πr＝6π，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(R＝2，,r＝1.))故R－r＝1.]8．如圖，正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長為4，動點E，F(xiàn)在棱AB上，且EF＝2，動點Q在棱D′C′上，則三棱錐A′-EFQ的體積()A．與點E，F(xiàn)的位置有關(guān)B．與點Q的位置有關(guān)C．與點E，F(xiàn)，Q的位置都有關(guān)D．與點E，F(xiàn)，Q的位置均無關(guān)，是定值D[VA′-EFQ＝VQ-A′EF＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×EF×AA′×A′D′，所以其體積為定值，與點E，F(xiàn)，Q的位置均無關(guān)．]9．將若干毫升水倒入底面半徑為2cm的圓柱形器皿中，量得水面高度為6cm,若將這些水倒入軸截面是正三角形的倒圓錐形器皿中A．6eq\r(3)cm B．6cmC．2eq\r(3,18)cm D．3eq\r(3,12)cmB[由題設(shè)可知兩種器皿中的水的體積相同，設(shè)圓錐內(nèi)水面高度為h，圓錐的軸截面為正三角形，可設(shè)邊長為a,由圖可得，eq\f(h,\f(\r(3),2)a)＝eq\f(r,\f(1,2)a)，所以r＝eq\f(\r(3),3)h.故V圓柱＝6×π×22＝24π(cm3)，V圓錐＝eq\f(1,3)π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)h))eq\s\up10(2)·h，又V圓柱＝V圓錐，所以h＝6cm.]10．已知三棱錐S-ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，且SA＝2,SB＝SC＝4,則該三棱錐的外接球的半徑為()A．3B．6C．36 D．9A[因為三棱錐S-ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，所以該三棱錐的外接球就是以三棱錐S-ABC的三條側(cè)棱為棱的長方體的外接球，長方體的外接球的直徑等于長方體的體對角線，所以外接球的半徑為eq\f(1,2)eq\r(22＋42＋42)＝3.]11．已知邊長為a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，將該菱形沿對角線AC折起，使BD＝a,則三棱錐D-ABC的體積為()A．eq\f(a3,6)B．eq\f(a3,12)C．eq\f(\r(3)a3,12)D．eq\f(\r(2)a3,12)D[在邊長為a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，將該菱形沿對角線AC折起，使BD＝a,則三棱錐D-ABC為正四面體，D在底面的射影為正三角形的中心O,h＝OD＝eq\r(DE2－OE2)＝eq\r(\f(3,4)a2－\f(1,12)a2)＝eq\f(\r(6),3)a,所以三棱錐D-ABC的體積為V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)·eq\f(\r(3),4)a2·eq\f(\r(6),3)a＝eq\f(\r(2)a3,12).]12．已知A，B是球O的球面上兩點，∠AOB＝90°，C為該球面上的動點，若三棱錐O-ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為()A．36πB．64πC．144πD．256πC[如圖所示，當點C位于垂直于面AOB的直徑端點時，三棱錐O-ABC的體積最大，設(shè)球O的半徑為R，此時VO-ABC＝VC-AOB＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)R2×R＝eq\f(1,6)R3＝36，故R＝6，則球O的表面積為S＝4πR2＝144π，故選C.]二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中的橫線上)13．底面直徑和高都是4cm的圓柱的側(cè)面面積為________cm216π[圓柱的底面半徑為r＝eq\f(1,2)×4＝2，故S側(cè)＝2π×2×4＝16π.]14．一個正方體的表面展開圖的五個正方形如圖陰影部分所示，第六個正方形在編號1～5的適當位置，則可能的位置編號為________.1，4，5[第六個正方形在正方體中恰好和編號為2的正方形相對，翻折可知其可能的編號為1，4，5.]15．如圖，在三棱柱A1B1C1-ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，AA1的中點，設(shè)三棱錐F-ADE的體積為V1，三棱柱A1B1C1-ABC的體積為V2，則V1∶V1∶24[因為D，E分別是AB，AC的中點，所以S△ADE∶S△ABC＝1∶4.又F是AA1的中點，所以A1到底面的距離H為F到底面距離h的2倍，即三棱柱A1B1C1-ABC的高是三棱錐F-ADE高的2倍，所以V1∶V2＝eq\f(\f(1,3)S△ADE·h,S△ABC·H)＝eq\f(1,24)＝1∶24.]16．已知四棱錐的底面是邊長為eq\r(2)的正方形，側(cè)棱長均為eq\r(5).若圓柱的一個底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點，另一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為________．eq\f(π,4)[由題意可知，四棱錐底面正方形的對角線長為2，且垂直相交平分，由勾股定理得，正四棱錐的高為2.因為圓柱的一個底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點，則圓柱的上底面直徑為底面正方形對角線的一半等于1，即半徑等于eq\f(1,2)，由相似比可得圓柱的高為正四棱錐高的一半，為1.所以該圓柱的體積為V＝Sh＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up10(2)×1＝eq\f(π,4).]三、解答題(本大題共6個大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)把一個圓錐截成圓臺，已知圓臺的上、下底面半徑的比是1∶4，母線長為10cm，[解]如圖，設(shè)圓錐的母線長為l，圓臺上、下底面的半徑分別為r、R.因為eq\f(l－10,l)＝eq\f(r,R)，所以eq\f(l－10,l)＝eq\f(1,4)，所以l＝eq\f(40,3)cm.即圓錐的母線長為eq\f(40,3)cm.18．(本小題滿分12分)如圖，△A′B′C′是水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖，C′A′＝2,B′D′∥y′軸且B′D′＝1.5.(1)將其恢復(fù)成原圖形，并畫出來；(2)求原平面圖形△ABC的面積．[解](1)畫法：①畫直角坐標系xOy，在x軸上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；②在x軸上取OD＝O′D′，過D作DB∥y軸，并使DB＝2D′B′；③連接AB，BC，則△ABC即為△A′B′C′的原圖形，如圖所示．(2)因為B′D′∥y′軸，所以BD⊥AC.又B′D′＝1.5且A′C′＝2，所以BD＝3，AC＝2.所以S△ABC＝eq\f(1,2)BD·AC＝3.19．(本小題滿分12分)如圖，三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱垂直于底面，其高為6cm，底面三角形的邊長分別為3cm，4cm，5cm，以上、下底面的內(nèi)切圓為底面，挖去一個圓柱，求剩余部分幾何體的體積[解]V三棱柱ABC-A1B1C1＝eq\f(3×4,2)×6＝36(cm3).設(shè)圓柱底面圓的半徑為r，則r＝eq\f(2S△ABC,AB＋BC＋AC)＝eq\f(2×\f(1,2)×3×4,3＋4＋5)＝1，V圓柱OO1＝πr2h＝6π(cm3).所以V＝V三棱柱ABC-A1B1C1－V圓柱OO1＝36－6π(cm320．(本小題滿分12分)已知一個圓錐的底面半徑為R，高為H,在其中有一個高為x的內(nèi)接圓柱．(1)求圓柱的側(cè)面積；(2)x為何值時，圓柱的側(cè)面積最大？[解](1)設(shè)圓柱的底面半徑為r,則它的側(cè)面積為S＝2πrx,eq\f(r,R)＝eq\f(H－x,H)，解得r＝R－eq\f(R,H)x，所以S圓柱側(cè)＝2πRx－eq\f(2πR,H)x2.(2)由(1)知S圓柱側(cè)＝2πRx－eq\f(2πR,H)x2，在此表達式中，S圓柱側(cè)為x的二次函數(shù)，因此，當x＝eq\f(H,2)時，圓柱的側(cè)面積最大．21．(本小題滿分12分)學生到工廠勞動實踐，利用3D打印技術(shù)制作模型．如圖，該模型為長方體ABCD-A1B1C1D1挖去四棱錐O-EFGH后所得的幾何體，其中O為長方體的中心，E，F(xiàn)，G，H分別為所在棱的中點，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度為0.9g/cm3.[解]由題知挖去的四棱錐的底面是一個菱形，對角線長分別為6cm和4故V挖去的四棱錐＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×4×6×3＝12(cm3).又V長方體＝6×6×4＝144(cm3)，所以模型的體積為V長方體－V挖去的四棱錐＝144－12＝132(cm3)，所以制作該模型所需原料的質(zhì)量為132×0.9＝118.8(g).22．(本小題滿分12分)如圖所示，有一塊扇形鐵皮OAB，∠AOB＝60°，OA＝72cm，要剪下來一個扇形環(huán)ABCD，作圓臺形容器的側(cè)面，并且余下的扇形OCD試求：(1)AD的長；(2)容器的容積．[解](1)如圖，設(shè)圓臺上、下底面半徑分別為r、R，AD＝x，則OD＝72－