第4章%2B機(jī)構(gòu)的運(yùn)動分析

第4章機(jī)構(gòu)的運(yùn)動分析KinematicAnalysisofMechanisms于靖軍北京航空航天大學(xué)內(nèi)容提綱平面機(jī)構(gòu)運(yùn)動分析的圖解法4.1平面連桿運(yùn)動分析的解析法4.24.34.4平面機(jī)構(gòu)速度分析的瞬心法平面連桿機(jī)構(gòu)的運(yùn)動性能指標(biāo)機(jī)構(gòu)設(shè)計過程中需要解決兩類基本的問題：即機(jī)構(gòu)分析與機(jī)構(gòu)綜合。前者是對已有機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)分析；后者則根據(jù)運(yùn)動等諸方面的要求進(jìn)行綜合。機(jī)構(gòu)分析是機(jī)構(gòu)設(shè)計的基礎(chǔ)。機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)分析主要是根據(jù)機(jī)構(gòu)尺寸和原動件已知的運(yùn)動規(guī)律，確定從動件上某一參考點(diǎn)的軌跡、位移、速度、加速度以及構(gòu)件的角位移、角速度及角加速度，進(jìn)而得到該機(jī)構(gòu)的各種運(yùn)動學(xué)特性。正向運(yùn)動學(xué)（forwardkinematics）與反向運(yùn)動學(xué)（inversekinematics）。一般情況下，已知運(yùn)動輸入量求輸出量則稱之為正向運(yùn)動學(xué)；反之，已知輸出量求輸入量稱為反向運(yùn)動學(xué)。引言機(jī)構(gòu)運(yùn)動分析的目的與方法任務(wù)(角)位移(角)速度(角)加速度目的進(jìn)行干涉校驗(yàn)確定從動件行程考查預(yù)定位置變化要求能否實(shí)現(xiàn)方法圖解法解析法

圖解法的實(shí)質(zhì)是通過按比例作圖來求得解答，可直接從圖上量取所需尺寸和運(yùn)動參數(shù)。其特點(diǎn)形象直觀、幾何意義清楚，但由于作圖誤差的存在，造成結(jié)果精確度不高。

解析法的實(shí)質(zhì)是建立已知參數(shù)和待求參數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系，通過建模編程等方式求得所需參數(shù)。這樣可以得到很高精確度的結(jié)果。圖解法與解析法手鉗模型4.1.1位置分析的圖解法4.1平面機(jī)構(gòu)運(yùn)動分析的圖解法同一個向量的大小和方向未知兩個向量的大小未知兩個向量的方向未知一個向量的大小和另一向量的方向未知例

試確定鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)中連桿上某一參考點(diǎn)P的位置。其中已知各桿的尺寸，以及輸入角

1。

很多機(jī)構(gòu)的位置分析實(shí)質(zhì)上都要涉及復(fù)雜的非線性計算，是運(yùn)動學(xué)研究中最為棘手的問題。而基于圖解法的幾何分析方法可以在一定程度上簡化運(yùn)算，同樣具有保留的價值。4.1平面機(jī)構(gòu)運(yùn)動分析的圖解法【平面運(yùn)動合成原理】：剛體上任一點(diǎn)的平面運(yùn)動，可以看作是隨同該剛體上另外任一參考點(diǎn)（稱之為基點(diǎn)）的平動（牽連運(yùn)動）和繞該點(diǎn)的轉(zhuǎn)動（相對運(yùn)動）的合成。4.1.2速度、加速度多邊形法4.1平面機(jī)構(gòu)運(yùn)動分析的圖解法速度多邊形法（velocitypolygon）畫出機(jī)構(gòu)的位置圖：按給定條件選定機(jī)構(gòu)的位形，按比例尺作機(jī)構(gòu)的運(yùn)動簡圖；建立合適的速度方程：根據(jù)同一構(gòu)件上兩點(diǎn)之間的速度關(guān)系和兩構(gòu)件組成運(yùn)動副時重合點(diǎn)之間的速度關(guān)系列出機(jī)構(gòu)中各構(gòu)件上相應(yīng)點(diǎn)之間的速度向量方程；選取極點(diǎn)OV，保證該點(diǎn)的絕對速度為零。建立速度多邊形：具體從極點(diǎn)出發(fā)，按選定的速度比例尺作出與速度向量方程對應(yīng)的速度向量多邊形，保證所建立的速度多邊形中，由極點(diǎn)向外放射的向量代表構(gòu)件上相應(yīng)點(diǎn)的絕對速度，聯(lián)接兩絕對速度端部的向量代表構(gòu)件上相應(yīng)兩點(diǎn)間的相對速度。重復(fù)上述過程，找到所有待求點(diǎn)的速度。4.1平面機(jī)構(gòu)運(yùn)動分析的圖解法畫出機(jī)構(gòu)的位置圖：按給定條件選定機(jī)構(gòu)的位形，按比例尺作機(jī)構(gòu)的運(yùn)動簡圖；建立合適的加速度方程：根據(jù)同一構(gòu)件上兩點(diǎn)之間的加速度關(guān)系和兩構(gòu)件組成運(yùn)動副時重合點(diǎn)之間的加速度關(guān)系列出機(jī)構(gòu)中各構(gòu)件上相應(yīng)點(diǎn)之間的加速度向量方程；選取極點(diǎn)OA，保證該點(diǎn)的絕對加速度為零。建立加速度多邊形：具體從極點(diǎn)出發(fā)，按選定的加速度比例尺作出與加速度向量方程對應(yīng)的加速度向量多邊形，保證所建立的加速度多邊形中，由極點(diǎn)向外放射的向量代表構(gòu)件上相應(yīng)點(diǎn)的絕對加速度。重復(fù)上述過程，找到所有待求點(diǎn)的加速度。

加速度多邊形法（accelerationpolygon）4.1平面機(jī)構(gòu)運(yùn)動分析的圖解法速度多邊形中的BCD稱為構(gòu)件圖形BCD的速度影像（velocityimage）將加速度多邊形中的BCD稱為構(gòu)件圖形BCD的加速度影像（accelerationimage）。速度多邊形加速度多邊形4.1平面機(jī)構(gòu)運(yùn)動分析的圖解法4.2.1機(jī)構(gòu)速度瞬心的確定1）速度瞬心的概念

做平面運(yùn)動的兩構(gòu)件，任一瞬時的相對運(yùn)動可以看成是繞某一重合點(diǎn)的相對轉(zhuǎn)動，該重合點(diǎn)稱為速度瞬心，簡稱瞬心，以P12表示。絕對速度相等的點(diǎn)(等速重合點(diǎn)）)速度瞬心若瞬心的絕對速度為零2）機(jī)構(gòu)中瞬心的數(shù)目由n個構(gòu)件（包括機(jī)架在內(nèi)）組成的機(jī)構(gòu)中，總的瞬心數(shù)目為N：絕對瞬心。若瞬心的絕對速度不為零相對瞬心。4.2平面機(jī)構(gòu)速度分析的瞬心法3）機(jī)構(gòu)中瞬心位置的確定直接相連的兩構(gòu)件瞬心的確定轉(zhuǎn)動副連接的兩個構(gòu)件－瞬心位于轉(zhuǎn)動副的中心移動副連接的兩個構(gòu)件－瞬心位于垂直與導(dǎo)路的無窮遠(yuǎn)處4.2平面機(jī)構(gòu)速度分析的瞬心法高副連接的兩個構(gòu)件兩構(gòu)件純滾

接觸點(diǎn)為瞬心兩構(gòu)件非純滾瞬心位于nn線上3）機(jī)構(gòu)中瞬心位置的確定采用機(jī)構(gòu)倒置法確定瞬心4.2平面機(jī)構(gòu)速度分析的瞬心法不直接相連的兩構(gòu)件的瞬心，需要借助于“三心定理”來確定。三心定理：做平面運(yùn)動的三個構(gòu)件共有3個瞬心，且它們必位于同一直線上。

證明：反證法。若瞬心P23不位于P12和P13的同一條線上，假設(shè)位于K點(diǎn)，則易知（即使大小相等，但方向也不同）所以K點(diǎn)不滿足成為瞬心的條件，即K點(diǎn)不是瞬心。3）機(jī)構(gòu)中瞬心位置的確定4.2平面機(jī)構(gòu)速度分析的瞬心法輔助多邊形3）機(jī)構(gòu)中瞬心位置的確定4.2平面機(jī)構(gòu)速度分析的瞬心法應(yīng)用舉例曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的瞬心導(dǎo)桿機(jī)構(gòu)的瞬心4.2平面機(jī)構(gòu)速度分析的瞬心法

例圖示凸輪機(jī)構(gòu)中，已知各構(gòu)件的尺寸及原動件凸輪角速度

1（逆時針回轉(zhuǎn)），試用瞬心法求從動件2在此瞬時的速度v2.解①求瞬心位置

P12為構(gòu)件1和2的等速重合點(diǎn)，其絕對速度相等，因此可求的v2的大小為。

三個構(gòu)件具有三個瞬心P13，P23和P12，如圖。

②求速度v2根據(jù)凸輪的轉(zhuǎn)向（逆時針方向）判斷可知：此時v2的方向?yàn)殂U垂向上。4.2.2速度瞬心法在平面機(jī)構(gòu)速度分析中的應(yīng)用4.2平面機(jī)構(gòu)速度分析的瞬心法例

已知：鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)的各構(gòu)件尺寸，原動件1的角速度

1

求：機(jī)構(gòu)在圖示位置構(gòu)件3和2的角速度

2和

3。

4.2平面機(jī)構(gòu)速度分析的瞬心法①確定瞬心位置4.2平面機(jī)構(gòu)速度分析的瞬心法利用相對瞬心P13確定

3

P13是構(gòu)件1和3的重合點(diǎn)和同速點(diǎn)，則構(gòu)件1和構(gòu)件3在P13點(diǎn)處具有相同的速度，即②求角速度

2和

3

利用絕對瞬心P24確定

2

P12是構(gòu)件1和2的重合點(diǎn)和同速點(diǎn)，則構(gòu)件1和構(gòu)件3在P13點(diǎn)處具有相同的速度，即方向如圖。方向如圖。4.2平面機(jī)構(gòu)速度分析的瞬心法1.按照比例繪制機(jī)構(gòu)在某一位置的運(yùn)動簡圖。2.得到機(jī)構(gòu)瞬心的數(shù)量，并確定機(jī)構(gòu)各瞬心位置?？刹捎幂o助多邊形方法。3.根據(jù)瞬心是兩構(gòu)件重合點(diǎn)與同速點(diǎn)的特性，建立運(yùn)動待求構(gòu)件同運(yùn)動已知構(gòu)件在瞬心處的速度映射關(guān)系表達(dá)式。4.重復(fù)步驟3，找到所有運(yùn)動待求構(gòu)件與運(yùn)動已知構(gòu)件在瞬心處的速度映射關(guān)系表達(dá)式。完成求解。瞬心法分析機(jī)構(gòu)速度的一般步驟曲柄滑塊機(jī)構(gòu)4.2平面機(jī)構(gòu)速度分析的瞬心法角速比定理角速度比等于二構(gòu)件的相對瞬心至其絕對瞬心之距離的反比。兩個齒輪的角速度比與連心線被接觸點(diǎn)處的公法線所分成的兩線段長度成反比。這就是齒廓嚙合基本定律。4.2.3機(jī)構(gòu)瞬心的其他應(yīng)用4.2平面機(jī)構(gòu)速度分析的瞬心法瞬心一般具有瞬時性。兩個作確定相對運(yùn)動的構(gòu)件在每一瞬時都有一個瞬心，通常隨著時間的變化瞬心位置發(fā)生改變，這樣在整個運(yùn)動過程中就會形成一條軌跡線，這里定義為瞬心線（centrodes）。如果瞬心線退化成一個點(diǎn)，則說明該構(gòu)件的瞬心是固定瞬心或永久瞬心；否則即為瞬時瞬心。永久瞬心的典型表征就是構(gòu)件繞固定轉(zhuǎn)動副時轉(zhuǎn)動副的位置。如果在沒有實(shí)際物理意義上的固定轉(zhuǎn)動副作用，構(gòu)件仍能實(shí)現(xiàn)繞某一固定轉(zhuǎn)軸的連續(xù)轉(zhuǎn)動，我們稱此瞬心為虛擬轉(zhuǎn)動中心（VCM）。4.2.3機(jī)構(gòu)瞬心的其他應(yīng)用4.2平面機(jī)構(gòu)速度分析的瞬心法對于相對運(yùn)動的兩個構(gòu)件，如果取不同構(gòu)件為機(jī)架，則實(shí)際上有2條瞬心線。例如考察四桿機(jī)構(gòu)中連桿相對機(jī)架的瞬心，在機(jī)構(gòu)運(yùn)動過程中可以形成一條瞬心線（稱為定瞬心線）；再將機(jī)構(gòu)倒置，即機(jī)架與連桿互換，這時還可以得到另外一條瞬心線（動瞬心線）?？梢钥闯觯潭ㄋ残木€必通過機(jī)架的兩個運(yùn)動副，而移動瞬心線一定通過連桿的兩個運(yùn)動副。4.2.3機(jī)構(gòu)瞬心的其他應(yīng)用定瞬心線動瞬心線4.2平面機(jī)構(gòu)速度分析的瞬心法假想將這兩條瞬心線加工成實(shí)際物理構(gòu)件的輪廓線，再將兩個連架桿挪走。這時移動瞬心線完全可以相對固定瞬心線作只滾不滑的運(yùn)動。此時原四桿機(jī)構(gòu)的連桿（與移動瞬心線相連）運(yùn)動與原來完全相同?！径ɡ怼浚簝蓚€剛體的相對運(yùn)動完全等效為對應(yīng)的兩個瞬心線之間的純滾動。4.2.3機(jī)構(gòu)瞬心的其他應(yīng)用4.2平面機(jī)構(gòu)速度分析的瞬心法4.2.3機(jī)構(gòu)瞬心的其他應(yīng)用4.2平面機(jī)構(gòu)速度分析的瞬心法數(shù)學(xué)基礎(chǔ)4.3平面機(jī)構(gòu)運(yùn)動分析的解析法封閉向量三角形方程4.3平面機(jī)構(gòu)運(yùn)動分析的解析法Chace法(1963)4.3平面機(jī)構(gòu)運(yùn)動分析的解析法Chace法(1963)4.3平面機(jī)構(gòu)運(yùn)動分析的解析法

Chace法(1963)4.3平面機(jī)構(gòu)運(yùn)動分析的解析法Chace法(1963)4.3平面機(jī)構(gòu)運(yùn)動分析的解析法4.3平面機(jī)構(gòu)運(yùn)動分析的解析法平面機(jī)構(gòu)運(yùn)動分析的基本方法——封閉向量多邊形封閉向量方程：封閉向量方程：向X軸和Y軸投影：坐標(biāo)投影法4.3平面機(jī)構(gòu)運(yùn)動分析的解析法消掉

2改寫為三角方程形式：其中：解得坐標(biāo)投影法4.3平面機(jī)構(gòu)運(yùn)動分析的解析法型參數(shù)M=

1：

3求出后，可解得

2

：表示給定

1

時，

3有兩個值分別對應(yīng)C和C

點(diǎn)。對時間求導(dǎo)可得速度方程：從而解得：坐標(biāo)投影法4.3平面機(jī)構(gòu)運(yùn)動分析的解析法速度方程對時間求導(dǎo)可得加速度方程：進(jìn)而可求出：角加速度的正負(fù)可表明角速度的變化趨向：角加速度與角速度同號表示加速，反之減速。坐標(biāo)投影法4.3平面機(jī)構(gòu)運(yùn)動分析的解析法曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的運(yùn)動分析封閉向量方程：對時間求導(dǎo)得到：（4.4-6）復(fù)代數(shù)法4.3平面機(jī)構(gòu)運(yùn)動分析的解析法運(yùn)用指數(shù)積的求解技巧可對上式進(jìn)一步求解利用歐拉公式得到速度方程再對式（4.4-6）關(guān)于時間求導(dǎo)得到利用歐拉公式得到加速度方程4.3平面機(jī)構(gòu)運(yùn)動分析的解析法復(fù)代數(shù)法一階運(yùn)動影響系數(shù)：對位置方程作相對于輸入變量（如角度）的微分。對上式相對于

1作微分，得到運(yùn)動影響系數(shù)法（Kinematiccoefficients）4.3平面機(jī)構(gòu)運(yùn)動分析的解析法G中的各元素僅與機(jī)構(gòu)各構(gòu)件的運(yùn)動尺寸和相對位置相關(guān)，而與其他量無關(guān)。事實(shí)上，它們都是位置函數(shù)對輸入的微分。只與機(jī)構(gòu)的位形參數(shù)有關(guān)，而與速度等其他運(yùn)動參數(shù)分離的一階（偏）導(dǎo)數(shù)稱為機(jī)構(gòu)的一階運(yùn)動影響系數(shù)。

G稱為一階運(yùn)動影響系數(shù)矩陣，在機(jī)器人領(lǐng)域又普遍被稱為雅可比（Jacobian）矩陣，一般用J表示。運(yùn)動影響系數(shù)法4.3平面機(jī)構(gòu)運(yùn)動分析的解析法二階運(yùn)動影響系數(shù)：對位置方程作相對于輸入變量（如角度）的微分。運(yùn)動影響系數(shù)法4.3平面機(jī)構(gòu)運(yùn)動分析的解析法H矩陣中各元素僅與機(jī)構(gòu)各構(gòu)件的運(yùn)動尺寸和相對位置相關(guān)，而與其他量無關(guān)。只與機(jī)構(gòu)的位形參數(shù)有關(guān)，而與速度等其他運(yùn)動參數(shù)分離的二階（偏）導(dǎo)數(shù)稱為機(jī)構(gòu)的二階運(yùn)動影響系數(shù)。H稱為二階運(yùn)動影響系數(shù)矩陣，在機(jī)器人領(lǐng)域又普遍被稱為Hessian矩陣。運(yùn)動影響系數(shù)法4.3平面機(jī)構(gòu)運(yùn)動分析的解析法平面機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)分析的通用方法總結(jié)【方法1】：直接建立位移解析表達(dá)式：從基于封閉向量多邊形的機(jī)構(gòu)位移解析表達(dá)式出發(fā)，然后求取位移方程的一、二階導(dǎo)數(shù)可以得到對該機(jī)構(gòu)的速度和加速度分析方程。【方法2】：復(fù)數(shù)法：建立復(fù)數(shù)形式的封閉向量多邊形表達(dá)式表示位移方程，進(jìn)而求解速度加速度。該方法是方法1的一種特殊表達(dá)，充分利用了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，從而達(dá)到簡化計算的目的。【方法3】：運(yùn)動影響系數(shù)法：從機(jī)構(gòu)的幾何特性出發(fā)建立機(jī)構(gòu)的一、二階運(yùn)動影響系數(shù)（矩陣）?！痉椒?】：Chace法：利用矢量運(yùn)算技巧求得機(jī)構(gòu)的位移、速度和加速度?！痉椒?】：計算機(jī)輔助分析法：利用桿組法或者工程軟件對機(jī)構(gòu)進(jìn)行參數(shù)化建模，利用計算機(jī)輔助分析，進(jìn)而求得位移、速度和加速度。4.4平面機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)性能指標(biāo)行程速度變化系數(shù)Ｋ曲柄AB搖桿DCθ－極位夾角：當(dāng)從動件在兩極限位置時，對應(yīng)的主動曲柄之間所夾的銳角。4.4.1存在往復(fù)運(yùn)動構(gòu)件的機(jī)構(gòu)急回特性若θ＝0°、Ｋ＝１，則無急回特性；若θ＞0°、Ｋ＞１，則有急回特性。且θ（Ｋ）越大，機(jī)構(gòu)的急回運(yùn)動性質(zhì)也就越明顯。偏置曲柄滑塊機(jī)構(gòu)導(dǎo)桿機(jī)構(gòu)4.4.1存在往復(fù)運(yùn)動構(gòu)件的機(jī)構(gòu)急回特性4.4平面機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)性能指標(biāo)4.4.2傳力特性１）壓力角與傳動角

α－壓力角:力P的作用線與該力作用點(diǎn)速度ｖｃ之間所夾的銳角。切向分力Pt=

Pcosα

法向分力Pn=Psinα壓力角α

的余角γ

稱為傳動角。α

↓

Pt↑

對傳動有利。α

+

γ

＝90oγ↑

Pt↑

對傳動有利。要求：αmax≤[α]γmin

≥[γ]通常

[γ]＝40o，高速大功率機(jī)械通常

[γ]＝50o。4.4平面機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)性能