北理工物理光學(xué)教程第六章題目詳解

朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。第頁(yè)/共頁(yè)-第七講解題指南試說(shuō)明以下幾種光波的偏振態(tài)：及、的合成波。（1）因?yàn)椋核訢是2、4象限線偏振波（2）因?yàn)椋核訢是右旋圓偏振波（3）因?yàn)椋核跃亲笮龍A偏振波（1）試分離寫(xiě)出沿z方向傳揚(yáng)的左、右旋圓偏振波的波函數(shù)表達(dá)式。假設(shè)兩波的頻率均為ω，振幅分離為：。試用瓊斯矢量說(shuō)明上述兩圓偏振波疊加后合成波的偏振態(tài)，并畫(huà)圖表示。，，合成為長(zhǎng)軸在x方向的右旋正橢圓偏振波。一束振動(dòng)方向與圖平面成角的線偏振光波垂直入射到菲涅耳菱形鏡（n=1.51）的端面上，如圖所示。試問(wèn)經(jīng)菱形鏡兩個(gè)斜面反射后，出射光的偏振態(tài)為何？題6－3圖解：入射線偏振波D分解為，對(duì)應(yīng)P分量，對(duì)應(yīng)S分量。一次全反射的位相躍變之差（相對(duì)位相躍變）：代入：求出：所以，出射光：，為右旋圓偏振光。有一橢圓偏振波，其瓊斯矩陣為。試求與之正交、且能量相同的橢圓偏振波的瓊斯矩陣。并畫(huà)圖表示這兩個(gè)波的矢量端點(diǎn)軌跡及旋向。設(shè)：，若：，則于是有：必有：，解出：①當(dāng)時(shí)，振幅系數(shù)滿(mǎn)意：，解出：無(wú)論那種情況，都有：②當(dāng)時(shí)，振幅系數(shù)滿(mǎn)意：，解出：于是有：總之，是與正交，且能量相同的右旋橢圓偏振光。試把橢圓偏振波分解成：兩個(gè)與x軸成角而且互相垂直的線偏振波；兩個(gè)旋轉(zhuǎn)方向相反的圓偏振波。按照偏振光分解基本公式（6－27）：⑴選取正交基⑵選取正交基一束天然光入射到空氣-玻璃（=1.54）界面上。試研究在范圍內(nèi)折、反射光的偏振態(tài)。倘若入射角為，試求反射光和折射光的偏振度。利用菲涅耳公式,(1-124)-(1-127)可以導(dǎo)出：反射光的偏振度：折射光的偏振度：上式推導(dǎo)中利用關(guān)系：，（1－135）代入?yún)?shù)，算出結(jié)果：說(shuō)明入射角等于布儒斯特角，反射光為線偏振光。6-7如圖所示，一細(xì)束平行天然光以布儒斯特角射向反射鏡，反射光再經(jīng)反射鏡（∥）反射，得到出射光。倘若將鏡自圖示位置開(kāi)始繞軸旋轉(zhuǎn)一周。試問(wèn)的光強(qiáng)將如何變化？何時(shí)最強(qiáng)？何時(shí)最弱？題6－7圖解：由Brewst定律可知，成為S分量的線偏振光，振動(dòng)方向垂直于紙面。當(dāng)繞軸轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)角度后，依然滿(mǎn)意Brewst定律，但是因?yàn)槿肷涿孓D(zhuǎn)過(guò)了角，所以對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)以后的入射面來(lái)說(shuō)，S分量的振幅成為：的強(qiáng)度成為：所以，當(dāng)時(shí)，最強(qiáng)，當(dāng)時(shí)，最弱。6-8一線偏振平行光細(xì)光束B(niǎo)垂直入射到平面平行晶板Q上，因?yàn)殡p折射將在屏上形成兩個(gè)光斑和，如圖所示。假設(shè)入射光強(qiáng)度為I，偏振方向平行于圖平面，晶板的光軸在圖平面內(nèi)，相對(duì)晶板表面傾斜一個(gè)角度（見(jiàn)圖）。試問(wèn)：若將Q繞入射光束旋轉(zhuǎn)，兩光斑和的位置及強(qiáng)度將如何變化？若B是天然光，情況又如何？題6－8圖解：設(shè)在初始位置，晶體Q的轉(zhuǎn)角此時(shí)入射光振動(dòng)在主平面內(nèi)，為光。所以為亮點(diǎn)，為暗點(diǎn)。晶體Q轉(zhuǎn)過(guò)角，即晶體Q的主平面轉(zhuǎn)過(guò)了角，此時(shí)有：所以：當(dāng)時(shí)，最亮，為暗點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，為暗點(diǎn)，最亮。當(dāng)入射為天然光時(shí)，無(wú)論Q的主平面轉(zhuǎn)到什么方位，總可以分解為，因而總是有：位于中央，位置不變，亮度不變；繞旋轉(zhuǎn)，亮度不變。（見(jiàn)上圖）為匝數(shù)，I為電流強(qiáng)一束平行鈉光以角自空氣射向方解石晶體，假定晶體光軸平行于界面并且垂直于入射面，如圖所示。試用折射率面作圖法畫(huà)出晶體內(nèi)o光和e光的波矢方向和振動(dòng)方向。試求兩波矢方向的夾角。題6－9圖解：（1）負(fù)單軸晶體（2）算出：一束平行光自空氣射向石英晶體。若入射光方向與晶體光軸方向平行，如圖所示。試問(wèn)這時(shí)是否會(huì)發(fā)生雙折射？題6－10圖正單軸晶體同樣會(huì)發(fā)生雙折射。6－11一束細(xì)的鈉黃光以800角射向一平面平行石英晶板。設(shè)晶板光軸垂直入射面，厚度d=3mm.試求：兩束出射光的距離。o光與e光通過(guò)晶板后的位相差。解：已知：（1）求出（2）6－12圖示等腰棱鏡由某種單軸晶體制成。假設(shè)該棱鏡的光軸垂直于圖面，頂角。測(cè)得o光和e光的最小偏向角分離為：。試求棱鏡晶體的O光折射率和e光折射率。題6－12圖解：當(dāng)和相對(duì)于棱鏡對(duì)稱(chēng)，且折射光芒與棱鏡底邊平行時(shí)，取最小偏向角。無(wú)論O光還是e光，于是：對(duì)于O光：求出：對(duì)于e光：求出：6－13在一對(duì)主方向互相平行的線偏器、之間放一塊光軸垂直于界面的石英晶片Q，以一束白光垂直入射到該系統(tǒng)，如圖所示。若要使出射光中缺少λ=546.1nm的成分，試問(wèn)石英晶片厚度d最小應(yīng)為多少？題6－13圖解：天然光經(jīng)線偏器成為平行于主方向的線偏振光。石英晶體使偏振面旋轉(zhuǎn)角：查時(shí)，當(dāng)時(shí)，偏振光正巧與正交，出射光強(qiáng)第一次為零。所以：6－14試對(duì)尼科耳棱鏡（參見(jiàn)圖6-25）計(jì)算能使o光在膠合面上發(fā)生全反射的最大入射角∠IKH，以及保證e光不發(fā)生全反射的最大入射角∠GKH的大小。設(shè)入射光為鈉黃光。設(shè)光全反射臨界角：當(dāng)入射光沿IK方向，令，當(dāng)光在AD面上的入射角小于時(shí)，光將不發(fā)生全反射。設(shè)光在AB面上的入射角為，折射角為，可求出：以及：由：求出：要計(jì)算光在AD面上發(fā)生全反射的條件則要利用折射率橢球，過(guò)程比較棘手。6－15若格蘭棱鏡由方解石制成，其間用甘油（=1.474）膠合，棱鏡頂角，如圖所示。試求格蘭棱鏡的通光孔徑角。題6－15圖解：已知：求出：當(dāng)沿CB入射時(shí)，加大，光也發(fā)生全反射。設(shè)，求出：當(dāng)沿DB入射時(shí)，減小，光不發(fā)生全反射。設(shè)，求出：最后：6－16將兩塊線偏器疊起來(lái)使用，通過(guò)改變它們主方向之間的夾角可以控制透射光的強(qiáng)度I.假設(shè)時(shí)透射光的強(qiáng)度為，試問(wèn)：欲使,應(yīng)為多少度？若要求I的精度在2％以?xún)?nèi)，角的最大允許誤差為何？解：按照馬呂斯定律：（1）要求，求出：（2）求出：6－17欲用λ/4波片將沿x軸振動(dòng)的線偏振光變成（1）右旋圓偏振光，（2）左旋圓偏振光，試問(wèn)λ/4波片的快軸方向應(yīng)如何放置？并畫(huà)圖加以說(shuō)明。右旋左旋6－18一束線偏振光（λ=589.3nm）正入射到光軸平行于表面的方解石晶片上，設(shè)入射光振動(dòng)方向與光軸成角。試問(wèn)：o光與e光的相對(duì)強(qiáng)度為何？若要使出射光成為正橢圓偏振光（相對(duì)于晶片光軸方向而言），晶片的最小厚度為多大？解：（1）求出：，或（2）要求成為正橢圓，則：，求出：6－19一束強(qiáng)度為I0的左旋圓偏振光先垂直通過(guò)一塊迅速方向沿y軸的片，再通過(guò)一個(gè)線偏器。假設(shè)線偏器的主方向A相對(duì)于y軸左旋了150，如圖所示。試求出射光的強(qiáng)度。題6－19圖解法1：設(shè)入射光為,經(jīng)過(guò)片成為，出射光為因?yàn)榈恼穹?，所以的振幅：出射光?qiáng)度：解法2.應(yīng)用公式(6-114),寫(xiě)出,求出:和解法3.徹低通過(guò)定性分析得出結(jié)論。重要結(jié)論：強(qiáng)度為的圓偏振光（無(wú)論旋向）通過(guò)一塊片（無(wú)論U軸在什么方向），出射光均是線偏振光，強(qiáng)度仍為。入射光為左旋時(shí)，在（U，V）坐標(biāo)系中，出射線偏振光（2－4象限）；入射光為右旋時(shí)，在（U，V）坐標(biāo)系中，出射線偏振光（1－3象限）。自選題:一束振動(dòng)方位角的線偏振光垂直射入一塊方解石晶片（如圖3所示），設(shè)光波長(zhǎng)，方解石晶片的光軸平行于界面，厚度為，。為使出射光成為右旋和左旋圓偏振光，方解石晶片厚度的最小值分離是多少？6－21在晶片Q后面放置一塊λ/4波片，構(gòu)成一個(gè)“Q-λ/4波片復(fù)合系統(tǒng)”，如圖所示。設(shè)Q的兩個(gè)主軸方向平行于表面并分離取為x,y軸，在y方向引入的位相延遲較x方向多。將λ/4波片的主軸方向取為u，v軸，其中u軸為快軸方向，它與x軸的夾角為。寫(xiě)出該復(fù)合系統(tǒng)的瓊斯矩陣。若一束振動(dòng)方向沿u軸的線偏振光垂直入射該系統(tǒng)，試分離用瓊斯矩陣法和振動(dòng)矢量分解法證實(shí)出射光是線偏振光。試求出射光振動(dòng)方向與x軸的夾角θ。（因此，可以利用該復(fù)合系統(tǒng)通過(guò)測(cè)定θ來(lái)求取。）題6－21圖解：（1）該系統(tǒng)的復(fù)合Jones矩陣為：（2）入射光出射光：（3）可知出射光是線偏振光，振動(dòng)方位角用線檢偏器測(cè)出角，可以算出6－22利用兩個(gè)已知主方向的線偏器P和A，以及一個(gè)已知快、慢速方向的λ/4波片，如何決定另一個(gè)λ/4波片的快、慢速方向？解：使線偏器P和A組成正交尼科耳，的快軸方向角（如圖）。的快、慢軸方向待測(cè)。主意1.旋轉(zhuǎn)，當(dāng)轉(zhuǎn)到時(shí)，和組成一塊波片，且快軸的方向角，它使入射線偏振光振動(dòng)方向旋轉(zhuǎn)，與A的主方向平行，透射光強(qiáng)度極大。當(dāng)轉(zhuǎn)到時(shí)，組合波片的，透射光消光。由此可以決定的U，V軸方向。主意2.如圖組成右旋圓起偏器，出射右旋圓偏振光。經(jīng)變?yōu)榫€偏振光，振動(dòng)方向在的（U，V）坐標(biāo)系第一象限，。通過(guò)旋轉(zhuǎn)A，使浮上消光，此時(shí)與A主方向垂直的方向即是線偏振光的振動(dòng)方向，由此方向順時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)，即是的U軸方向。6－23一束振動(dòng)方向沿x軸的線偏光射向一塊λ/2波片。假設(shè)λ/2波片的一個(gè)主方向與x軸的夾角為。試證實(shí)出射光仍是線偏光，并求其振動(dòng)方向與x軸的夾角。今按逆時(shí)針?lè)较颍ㄓ饷⒖匆?jiàn)）旋轉(zhuǎn)λ/2波片，使角逐漸增大。試問(wèn)出射光的振動(dòng)方向與x軸的夾角如何變化？解：說(shuō)明出射光依然是線偏振光，且振動(dòng)方位角，即和相對(duì)于U軸對(duì)稱(chēng)。當(dāng)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)λ/2波片，無(wú)論角為何值，一直保持和相對(duì)于U軸對(duì)稱(chēng)。其中的異常情形是：當(dāng)（N為整數(shù)）時(shí)，和方向重合。6－24設(shè)當(dāng)用線偏振器加λ/4波片主意檢驗(yàn)光波的偏振態(tài)時(shí)，在步驟=1\*GB3①中發(fā)現(xiàn)線偏振器主方向角時(shí)浮上最大透射光光強(qiáng)，在步驟=2\*GB3②中發(fā)現(xiàn)插入λ/4波片后當(dāng)線偏器的時(shí)浮上零光強(qiáng)。試求橢圓偏振光的γ角、β角及旋向，并作暗示圖表示。解：由右圖可知，入射光是長(zhǎng)軸在，短軸在的橢圓偏振光。將片插入，使，于是，出射光成為線偏振光，其振動(dòng)方位角，所以，檢偏器的方位角時(shí)浮上消光。因?yàn)樵谧鴺?biāo)系的第一象限，說(shuō)明進(jìn)入片之前，入射光是右旋橢圓偏振光。（因?yàn)橛倚龣E圓偏振光，而片引入）由右圖的幾何關(guān)系還很容易地得出：橢圓的長(zhǎng)軸方位角：6－25一束時(shí)光圓頻率為ω的左旋圓偏振光射向一塊λ/2波片，令λ/2波片以角速度Ω沿入射偏振光的旋轉(zhuǎn)方向勻速旋轉(zhuǎn)。試證實(shí)：從λ/2波片出射的光為右旋圓偏振光。出射光的時(shí)光圓頻率變成ω-2Ω（因此，本主意可以通過(guò)機(jī)械旋轉(zhuǎn)實(shí)現(xiàn)光波的時(shí)光移頻）。解：入射左旋圓偏振光的Jones矢量為：其中是的時(shí)光角頻率。設(shè)在時(shí)刻，矢量的方向如圖所示，它以角速度左旋。如圖所示，首先考慮在λ/2波片靜止不動(dòng)的情形，設(shè)其迅速方向?yàn)椋芍獣r(shí)刻的矢量通過(guò)λ/2波片后，其方向變?yōu)?，和相?duì)于對(duì)稱(chēng)，且都以角速度左旋。只不過(guò)在λ/2波片的入射面上，而在λ/2波片的出射面上旋轉(zhuǎn)?，F(xiàn)在考慮λ/2波片轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度（以的方向?yàn)閰⒄眨瑥霓D(zhuǎn)到了。按照前面分析，出射光矢量應(yīng)轉(zhuǎn)到，轉(zhuǎn)過(guò)，依然保證和相對(duì)于對(duì)稱(chēng)。倘若λ/2波片以角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，可知從λ/2波片出射的光矢量會(huì)產(chǎn)生一個(gè)角速度為的附加轉(zhuǎn)動(dòng)。因?yàn)棣?2波片的旋轉(zhuǎn)方向和左旋圓偏振光的旋向相同，所以由λ/2波片旋轉(zhuǎn)引入的附加位相延遲應(yīng)和的時(shí)光位相因子相加，以保證相對(duì)位相延遲減小。所以旋轉(zhuǎn)λ/2波片的Jones矩陣可以表示為：因此，出射光的Jones矩陣可以表示為：說(shuō)明從旋轉(zhuǎn)λ/2波片出射的光波成為右旋圓偏振光，且時(shí)光角頻率成為。此主意可用于改變光波的時(shí)光頻率。6－26將一巴比內(nèi)補(bǔ)償器（其兩塊光楔均由石英制成，楔角為）放在正交尼科耳光路中，構(gòu)成一個(gè)系統(tǒng)。若用波長(zhǎng)λ=589nm的平行天然光照明該系統(tǒng)，試問(wèn)：通過(guò)檢偏器看見(jiàn)補(bǔ)償器表面，所看到的