《5.2.1基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)》教案、導(dǎo)學(xué)案與同步練習(xí)

《5.2.1基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)》教案【教材分析】本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修二》第四章《數(shù)列》，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)本節(jié)內(nèi)容通對(duì)基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式的介紹，進(jìn)一步幫助學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)的含義，同時(shí)提升學(xué)生對(duì)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求解運(yùn)算能力，為運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)問題，打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。在學(xué)習(xí)過程中，注意特殊到一般、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法的滲透?！窘虒W(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.能根據(jù)定義求函數(shù)y＝c，y＝x，y=x2，B．掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用．1.數(shù)學(xué)抽象：導(dǎo)數(shù)的概念2.邏輯推理：導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)的幾何意義3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：求曲線在某點(diǎn)處切線的斜率4.直觀想象：導(dǎo)數(shù)的幾何意義【教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)】重點(diǎn)：基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用難點(diǎn)：根據(jù)定義求函數(shù)y＝c，y＝x，y=x2，【教學(xué)過程】教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖一、溫故知新由導(dǎo)數(shù)的定義可知，一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是唯一確定的。在必修第一冊(cè)中我們學(xué)過基本初等函數(shù)，并且知道，很多復(fù)雜函數(shù)都是通過對(duì)這些函數(shù)進(jìn)行加、減、乘、除等運(yùn)算得到的。由此自然想到，能否先求出基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后研究出導(dǎo)數(shù)的“運(yùn)算法則”，這樣就可以利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出復(fù)雜函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。本節(jié)我們就來研究這些問題。二、新知探究1.求函數(shù)在x0處的導(dǎo)數(shù)的方法．(1)求Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．(2)求變化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).(3)求極限的y′|eq\s\do10(x＝x0)＝f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx).2.怎樣求導(dǎo)函數(shù)？(1)求改變量Δy＝f(x＋Δx)－f(x)．(2)求比值eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx＋Δx－fx,Δx).(3)求極限的y′＝f′(x)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx).思考：導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)有什么區(qū)別和聯(lián)系？那么如何求幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？問題解：因?yàn)?y?所以y'=?x若y=c表示路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，則問題解：因?yàn)?y?x=f所以y'=?x若y=x表示路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，則問題解：因?yàn)?y?x==x2+2x?所以y'=?x

y'=2x表示函數(shù)y=x2的圖像，上點(diǎn)x,y當(dāng)x<0時(shí)，隨著x增加，y'越來越小，當(dāng)x>0時(shí)，隨著x增加，y'越來越大，若y=x2表示路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，則y'=2x可解釋為某物體做變速運(yùn)動(dòng)，它在時(shí)刻原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)f′(x)＝f(x)＝sinxf′(x)＝f(x)＝cosxf′(x)＝f(x)＝ax(a>0，且a≠1)f′(x)＝f(x)＝exf′(x)＝f(x)＝logax(a>0，且a≠1)f′(x)＝_______f(x)＝lnxf′(x)＝___0；αxα－1；cosx；－sinx；axlna；ex；eq\f(1,xlna)；eq\f(1,x)1.函數(shù)y＝eq\f(4,x2)在x＝2處的導(dǎo)數(shù)為________．解析：法一(導(dǎo)數(shù)定義法)：∵Δy＝eq\f(4,Δx＋22)－eq\f(4,22)＝eq\f(4,Δx＋22)－1＝－eq\f(Δx2＋4Δx,Δx＋22)，∴eq\f(Δy,Δx)＝－eq\f(Δx＋4,Δx＋22)，∴y′eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,x＝2))＝eq\o(Δx→0,\s\up17(lim))eq\f(Δy,Δx)＝－eq\o(Δx→0,\s\up17(lim))eq\f(Δx＋4,Δx＋22)＝－1.法二(導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值法)：∵Δy＝eq\f(4,x＋Δx2)－eq\f(4,x2)＝－eq\f(4Δx2x＋Δx,x2x＋Δx2)，∴eq\f(Δy,Δx)＝－eq\f(42x＋Δx,x2x＋Δx2)，∴y′＝eq\o(Δx→0,\s\up17(lim))eq\f(Δy,Δx)＝－eq\o(Δx→0,\s\up17(lim))eq\f(42x＋Δx,x2x＋Δx2)＝－eq\f(8,x3).∴y′eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,x＝2))＝－eq\f(8,23)＝－1.答案：－12．常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0說明什么？提示：說明常數(shù)函數(shù)f(x)＝c圖象上每一點(diǎn)處的切線的斜率都為0，即每一點(diǎn)處的切線都平行(或重合)于x軸．3．對(duì)于公式“若f(x)＝xα(α∈Q)，則f′(x)＝αxα－1”，若把“α∈Q”改為“α∈R”，公式是否仍然成立？提示：當(dāng)α∈R時(shí)，f′(x)＝αxα－1仍然成立．4．下列說法正確的個(gè)數(shù)為()①若y＝eq\r(2)，則y′＝eq\f(1,2)×2＝1；②若f′(x)＝sinx，則f(x)＝cosx；③f(x)＝eq\f(1,x3)，則f′(x)＝－eq\f(3,x4).A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)解析：只有③正確．答案：B5．(多選)下列結(jié)論正確的是()A．若y＝0，則y′＝0B．若y＝5x，則y′＝5C．若y＝x－1，則y′＝－x－2D．若y=x12，則y′＝eq\f(1,2)答案：ABC6．若y＝coseq\f(2π,3)，則y′＝()A．－eq\f(\r(3),2)B．－eq\f(1,2)C．0D.eq\f(1,2)答案：C7．函數(shù)y＝eq\r(x)在點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2)))處切線的傾斜角為()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3)D.eq\f(3π,4)答案：B典例解析例1.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．(1)y＝eq\f(1,x5)；(2)y＝eq\f(x2,\r(x))；(3)y＝lgx；(4)y＝5x；(5)y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x)).[解](1)∵y＝eq\f(1,x5)＝x－5，∴y′＝－5x－6.2y=(3)∵y＝lgx，∴y′＝eq\f(1,xln10).(4)∵y＝5x，∴y′＝5xln5.(5)y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＝sinx，∴y′＝cosx.1．若所求函數(shù)符合導(dǎo)數(shù)公式，則直接利用公式求解．2．對(duì)于不能直接利用公式的類型，一般遵循“先化簡(jiǎn)，再求導(dǎo)”的基本原則，避免不必要的運(yùn)算失誤．3．要特別注意“eq\f(1,x)與lnx”，“ax與logax”，“sinx與cosx”的導(dǎo)數(shù)區(qū)別．跟蹤訓(xùn)練1．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝eq\f(x,\r(x))(x＞0)；(2)y＝sin(π－x)；(3)y＝logx.[解](1)∵y＝eq\f(x,\r(x))＝eq\r(x)(x＞0)，∴y′＝(eq\r(x))′＝eq\f(1,2\r(x)).(2)y＝sin(π－x)＝sinx，∴y′＝cosx.(3)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log\f(1,3)x))′＝eq\f(1,xln\f(1,3))＝－eq\f(1,xln3).例2假設(shè)某地在20年間的平均通貨膨脹率為5%，物價(jià)P（單位：元）與時(shí)間t（單位：年）有如下函數(shù)關(guān)系p其中p0為t=0時(shí)的物價(jià)，假定某種商品的解：根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式表有，p'所以；p'10所以，在第10個(gè)年頭這種商品的價(jià)格約以0.08元/年跟蹤訓(xùn)練2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程是S(t)＝sint，則質(zhì)點(diǎn)在t＝時(shí)的速度為______；質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的加速度為_____；解析：v(t)＝S′(t)＝cost，∴veq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2).即質(zhì)點(diǎn)在t＝eq\f(π,3)時(shí)的速度為eq\f(1,2).∵v(t)＝cost，∴加速度a(t)＝v′(t)＝(cost)′＝－sint.[答案]eq\f(1,2)－sint例3已知曲線y＝eq\f(1,x).(1)求曲線在點(diǎn)P(1,1)處的切線方程；(2)求過點(diǎn)Q(1,0)的曲線的切線方程．[解]∵y＝eq\f(1,x)，∴y′＝－eq\f(1,x2).(1)顯然P(1,1)是曲線上的點(diǎn)，所以P為切點(diǎn)，所求切線斜率為函數(shù)y＝eq\f(1,x)在點(diǎn)P(1,1)的導(dǎo)數(shù)，即k＝f′(1)＝－1.所以曲線在P(1,1)處的切線方程為y－1＝－(x－1)，即為x＋y－2＝0.(2)顯然Q(1,0)不在曲線y＝eq\f(1,x)上，則可設(shè)過該點(diǎn)的切線的切點(diǎn)為Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(1,a)))，那么該切線斜率為k＝f′(a)＝－eq\f(1,a2).則切線方程為y－eq\f(1,a)＝－eq\f(1,a2)(x－a)．①將Q(1,0)代入方程：0－eq\f(1,a)＝－eq\f(1,a2)(1－a)．得a＝eq\f(1,2)，代入方程①整理可得切線方程為y＝－4x＋4.利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解決切線問題的兩種情況(1)若已知點(diǎn)是切點(diǎn)，則在該點(diǎn)處的切線斜率就是該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)；(2)如果已知點(diǎn)不是切點(diǎn)，則應(yīng)先設(shè)出切點(diǎn)，再借助兩點(diǎn)連線的斜率公式進(jìn)行求解．跟蹤訓(xùn)練3當(dāng)常數(shù)k為何值時(shí)，直線y1＝x與曲線y2＝x2＋k相切？請(qǐng)求出切點(diǎn)．解：設(shè)切點(diǎn)為A(x0，xeq\o\al(2,0)＋k)．∵y′2＝2x，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x0＝1，,x\o\al(2,0)＋k＝x0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝\f(1,2)，,k＝\f(1,4)，))故當(dāng)k＝eq\f(1,4)時(shí)，直線y1＝x與曲線y2＝x2＋k相切，且切點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2))).通過對(duì)上節(jié)導(dǎo)數(shù)定義及求導(dǎo)步驟的回顧，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)5個(gè)基本函數(shù)運(yùn)用定義求導(dǎo)。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。通過對(duì)5個(gè)基本函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求解，及其導(dǎo)函數(shù)的解釋。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。通過基本問題解決，幫助學(xué)生熟悉基本函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。通過典型例題的分析和解決，幫助學(xué)生熟練掌握8個(gè)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算，直觀想象和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)。三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)1．設(shè)函數(shù)f(x)＝cosx，則eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))))′＝()A．0B．1C．－1D．以上均不正確解析：注意此題中是先求函數(shù)值再求導(dǎo)所以導(dǎo)數(shù)是0答案：A2．下列各式中正確的是()A．(logax)′＝eq\f(1,x)B．(logax)′＝eq\f(ln10,x)C．(3x)′＝3xD．(3x)′＝3xln3解析：由(logax)′＝eq\f(1,xlna)，可知A，B均錯(cuò)；由(3x)′＝3xln3可知D正確．答案：D3．若f(x)＝x2，g(x)＝x3，則滿足f′(x)＋1＝g′(x)的x值為________．解析：由導(dǎo)數(shù)的公式知，f′(x)＝2x，g′(x)＝3x2.因?yàn)閒′(x)＋1＝g′(x)，所以2x＋1＝3x2，即3x2－2x－1＝0，解得x＝1或x＝－eq\f(1,3).答案：1或－eq\f(1,3)4．設(shè)函數(shù)f(x)＝logax，f′(1)＝－1，則a＝________.解析：∵f′(x)＝eq\f(1,xlna)，∴f′(1)＝eq\f(1,lna)＝－1.∴l(xiāng)na＝－1，即a＝eq\f(1,e).答案：eq\f(1,e)5．求與曲線y＝f(x)＝eq\r(3,x2)在點(diǎn)P(8,4)處的切線垂直，且過點(diǎn)(4,8)的直線方程．解：因?yàn)閥＝eq\r(3,x2)，所以y′＝(eq\r(3,x2))′＝(x23)′＝eq\f(2,3)x-13所以f′(8)＝eq\f(2,3)×8＝eq\f(1,3)，即曲線在點(diǎn)P(8,4)處的切線的斜率為eq\f(1,3).所以所求直線的斜率為－3，從而所求直線方程為y－8＝－3(x－4)，即3x＋y－20＝0.6.已知兩條曲線y＝sinx，y＝cosx，是否存在這兩條曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，使在這一點(diǎn)處，兩條曲線的切線互相垂直？并說明理由．解：由于y＝sinx，y＝cosx，設(shè)這兩條曲線的一個(gè)公共點(diǎn)為P(x0，y0)．∴兩條曲線在P(x0，y0)處的斜率分別為：k1＝cosx0，k2＝－sinx0.若使兩條切線互相垂直，必須cosx0·(－sinx0)＝－1，即sinx0·cosx0＝1，也就是sin2x0＝2，這是不可能的．∴兩條曲線不存在公共點(diǎn)，使在這一點(diǎn)處的兩條切線互相垂直．通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。四、小結(jié)1.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式;2.導(dǎo)數(shù)公式的基本運(yùn)用;通過總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力。【教學(xué)反思】從學(xué)生上節(jié)已解決的問題出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)5個(gè)基本函數(shù)運(yùn)用定義進(jìn)行求導(dǎo)，并通過思考、討論、進(jìn)一步理解導(dǎo)數(shù)的含義，進(jìn)而給出8個(gè)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，并通過解題訓(xùn)練，掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式?！?.2.1基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)》導(dǎo)學(xué)案【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.能根據(jù)定義求函數(shù)y＝c，y＝x，y=x2，2．掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用．【重點(diǎn)和難點(diǎn)】重點(diǎn)：基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用難點(diǎn)：根據(jù)定義求函數(shù)y＝c，y＝x，y=x2，【知識(shí)梳理】原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)f′(x)＝f(x)＝sinxf′(x)＝f(x)＝cosxf′(x)＝f(x)＝ax(a>0，且a≠1)f′(x)＝f(x)＝exf′(x)＝f(x)＝logax(a>0，且a≠1)f′(x)＝_______f(x)＝lnxf′(x)＝___1.函數(shù)y＝eq\f(4,x2)在x＝2處的導(dǎo)數(shù)為________．2．常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0說明什么？3．對(duì)于公式“若f(x)＝xα(α∈Q)，則f′(x)＝αxα－1”，若把“α∈Q”改為“α∈R”，公式是否仍然成立？4．下列說法正確的個(gè)數(shù)為()①若y＝eq\r(2)，則y′＝eq\f(1,2)×2＝1；②若f′(x)＝sinx，則f(x)＝cosx；③f(x)＝eq\f(1,x3)，則f′(x)＝－eq\f(3,x4).A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)5．(多選)下列結(jié)論正確的是()A．若y＝0，則y′＝0B．若y＝5x，則y′＝5C．若y＝x－1，則y′＝－x－2D．若y=x12，則y′＝eq\f(1,2)6．若y＝coseq\f(2π,3)，則y′＝()A．－eq\f(\r(3),2)B．－eq\f(1,2)C．0D.eq\f(1,2)7．函數(shù)y＝eq\r(x)在點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2)))處切線的傾斜角為()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3)D.eq\f(3π,4)【學(xué)習(xí)過程】一、學(xué)習(xí)導(dǎo)引由導(dǎo)數(shù)的定義可知，一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是唯一確定的。在必修第一冊(cè)中我們學(xué)過基本初等函數(shù)，并且知道，很多復(fù)雜函數(shù)都是通過對(duì)這些函數(shù)進(jìn)行加、減、乘、除等運(yùn)算得到的。由此自然想到，能否先求出基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后研究出導(dǎo)數(shù)的“運(yùn)算法則”，這樣就可以利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出復(fù)雜函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。本節(jié)我們就來研究這些問題。二、新知探究1.求函數(shù)在x0處的導(dǎo)數(shù)的方法．(1)求Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．(2)求變化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).(3)求極限的y′|eq\s\do10(x＝x0)＝f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx).2.怎樣求導(dǎo)函數(shù)？(1)求改變量Δy＝f(x＋Δx)－f(x)．(2)求比值eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx＋Δx－fx,Δx).(3)求極限的y′＝f′(x)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx).思考：導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)有什么區(qū)別和聯(lián)系？那么如何求幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？問題若y=c表示路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，則問題若y=x表示路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，則問題

y'=2x表示函數(shù)y=x2的圖像，上點(diǎn)x,y當(dāng)x<0時(shí)，隨著x增加，y'越來越小，當(dāng)x>0時(shí)，隨著x增加，y'越來越大，若y=x2表示路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，則y'=2x可解釋為某物體做變速運(yùn)動(dòng)，它在時(shí)刻三、典例解析例1.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．(1)y＝eq\f(1,x5)；(2)y＝eq\f(x2,\r(x))；(3)y＝lgx；(4)y＝5x；(5)y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x)).1．若所求函數(shù)符合導(dǎo)數(shù)公式，則直接利用公式求解．2．對(duì)于不能直接利用公式的類型，一般遵循“先化簡(jiǎn)，再求導(dǎo)”的基本原則，避免不必要的運(yùn)算失誤．3．要特別注意“eq\f(1,x)與lnx”，“ax與logax”，“sinx與cosx”的導(dǎo)數(shù)區(qū)別．跟蹤訓(xùn)練1．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝eq\f(x,\r(x))(x＞0)；(2)y＝sin(π－x)；(3)y＝logx.例2假設(shè)某地在20年間的平均通貨膨脹率為5%，物價(jià)P（單位：元）與時(shí)間t（單位：年）有如下函數(shù)關(guān)系p其中p0為t=0時(shí)的物價(jià)，假定某種商品的跟蹤訓(xùn)練2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程是S(t)＝sint，則質(zhì)點(diǎn)在t＝時(shí)的速度為______；質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的加速度為_____；例3已知曲線y＝eq\f(1,x).(1)求曲線在點(diǎn)P(1,1)處的切線方程；(2)求過點(diǎn)Q(1,0)的曲線的切線方程．利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解決切線問題的兩種情況(1)若已知點(diǎn)是切點(diǎn)，則在該點(diǎn)處的切線斜率就是該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)；(2)如果已知點(diǎn)不是切點(diǎn)，則應(yīng)先設(shè)出切點(diǎn)，再借助兩點(diǎn)連線的斜率公式進(jìn)行求解．跟蹤訓(xùn)練3當(dāng)常數(shù)k為何值時(shí)，直線y1＝x與曲線y2＝x2＋k相切？請(qǐng)求出切點(diǎn)．【達(dá)標(biāo)檢測(cè)】1．設(shè)函數(shù)f(x)＝cosx，則eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))))′＝()A．0B．1C．－1D．以上均不正確2．下列各式中正確的是()A．(logax)′＝eq\f(1,x)B．(logax)′＝eq\f(ln10,x)C．(3x)′＝3xD．(3x)′＝3xln33．若f(x)＝x2，g(x)＝x3，則滿足f′(x)＋1＝g′(x)的x值為________．4．設(shè)函數(shù)f(x)＝logax，f′(1)＝－1，則a＝________.5．求與曲線y＝f(x)＝eq\r(3,x2)在點(diǎn)P(8,4)處的切線垂直，且過點(diǎn)(4,8)的直線方程．6.已知兩條曲線y＝sinx，y＝cosx，是否存在這兩條曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，使在這一點(diǎn)處，兩條曲線的切線互相垂直？并說明理由．【參考答案】知識(shí)梳理0；αxα－1；cosx；－sinx；axlna；ex；eq\f(1,xlna)；eq\f(1,x)1.解析：法一(導(dǎo)數(shù)定義法)：∵Δy＝eq\f(4,Δx＋22)－eq\f(4,22)＝eq\f(4,Δx＋22)－1＝－eq\f(Δx2＋4Δx,Δx＋22)，∴eq\f(Δy,Δx)＝－eq\f(Δx＋4,Δx＋22)，∴y′eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,x＝2))＝eq\o(Δx→0,\s\up17(lim))eq\f(Δy,Δx)＝－eq\o(Δx→0,\s\up17(lim))eq\f(Δx＋4,Δx＋22)＝－1.法二(導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值法)：∵Δy＝eq\f(4,x＋Δx2)－eq\f(4,x2)＝－eq\f(4Δx2x＋Δx,x2x＋Δx2)，∴eq\f(Δy,Δx)＝－eq\f(42x＋Δx,x2x＋Δx2)，∴y′＝eq\o(Δx→0,\s\up17(lim))eq\f(Δy,Δx)＝－eq\o(Δx→0,\s\up17(lim))eq\f(42x＋Δx,x2x＋Δx2)＝－eq\f(8,x3).∴y′eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,x＝2))＝－eq\f(8,23)＝－1.答案：－12．提示：說明常數(shù)函數(shù)f(x)＝c圖象上每一點(diǎn)處的切線的斜率都為0，即每一點(diǎn)處的切線都平行(或重合)于x軸．3．提示：當(dāng)α∈R時(shí)，f′(x)＝αxα－1仍然成立．4．解析：只有③正確．答案：B5．(多選)答案：ABC6．答案：C7．答案：B學(xué)習(xí)過程一、新知探究問題1.

?y?所以y'=?x問題2.

?y?x=f所以y'=?x問題3.

?y?x==x2+2x?所以y'=?x二、典例解析例1.[解](1)∵y＝eq\f(1,x5)＝x－5，∴y′＝－5x－6.2y=(3)∵y＝lgx，∴y′＝eq\f(1,xln10).(4)∵y＝5x，∴y′＝5xln5.(5)y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＝sinx，∴y′＝cosx.跟蹤訓(xùn)練1．[解](1)∵y＝eq\f(x,\r(x))＝eq\r(x)(x＞0)，∴y′＝(eq\r(x))′＝eq\f(1,2\r(x)).(2)y＝sin(π－x)＝sinx，∴y′＝cosx.(3)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log\f(1,3)x))′＝eq\f(1,xln\f(1,3))＝－eq\f(1,xln3).例2解：根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式表有，p'所以；p'10所以，在第10個(gè)年頭這種商品的價(jià)格約以0.08元/年跟蹤訓(xùn)練2解析：v(t)＝S′(t)＝cost，∴veq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2).即質(zhì)點(diǎn)在t＝eq\f(π,3)時(shí)的速度為eq\f(1,2).∵v(t)＝cost，∴加速度a(t)＝v′(t)＝(cost)′＝－sint.[答案]eq\f(1,2)－sint例3[解]∵y＝eq\f(1,x)，∴y′＝－eq\f(1,x2).(1)顯然P(1,1)是曲線上的點(diǎn)，所以P為切點(diǎn)，所求切線斜率為函數(shù)y＝eq\f(1,x)在點(diǎn)P(1,1)的導(dǎo)數(shù)，即k＝f′(1)＝－1.所以曲線在P(1,1)處的切線方程為y－1＝－(x－1)，即為x＋y－2＝0.(2)顯然Q(1,0)不在曲線y＝eq\f(1,x)上，則可設(shè)過該點(diǎn)的切線的切點(diǎn)為Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(1,a)))，那么該切線斜率為k＝f′(a)＝－eq\f(1,a2).則切線方程為y－eq\f(1,a)＝－eq\f(1,a2)(x－a)．①將Q(1,0)代入方程：0－eq\f(1,a)＝－eq\f(1,a2)(1－a)．得a＝eq\f(1,2)，代入方程①整理可得切線方程為y＝－4x＋4.跟蹤訓(xùn)練3解：設(shè)切點(diǎn)為A(x0，xeq\o\al(2,0)＋k)．∵y′2＝2x，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x0＝1，,x\o\al(2,0)＋k＝x0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝\f(1,2)，,k＝\f(1,4)，))故當(dāng)k＝eq\f(1,4)時(shí)，直線y1＝x與曲線y2＝x2＋k相切，且切點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2))).達(dá)標(biāo)檢測(cè)1．解析：注意此題中是先求函數(shù)值再求導(dǎo)所以導(dǎo)數(shù)是0答案：A2．解析：由(logax)′＝eq\f(1,xlna)，可知A，B均錯(cuò)；由(3x)′＝3xln3可知D正確．答案：D3．解析：由導(dǎo)數(shù)的公式知，f′(x)＝2x，g′(x)＝3x2.因?yàn)閒′(x)＋1＝g′(x)，所以2x＋1＝3x2，即3x2－2x－1＝0，解得x＝1或x＝－eq\f(1,3).答案：1或－eq\f(1,3)4．解析：∵f′(x)＝eq\f(1,xlna)，∴f′(1)＝eq\f(1,lna)＝－1.∴l(xiāng)na＝－1，即a＝eq\f(1,e).答案：eq\f(1,e)5．解：因?yàn)閥＝eq\r(3,x2)，所以y′＝(eq\r(3,x2))′＝(x23)′＝eq\f(2,3)x-13所以f′(8)＝eq\f(2,3)×8＝eq\f(1,3)，即曲線在點(diǎn)P(8,4)處的切線的斜率為eq\f(1,3).所以所求直線的斜率為－3，從而所求直線方程為y－8＝－3(x－4)，即3x＋y－20＝0.6.解：由于y＝sinx，y＝cosx，設(shè)這兩條曲線的一個(gè)公共點(diǎn)為P(x0，y0)．∴兩條曲線在P(x0，y0)處的斜率分別為：k1＝cosx0，k2＝－sinx0.若使兩條切線互相垂直，必須cosx0·(－sinx0)＝－1，即sinx0·cosx0＝1，也就是sin2x0＝2，這是不可能的．∴兩條曲線不存在公共點(diǎn)，使在這一點(diǎn)處的兩條切線互相垂直．《5.2.1基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)》基礎(chǔ)同步練習(xí)一、選擇題1．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是（）A．B．C．D．2．已知，則的值為（）A．B．C．D．3．若，則等于（）A．0B．C．3D．4．已知函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，若，則（）A．B．C．D．5．（多選題）下列求導(dǎo)運(yùn)算錯(cuò)誤的是（）A．B．C．D．6．設(shè)，，，…，，，則（）A．B．C．D．二、填空題7．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為_____________.8．已知，則_____________.9．曲線在處的導(dǎo)數(shù)為，則_______．10．已知函數(shù)，，則______．三、解答題11．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）；（2）；（3）.12．曲線在點(diǎn)處的切線方程為.《5.2.1基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)》答案解析一、選擇題1．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是（）A．B．C．D．【答案】B【詳解】因?yàn)椋?2．已知，則的值為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，因此，.3．若，則等于（）A．0B．C．3D．【答案】D【詳解】因?yàn)?，則，所以.4．已知函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，若，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】依題意，故，解得.5．（多選題）下列求導(dǎo)運(yùn)算錯(cuò)誤的是（）A．B．C．D．【答案】C【詳解】，故A不正確；，故B不正確；，故C正確；，故D不正確．6．設(shè)，，，…，，，則（）A．B．C．D．【答案】D【詳解】，，，，，，由此可知：，.二、填空題7．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為_____________.【答案】【解析】由換底公式可知，，∴8．已知，則_____________.【答案】.【解析】因?yàn)椋?，所?9．曲線在處的導(dǎo)數(shù)為，則_______．【答案】【解析】由，得，又曲線在處的導(dǎo)數(shù)為12，所以，．10．已知函數(shù)，，則______．【答案】【解析】，，故，，，，周期為4，故，.三、解答題11．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）；（2）；（3）.【解析】（1）y′＝()′＝（2）∵y＝cos＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx.(3）y′＝[()x]′＝()xln＝.12．曲線在點(diǎn)處的切線方程為.【詳解】設(shè)，則，所以，所以切線方程為，即.《5.2.1基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)》提高同步練習(xí)一、選擇題1．已知，則（）A．B．C．D．2．已知函數(shù)，則（）A．B．C．D．3．已知函數(shù)，則（）A．B．C．1D．34．記函數(shù)表示對(duì)函數(shù)連續(xù)兩次求導(dǎo),即先對(duì)求導(dǎo)得,再對(duì)求導(dǎo)得,下列函數(shù)中滿足的是（）A．B．C．D．5．（多選題）下列求導(dǎo)過程正確的選項(xiàng)是（）A．B．C．D．6.原子有穩(wěn)定和不穩(wěn)定兩種．不穩(wěn)定的原子除天然元素外，主要由核裂變或核聚變過程中產(chǎn)生碎片形成，這些不穩(wěn)定的元素在放出α、β、γ等射線后，會(huì)轉(zhuǎn)變成穩(wěn)定的原子，這種過程稱之為“衰變”．這種不穩(wěn)定的元素就稱為放射性同位素．隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，放射性同位素技術(shù)已經(jīng)廣泛應(yīng)用于醫(yī)學(xué)、航天等眾多領(lǐng)域，并取得了顯著經(jīng)濟(jì)效益．假設(shè)在放射性同位素釷234的衰變過程中，其含量N（單位：貝克）與時(shí)間t（單位：天）滿足函數(shù)關(guān)系，其中N0為時(shí)釷234的含量．已知時(shí)，釷234含量的瞬時(shí)變化率為，則（）A．12貝克B．12ln2貝克C．6貝克D．6ln2貝克二、填空題7．已知函數(shù)且，為的導(dǎo)函數(shù)，且滿足，則____________.8．能說明“若為偶函數(shù)，則為奇函數(shù)”為假命題的一個(gè)函數(shù)是______.9．若正三角形內(nèi)切圓的半徑為r，則該正三角形的周長(zhǎng)C(r)＝6r，面積S(r)＝3r2，發(fā)現(xiàn)S′(r)＝C(r).相應(yīng)地，若正四面體內(nèi)切球的半徑為r，則該正四面體的表面積S(r)＝24r2.請(qǐng)用類比