《4.4 數(shù)學(xué)歸納法》同步檢測(cè)試卷與答案解析

《4.4數(shù)學(xué)歸納法》同步檢測(cè)試卷注意事項(xiàng)：本試卷滿分100分，考試時(shí)間45分鐘，試題共16題．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、單選題1．用數(shù)學(xué)歸納法證明：首項(xiàng)是a1，公差是d的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是Sn＝na1＋d時(shí)，假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，公式成立，則Sk＝()A．a(chǎn)1＋(k－1)dB．C．ka1＋dD．(k＋1)a1＋d2．已知f(n)＝，則()A．f(n)中共有n項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＝＋B．f(n)中共有n＋1項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＝＋＋C．f(n)中共有n2－n項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＝＋D．f(n)中共有n2－n＋1項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＝＋＋3．用數(shù)學(xué)歸納法證明n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2(n∈N*)時(shí)，若記f(n)＝n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)，則f(k＋1)－f(k)等于()A．3k－1B．3k＋1C．8kD．9k4．證明等式12＋22＋32＋…＋n2＝(n∈N*)時(shí)，某學(xué)生的證明過(guò)程如下：①當(dāng)n＝1時(shí)，12＝，等式成立；②假設(shè)n＝k(k∈N*)時(shí)，等式成立，即12＋22＋32＋…＋k2＝，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2＝＋(k＋1)2＝＝＝，所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式也成立，故原式成立．那么上述證明()A．過(guò)程全都正確B．當(dāng)n＝1時(shí)驗(yàn)證不正確C．歸納假設(shè)不正確D．從n＝k到n＝k＋1的推理不正確5．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c對(duì)一切n∈N*都成立，那么a，b，c的值為()A．a(chǎn)＝，b＝c＝B．a(chǎn)＝b＝c＝C．a(chǎn)＝0，b＝c＝D．不存在這樣的a，b，c6.用數(shù)學(xué)歸納法證明3n≥n3(n≥3,n∈N*),第一步驗(yàn)證()A.n=1B.n=2C.n=3D.n=47.利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1+12+13+…+12n-1<n(n≥2,n∈N*)的過(guò)程中,由n=k變到A.1項(xiàng)B.k項(xiàng)C.2k-1項(xiàng)D.2k項(xiàng)8．觀察下列式子:，，，…，則可歸納出小于（）A． B． C． D．二、多選題9.一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題,當(dāng)n=2時(shí)命題成立,且由n=k時(shí)命題成立可以推得n=k+2時(shí)命題也成立,則下列說(shuō)法正確的是()A.該命題對(duì)于n=6時(shí)命題成立B.該命題對(duì)于所有的正偶數(shù)都成立C.該命題何時(shí)成立與k取值無(wú)關(guān)D.以上答案都不對(duì)10．在悠久燦爛的中國(guó)古代文化中，數(shù)學(xué)文化是其中的一朵絢麗的奇葩．《張丘建算經(jīng)》是我國(guó)古代有標(biāo)志性的內(nèi)容豐富的眾多數(shù)學(xué)名著之一，大約創(chuàng)作于公元五世紀(jì)．書中有如下問(wèn)題：“今有女善織，日益功疾，初日織五尺，今一月織九匹三丈，問(wèn)日益幾何？”．其大意為：“有一女子擅長(zhǎng)織布，織布的速度一天比一天快，從第二天起，每天比前一天多織相同數(shù)量的布，第一天織尺，一個(gè)月共織了九匹三丈，問(wèn)從第二天起，每天比前一天多織多少尺布？”．已知匹丈，丈尺，若這一個(gè)月有天，記該女子這一個(gè)月中的第天所織布的尺數(shù)為，，對(duì)于數(shù)列、，下列選項(xiàng)中正確的為（）A． B．是等比數(shù)列C． D．11．意大利數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契是第一個(gè)研究了印度和阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)理論的歐洲人，斐波那契數(shù)列被譽(yù)為是最美的數(shù)列，斐波那契數(shù)列滿足：，，.若將數(shù)列的每一項(xiàng)按照下圖方法放進(jìn)格子里，每一小格子的邊長(zhǎng)為1，記前項(xiàng)所占的格子的面積之和為，每段螺旋線與其所在的正方形所圍成的扇形面積為，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．12．用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)任意的自然數(shù)都成立，則以下滿足條件的的值為（）A． B． C． D．三、填空題13．用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，xn＋yn能被x＋y整除”，當(dāng)?shù)诙郊僭O(shè)n＝2k－1(k∈N*)命題為真時(shí)，進(jìn)而需證n＝________時(shí)，命題亦真．14．用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n∈N*時(shí)，求證：1＋2＋22＋23＋…＋25n－1是31的倍數(shù)”時(shí)，當(dāng)n＝1時(shí)，原式為_(kāi)_________，從n＝k到n＝k＋1時(shí)需增添的項(xiàng)是________________．16．用數(shù)學(xué)歸納法證明：“兩兩相交且不共點(diǎn)的n條直線把平面分為f(n)部分，則f(n)＝1＋.”證明第二步歸納遞推時(shí)，用到f(k＋1)＝f(k)＋________.16.用數(shù)學(xué)歸納法證明1-12+13-14+…+12n-1-12n=1n+1四、解答題17．設(shè)f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)．求證：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．18．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)．(1)計(jì)算a2，a3，a4；(2)猜想an的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．19．已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且滿足a1＝1，an＋1＝an(4－an)，n∈N*.證明an＜an＋1＜2(n∈N*)．20．平面內(nèi)有n(n≥2)個(gè)圓，其中每?jī)蓚€(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，并且每三個(gè)圓都不相交于同一點(diǎn)，記這n個(gè)圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為f(n)，猜想f(n)的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．20．已知f(n)＝1＋＋＋＋＋，－，n∈N*.（1）當(dāng)n＝1，2，3時(shí)，試比較f(n)與g(n)的大小關(guān)系；（2）猜想f(n)與g(n)的大小關(guān)系，并給出證明．21．已知數(shù)列中，是的前項(xiàng)和且是與的等差中項(xiàng)，其中是不為的常數(shù).（1）求.（2）猜想的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.22．觀察下列等式：．．．．．．按照以上式子的規(guī)律：（1）寫出第5個(gè)等式，并猜想第個(gè)等式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明上述所猜想的第個(gè)等式成立．答案解析一、單選題1．用數(shù)學(xué)歸納法證明：首項(xiàng)是a1，公差是d的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是Sn＝na1＋d時(shí)，假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，公式成立，則Sk＝()A．a(chǎn)1＋(k－1)dB．C．ka1＋dD．(k＋1)a1＋d【答案】C【解析】假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，公式成立，只需把公式中的n換成k即可，即Sk＝ka1＋d.2．已知f(n)＝，則()A．f(n)中共有n項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＝＋B．f(n)中共有n＋1項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＝＋＋C．f(n)中共有n2－n項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＝＋D．f(n)中共有n2－n＋1項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＝＋＋【解析】選D由f(n)可知，f(n)中共有n2－n＋1項(xiàng)，且n＝2時(shí)，f(2)＝＋＋3．用數(shù)學(xué)歸納法證明n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2(n∈N*)時(shí)，若記f(n)＝n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)，則f(k＋1)－f(k)等于()A．3k－1B．3k＋1C．8kD．9k【答案】C【解析】因?yàn)閒(k)＝k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)，f(k＋1)＝(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＋(3k－1)＋3k＋(3k＋1)，則f(k＋1)－f(k)＝3k－1＋3k＋3k＋1－k＝8k.4．證明等式12＋22＋32＋…＋n2＝(n∈N*)時(shí)，某學(xué)生的證明過(guò)程如下：①當(dāng)n＝1時(shí)，12＝，等式成立；②假設(shè)n＝k(k∈N*)時(shí)，等式成立，即12＋22＋32＋…＋k2＝，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2＝＋(k＋1)2＝＝＝，所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式也成立，故原式成立．那么上述證明()A．過(guò)程全都正確B．當(dāng)n＝1時(shí)驗(yàn)證不正確C．歸納假設(shè)不正確D．從n＝k到n＝k＋1的推理不正確【答案】A【解析】通過(guò)對(duì)上述證明的分析驗(yàn)證知全都正確，故選A.5．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c對(duì)一切n∈N*都成立，那么a，b，c的值為()A．a(chǎn)＝，b＝c＝B．a(chǎn)＝b＝c＝C．a(chǎn)＝0，b＝c＝D．不存在這樣的a，b，c【答案】A【解析】令n＝1,2,3，得即解得a＝，b＝，c＝.6.用數(shù)學(xué)歸納法證明3n≥n3(n≥3,n∈N*),第一步驗(yàn)證()A.n=1B.n=2C.n=3D.n=4【答案】C【解析】由題知,n的最小值為3,所以第一步驗(yàn)證n=3時(shí)不等式是否成立.7.利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1+12+13+…+12n-1<n(n≥2,n∈N*)的過(guò)程中,由n=k變到A.1項(xiàng)B.k項(xiàng)C.2k-1項(xiàng)D.2k項(xiàng)【答案】D【解析】當(dāng)n=k時(shí),不等式左邊的最后一項(xiàng)為12k-1,而當(dāng)n=k+1時(shí),最后一項(xiàng)為12k+1-1=8．觀察下列式子:，，，…，則可歸納出小于（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由已知式子可知所猜測(cè)分式的分母為，分子第個(gè)正奇數(shù)，即，.故選：C.二、多選題9.一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題,當(dāng)n=2時(shí)命題成立,且由n=k時(shí)命題成立可以推得n=k+2時(shí)命題也成立,則下列說(shuō)法正確的是()A.該命題對(duì)于n=6時(shí)命題成立B.該命題對(duì)于所有的正偶數(shù)都成立C.該命題何時(shí)成立與k取值無(wú)關(guān)D.以上答案都不對(duì)【答案】AB【解析】由n=k時(shí)命題成立可以推出n=k+2時(shí)命題也成立,且n=2時(shí),命題成立,故對(duì)所有的正偶數(shù)都成立.故選AB.10．在悠久燦爛的中國(guó)古代文化中，數(shù)學(xué)文化是其中的一朵絢麗的奇葩．《張丘建算經(jīng)》是我國(guó)古代有標(biāo)志性的內(nèi)容豐富的眾多數(shù)學(xué)名著之一，大約創(chuàng)作于公元五世紀(jì)．書中有如下問(wèn)題：“今有女善織，日益功疾，初日織五尺，今一月織九匹三丈，問(wèn)日益幾何？”．其大意為：“有一女子擅長(zhǎng)織布，織布的速度一天比一天快，從第二天起，每天比前一天多織相同數(shù)量的布，第一天織尺，一個(gè)月共織了九匹三丈，問(wèn)從第二天起，每天比前一天多織多少尺布？”．已知匹丈，丈尺，若這一個(gè)月有天，記該女子這一個(gè)月中的第天所織布的尺數(shù)為，，對(duì)于數(shù)列、，下列選項(xiàng)中正確的為（）A． B．是等比數(shù)列C． D．【答案】BD【解析】由題意可知，數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的公差為，，由題意可得，解得，，，（非零常數(shù)），則數(shù)列是等比數(shù)列，選項(xiàng)正確；，，，選項(xiàng)錯(cuò)誤；，，選項(xiàng)錯(cuò)誤；，，所以，，選項(xiàng)正確.故選：BD11．意大利數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契是第一個(gè)研究了印度和阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)理論的歐洲人，斐波那契數(shù)列被譽(yù)為是最美的數(shù)列，斐波那契數(shù)列滿足：，，.若將數(shù)列的每一項(xiàng)按照下圖方法放進(jìn)格子里，每一小格子的邊長(zhǎng)為1，記前項(xiàng)所占的格子的面積之和為，每段螺旋線與其所在的正方形所圍成的扇形面積為，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)殪巢瞧鯏?shù)列總滿足，所以，，，類似的有，，累加得，由題知，故選項(xiàng)A正確，對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，，，類似的有，累加得，故選項(xiàng)B正確，對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)椋?，，類似的有，累加得，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對(duì)于D選項(xiàng)，可知扇形面積，故，故選項(xiàng)D正確，故選：ABD.12．用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)任意的自然數(shù)都成立，則以下滿足條件的的值為（）A． B． C． D．【答案】CD【解析】取，則，不成立；取，則，不成立；取，則，成立；取，則，成立；下證：當(dāng)時(shí)，成立.當(dāng)，則，成立；設(shè)當(dāng)時(shí)，有成立，則當(dāng)時(shí)，有，令，則，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)，不等式也成立，由數(shù)學(xué)歸納法可知，對(duì)任意的都成立.故選：CD.三、填空題13．用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，xn＋yn能被x＋y整除”，當(dāng)?shù)诙郊僭O(shè)n＝2k－1(k∈N*)命題為真時(shí)，進(jìn)而需證n＝________時(shí)，命題亦真．【答案】2k＋1【解析】∵n為正奇數(shù)，且與2k－1相鄰的下一個(gè)奇數(shù)是2k＋1，∴需證n＝2k＋1時(shí)，命題成立．14．用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n∈N*時(shí)，求證：1＋2＋22＋23＋…＋25n－1是31的倍數(shù)”時(shí)，當(dāng)n＝1時(shí)，原式為_(kāi)_________，從n＝k到n＝k＋1時(shí)需增添的項(xiàng)是________________．【答案】1＋2＋22＋23＋2425k＋25k＋1＋25k＋2＋25k＋3＋25k＋4【解析】當(dāng)n＝1時(shí)，原式應(yīng)加到25×1－1＝24，所以原式為1＋2＋22＋23＋24，從n＝k到n＝k＋1時(shí)需添25k＋25k＋1＋…＋25(k＋1)－1.16．用數(shù)學(xué)歸納法證明：“兩兩相交且不共點(diǎn)的n條直線把平面分為f(n)部分，則f(n)＝1＋.”證明第二步歸納遞推時(shí)，用到f(k＋1)＝f(k)＋________.【答案】k＋1【解析】f(k)＝1＋，f(k＋1)＝1＋，∴f(k＋1)－f(k)＝＝k＋1，∴f(k＋1)＝f(k)＋(k＋1)．16.用數(shù)學(xué)歸納法證明1-12+13-14+…+12n-1-12n=1n+1+1【答案】1-1【解析】當(dāng)n=1時(shí),應(yīng)當(dāng)驗(yàn)證的第一個(gè)式子是1-12=12,從“n=k”到四、解答題17．設(shè)f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)．求證：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．【解析】當(dāng)n＝2時(shí)，左邊＝f(1)＝1，右邊＝2×＝1，左邊＝右邊，等式成立．假設(shè)n＝k(k≥2，k∈N*)時(shí)，等式成立，即f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]，那么，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)＝k[f(k)－1]＋f(k)＝(k＋1)f(k)－k＝(k＋1)－k＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)＝(k＋1)[f(k＋1)－1]，∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)等式仍然成立．∴f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．18．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)．(1)計(jì)算a2，a3，a4；(2)猜想an的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．【解析】(1)a1＝1，a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝.(2)由(1)的計(jì)算猜想an＝.下面用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．①當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1，猜想成立．②假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，猜想成立，即ak＝，那么ak＋1＝，即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，猜想也成立．根據(jù)①②可知，對(duì)任意n∈N*都有an＝.19．已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且滿足a1＝1，an＋1＝an(4－an)，n∈N*.證明an＜an＋1＜2(n∈N*)．【解析】①當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1，a2＝a1(4－a1)＝，∴a1＜a2＜2，命題正確．②假設(shè)n＝k時(shí)，有ak＜ak＋1＜2，則n＝k＋1時(shí)，ak＋1－ak＋2＝ak(4－ak)－ak＋1(4－ak＋1)＝2(ak－ak＋1)－(ak－ak＋1)·(ak＋ak＋1)＝(ak－ak＋1)(4－ak－ak＋1)．而ak－ak＋1＜0,4－ak－ak＋1＞0，∴ak＋1－ak＋2＜0.又ak＋2＝ak＋1(4－ak＋1)＝[4－(ak＋1－2)2]＜2，∴n＝k＋1時(shí)命題正確．由①②知，對(duì)一切n∈N*都有ak＜ak＋1＜2.20．平面內(nèi)有n(n≥2)個(gè)圓，其中每?jī)蓚€(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，并且每三個(gè)圓都不相交于同一點(diǎn)，記這n個(gè)圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為f(n)，猜想f(n)的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．【解析】n＝2時(shí)，f(2)＝2＝1×2，n＝3時(shí)，f(3)＝2＋4＝6＝2×3，n＝4時(shí)，f(4)＝6＋6＝12＝3×4，n＝5時(shí)，f(5)＝12＋8＝20＝4×5，猜想f(n)＝n(n－1)(n≥2)．下面用數(shù)學(xué)歸納法給出證明：①當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＝2＝2×(2－1)，猜想成立．②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2，k∈N*)，時(shí)猜想成立，即f(k)＝k(k－1)，則n＝k＋1時(shí)，其中圓O與其余k個(gè)圓各有兩個(gè)交點(diǎn)，而由假設(shè)知這k個(gè)圓有f(k)個(gè)交點(diǎn)，所以這k＋1個(gè)圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)f(k＋1)＝