高中數(shù)學(xué)《6.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理》課件與課后作業(yè)

6.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理人教A版（2019）選擇性必修第三冊(cè)新知導(dǎo)入

用一個(gè)大寫的英文字母或一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字給教室里的座位編號(hào)，總共能編出多少種不同的號(hào)碼？分析:因?yàn)榇髮懹⑽淖帜腹灿?6個(gè)，阿拉伯?dāng)?shù)字共有10個(gè)，所以總共可以編出26+10=36個(gè)不同的號(hào)碼.

新知導(dǎo)入從甲地到乙地，可以乘火車或乘汽車或乘輪船.其中，火車有4班,汽車有2班，輪船有3班.那么從甲地到乙地共有多少種不同的方法?分析:從甲地到乙地可以乘火車（4班）、乘汽車（2班）、乘輪船（3班），所以從甲地到乙地共有4+2+3=9種不同的方法.

新知導(dǎo)入思考：你能說出上述兩個(gè)問題有什么共同特征嗎？回答：要完成上述兩件事情（給座位編號(hào)、從甲地到乙地），都有不同的方案（每種方案包含多種方法）可以獨(dú)立完成需求.思考：你能舉出生活中類似的例子嗎？一個(gè)班學(xué)生站成一排照相，有多少不同的站法.學(xué)校食堂打菜，總共5個(gè)菜，每人選3個(gè)不同的菜，有多少種不同的選擇.新知講解分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有：

每類中的任意一種方法都能獨(dú)立完成這件事情.N=m+n

種不同的方法課堂練習(xí)(1)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同.(

)(2)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，每類方案中的方法都能獨(dú)立完成這件事.(

)×√例題講解例1在填寫高考志愿表時(shí)，一名高中畢業(yè)生了解到，A，B兩所大學(xué)各有一些自己感興趣的強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)，具體情況如下：A大學(xué)B大學(xué)生物學(xué)化學(xué)醫(yī)學(xué)物理學(xué)工程學(xué)數(shù)學(xué)會(huì)計(jì)學(xué)信息技術(shù)學(xué)法學(xué)如果這名同學(xué)只能選一個(gè)專業(yè)，那么他共有多少種選擇？例題講解

解：這名同學(xué)可以選擇A，B兩所大學(xué)中的一所，在A大學(xué)中有5種專業(yè)選擇方法，在B大學(xué)中有4種專業(yè)選擇方法，因?yàn)闆]有一個(gè)強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)是兩所大學(xué)共有的，所以根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，這名同學(xué)可能的專業(yè)選擇種數(shù)

N=5+4=9新知講解思考：如果完成一件事有三類不同方案，每類方案中又分別有m,n,k種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法？答：N=m+n+k思考：如果完成一件事有n類不同方案.在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，……，在第n類方案中有mn種不同的方法，則完成這件事共有多少種不同的方法？答：N=m1+m2+……+mn新知導(dǎo)入用前6個(gè)大寫英文字母和1～9這9個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字，以A1，A2，...，A9，B1，B2，...的方式給教室里的座位編號(hào)，總共能編出多少種不同的號(hào)碼？思考：該問題與前一個(gè)問題有什么區(qū)別？答：該問題中，要完成編號(hào)，既要有大寫英文字母，又要有阿拉伯?dāng)?shù)字，只有兩者同時(shí)存在，才能完成座位編號(hào)；上一問題中，只要有英文字母或者數(shù)字中的一個(gè)即可完成座位編號(hào).新知講解字母數(shù)字得到的號(hào)碼A123456789A1A2A3A4A5A6A7A8A9

解析:由于前6個(gè)英文字母中的任意一個(gè)都能與9個(gè)數(shù)字中的任意一個(gè)組成一個(gè)號(hào)碼，而且它們互不相同，因此共有6×9＝54種不同的號(hào)碼.新知講解思考：你能說出上述問題有什么特征嗎？答：要完成上述事情，既要找出大寫英文字母又要找到阿拉伯?dāng)?shù)字，然后結(jié)合這兩步才能將這件事最終完成.新知講解完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有

只有各個(gè)步驟都完成才算做完這件事情.分步乘法計(jì)數(shù)原理N=m×n種不同的方法課堂練習(xí)(1)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，每個(gè)步驟中完成這個(gè)步驟的方法是各不相同的.(

)(2)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，事情是分兩步完成的，其中任何一個(gè)單獨(dú)的步驟都能完成這件事.(

)×√例題講解例2某班有男生30名，女生24名，從中選男生和女生各1名代表班級(jí)參加比賽，共有多少種不同的選法？解：第一步，從30名男生中選出1名，有30種不同選法；第二步，從24名女生中選出1名，有24種不同選法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有30×24=720種不同的選法．例題講解例3書架的第1層放有4本不同的計(jì)算機(jī)書,第2層放有3本不同的文藝書,第3層放有2本不同的體育書.(1)從書架上任取1本書,有多少種不同的取法?解：從書架上任取1本書，有三種方案：第一種方案從第1層取1本計(jì)算機(jī)書，有4種方法；第二種方案從第2層取1本文藝書，有3種方法；第三種方案從第3層取1本體育書，有2種方法．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有4+3+2=9種.例題講解(2)從書架的第1、2、3層各取1本書,有多少種不同取法?解：分3步完成：第1步，從第1層取,1本計(jì)算機(jī)書，有4種方法；第2步，從第,2層取1本文藝書，有3種方法；第3步，從第,3層取1本體育書，有2種方法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有4×3×2=24種.課堂練習(xí)1、完成一項(xiàng)工作，有兩種方法，有5個(gè)人只會(huì)用第一種方法，另外有4個(gè)人只會(huì)用第二種方法，從這9個(gè)人中選1個(gè)人完成這項(xiàng)工作，則不同的選法共有（）A．5種 B．4種 C．9種 D．20種2、我校教學(xué)樓共有5層，每層均有2個(gè)樓梯，由一樓到五樓共有（）種走法A．10種 B．16種 C．25種 D．32種CB課堂練習(xí)3、某公司利用業(yè)余時(shí)間開設(shè)太極、書法、繪畫三個(gè)培訓(xùn)班，甲、乙、丙、丁四人報(bào)名參加，每人只報(bào)名參加一項(xiàng)，且甲、乙不參加同一項(xiàng)，則不同的報(bào)名方法種數(shù)為_____________.544、現(xiàn)有5種不同的顏色要對(duì)圖形中(如圖)的四個(gè)部分涂色,要求有公共邊的兩部分不能用同一顏色,則不同的涂色方法有____

種.180拓展提高5、現(xiàn)某學(xué)校共有34人自愿組成數(shù)學(xué)建模社團(tuán)，其中高一年級(jí)13人，高二年級(jí)12人,高三年級(jí)9人.(1)選其中一人為負(fù)責(zé)人，共有多少種不同的選法？答：13+12+9=34（種）(2)每個(gè)年級(jí)選一名組長(zhǎng)，有多少種不同的選法？答：13×12×9＝1404（種）拓展提高(3)選兩人作為代表,要求這兩人來自不同的年級(jí)，有多少種不同的選法？答：分三種情況討論：①若選出的是高一、高二學(xué)生，有13×12＝156種情況；②若選出的是高一、高三學(xué)生，有13×9＝117種情況；③若選出的是高二、高三學(xué)生，有12×9＝108種情況；由分類加法原理可得，共有156+117+108＝381種選法.鏈接高考6、某城市地鐵公司為鼓勵(lì)人們綠色出行，決定按照乘客經(jīng)過地鐵站的數(shù)量實(shí)施分段優(yōu)惠政策，不超過9站的地鐵票價(jià)如下表所示，現(xiàn)有小華、小李兩位乘客同時(shí)從起點(diǎn)乘坐同一輛地鐵，已知他們乘坐地鐵都不超過9站，且他們各自在每個(gè)站下地鐵的可能性是相同的.乘坐站數(shù)0<x≤33<x≤66<x≤9票價(jià)（元）234鏈接高考（1）若小華、小李兩人共付費(fèi)5元，則小華、小李下地鐵的方案共有多少種？答：小華、小李兩人共付費(fèi)5元，所以小華、小李一人付費(fèi)2元一人付費(fèi)3元，付費(fèi)2元的乘坐站數(shù)有1，2，3三種選擇，付費(fèi)3元的乘坐站數(shù)有4，5，6三種選擇.如果小華付費(fèi)2元，小李付費(fèi)3元，有3+3=6種方案；如果小李付費(fèi)2元，小華付費(fèi)3元，也有3+3=6種方案.所以小華、小李下地鐵的方案共有6+6=12種.鏈接高考（2）若小華、小李兩人共付費(fèi)6元，求小華比小李先下地鐵的方案共有多少種？答：小華、小李兩人共付費(fèi)6元，所以小華、小李一人付費(fèi)2元一人付費(fèi)4元或兩人都付費(fèi)3元.①如果小華、小李一人付費(fèi)2元一人付費(fèi)4元，且要滿足小華比小李先下地鐵，只能是小華付費(fèi)2元（乘坐站數(shù)有1，2，3三種方法），小李付費(fèi)4元（乘坐站數(shù)有7，8，9三種方法），所以共有3×3=9種方法.②如果兩人都付費(fèi)3元，且要滿足小華比小李先下地鐵，則可能有：小華坐了4站，小李坐了5或6站2種方法；小華坐了5站，小李坐了6站1種方法.共有2+1=3種方法.9+3=12板書設(shè)計(jì)6.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理一、新知導(dǎo)入二、新知講解1.分類加法計(jì)數(shù)原理2.分步乘法計(jì)數(shù)原理三、例題講解四、課堂練習(xí)五、拓展提高六、課堂總結(jié)七、作業(yè)布置作業(yè)布置課本P5~P6練習(xí)

第1~4題第六章

§6.1

分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理《第1課時(shí)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理及其簡(jiǎn)單應(yīng)用》課后作業(yè)知識(shí)點(diǎn)一分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝

種不同的方法.m＋n知識(shí)梳理完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝

種不同的方法.思考如何區(qū)分“完成一件事”是分類還是分步？答案區(qū)分“完成一件事”是分類還是分步，關(guān)鍵看一步能否完成這件事，若能完成，則是分類，否則，是分步.知識(shí)點(diǎn)二分步乘法計(jì)數(shù)原理m×n1.在分類加法計(jì)數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同.(

)2.在分類加法計(jì)數(shù)原理中，每類方案中的方法都能完成這件事.(

)3.在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，事情若是分兩步完成，那么其中任何一個(gè)單獨(dú)的步驟都不能完成這件事，只有兩個(gè)步驟都完成后，這件事情才算完成.(

)4.從甲地經(jīng)丙地到乙地是分步問題.(

)思考辨析判斷正誤SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU×√√√一、分類加法計(jì)數(shù)原理解析因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以m>n.當(dāng)m＝4時(shí)，n＝1,2,3；當(dāng)m＝3時(shí)，n＝1,2；當(dāng)m＝2時(shí)，n＝1，即所求的橢圓共有3＋2＋1＝6(個(gè)).√解析因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以m<n，當(dāng)m＝1時(shí)，n＝2,3,4；當(dāng)m＝2時(shí)，n＝3,4；當(dāng)m＝3時(shí)，n＝4，即所求的橢圓共有3＋2＋1＝6(個(gè)).A.6個(gè) B.8個(gè)

C.12個(gè) D.16個(gè)√解析因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以m>n.當(dāng)m＝5時(shí)，n＝1,2,3,4.當(dāng)m＝4時(shí)，n＝1,2,3.當(dāng)m＝3時(shí)，n＝1,2.當(dāng)m＝2時(shí)，n＝1.即所求的橢圓共有4＋3＋2＋1＝10(個(gè)).2.條件變?yōu)椤霸O(shè)集合A＝{1,2,3,4,5}，m，n∈A”，其他條件不變，有A.8個(gè) B.10個(gè)C.12個(gè) D.16個(gè)√反思感悟應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理應(yīng)注意如下問題(1)明確題目中所指的“完成一件事”是什么事，完成這件事可以有哪些方法，怎樣才算是完成這件事.(2)無論哪類方案中的哪種方法都可以獨(dú)立完成這件事，而不需要再用到其他的方法，即各類方法之間是互斥的，并列的，獨(dú)立的.跟蹤訓(xùn)練1

某校高三共有三個(gè)班，各班人數(shù)如下表：

男生人數(shù)女生人數(shù)總?cè)藬?shù)高三(1)班302050高三(2)班303060高三(3)班352055(1)從三個(gè)班中任選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會(huì)主席，有多少種不同的選法？解從三個(gè)班中任選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會(huì)主席，共有三類不同的方案.第1類，從高三(1)班中選出1名學(xué)生，有50種不同的選法；第2類，從高三(2)班中選出1名學(xué)生，有60種不同的選法；第3類，從高三(3)班中選出1名學(xué)生，有55種不同的選法.根據(jù)分類加法計(jì)算原理知，從三個(gè)班中任選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會(huì)主席，共有50＋60＋55＝165(種)不同的選法.(2)從高三(1)班、(2)班男生中或從高三(3)班女生中選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會(huì)生活部部長(zhǎng)，有多少種不同的選法？

男生人數(shù)女生人數(shù)總?cè)藬?shù)高三(1)班302050高三(2)班303060高三(3)班352055解從高三(1)班、(2)班男生中或從高三(3)班女生中選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會(huì)生活部部長(zhǎng)，共有三類不同的方案.第1類，從高三(1)班男生中選出1名學(xué)生，有30種不同的選法；第2類，從高三(2)班男生中選出1名學(xué)生，有30種不同的選法；第3類，從高三(3)班女生中選出1名學(xué)生，有20種不同的選法.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知，從高三(1)班、(2)班男生中或從高三(3)班女生中選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會(huì)生活部部長(zhǎng)，共有30＋30＋20＝80(種)不同的選法.二、分步乘法計(jì)數(shù)原理例2已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)表示平面上的點(diǎn)(a，b∈M).問：(1)P(a，b)可表示平面上多少個(gè)不同的點(diǎn)？解確定平面上的點(diǎn)P(a，b)可分兩步完成：第一步，確定a的值，共有6種方法；第二步，確定b的值，也有6種方法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，得到平面上的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是6×6＝36.(2)P(a，b)可表示平面上多少個(gè)第二象限的點(diǎn)？解確定第二象限的點(diǎn)，可分兩步完成：第一步，確定a，由于a<0，所以有3種不同的確定方法；第二步，確定b，由于b>0，所以有2種不同的確定方法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，得到第二象限點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3×2＝6.反思感悟利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解題的一般思路(1)分步：將完成這件事的過程分成若干步.(2)計(jì)數(shù)：求出每一步中的方法數(shù).(3)結(jié)論：將每一步中的方法數(shù)相乘得最終結(jié)果.跟蹤訓(xùn)練2從－1,0,1,2這四個(gè)數(shù)中選三個(gè)不同的數(shù)作為函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的系數(shù)，可組成不同的二次函數(shù)共____個(gè)，其中不同的偶函數(shù)共___個(gè).(用數(shù)字作答)解析一個(gè)二次函數(shù)對(duì)應(yīng)著a，b，c(a≠0)的一組取值，a的取法有3種，b的取法有3種，c的取法有2種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有不同的二次函數(shù)3×3×2＝18(個(gè)).若二次函數(shù)為偶函數(shù)，則b＝0.a的取法有3種，c的取法有2種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有不同的偶函數(shù)3×2＝6(個(gè)).186三、兩個(gè)原理的綜合應(yīng)用例3現(xiàn)有5幅不同的國(guó)畫，2幅不同的油畫，7幅不同的水彩畫.(1)從中任選一幅畫布置房間，有幾種不同的選法？解分為三類：從國(guó)畫中選，有5種不同的選法；從油畫中選，有2種不同的選法；從水彩畫中選，有7種不同的選法.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有5＋2＋7＝14(種)不同的選法.(2)從這些國(guó)畫、油畫、水彩畫中各選一幅布置房間，有幾種不同的選法？解分為三步：國(guó)畫、油畫、水彩畫各有5種，2種，7種不同的選法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有5×2×7＝70(種)不同的選法.(3)從這些畫中選出兩幅不同種類的畫布置房間，有幾種不同的選法？解分為三類：第一類是一幅選自國(guó)畫，一幅選自油畫，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，有5×2＝10(種)不同的選法；第二類是一幅選自國(guó)畫，一幅選自水彩畫，有5×7＝35(種)不同的選法；第三類是一幅選自油畫，一幅選自水彩畫，有2×7＝14(種)不同的選法.所以共有10＋35＋14＝59(種)不同的選法.反思感悟使用兩個(gè)原理的原則使用兩個(gè)原理解題時(shí)，一定要從“分類”“分步”的角度入手，“分類”是對(duì)于較復(fù)雜應(yīng)用問題的元素分成互相排斥的幾類，逐類解決，用分類加法計(jì)數(shù)原理；“分步”就是把問題分化為幾個(gè)互相關(guān)聯(lián)的步驟，然后逐步解決，這時(shí)可用分步乘法計(jì)數(shù)原理.跟蹤訓(xùn)練3如圖，甲地到乙地有3條公路可走，從乙地到丙地有2條公路可走，從甲地不經(jīng)過乙地到丙地有2條水路可走.從甲地到丙地共有多少種不同的走法？解要從甲地到丙地共有兩類不同的方案：第1類，從甲地經(jīng)乙地到丙地，共需兩步完成：第1步，從甲地到乙地，有3條公路可走；第2步，從乙地到丙地，有2條公路可走.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，從甲地經(jīng)乙地到丙地有3×2＝6(種)不同的走法.第2類，從甲地不經(jīng)乙地到丙地，有2條水路可走，即有2種不同的走法.由分類加法計(jì)數(shù)原理知，從甲地到丙地共有6＋2＝8(種)不同的走法.123451.從A地到B地，可乘汽車、火車、輪船三種交通工具，如果一天內(nèi)汽車發(fā)3次，火車發(fā)4次，輪船發(fā)2次，那么一天內(nèi)乘坐這三種交通工具的不同走法數(shù)為A.1＋1＋1＝3 B.3＋4＋2＝9C.3×4×2＝24 D.以上都不對(duì)√提高演練2.從3名女同學(xué)和2名男同學(xué)中選出一人主持本班一次班會(huì)，則不同的選法種數(shù)為A.6 B.5 C.3 D.212345√123453.現(xiàn)有四件不同款式的上衣與三條不同顏色的長(zhǎng)褲，如果選一條長(zhǎng)褲與一件上衣配成一套，那么不同的選法種數(shù)為A.7 B.64 C.12 D.81√4.用1,2,3這三個(gè)數(shù)字能寫出____個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的兩位偶數(shù).123452123455.一個(gè)袋子里放有6個(gè)球，另一個(gè)袋子里放有8個(gè)球，每個(gè)球各不相同，從兩個(gè)袋子里各取一個(gè)球，共有_____種不同的取法.48課堂小結(jié)KETANGXIAOJIE1.知識(shí)清單：(1)分類加法計(jì)數(shù)原理.(2)分步乘法計(jì)數(shù)原理.2.方法歸納：分類討論.3.常見誤區(qū)：“分類”與“分步”不清，導(dǎo)致計(jì)數(shù)錯(cuò)誤.1.某同學(xué)從4本不同的科普雜志，3本不同的文摘雜志，2本不同的娛樂新聞雜志中任選一本閱讀，則不同的選法共有A.24種 B.9種 C.3種 D.26種解析不同的雜志本數(shù)為4＋3＋2＝9，從其中任選一本閱讀，共有9種選法.基礎(chǔ)鞏固12345678910111213141516√2.圖書館的書架有3層，第1層有3本不同的數(shù)學(xué)書，第2層有5本不同的語文書，第3層有8本不同的英語書，現(xiàn)從中任取1本書，則不同的取法共有A.120種 B.16種 C.64種D.39種12345678910111213141516√解析由于書架上有3＋5＋8＝16(本)書，則從中任取1本書，共有16種不同的取法.3.已知x∈{2,3,7}，y∈{－31，－24,4}，則(x，y)可表示不同的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是A.1 B.3 C.6 D.912345678910111213141516解析這件事可分為兩步完成：第一步，在集合{2,3,7}中任取一個(gè)值x有3種方法；第二步，在集合{－31，－24，4}中任取一個(gè)值y有3種方法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理知，有3×3＝9個(gè)不同的點(diǎn).√4.從集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取兩個(gè)互不相等的數(shù)a，b組成復(fù)數(shù)a＋bi，其中虛數(shù)有A.30個(gè) B.42個(gè) C.36個(gè) D.35個(gè)12345678910111213141516√解析要完成這件事可分兩步，第一步確定b(b≠0)，有6種方法，第二步確定a，有6種方法，故由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有6×6＝36(個(gè))虛數(shù).123456789101112131415165.滿足a，b∈{－1,0,1,2}，且關(guān)于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實(shí)數(shù)解的有序?qū)崝?shù)對(duì)(a，b)的個(gè)數(shù)為A.14 B.13 C.12 D.10√解析由已知得ab≤1.當(dāng)a＝－1時(shí)，b＝－1,0,1,2，有4種可能；當(dāng)a＝0時(shí)，b＝－1,0,1,2，有4種可能；當(dāng)a＝1時(shí)，b＝－1,0,1，有3種可能；當(dāng)a＝2時(shí)，b＝－1,0，有2種可能.∴共有(a，b)的個(gè)數(shù)為4＋4＋3＋2＝13.123456789101112131415166.一個(gè)禮堂有4個(gè)門，若從任一個(gè)門進(jìn)，從任一個(gè)門出，共有不同走法____種.16解析由分步乘法計(jì)數(shù)原理得共有4×4＝16(種)走法.123456789101112131415167.若在如圖1的電路中，只合上一個(gè)開關(guān)可以接通電路，有____種不同的方法；在如圖2的電路中，合上兩個(gè)開關(guān)可以接通電路，有____種不同的方法.5612345678910111213141516解析對(duì)于圖1，按要求接通電路，只要在A中的兩個(gè)開關(guān)或B中的三個(gè)開關(guān)中合上一個(gè)即可，故有2＋3＝5(種)不同的方法.對(duì)于圖2，按要求接通電路必須分兩步進(jìn)行：第一步，合上A中的一個(gè)開關(guān)；第二步，合上B中的一個(gè)開關(guān)，故有2×3＝6(種)不同的方法.8.用1,2,3這3個(gè)數(shù)字可寫出沒有重復(fù)數(shù)字的整數(shù)有____個(gè).1234567891011121314151615解析分三類：第一類為一位整數(shù)，有3個(gè)；第二類為兩位整數(shù)，有12,13,21,23,31,32，共6個(gè)；第三類為三位整數(shù)，有123,132,213,231,312,321，共6個(gè).∴可寫出沒有重復(fù)數(shù)字的整數(shù)有3＋6＋6＝15(個(gè)).123456789101112131415169.有一項(xiàng)活動(dòng)，需從3位教師、8名男同學(xué)和5名女同學(xué)中選人參加.(1)若只需1人參加，則有多少種不同的選法？解選1人，可分三類：第1類，從教師中選1人，有3種不同的選法；第2類，從男同學(xué)中選1人，有8種不同的選法；第3類，從女同學(xué)中選1人，有5種不同的選法.共有3＋8＋5＝16(種)不同的選法.12345678910111213141516(2)若需教師、男同學(xué)、女同學(xué)各1人參加，則有多少種不同的選法？解選教師、男同學(xué)、女同學(xué)各1人，分三步進(jìn)行：第1步，選教師，有3種不同的選法；第2步，選男同學(xué)，有8種不同的選法；第3步，選女同學(xué)，有5種不同的選法.共有3×8×5＝120(種)不同的選法.1234567891011121314151610.若直線方程Ax＋By＝0中的A，B可以從0,1,2,3,5這五個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)不同的數(shù)字，則方程所表示的不同直線共有多少條？解分兩類完成：第一類：當(dāng)A或B中有一個(gè)為0時(shí)，表示直線為x＝0或y＝0，共有2條；第二類：當(dāng)A，B都不取0時(shí)，直線Ax＋By＝0被確定需分兩步完成：第一步，確定A的值，從1,2,3,5中選一個(gè)，共有4種不同的方法；第二步，確定B的值，共有3種不同的方法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共確定4×3＝12(條)直線.由分類加法計(jì)數(shù)原理，方程所表示的不同直線有2＋12＝14(條).11.某班小張等4位同學(xué)報(bào)名參加A，B，C三個(gè)課外活動(dòng)小組，每位同學(xué)限報(bào)其中一個(gè)小組，且小張不能報(bào)A小組，則不同的報(bào)名方法有A.27種 B.36種 C.54種 D.81種綜合運(yùn)用12345678910111213141516解析小張的報(bào)名方法有2種，其他3位同學(xué)各有3種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有2×3×3×3＝54(種)不同的報(bào)名方法，選C.√12.(多選)已知集合A＝{－1,2,3,4}，m，n∈A，則對(duì)于方程

＝1的說法正確的是A.可表示3個(gè)不同的圓B.可表示6個(gè)不同的橢圓C.可表示3個(gè)不同的雙曲線D.表示焦點(diǎn)位于x軸上的橢圓有3個(gè)12345678910111213141516√√√12345678910111213141516若橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，則m>n>0，當(dāng)m＝4時(shí)，n＝2,3；當(dāng)m＝3時(shí)，n＝2，即所求的橢圓共有2＋1＝3(個(gè))，選項(xiàng)D正確；解析因信息可以分開沿不同的路線同時(shí)傳遞，由分類加法計(jì)數(shù)原理，完成從A向B傳遞有四種方法：12→5→3,12→6→4,12→6→7,12→8→6，故單位時(shí)間內(nèi)傳遞的最大信息量為四條不同網(wǎng)線上傳遞的最大信息量的和：3＋4＋6＋6＝19.1234567891011121314151613.如圖所示，小圓圈表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點(diǎn)，結(jié)點(diǎn)之間的線段表示它們有網(wǎng)線相連，連線標(biāo)注的數(shù)字表示該段網(wǎng)線單位時(shí)間內(nèi)可以通過的最大信息量.現(xiàn)從結(jié)點(diǎn)A向結(jié)點(diǎn)B傳遞信息，信息可以分開沿不同的路線同時(shí)傳遞，則單位時(shí)間內(nèi)傳遞的最大信息量為A.26B.24C.20D.19√1234567891011121314151614.從1,2,3,4,5五個(gè)數(shù)中任取3個(gè)，可組成不同的等差數(shù)列的個(gè)數(shù)為A.2B.4C.6D.8解析分兩類：第一類，公差大于0，有①1,2,3，②2,3,4，③3,4,5，④1,3,5，共4個(gè)等差數(shù)列；第二類，公差小于0，也有4個(gè)等差數(shù)列，即①3,2,1，②4,3,2，③5,4,3，④5,3,1.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可知，共有4＋4＝8(個(gè))不同的等差數(shù)列.√拓廣探究1234567891011121314151615.設(shè)m∈{1,2,3,4}，n∈{－12，－8，－4，－2}，則函數(shù)f(x)＝x3＋mx＋n在區(qū)間[1,2]上有零點(diǎn)的概率是____.12345678910111213141516解析根據(jù)題意，f′(x)＝3x2＋m，又因?yàn)閙>0，所以f′(x)＝3x2＋m>0，故f(x)＝x3＋mx＋n在R上單調(diào)遞增，若函數(shù)f(x)＝x3＋mx＋n在區(qū)間[1,2]上有零點(diǎn)，只需滿足條件f(1)≤0且f(2)≥0，所以m＋n≤－1且2m＋n≥－8，所以－2m－8≤n≤－m－1，當(dāng)m＝1時(shí)，n?。?，－4，－8；當(dāng)m＝2時(shí)，n?。?，－8，－12；12345678910111213141516當(dāng)m＝3時(shí)，n?。?，－8，－12；當(dāng)m＝4時(shí)，n?。?，－12.共11種取法，而m有4種選法，n有4種選法，則函數(shù)f(x)＝x3＋mx＋n有4×4＝16(種)情況，1234567891011121314151616.“漸升數(shù)”是指每個(gè)數(shù)字比它左邊的數(shù)字大的正整數(shù)(如1458)，若把四位“漸升數(shù)”按從小到大的順序排列，求第30個(gè)“漸升數(shù)”.解“漸升數(shù)”由小到大排列，則1在首位，2在百位的“漸升數(shù)”有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21(個(gè))；1在首位，3在百位，4在十位的“漸升數(shù)”有5個(gè)；1在首位，3在百位，5在十位的“漸升數(shù)”有4個(gè)，此時(shí)“漸升數(shù)”有21＋5＋4＝30(個(gè))，因此按從小到大的順序排列，第30個(gè)“漸升數(shù)”必為1359.6.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘

法計(jì)數(shù)原理（2）人教A版(2019)選擇性必修第三冊(cè)新知導(dǎo)入班上有25名男生，20名女生，要從中選擇1人擔(dān)任班長(zhǎng)，一共有多少種不同的選法？分析:可以從25名男生中選擇一位擔(dān)任班長(zhǎng)，共有25種不同的選法；也可以從20名女生中選擇一位擔(dān)任班長(zhǎng)，共有20種不同的選法.所以共有25+20=45種不同的選法.

新知導(dǎo)入要完成一項(xiàng)工作，有兩種方法可以完成，有5個(gè)人只會(huì)用第一種方法，另外4個(gè)人只會(huì)用第二種方法，從這9個(gè)人中選擇一人來完成這項(xiàng)工作，有多少種不同的選法？分析:會(huì)使用第一種方法的有5個(gè)人，所以可以有5種選法；會(huì)使用第二種方法的有4個(gè)人，可以有4種選法.所以，要完成該項(xiàng)工作，總共可以有5+4=9種不同的選法.

合作探究思考：上述兩個(gè)問題有什么共同特征？回答：要完成上述兩件事情（選出班長(zhǎng)、完成一項(xiàng)工作），都有不同的方案（每種方案包含多種方法）可以獨(dú)立完成需求.新知講解完成一件事，有n類辦法.在第1類辦法中有m1種不同的方法，在第2類辦法中有m2種不同的方法，…，在第n類辦法中有mn種不同的方法，則完成這件事共有N=m1+m2+…+mn種不同的方法

分類加法計(jì)數(shù)原理每類中的任意一種方法都能獨(dú)立完成這件事情.新知導(dǎo)入新學(xué)期開學(xué)，甲、乙、丙3位同學(xué)從5個(gè)宿舍中挑選一個(gè)入住（可以選擇相同的宿舍），可以有多少種不同的入住方法？分析:甲同學(xué)可以從5個(gè)宿舍中挑選一個(gè)入住，有5種方法；乙同學(xué)也可以從5個(gè)宿舍中挑選一個(gè)入住，有5種方法；丙同學(xué)也可以從5個(gè)宿舍中挑選一個(gè)入住，有5種方法.共有5x5x5=125種不同的方法.

新知導(dǎo)入班上有25名男生，20名女生，要分別從男生和女生中各選擇1名擔(dān)任數(shù)學(xué)課代表，一共有多少種不同的選法？分析:從25名男生中選擇1名擔(dān)任數(shù)學(xué)課代表，有25種不同的選法；從20名女生中選擇1名擔(dān)任數(shù)學(xué)課代表，有20種不同的選法.故共有25x20=500種不同的選法.合作探究思考：上述兩個(gè)問題有什么共同特征？回答：要完成上述兩件事情（選宿舍、選課代表），要將每一位學(xué)生都安排好宿舍或者要從男生和女生種都選擇一名數(shù)學(xué)課代表，那么這件事情才算完成.新知講解完成一件事，有n個(gè)步驟.在第1步中有m1種不同的方法，在第2步中有m2種不同的方法，…，在第n步中有mn種不同的方法，則完成這件事共有N=m1x

m2x…xmn種不同的方法.

分步乘法計(jì)數(shù)原理

只有各個(gè)步驟都完成才算做完這件事情.例題講解例4要從甲、乙、丙3幅不同的畫中選出2幅，分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置，共有多少種不同的掛法？解：從3幅不同的畫中選出2幅分別掛在左、右兩邊墻上，要分兩步完成：

1、從3幅畫中選出1幅掛在左邊墻上，有3種選法；

2、從剩下的2幅畫中選出1幅掛在右邊墻上，有2種選法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有3x2=6種不同的掛法.例題講解例5給程序模塊命名，需要用3個(gè)字符，其中首個(gè)字符要求用字母A~G或U~Z，后兩個(gè)字符要求用數(shù)字1～9，最多可以給多少個(gè)程序模塊命名？分析：要給一個(gè)程序模塊命名，可以分三個(gè)步驟：第一步，選首字符；第二步，先中間字符；第三步，選末位字符.解：由分類加法計(jì)數(shù)原理，首字符共有7+6＝13種不同的選法.即最多可以給1053個(gè)程序模塊命名.后兩個(gè)字符從1~9中選，因?yàn)閿?shù)字不能重復(fù)，所以不同選法的種數(shù)都為9.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同名稱的個(gè)數(shù)是13×9×9＝1053，例題講解例6電子元件很容易實(shí)現(xiàn)電路的通與斷、電位的高與底等兩種狀態(tài)，而這也是最容易控制的兩種狀態(tài).因此計(jì)算機(jī)內(nèi)部就采用了每一位只有0或1兩種數(shù)字的記數(shù)法，即二進(jìn)制.為了使計(jì)算機(jī)能夠識(shí)別字符，需要對(duì)字符進(jìn)行編碼，每個(gè)字符可以用1個(gè)或多個(gè)字節(jié)來表示，其中字節(jié)是計(jì)算機(jī)中數(shù)據(jù)存儲(chǔ)的最小計(jì)量單位，每個(gè)字節(jié)由８?jìng)€(gè)二進(jìn)制位構(gòu)成.（1）1個(gè)字節(jié)（8位）最多可以表示多少個(gè)不同的字符？（2）計(jì)算機(jī)漢字國(guó)標(biāo)碼（GB碼）包含了6763個(gè)漢字，一個(gè)漢字為一個(gè)字符，要對(duì)這些漢字進(jìn)行編碼，每個(gè)漢字至少要用多少個(gè)字節(jié)表示？例題講解分析：（1）由于每個(gè)字節(jié)有8個(gè)二進(jìn)制位，每一位上的值都有0，1兩種選擇，而且不同的順序代表不同的字符，因此可以用分步乘法計(jì)數(shù)原理求解；（2）只要計(jì)算出多少個(gè)字節(jié)所能表示的不同字符不少于6763個(gè)即可.第1位第2位第3位第8位2種2種2種2種……解：（1）用如右圖表示1個(gè)字節(jié).1個(gè)字節(jié)共有8位，每位上有2種選擇，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，1個(gè)字節(jié)最多可以表示不同字符的個(gè)數(shù)是2x2x2x2x2x2x2x2=28=256例題講解（2）由（1）知，1個(gè)字節(jié)所能表示的不同字符不夠6763個(gè)，我們考慮2個(gè)字節(jié)能夠表示多少個(gè)字符.前1個(gè)字節(jié)有256種不同的表示方法，后1個(gè)字節(jié)也有256種表示方法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，2個(gè)字節(jié)可以表示不同字符的個(gè)數(shù)為256x256=65536.該值大于漢字國(guó)標(biāo)碼包含的漢字個(gè)數(shù)6763.因此要對(duì)這些漢字進(jìn)行編碼，每個(gè)漢字至少要用2個(gè)字節(jié)表示.例題講解例7計(jì)算機(jī)編程人員在編寫好程序以后需要對(duì)程序進(jìn)行測(cè)試.程序員需要知道到底有多少條執(zhí)行路（即程序從開始到結(jié)束的路線），以便知道需要提供多少個(gè)測(cè)試數(shù)據(jù).一般地，一個(gè)程序模塊由許多子模塊組成，如圖，這是一個(gè)具有許多執(zhí)行路徑的程序模塊。(1)這個(gè)程序模塊有多少條執(zhí)行路徑？(2)為了減少測(cè)試時(shí)間，程序員需要設(shè)法減少測(cè)試次數(shù)，你能幫助程序員設(shè)計(jì)一個(gè)測(cè)試方式，以減少測(cè)試次數(shù)嗎？開始子模塊118條執(zhí)行路徑子模塊328條執(zhí)行路徑子模塊245條執(zhí)行路徑子模塊543條執(zhí)行路徑子模塊438條執(zhí)行路徑結(jié)束A例題講解開始子模塊118條執(zhí)行路徑子模塊328條執(zhí)行路徑子模塊245條執(zhí)行路徑子模塊543條執(zhí)行路徑子模塊438條執(zhí)行路徑結(jié)束A分析：整個(gè)模塊的任意一條執(zhí)行路徑都分兩步完成：第1步是從開始執(zhí)行到A點(diǎn)；第2步是從A點(diǎn)執(zhí)行到結(jié)束.而第1步可由子模塊1、子模塊2、子模塊3中任何一個(gè)來完成；第2步可由子模塊4、子模塊5中任何一個(gè)來完成.因此，分析一條指令在整個(gè)模塊的執(zhí)行路徑需要用到兩個(gè)計(jì)數(shù)原理.例題講解開始子模塊118條執(zhí)行路徑子模塊328條執(zhí)行路徑子模塊245條執(zhí)行路徑子模塊543條執(zhí)行路徑子模塊438條執(zhí)行路徑結(jié)束A解：(1)由分類加法計(jì)數(shù)原理，子模塊1、子模塊2、子模塊3中的子路徑條數(shù)共為18+45+28=91條；子模塊4、子模塊5中的子路徑條數(shù)共為38+43=81條；由分步乘法計(jì)數(shù)原理，整個(gè)模塊的執(zhí)行路徑條數(shù)共為91x81=7371條例題講解(2)在實(shí)際測(cè)試中，程序員總是把每一個(gè)子模塊看成一個(gè)黑箱，即通過只考察是否執(zhí)行了正確的子模塊的方式來測(cè)試整個(gè)模塊.這樣，他可以先分別單獨(dú)測(cè)試5個(gè)模塊，以考察每個(gè)子模塊的工作是否正常.總共需要的測(cè)試次數(shù)為18+45+28+38+43=172.再測(cè)試各個(gè)模塊之間的信息交流是否正常，需要測(cè)試的次數(shù)為：3x2=6.如果每個(gè)子模塊都正常工作，并且各個(gè)子模塊之間的信息交流也正常，那么整個(gè)程序模塊就工作正常.這樣，測(cè)試整個(gè)模塊的次數(shù)就變?yōu)?72+6=178（次）例題講解例8通常，我國(guó)民用汽車號(hào)牌的編碼由兩部分組成：第一部分為由漢字表示的省、自治區(qū)、直轄市簡(jiǎn)稱和用英文字母表示的發(fā)牌機(jī)關(guān)代碼，第二部分為由阿拉伯?dāng)?shù)字和英文字母組成的序號(hào).其中，序號(hào)的編碼規(guī)則為：（1）由10個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字和除O、I之外的24個(gè)英文字母組成；（2）最多只能有2個(gè)英文字母.如果某地級(jí)市發(fā)牌機(jī)關(guān)采用5位序號(hào)編碼，那么這個(gè)發(fā)牌機(jī)關(guān)最多能發(fā)放多少?gòu)埰囂?hào)牌？例題講解解：由號(hào)牌編號(hào)的組成可知，這個(gè)發(fā)牌機(jī)關(guān)所能發(fā)放的最多號(hào)牌數(shù)就是序號(hào)的個(gè)數(shù).根據(jù)序號(hào)編碼規(guī)則，5位序號(hào)可以分為三類：沒有字母，有1個(gè)字母，有2個(gè)字母.（1）當(dāng)沒有字母時(shí)，序號(hào)的每一位都是數(shù)字.確定一個(gè)序號(hào)可以分5個(gè)步驟，每一步都可以從10個(gè)數(shù)字中選1個(gè)，各有10種選法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，這類號(hào)牌張數(shù)為：10x10x10x10x10=10000.例題講解（2）當(dāng)有1個(gè)字母時(shí)，這個(gè)字母可以分別在序號(hào)的第1位、第2位、第3位、第4位或第5位，這類序號(hào)可以分為五個(gè)子類.

當(dāng)?shù)?位是字母時(shí)，分5個(gè)步驟確定一個(gè)序號(hào)中的字母和數(shù)字：第1步，從24個(gè)字母中選1個(gè)放在第1位，有24種選法；第2~5步都是從10個(gè)數(shù)字中選1個(gè)放在相應(yīng)的位置，各有10種選法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，號(hào)牌張數(shù)為24x10x10x10x10=240000.同樣，其余四個(gè)子類號(hào)牌也各有240000張.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，這類號(hào)牌張數(shù)一共為240000+240000+240000+240000+240000=1200000.例題講解（3）當(dāng)有2個(gè)字母時(shí)，根據(jù)這2個(gè)字母在序號(hào)中的位置，可以將這類序號(hào)分為十個(gè)子類：第1位和第2位，第1位和第3位，第1位和第4位，第1位和第5位；第2位和第3位，第2位和第4位，第2位和第5位；第3位和第4位，第3位和第5位；第4位和第5位。當(dāng)?shù)?位和第2位是字母時(shí)，分5個(gè)步驟確定一個(gè)序號(hào)中的字母和數(shù)字：第1~2步都是從24個(gè)字母中選1個(gè)分別放在第1位、第2位，各有24種選法；第3~5步都是從10個(gè)數(shù)字中選1個(gè)放在相應(yīng)的位置，各有10種選法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，號(hào)牌張數(shù)為24x24x10x10x10=576000.同樣，其余九個(gè)子類號(hào)牌也各有576000張.則這類號(hào)牌張數(shù)一共為576000x10=5760000張.例題講解綜合（1）（2）（3），根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，這個(gè)發(fā)牌機(jī)關(guān)最多能發(fā)放的汽車號(hào)牌張數(shù)為100000+1200000+5760000=7060000課堂練習(xí)1.用0，1，…，9十個(gè)數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為() A.243 B.252 C.261 D.279B2.如圖所示，用4種不同的顏色涂入圖中的矩形A，B，C，D中，要求相鄰的矩形涂色不同，則不同的涂法有()A.72種B.48種C.24種D.12種A3.如圖所示，在連結(jié)正八邊形的三個(gè)頂點(diǎn)而成的三角形中，與正八邊形有公共邊的三角形有________個(gè)(用數(shù)字作答).40拓展提高4.某班一天上午有4節(jié)課，每節(jié)都需要安排1名教師去上課，現(xiàn)從A，B，C，D，E，F(xiàn)這6名教師中安排4人分別上一節(jié)課，第一節(jié)課只能從A，B兩人中安排一個(gè)，第四節(jié)課只能從A，C兩人中安排一人，則不同的安排方案共有___

_種.365.工人在安裝一個(gè)正六邊形零件時(shí)，需要固定如圖所示的六個(gè)位置的螺栓.若按一定順序?qū)⒚總€(gè)螺栓固定緊，但不能連續(xù)固定相鄰的2個(gè)螺栓.則不同的固定螺栓方式的種數(shù)是________．60拓展提高6.將編號(hào)1，2，3，4的小球放入編號(hào)為1，2，3的盒子中,要求不允許有空盒子,且球與盒子的編號(hào)不能相同,則不同的放球方法有（）A．6種

B．9種

C．12種

D．18種C鏈接高考7.如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會(huì)合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動(dòng)，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為()BA.24 B.18 C.12 D.9連接高考8.從0，2中選一個(gè)數(shù)字．從1，3，5中選兩個(gè)數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)．其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為()A．24 B．18 C．12 D．6B由于題目要求的是奇數(shù)，那么對(duì)此三位數(shù)可以分成兩種情況：奇偶奇；偶奇奇．如果是第一種奇偶奇的情況，可以從個(gè)位開始分析(3種選擇)，之后十位(2種選擇)，最后百位(2種選擇)，共12種；如果是第二種情況偶奇奇，分析同理：個(gè)位(3種情況)，十位(2種情況)，百位(不能是0，一種情況)，共6種，因此總共12+6=18種情況．板書設(shè)計(jì)6.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理一、新知導(dǎo)入二、新知講解1.分類加法計(jì)數(shù)原理2.分步乘法計(jì)數(shù)原理三、例題講解四、課堂練習(xí)五、拓展提高六、課堂總結(jié)七、作業(yè)布置作業(yè)布置課本P11~P12習(xí)題6.1第六章

§6.1

分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理《第2課時(shí)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用》課后作業(yè)知識(shí)點(diǎn)一兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系

分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理相同點(diǎn)回答的都是有關(guān)做一件事的不同方法種數(shù)的問題不同點(diǎn)針對(duì)的是“分類”問題不同點(diǎn)各種方法相互獨(dú)立，用其中任何一種方法都可以做完這件事各個(gè)步驟中的方法互相依存，只有每一個(gè)步驟都完成才算做完這件事知識(shí)梳理用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決計(jì)數(shù)問題時(shí)，最重要的是在開始計(jì)算之前要仔細(xì)分析兩點(diǎn)：一、要完成的“一件事”是什么；二、需要分類還是需要分步.(1)分類要做到“

”，分類后再分別對(duì)每一類進(jìn)行計(jì)數(shù)，最后用分類加法計(jì)數(shù)原理

，得到總數(shù).(2)分步要做到“

”，即完成了所有步驟，恰好完成任務(wù).分類后再計(jì)算每一步的方法數(shù)，最后根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)

，得到總數(shù).知識(shí)點(diǎn)二兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用不重不漏求和步驟完整相乘思考分類“不重不漏”的含義是什么？答案“不重”即各類之間沒有交叉點(diǎn)，“不漏”即各類的并集是全集.預(yù)習(xí)小測(cè)自我檢驗(yàn)YUXIXIAOCEZIWOJIANYAN1.一個(gè)科技小組中有4名女同學(xué)、5名男同學(xué)，從中任選1名同學(xué)參加學(xué)科競(jìng)賽，共有不同的選派方法___種，若從中任選1名女同學(xué)和1名男同學(xué)參加學(xué)科競(jìng)賽，共有不同的選派方法____種.9解析根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，從中任選1名同學(xué)參加學(xué)科競(jìng)賽，共有5＋4＝9(種)選派方法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，從中任選1名女同學(xué)和1名男同學(xué)參加學(xué)科競(jìng)賽，共有4×5＝20(種)選派方法.202.有一排四個(gè)信號(hào)顯示窗，每個(gè)窗可亮紅燈、綠燈或不亮燈，則這排信號(hào)顯示窗所發(fā)出的信號(hào)種數(shù)是____.81解析每個(gè)信號(hào)顯示窗都有3種可能，故有3×3×3×3＝34＝81(種)不同信號(hào).4.多項(xiàng)式(a1＋a2＋a3)(b1＋b2)＋(a4＋a5)(b3＋b4)展開式共有____項(xiàng).103.十字路口來往的車輛，如果不允許回頭，共有____種行車路線.12解析起點(diǎn)為4種可能性，終點(diǎn)為3種可能性，則行車路線共有4×3＝12(種).解析共有3×2＋2×2＝10(項(xiàng)).一、組數(shù)問題解三位數(shù)字的電話號(hào)碼，首位可以是0，數(shù)字也可以重復(fù)，每個(gè)位置都有5種排法，共有5×5×5＝53＝125(個(gè)).例1

用0,1,2,3,4五個(gè)數(shù)字.(1)可以排成多少個(gè)三位數(shù)字的電話號(hào)碼？解三位數(shù)的首位不能為0，但可以有重復(fù)數(shù)字，首先考慮首位的排法，除0外共有4種方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100(個(gè)).(2)可以排成多少個(gè)三位數(shù)？題型探究解被2整除的數(shù)即偶數(shù)，末位數(shù)字可取0,2,4，因此，可以分兩類，一類是末位數(shù)字是0，則有4×3＝12(種)排法；一類是末位數(shù)字不是0，則末位有2種排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3種排法，十位有3種排法，因此有2×3×3＝18(種)排法.因而有12＋18＝30(種)排法.即可以排成30個(gè)能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).(3)可以排成多少個(gè)能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？延伸探究由本例中的五個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)？解完成“組成無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)”這件事，可以分四步：第一步定個(gè)位，只能從1,3中任取一個(gè)，有2種方法；第二步定首位，從1,2,3,4中除去用過的一個(gè)，從剩下的3個(gè)中任取一個(gè)，有3種方法；第三步，第四步把剩下的包括0在內(nèi)的3個(gè)數(shù)字先排百位有3種方法，再排十位有2種方法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有2×3×3×2＝36(個(gè)).反思感悟?qū)τ诮M數(shù)問題，應(yīng)掌握以下原則(1)明確特殊位置或特殊數(shù)字，是我們采用“分類”還是“分步”的關(guān)鍵.一般按特殊位置(末位或首位)分類，分類中再按特殊位置(特殊元素)優(yōu)先的策略分步完成，如果正面分類較多，可采用間接法求解.(2)要注意數(shù)字“0”不能排在兩位數(shù)或兩位數(shù)以上的數(shù)的最高位.跟蹤訓(xùn)練1

用0,1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字且比2000大的四位偶數(shù)？解完成這件事可分為三類：第一類是個(gè)位數(shù)字為0的比2000大的四位偶數(shù)，可以分三步完成：第一步，選取千位上的數(shù)字，只有2,3,4,5可以選擇，有4種選法；第二步，選取百位上的數(shù)字，除0和千位上已選定的數(shù)字以外，還有4個(gè)數(shù)字可以選擇，有4種選法；第三步，選取十位上的數(shù)字，有3種選法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，這類數(shù)的個(gè)數(shù)為4×4×3＝48.第二類是個(gè)位數(shù)字為2的比2000大的四位偶數(shù)，可以分三步完成：第一步，選取千位上的數(shù)字，除去2,1,0只有3個(gè)數(shù)字可以選擇，有3種選法；第二步，選取百位上的數(shù)字，在去掉已經(jīng)確定的首尾2個(gè)數(shù)字之后，還有4個(gè)數(shù)字可以選擇，有4種選法；第三步，選取十位上的數(shù)字，有3種選法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，這類數(shù)的個(gè)數(shù)為3×4×3＝36.第三類是個(gè)位數(shù)字為4的比2000大的四位偶數(shù)，其方法步驟同第二類.對(duì)以上三類用分類加法計(jì)數(shù)原理，得所求無重復(fù)數(shù)字且比2000大的四位偶數(shù)有48＋36＋36＝120(個(gè)).二、占位模型中標(biāo)準(zhǔn)的選擇例2

(1)4名同學(xué)選報(bào)跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三個(gè)項(xiàng)目，每人報(bào)一項(xiàng)，共有多少種報(bào)名方法？解要完成的是“4名同學(xué)每人從三個(gè)項(xiàng)目中選一項(xiàng)報(bào)名”這件事，因?yàn)槊咳吮貓?bào)一項(xiàng)，4人都報(bào)完才算完成，所以按人分步，且分為四步，又每人可在三項(xiàng)中選一項(xiàng)，選法為3種，所以共有3×3×3×3＝81(種)報(bào)名方法.(2)4名同學(xué)選報(bào)跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三個(gè)項(xiàng)目，每項(xiàng)限報(bào)一人，且每人至多報(bào)一項(xiàng)，共有多少種報(bào)名方法？解每項(xiàng)限報(bào)一人，且每人至多報(bào)一項(xiàng)，因此跑步項(xiàng)目有4種選法，跳高項(xiàng)目有3種選法，跳遠(yuǎn)項(xiàng)目只有2種選法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得不同的報(bào)名方法有4×3×2＝24(種).(3)4名同學(xué)爭(zhēng)奪跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三項(xiàng)冠軍，共有多少種可能的結(jié)果？解要完成的是“三個(gè)項(xiàng)目冠軍的獲取”這件事，因?yàn)槊宽?xiàng)冠軍只能有一人獲得，三項(xiàng)冠軍都有得主，這件事才算完成，所以應(yīng)以“確定三項(xiàng)冠軍得主”為線索進(jìn)行分步，而每項(xiàng)冠軍的得主有4種可能結(jié)果，所以共有4×4×4＝64(種)可能的結(jié)果.反思感悟在占位模型中選擇按元素還是按位置進(jìn)行分解的標(biāo)準(zhǔn)是“唯一性”，即元素是否選、選是否只選一次，位置是否占、占是否只占一次.解題時(shí)一般選擇具有“唯一性”的對(duì)象進(jìn)行分解.跟蹤訓(xùn)練2某市汽車牌照號(hào)碼可以上網(wǎng)自編，但規(guī)定從左數(shù)第2個(gè)號(hào)碼只能從字母B，C，D中選擇，其他四個(gè)號(hào)碼可以從0～9這10個(gè)數(shù)字中選擇(數(shù)字可以重復(fù)).若某車主第1個(gè)號(hào)碼(從左到右)只想在數(shù)字3,5,6,8,9中選擇，其他號(hào)碼只想在1,3,6,9中選擇，則他可選的車牌號(hào)碼的所有可能情況有A.180種 B.360種 C.720種 D.960種√解析按照車主的要求，從左到右第1個(gè)號(hào)碼有5種選法，第2個(gè)號(hào)碼有3種選法，其余3個(gè)號(hào)碼各有4種選法，因此共有5×3×4×4×4＝960(種)情況.三、涂色問題例3將紅、黃、藍(lán)、白、黑五種顏色涂在如圖所示“田”字形的4個(gè)小方格內(nèi)，每格涂一種顏色，相鄰兩格涂不同的顏色，如果顏色可以反復(fù)使用，共有多少種不同的涂色方法？解第1個(gè)小方格可以從5種顏色中任取一種顏色涂上，有5種不同的涂法.①當(dāng)?shù)?個(gè)、第3個(gè)小方格涂不同顏色時(shí)，有4×3＝12(種)不同的涂法，第4個(gè)小方格有3種不同的涂法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知有5×12×3＝180(種)不同的涂法.②當(dāng)?shù)?個(gè)、第3個(gè)小方格涂相同顏色時(shí)，有4種涂法，由于相鄰兩格不同色，因此，第4個(gè)小方格也有4種不同的涂法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知有5×4×4＝80(種)不同的涂法.由分類加法計(jì)數(shù)原理可得共有180＋80＝260(種)不同的涂法.延伸探究本例中的區(qū)域改為如圖所示，其他條件均不變，則不同的涂法共有多少種？解依題意，可分兩類情況：①④不同色；①④同色.第一類：①④不同色，則①②③④所涂的顏色各不相同，我們可將這件事情分成4步來完成.第一步涂①，從5種顏色中任選一種，有5種涂法；第二步涂②，從余下的4種顏色中任選一種，有4種涂法；第三步涂③與第四步涂④時(shí)，分別有3種涂法和2種涂法.于是由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，不同的涂法有5×4×3×2＝120(種).第二類：①④同色，則①②③不同色，我們可將涂色工作分成三步來完成.第一步涂①④，有5種涂法；第二步涂②，有4種涂法；第三步涂③，有3種涂法.于是由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，不同的涂法有5×4×3＝60(種).綜上可知，所求的涂色方法共有120＋60＝180(種).反思感悟解決涂色問題的一般思路(1)按區(qū)域的不同，以區(qū)域?yàn)橹鞣植接?jì)數(shù)，用分步乘法計(jì)數(shù)原理分析.(2)以顏色為主分類討論，適用于“區(qū)域、點(diǎn)、線段”等問題，用分類加法計(jì)數(shù)原理分析.(3)將空間問題平面化，轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域的涂色問題.跟蹤訓(xùn)練3如圖所示，將四棱錐S－ABCD的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端點(diǎn)異色，現(xiàn)有5種顏色可供使用，求不同的染色方法.解由題意知，四棱錐S－ABCD的頂點(diǎn)S，A，B所染的顏色互不相同，它們共有5×4×3＝60(種)染色方法.當(dāng)S，A，B染色確定時(shí)，不妨設(shè)其顏色分別為1,2,3，剩余2種顏色分別為4和5.若C染2，則D可染3或4或5，有3種染法；若C染4，則D可染3或5，有2種染法；若C染5，則D可染3或4，有2種染法.由分類加法計(jì)數(shù)原理知，當(dāng)S，A，B染法確定時(shí)，C，D有7種染法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，不同的染色方法有60×7＝420(種).四、種植問題例4將3種作物全部種植在如圖所示的5塊試驗(yàn)田中，每塊種植一種作物，且相鄰的試驗(yàn)田不能種同一種作物，則不同的種植方法共有____種.42

解析分別用a，b，c代表3種作物，先安排第一塊田，有3種方法，不妨設(shè)放入a，再安排第二塊田，有2種方法b或c，不妨設(shè)放入b，第三塊也有2種方法a或c.(1)若第三塊田放c：abc第四、五塊田分別有2種方法，共有2×2＝4(種)方法.(2)若第三塊田放a：aba第四塊有b或c2種方法，①若第四塊放c：abac第五塊有2種方法；②若第四塊放b：abab第五塊只能種作物c，共1種方法.綜上，共有3×2×(2×2＋2＋1)＝42(種)方法.反思感悟種植問題按種植的順序分步進(jìn)行，用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)或按種植品種恰當(dāng)選取情況分類，用分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù).跟蹤訓(xùn)練4從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種，分別種在不同土質(zhì)的三塊土地上，其中黃瓜必須種植，求有多少種不同的種植方法.解方法一(直接法)若黃瓜種在第一塊土地上，則有3×2＝6(種)不同的種植方法.同理，黃瓜種在第二塊、第三塊土地上，均有3×2＝6(種)不同的種植方法.故不同的種植方法共有6×3＝18(種).方法二(間接法)從4種蔬菜中選出3種，種在三塊地上，有4×3×2＝24(種)，其中不種黃瓜有3×2×1＝6(種)，故共有不同的種植方法24－6＝18(種).3隨堂演練PARTTHREE123451.現(xiàn)有6名同學(xué)去聽同時(shí)進(jìn)行的5個(gè)課外知識(shí)講座，每名同學(xué)可自由選擇其中的一個(gè)講座，則不同選法的種數(shù)是A.56 B.65C. D.6×5×4×3×2√解析每位同學(xué)都有5種選擇，共有5×5×5×5×5×5＝56(種).課時(shí)演練2.如果x，y∈N，且1≤x≤3，x＋y<7，則滿足條件的不同的有序自然數(shù)對(duì)(x，y)的個(gè)數(shù)是A.5 B.12 C.15 D.412345√解析當(dāng)x＝1時(shí)，y的取值可能為0,1,2,3,4,5，有6種情況；當(dāng)x＝2時(shí)，y的取值可能為0,1,2,3,4，有5種情況；當(dāng)x＝3時(shí)，y的取值可能為0,1,2,3，有4種情況.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可得，滿足條件的(x，y)的個(gè)數(shù)為6＋5＋4＝15.123453.已知集合S＝{a1，a2}，T＝{b1，b2}，則從集合S到T的對(duì)應(yīng)關(guān)系共有A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)√解析可分兩步，第一步，集合S中a1對(duì)應(yīng)到集合T中的元素有2個(gè)不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系；第二步，集合S中a2對(duì)應(yīng)到集合T中的元素，有2個(gè)不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，從集合S到T的對(duì)應(yīng)關(guān)系共有2×2＝4(個(gè))，故選D.4.如圖所示，用6種不同的顏色給圖中的4個(gè)格子涂色，每個(gè)格子涂一種顏色，要求相鄰的兩個(gè)格子顏色不同，則不同的涂色方法共有_____種.(用數(shù)字作答)12345750解析首先給最左邊的一個(gè)格子涂色，有6種選擇，左邊第二個(gè)格子有5種選擇，第三個(gè)格子有5種選擇，第四個(gè)格子也有5種選擇，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得，共有6×5×5×5＝750(種)涂色方法.123455.如圖所示，在連接正八邊形的三個(gè)頂點(diǎn)而成的三角形中與正八邊形有公共邊的三角形有____個(gè).40解析滿足條件的有兩類：第一類：與正八邊形有兩條公共邊的三角形有8個(gè)；第二類：與正八邊形有一條公共邊的三角形有8×4＝32(個(gè))，所以滿足條件的三角形共有8＋32＝40(個(gè)).小結(jié)KETANGXIAOJIE1.知識(shí)清單：(1)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系.(2)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用：組數(shù)問題、占位模型中標(biāo)準(zhǔn)的選擇、涂色問題及種植問題.2.方法歸納：分類討論、正難則反.3.常見誤區(qū)：分類標(biāo)準(zhǔn)不明確，會(huì)出現(xiàn)重復(fù)或遺漏問題.1.把3封信投到4個(gè)信箱，所有可能的投法共有A.24種 B.4種 C.43種 D.34種解析第1封信投到信箱中有4種投法；第2封信投到信箱中也有4種投法；第3封信投到信箱中也有4種投法，只要把這3封信投完，就完成了這件事情.由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得共有43種方法，故選C.基礎(chǔ)鞏固12345678910111213141516√123456789101112131415162.由數(shù)字1,2,3組成的無重復(fù)數(shù)字的整數(shù)中，偶數(shù)的個(gè)數(shù)為A.15 B.12 C.10