高中數(shù)學(xué)《6.2 組合與組合數(shù)》課件與課后作業(yè)

人教A版（2019）選擇性必修第三冊(cè)第一課時(shí)組合6.2排列與組合新知導(dǎo)入從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名去參加某天的一項(xiàng)活動(dòng)，其中1名同學(xué)參加上午的活動(dòng)，1名同學(xué)參加下午的活動(dòng)，有多少種不同的選法？解析：從三名學(xué)生中選出兩名學(xué)生，然后將選出的兩名學(xué)生按照一定的順序（上午和下午）進(jìn)行排列，共有種方法.

從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名去參加某天一項(xiàng)活動(dòng)，有多少種不同的選法？甲乙、甲丙、乙丙合作探究上面兩個(gè)問(wèn)題有什么區(qū)別？答：（1）第一個(gè)問(wèn)題是從已知的3個(gè)不同元素中每次取出2個(gè)元素,按照一定的順序排成一列。不僅要選出2個(gè)元素，而且要對(duì)所選出的元素進(jìn)行按照一定的順序排列。（2）第二個(gè)問(wèn)題是從已知的3個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素,不需要按照一定的順序排列.新知講解組合一般地，從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素作為一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合．要點(diǎn)歸納：(1)組合的特點(diǎn):組合要求n個(gè)元素是不同的,取出的m個(gè)元素也是不同的,即從n個(gè)不同的元素中進(jìn)行m次不放回地取出.(2)組合的特性:元素的無(wú)序性.取出的m個(gè)元素不講究順序,即元素沒(méi)有位置的要求.新知講解相同點(diǎn)：兩者都是從n個(gè)不同元素中任取m（m≤n）個(gè)元素.思考：排列與組合有什么異同點(diǎn)？不同點(diǎn)：排列與元素的順序有關(guān)，組合與元素的順序無(wú)關(guān).只有元素相同且順序也相同的兩個(gè)排列才是相同的；兩個(gè)組合只要元素相同，不論元素的順序如何，都是相同的.排列與順序有關(guān)組合與順序無(wú)關(guān)新知講解校門(mén)口停放著9輛共享單車(chē)，其中黃色、紅色和綠色的各有3輛，則思考：下列問(wèn)題是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題？（1）從中選擇3輛，有多少種不同的方法？（2）從中選擇3輛給3位同學(xué)，有多少種不同的方法？組合問(wèn)題排列問(wèn)題例題講解例1平面內(nèi)有A，B，C，D共4個(gè)點(diǎn).（1）以其中2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段共有多少條？解：一條有向線段的兩個(gè)端點(diǎn)要分起點(diǎn)和終點(diǎn)，以平面內(nèi)4個(gè)點(diǎn)中的2個(gè)為端點(diǎn)的有向線段的條數(shù)，就是從4個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的排列數(shù)，即有向線段條數(shù)為：

（2）以其中2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段共有多少條？解：由于不考慮兩個(gè)端點(diǎn)的順序，因此將（1）中端點(diǎn)相同、方向不同的2條有向線段作為一條線段，就是以平面內(nèi)4個(gè)點(diǎn)中的2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的條數(shù)，共有：AB、AC、AD、BC、BD、CD六條.例題講解例2五行學(xué)說(shuō)是華夏民族創(chuàng)造的哲學(xué)思想，是華夏文明的重要組成部分.古人認(rèn)為，天下萬(wàn)物皆由金、木、水、火、土五類(lèi)元素組成，如圖，分別是金、木、水、火、土彼此之間存在的相生相克的關(guān)系.若從5類(lèi)元素中任選2類(lèi)元素，則2類(lèi)元素相生的選取方案共有多少種？解：從5類(lèi)元素中任選2類(lèi)元素，它們相生的選取有：火土，土金，金水，水木，木火，共5種.例題講解例3從A、B、C、D、E這5名同學(xué)中選3人參加演講比賽，其中A同學(xué)必須參加，則有多少種不同的選法？解：由于A同學(xué)必須參加，所以需要再?gòu)腂、C、D、E四名同學(xué)中選取2人，則可能的選法有：BC、BD、BE、CD、CE、DE共六種選法.課堂練習(xí)

1.給出下列問(wèn)題：（1）從a，b，c，d四名學(xué)生中選2名學(xué)生完成一件工作，有多少種不同的選法？（2）從a，b，c，d四名學(xué)生中選2名學(xué)生完成兩件不同的工作，有多少種不同的選法？（3）a，b，c，d四支足球隊(duì)之間進(jìn)行單循環(huán)比賽，共需賽多少場(chǎng)？（4）a，b，c，d四支足球隊(duì)爭(zhēng)奪冠亞軍，有多少種不同的結(jié)果？（5）某人射擊8槍?zhuān)?槍?zhuān)颐械?槍均為2槍連中，不同的結(jié)果有多少種？（6）某人射擊8槍?zhuān)?槍?zhuān)颐械?槍中恰有3槍連中，不同的結(jié)果有多少種？

在上述問(wèn)題中，哪些是組合問(wèn)題？哪些是排列問(wèn)題？解：（2）（4）（6）是排列問(wèn)題；（1）（3）（5）是組合問(wèn)題.課堂練習(xí)2.以下四個(gè)問(wèn)題中，屬于組合問(wèn)題的是（）A．從3個(gè)不同的小球中，取出2個(gè)小球排成一列B．老師在排座次時(shí)將甲?乙兩位同學(xué)安排為同桌C．在電視節(jié)目中，主持人從100名幸運(yùn)觀眾中選出2名幸運(yùn)之星D．從13位司機(jī)中任選出兩位分別去往甲?乙兩地C課堂練習(xí)3.已知平面內(nèi)A、B、C、D這4個(gè)點(diǎn)中任何3點(diǎn)不共線，則由其中每3點(diǎn)為頂點(diǎn)的所有三角形的個(gè)數(shù)為()

A．3個(gè)

B．4個(gè)C．12個(gè)

D．24個(gè)B

拓展提高4.某班級(jí)要從4名男生、2名女生中選派4人參加運(yùn)動(dòng)會(huì)，如果要求至少有1名女生，那么不同的選擇方案種數(shù)為(

)A．14

B．24C．28 D．48A

解析：由于至少有1名女生，所以包含兩種方法：（1）有1名女生：

則在2名女生中選1名，有2種方法，再在4名男生中選擇3名同學(xué)，假設(shè)4名男生分別為A、B、C、D，則有：ABC、ABD、ACD、BCD4種方法，故共有2x4=8種方法；（2）有2名女生：則在2名女生中選2名，有1種方法，再在4名男生中選擇2名同學(xué)，假設(shè)4名男生分別為A、B、C、D，則有：AB、AC、AD、BC、BD、CD共6種方法.所以共有8+6=14種方法.課堂總結(jié)2、組合問(wèn)題的判斷1、組合板書(shū)設(shè)計(jì)6.2.3組合一、新知導(dǎo)入二、新知講解組合三、例題講解四、課堂練習(xí)五、拓展提高六、課堂總結(jié)七、作業(yè)布置作業(yè)布置課本P22~P23練習(xí)

第1~3題《第一課時(shí)組合》課后作業(yè)6.2排列與組合知識(shí)點(diǎn)一組合及組合數(shù)的定義1.組合一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素

，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.2.組合數(shù)從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的

，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)

表示.作為一組所有不同組合的個(gè)數(shù)知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)二排列與組合的關(guān)系相同點(diǎn)兩者都是從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素不同點(diǎn)排列問(wèn)題中元素有序，組合問(wèn)題中元素?zé)o序關(guān)系組合數(shù)

與排列數(shù)

間存在的關(guān)系

＝______1.從a1，a2，a3三個(gè)不同元素中任取兩個(gè)元素作為一組是組合問(wèn)題.(

)2.“abc”“acb”與“bac”是三種不同的組合.(

)思考辨析判斷正誤×√√4.兩個(gè)組合相同，則其對(duì)應(yīng)的元素一定相同.(

)√例1

判斷下列問(wèn)題是組合問(wèn)題還是排列問(wèn)題：(1)a，b，c，d四支足球隊(duì)之間進(jìn)行單循環(huán)比賽，共需比賽多少場(chǎng)？(2)a，b，c，d四支足球隊(duì)爭(zhēng)奪冠、亞軍，有多少種不同的結(jié)果？一、組合概念的理解解單循環(huán)比賽要求兩支球隊(duì)之間只打一場(chǎng)比賽，沒(méi)有順序，是組合問(wèn)題.解冠、亞軍是有順序的，是排列問(wèn)題.題型探究(3)從全班40人中選出3人分別擔(dān)任班長(zhǎng)、副班長(zhǎng)、學(xué)習(xí)委員三個(gè)職務(wù)，有多少種不同的選法？(4)從全班40人中選出3人參加某項(xiàng)活動(dòng)，有多少種不同的選法？解3人分別擔(dān)任三個(gè)不同職務(wù)，有順序，是排列問(wèn)題.解3人參加某項(xiàng)活動(dòng)，沒(méi)有順序，是組合問(wèn)題.反思感悟排列、組合辨析切入點(diǎn)(1)組合的特點(diǎn)是只選不排，即組合只是從n個(gè)不同的元素中取出m(m≤n)個(gè)不同的元素即可.(2)只要兩個(gè)組合中的元素完全相同，不管順序如何，這兩個(gè)組合就是相同的組合.(3)判斷組合與排列的依據(jù)是看是否與順序有關(guān)，與順序有關(guān)的是排列問(wèn)題，與順序無(wú)關(guān)的是組合問(wèn)題.跟蹤訓(xùn)練1

判斷下列問(wèn)題是組合問(wèn)題還是排列問(wèn)題：(1)某鐵路線上有4個(gè)車(chē)站，則這條鐵路線上共需準(zhǔn)備多少種車(chē)票？解因?yàn)橐环N火車(chē)票與起點(diǎn)、終點(diǎn)順序有關(guān)，如甲→乙和乙→甲的車(chē)票是不同的，所以它是排列問(wèn)題.(2)把5本不同的書(shū)分給5個(gè)學(xué)生，每人一本；(3)從7本不同的書(shū)中取出5本給某個(gè)學(xué)生.解由于書(shū)不同，每人每次拿到的書(shū)也不同，有順序之分，因此它是排列問(wèn)題.解從7本不同的書(shū)中，取出5本給某個(gè)學(xué)生，在每種取法中取出的5本并不考慮書(shū)的順序，故它是組合問(wèn)題.二、組合的個(gè)數(shù)問(wèn)題例2

在A，B，C，D四位候選人中.(1)如果選舉正、副班長(zhǎng)各一人，共有幾種選法？寫(xiě)出所有可能的選舉結(jié)果；(2)如果選舉兩人負(fù)責(zé)班級(jí)工作，共有幾種選法？寫(xiě)出所有可能的選舉結(jié)果；反思感悟組合個(gè)數(shù)的求解策略(1)枚舉法：書(shū)寫(xiě)時(shí)常以首字母為切入點(diǎn)，相同元素的不必重復(fù)列舉，如本例中，先枚舉以字母A開(kāi)頭的組合，再枚舉以字母B開(kāi)頭的組合，直到全部枚舉完畢.跟蹤訓(xùn)練2從5個(gè)不同元素a，b，c，d，e中取出2個(gè)，共有多少種不同的組合？請(qǐng)寫(xiě)出所有組合.解先將元素按照一定順序排好，然后按順序用圖示的方法將各個(gè)組合逐個(gè)寫(xiě)出來(lái)，如圖所示：由此可得所有的組合：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共有10種.三、簡(jiǎn)單的組合問(wèn)題例3

有10名教師，其中6名男教師，4名女教師.(1)現(xiàn)要從中選2名去參加會(huì)議，有____種不同的選法；45解析從10名教師中選2名去參加會(huì)議的選法種數(shù)，就是從10個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的組合數(shù)，(2)選出2名男教師或2名女教師參加會(huì)議，有____種不同的選法；21解析可把問(wèn)題分兩類(lèi)情況：(3)現(xiàn)要從中選出男、女教師各2名去參加會(huì)議，有____種不同的選法.90反思感悟利用排列與組合之間的關(guān)系，建立起排列數(shù)與組合數(shù)之間的計(jì)算方法，借助排列數(shù)求組合數(shù).跟蹤訓(xùn)練3一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相同的7個(gè)白球和1個(gè)黑球.(1)從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，共有多少種取法？解從口袋內(nèi)的8個(gè)球中取出3個(gè)球，(2)從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，使其中含有1個(gè)黑球，有多少種取法？解從口袋內(nèi)取出3個(gè)球有1個(gè)是黑球，于是還要從7個(gè)白球中再取出2個(gè)，(3)從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，使其中不含黑球，有多少種取法？解由于所取出的3個(gè)球中不含黑球，也就是要從7個(gè)白球中取出3個(gè)球，123451.(多選)下面四組元素，是相同組合的是A.a，b，c—b，c，a

B.a，b，c—a，c，bC.a，c，d—d，a，c

D.a，b，c—a，b，d√√√跟蹤訓(xùn)練2.從5名同學(xué)中推選4人去參加一個(gè)會(huì)議，則不同的推選方法種數(shù)是A.10 B.5 C.4 D.112345解析組合問(wèn)題，可從對(duì)立面考慮，選出一人不參加會(huì)議即可，故有5種方法.√123453.在橋牌比賽中，發(fā)給4名參賽者每人一手由52張牌的四分之一(即13張牌)組成的牌，一名參賽者可能得到的不同的牌為A.4×13手

B.134手C.A手

D.C手√解析本題實(shí)質(zhì)上是從52個(gè)元素中取13個(gè)元素為一組，故一名參賽者可能得到C手不同的牌.123454.下列問(wèn)題中，組合問(wèn)題有______，排列問(wèn)題有____.(填序號(hào))①?gòu)?,3,5,9中任取兩個(gè)數(shù)相加，所得不同的和；②平面內(nèi)有10個(gè)點(diǎn)，以其中每2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的條數(shù)；③從甲、乙、丙三名同學(xué)中選兩名同學(xué)參加不同的兩項(xiàng)活動(dòng).解析①②為組合問(wèn)題，③為排列問(wèn)題.①②③123455.已知a，b，c，d這四個(gè)元素，則每次取出2個(gè)元素的所有組合為_(kāi)______________________.ab，ac，ad，bc，bd，cd解析可按a→b→c→d順序?qū)懗?，即所以所有組合為ab，ac，ad，bc，bd，cd.1.知識(shí)清單：(1)組合與組合數(shù)的定義.(2)排列與組合的區(qū)別與聯(lián)系.(3)用列舉法寫(xiě)組合.2.方法歸納：枚舉法.3.常見(jiàn)誤區(qū)：分不清“排列”還是“組合”.知識(shí)小結(jié)1.(多選)給出下面幾個(gè)問(wèn)題，其中是組合問(wèn)題的有A.由1,2,3,4構(gòu)成的含有2個(gè)元素的集合個(gè)數(shù)B.五個(gè)隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽的比賽場(chǎng)次數(shù)C.由1,2,3組成兩位數(shù)的不同方法數(shù)D.由1,2,3組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)基礎(chǔ)鞏固12345678910111213141516√√12345678910111213141516√123456789101112131415163.已知平面內(nèi)A，B，C，D這4個(gè)點(diǎn)中任何3點(diǎn)不共線，則由其中每3點(diǎn)為頂點(diǎn)的所有三角形的個(gè)數(shù)為A.3 B.4 C.12 D.24√解析由于與順序無(wú)關(guān)，所以是組合問(wèn)題，共有4個(gè)：△ABC，△ABD，△ACD，△BCD.123456789101112131415164.某新農(nóng)村社區(qū)共包括8個(gè)自然村，且這些村莊分布零散沒(méi)有任何三個(gè)村莊在一條直線上，現(xiàn)要在該社區(qū)內(nèi)建“村村通”工程，則共需建公路的條數(shù)為A.4 B.8 C.28 D.64√解析由于“村村通”公路的修建，是組合問(wèn)題，123456789101112131415165.某乒乓球隊(duì)有9名隊(duì)員，其中有兩名種子選手，現(xiàn)要選5名隊(duì)員參加運(yùn)動(dòng)會(huì)，種子選手都必須在內(nèi)，則不同的選法有√6.從9名學(xué)生中選出3名參加“希望英語(yǔ)”口語(yǔ)比賽，有___種不同選法.1234567891011121314151684123456789101112131415167.若已知集合P＝{1,2,3,4}，則集合P的子集中含有2個(gè)元素的子集數(shù)為_(kāi)___.6123456789101112131415168.有3張參觀券，要在5人中確定3人去參觀，則不同方法的種數(shù)是____.(用數(shù)字作答)10123456789101112131415169.判斷下列問(wèn)題是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題，并求出相應(yīng)的排列數(shù)或組合數(shù).(1)10個(gè)人相互寫(xiě)一封信，一共寫(xiě)了多少封信？12345678910111213141516(2)10個(gè)人相互通一次電話，一共通了多少次電話？12345678910111213141516(3)10支球隊(duì)以單循環(huán)進(jìn)行比賽(每?jī)申?duì)比賽一次)，這次比賽需要進(jìn)行多少場(chǎng)？12345678910111213141516(4)從10個(gè)人中選3人去開(kāi)會(huì)，有多少種選法？12345678910111213141516(5)從10個(gè)人中選出3人擔(dān)任不同學(xué)科的課代表，有多少種選法？1234567891011121314151610.平面內(nèi)有10個(gè)點(diǎn)，其中任意3個(gè)點(diǎn)不共線.(1)以其中任意2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段有多少條？即以10個(gè)點(diǎn)中的任意2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段共有45條.12345678910111213141516(2)以其中任意2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段有多少條？即以10個(gè)點(diǎn)中的任意2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段共有90條.12345678910111213141516(3)以其中任意3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形有多少個(gè)？解所求三角形的個(gè)數(shù)，即為從10個(gè)元素中任選3個(gè)元素的組合數(shù)，11.(多選)下列問(wèn)題是組合問(wèn)題的有A.10個(gè)朋友聚會(huì)，每?jī)扇宋帐忠淮?，一共握手多少次B.平面上有2021個(gè)不同的點(diǎn)，它們中任意三點(diǎn)不共線，連接任意兩點(diǎn)可

以構(gòu)成多少條線段C.集合{a1，a2，a3，…，an}中含有三個(gè)元素的子集有多少個(gè)D.從高三(19)班的54名學(xué)生中選出2名學(xué)生分別參加校慶晚會(huì)的獨(dú)唱、獨(dú)

舞節(jié)目，有多少種選法綜合運(yùn)用12345678910111213141516√√√解析組合問(wèn)題與次序無(wú)關(guān)，排列問(wèn)題與次序有關(guān)，D選項(xiàng)中，選出的2名學(xué)生，如甲、乙，其中“甲參加獨(dú)唱、乙參加獨(dú)舞”與“乙參加獨(dú)唱、甲參加獨(dú)舞”是兩個(gè)不同的選法，因此是排列問(wèn)題，不是組合問(wèn)題，故選ABC.1234567891011121314151612.從5人中選3人參加座談會(huì)，其中甲必須參加，則不同的選法有A.60種

B.36種

C.10種

D.6種12345678910111213141516√1234567891011121314151613.從8名女生和4名男生中，抽取3名學(xué)生參加某檔電視節(jié)目，若按性別比例分層抽樣，則不同的抽取方法數(shù)為A.224 B.112 C.56 D.28√解析由分層抽樣知，應(yīng)從8名女生中抽取2名，從4名男生中抽取1名，1234567891011121314151614.從2,3,5,7四個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)不同的數(shù)相乘，有m個(gè)不同的積，任取兩個(gè)不同的數(shù)相除，有n個(gè)不同的商，則m∶n＝______.1∶215.某區(qū)有7條南北向街道，5條東西向街道.(如圖)拓廣探究12345678910111213141516(1)圖中有_____個(gè)矩形；210(2)從A點(diǎn)走向B點(diǎn)最短的走法有_____種.12345678910111213141516210解析每條東西向的街道被分成6段，每條南北向的街道被分成4段，從A到B最短的走法，無(wú)論怎樣走，一定至少包括10段，其中6段方向相同，另4段方向也相同，每種走法，即是從10段中選出6段，123456789101112131415161234567891011121314151616.某次足球比賽共12支球隊(duì)參加，分三個(gè)階段進(jìn)行.(1)小組賽：經(jīng)抽簽分成甲、乙兩組，每組6隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽，以積分及凈勝球數(shù)取前兩名；解小組賽中每組6隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽，就是6支球隊(duì)的任兩支球隊(duì)都要比賽一次，所需比賽的場(chǎng)次即為從6個(gè)元素中任取2個(gè)元素的組合數(shù)，12345678910111213141516(2)半決賽：甲組第一名與乙組第二名，乙組第一名與甲組第二名作主客場(chǎng)交叉淘汰賽(每?jī)申?duì)主客場(chǎng)各賽一場(chǎng))決出勝者；解半決賽中甲組第一名與乙組第二名(乙組第一名與甲組第二名)主客場(chǎng)各賽一次，所以半決賽共要比賽2×2＝4(場(chǎng)).12345678910111213141516(3)決賽：兩個(gè)勝隊(duì)參加決賽一場(chǎng)，決出勝負(fù).問(wèn)：全部賽程共需比賽多少場(chǎng)？解決賽只需比賽1場(chǎng)，即可決出勝負(fù).所以全部賽程共需比賽30＋4＋1＝35(場(chǎng)).人教A版（2019）選擇性必修第三冊(cè)第二課時(shí)組合數(shù)6.2排列與組合新知導(dǎo)入從a,b,c三個(gè)不同的元素中取出兩個(gè)元素的所有組合分別是:ab,ac,bc

已知4個(gè)元素a,b,c,d,寫(xiě)出每次取出兩個(gè)元素的所有組合.

ab,ac,ad,bc,bd,cd3種6種上面兩個(gè)問(wèn)題中，通過(guò)一一列舉得到符合要求的組合的個(gè)數(shù)，但是隨著元素個(gè)數(shù)的增加，一一列舉變得越來(lái)越復(fù)雜甚至變得不可能。那么能否像排列數(shù)一樣，找到一個(gè)用來(lái)計(jì)算組合個(gè)數(shù)的公式，根據(jù)公式方便的計(jì)算出組合的個(gè)數(shù)？新知講解組合數(shù)從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)表示.

問(wèn)：從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名去參加某天一項(xiàng)活動(dòng)，有多少種不同的選法？組合與組合數(shù)有什么區(qū)別？組合是指“從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素合成一組”，它不是一個(gè)數(shù)；組合數(shù)是指“從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)”，它是一個(gè)正整數(shù).

合作探究（1）通過(guò)導(dǎo)入一：從a,b,c三個(gè)不同的元素中取出兩個(gè)元素的組合數(shù)為

組合數(shù)與排列數(shù)之間有什么關(guān)系？怎么利用排列數(shù)來(lái)求組合數(shù)？

（2）從a,b,c,d

四個(gè)元素中任取三個(gè)元素的所有組合數(shù)為

abc

，abd

，acd

，bcd.分析：從4個(gè)元素中取出3個(gè)的排列數(shù)為，以”相同元素“為標(biāo)準(zhǔn)，將這24個(gè)排列分組，一共有4組，因此

合作探究組合排列abcabdacdbcdabcbaccabacbbcacbaabdbaddabadbbdadbaacdcaddacadccdadcabcdcbddbcbdccdbdcb合作探究通過(guò)上圖可以發(fā)現(xiàn)，求排列數(shù)也可以分為以下兩個(gè)步驟：

（1）從4個(gè)元素中取出3個(gè)元素作為一組，共有種不同的取法；

（2）將取出的3個(gè)元素作全排列，共有種不同的排法.

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，

所以，

合作探究同理，求從n個(gè)元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)可以通過(guò)以下兩個(gè)步驟得到：（1）從n個(gè)元素中取出m個(gè)元素作為一組，共有種不同的取法

（2）將取出的m個(gè)元素作全排列，共有種不同的排法

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，

所以，

新知講解組合數(shù)公式

其中，m,n∈N*，且m≤n

規(guī)定：

例題講解

解：根據(jù)組合數(shù)公式，可得

例題講解分析：例1中（1）與（2）的計(jì)算結(jié)果相同，（3）與（4）的計(jì)算結(jié)果相同.（1）與（2）都是從10個(gè)元素中取部分元素的組合，其中，（1）取出3個(gè)元素，（2）取出7個(gè)元素，二者取出元素之和為總元素個(gè)數(shù)10.（3）與（4）同理.思考：（1）分別觀察例1中（1）與（2），（3）與（4）的計(jì)算結(jié)果，有什么發(fā)現(xiàn)？（2）例1中（1）與（2）分別用了不同形式的組合數(shù)公式，對(duì)公式的選擇有什么想法？分析：當(dāng)所選元素個(gè)數(shù)較多時(shí)，選擇第二種組合數(shù)公式；當(dāng)所選元素個(gè)數(shù)較少時(shí)，選用第一種組合數(shù)公式.新知講解組合數(shù)性質(zhì)性質(zhì)1

性質(zhì)1說(shuō)明：（1）等式兩邊下標(biāo)相同，上標(biāo)之和等于下標(biāo).（2）該性質(zhì)適用于當(dāng)m>n/2時(shí)，計(jì)算可以轉(zhuǎn)換為計(jì)算，使計(jì)算簡(jiǎn)單.

（3）當(dāng)時(shí)，則x=y或x+y=n.

證明：新知講解思考：一次旅游，有10名游客和1名導(dǎo)游。（1）從這10名游客與1名導(dǎo)游中抽取3名幸運(yùn)獎(jiǎng)，則有多少種不同的中獎(jiǎng)情況？（2）從這10名游客與1名導(dǎo)游中抽取3名幸運(yùn)獎(jiǎng)，且導(dǎo)游必須中獎(jiǎng)，則有多少種不同的中獎(jiǎng)情況？（3）從這10名游客與1名導(dǎo)游中抽取3名幸運(yùn)獎(jiǎng)，且導(dǎo)游一定沒(méi)有中獎(jiǎng)，則有多少種不同的中獎(jiǎng)情況？解析：（1）

（2）

（3）

性質(zhì)2

通過(guò)上面的情況我們發(fā)現(xiàn)：新知講解性質(zhì)2

通過(guò)上面的情況我們發(fā)現(xiàn)：

證明：例題講解例2在100件產(chǎn)品中，有98件合格品，2件次品.從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件.（1）有多少種不同的抽法？解析：從100件產(chǎn)品中任意抽出3件，不需考慮順序，因此是一個(gè)組合問(wèn)題；所以從100件產(chǎn)品中任意抽取3件的抽法種數(shù)為：

例題講解（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少種？解析：可以先從2件次品中抽出1件，再?gòu)?8件合格品中抽出2件.先從2件次品中抽出1件的抽法有種，再?gòu)?8件合格品中抽出2件的抽法有種，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法種數(shù)為：

例題講解（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種？解法一：從100件產(chǎn)品中抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品兩種情況.根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，抽出的3件中至少有1件是次品的抽法種數(shù)為：

解法二：抽出的3件中至少有1件是次品的抽法種數(shù)，就是從100件產(chǎn)品中抽出3件的抽法種數(shù)減去3件都是合格品的抽法種數(shù)，即：

課堂練習(xí)

解：由組合數(shù)性質(zhì)2可知，

因此，

2.計(jì)算：

解：由題意可得

又,得n=10

課堂練習(xí)3.若6個(gè)人分4張無(wú)座的足球門(mén)票，每人至多分1張，而且票必須分完，那么不同分法的種數(shù)是（）A．64

B．46 C．15

D．360C4.從10名學(xué)生中挑選出3名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，不同的選法有（）A．種 B．3！

C．種

D．以上均不對(duì)C

D

課堂練習(xí)6.十二生肖，又叫屬相，依次為鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬．現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個(gè)，甲、乙、丙三名同學(xué)從中各選一個(gè)，甲沒(méi)有選擇馬，乙、丙二人恰有一人選擇羊，則不同的選法有（）A．242種 B．220種 C．200種 D．110種C7.從5名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生中選3名醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小分隊(duì)，要求其中男、女醫(yī)生都有，則不同的組隊(duì)方案共有（）A．140種 B．420種 C．80種 D．70種D課堂練習(xí)8.要從6名男生4名女生中選出5人參加一項(xiàng)活動(dòng)，按下列要求，各有多少種不同的選法？

（1）甲當(dāng)選且乙不當(dāng)選；

（2）至多有3名男生當(dāng)選解：至多有3男當(dāng)選時(shí)，應(yīng)分三類(lèi)：

拓展提高9.一個(gè)口袋內(nèi)有3個(gè)不同的紅球，4個(gè)不同的白球（1）從中任取3個(gè)球，紅球的個(gè)數(shù)不比白球少的取法有多少種？根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理,紅球的個(gè)數(shù)不少于白球的個(gè)數(shù)的取法有1+12=13種.

解：（1）從中任取個(gè)球，紅球的個(gè)數(shù)不比白球少的取法：紅球3個(gè)，紅球2個(gè)和白球1個(gè)，當(dāng)取紅球3個(gè)時(shí)，取法有1種；

拓展提高（2）若取一個(gè)紅球記2分，取一個(gè)白球記1分，從中任取4個(gè)球，使總分不少于6分的取法有多少種？解：（2）使總分不少于分情況有兩種：紅球2個(gè)和白球2個(gè)，紅球3個(gè)和白球1個(gè)，

根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，使總分不少于6分的取法有18+4=22種.

拓展提高男運(yùn)動(dòng)員6名，女運(yùn)動(dòng)員4名，其中男?女隊(duì)長(zhǎng)各1名.現(xiàn)選派5人外出參加比賽，在下列情形中各有多少種選派方法？（1）男運(yùn)動(dòng)員3名，女運(yùn)動(dòng)員2名；解：分兩步完成：

拓展提高（2）隊(duì)長(zhǎng)中至少有1人參加；

（3）既要有隊(duì)長(zhǎng)，又要有女運(yùn)動(dòng)員

鏈接高考11.將2名教師，4名學(xué)生分成2個(gè)小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每個(gè)小組由1名教師和2名學(xué)生組成，不同的安排方案共有（）A．12種 B．10種 C．9種 D．8種A12.（2020海南高考真題）要安排3名學(xué)生到2個(gè)鄉(xiāng)村做志愿者，每名學(xué)生只能選擇去一個(gè)村，每個(gè)村里至少有一名志愿者，則不同的安排方法共有（）A．2種 B．3種 C．6種 D．8種C鏈接高考13.某校開(kāi)設(shè)A類(lèi)選修課3門(mén)，B類(lèi)選修課4門(mén)，一位同學(xué)從中共選3門(mén)．若要求兩類(lèi)課程中各至少選一門(mén)，則不同的選法共有（）A．30種 B．35種 C．42種 D．48種A14.從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有_____________種．（用數(shù)字填寫(xiě)答案）16課堂總結(jié)2、組合數(shù)公式1、組合數(shù)板書(shū)設(shè)計(jì)6.2.4組合數(shù)一、新知導(dǎo)入二、新知講解組合數(shù)三、例題講解四、課堂練習(xí)五、拓展提高六、課堂總結(jié)七、作業(yè)布置組合數(shù)公式作業(yè)布置課本P26~P27練習(xí)

第1~15題《第二課時(shí)組合數(shù)》課后作業(yè)6.2排列與組合知識(shí)點(diǎn)一組合數(shù)公式組合數(shù)公式乘積形式＝_________________________，其中m，n∈N*，并且m≤n階乘形式＝______________規(guī)定：C＝

.1知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)二組合數(shù)的性質(zhì)自我檢驗(yàn)2020362或3一、組合數(shù)公式的應(yīng)用題型探究∵n∈N*，∴n＝10，命題角度2與組合數(shù)有關(guān)的證明命題角度3與組合數(shù)有關(guān)的方程或不等式例1－3

(1)(多選)若

，則n的可能取值有A.6 B.7 C.8 D.9√√√√又n∈N*，則n＝6,7,8,9.∴該不等式的解集為{6,7,8,9}.即m2－23m＋42＝0，解得m＝2或m＝21.∵0≤m≤5，m∈N*，∴m＝2，反思感悟＝4950＋200＝5150.二、有限制條件的組合問(wèn)題例2

課外活動(dòng)小組共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名隊(duì)長(zhǎng)，現(xiàn)從中選5人主持某項(xiàng)活動(dòng)，依下列條件各有多少種選法？(1)至少有一名隊(duì)長(zhǎng)當(dāng)選；(2)至多有兩名女生當(dāng)選；解至多有2名女生當(dāng)選含有三類(lèi)：有2名女生當(dāng)選；只有1名女生當(dāng)選；沒(méi)有女生當(dāng)選，(3)既要有隊(duì)長(zhǎng)，又要有女生當(dāng)選.解分兩類(lèi)：所以共有495＋295＝790(種)選法.反思感悟有限制條件的抽(選)取問(wèn)題，主要有兩類(lèi)(1)“含”與“不含”問(wèn)題，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步計(jì)數(shù).(2)“至多”“至少”問(wèn)題，其解法常有兩種解決思路：一是直接分類(lèi)法，但要注意分類(lèi)要不重不漏；二是間接法，注意找準(zhǔn)對(duì)立面，確保不重不漏.跟蹤訓(xùn)練2

某食堂每天中午準(zhǔn)備4種不同的葷菜，7種不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：(1)任選兩種葷菜、兩種蔬菜和白米飯；(2)任選一種葷菜、兩種蔬菜和蛋炒飯.則每天不同午餐的搭配方法共有A.210種

B.420種

C.56種

D.22種解析由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理知，兩類(lèi)配餐的搭配方法之和即為所求，√命題角度1平均分組例3－1

(1)6本不同的書(shū)，分給甲、乙、丙三人，每人兩本，有多少種方法？三、分組、分配問(wèn)題(2)6本不同的書(shū)，分為三份，每份兩本，有多少種方法？因此分為三份，每份兩本，一共有15種方法.命題角度2不平均分組例3－2

(1)6本不同的書(shū)，分為三份，一份一本，一份兩本，一份三本，有多少種方法？(2)6本不同的書(shū)，分給甲、乙、丙三人，一人一本，一人兩本，一人三本，有多少種不同的方法？命題角度3分配問(wèn)題例3－3

6本不同的書(shū)，分給甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少種不同的方法？所以一共有90＋360＋90＝540(種)方法.反思感悟“分組”與“分配”問(wèn)題的解法(1)分組問(wèn)題屬于“組合”問(wèn)題，常見(jiàn)的分組問(wèn)題有三種：①完全均勻分組，每組的元素個(gè)數(shù)均相等，均勻分成n組，最后必須除以n??；②部分均勻分組，應(yīng)注意不要重復(fù)，有n組均勻，最后必須除以n！；③完全非均勻分組，這種分組不考慮重復(fù)現(xiàn)象.(2)分配問(wèn)題屬于“排列”問(wèn)題，分配問(wèn)題可以按要求逐個(gè)分配，也可以分組后再分配.跟蹤訓(xùn)練3

將4個(gè)編號(hào)為1,2,3,4的小球放入4個(gè)編號(hào)為1,2,3,4的盒子中.(1)有多少種放法？(2)每盒至多1個(gè)球，有多少種放法？解每個(gè)小球都可能放入4個(gè)盒子中的任何一個(gè)，將小球一個(gè)一個(gè)放入盒子，共有4×4×4×4＝44＝256(種)放法.(3)恰好有1個(gè)空盒，有多少種放法？(4)每個(gè)盒內(nèi)放1個(gè)球，并且恰好有1個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同，有多少種放法？(5)把4個(gè)不同的小球換成4個(gè)相同的小球，恰有一個(gè)空盒，有多少種放法？與幾何有關(guān)的組合應(yīng)用題典例

如圖，在以AB為直徑的半圓周上，有異于A，B的六個(gè)點(diǎn)C1，C2，…，C6，線段AB上有異于A，B的四個(gè)點(diǎn)D1，D2，D3，D4.核心素養(yǎng)之?dāng)?shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)運(yùn)算(1)以這10個(gè)點(diǎn)中的3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)可作多少個(gè)三角形？其中含C1點(diǎn)的有多少個(gè)？(2)以圖中的12個(gè)點(diǎn)(包括A，B)中的4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，可作出多少個(gè)四邊形？素養(yǎng)提升(1)圖形多少的問(wèn)題通常是組合問(wèn)題，要注意共點(diǎn)、共線、共面、異面等情形，防止多算.常用直接法，也可采用間接法.(2)把一個(gè)與幾何相關(guān)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為組合問(wèn)題，此題目的解決體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象及數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).123451.的值為A.72 B.36 C.30 D.42√跟蹤訓(xùn)練2.若

＝28，則n的值為A.9 B.8 C.7 D.612345√123453.若

，則m等于A.9 B.8 C.7 D.6√123454.甲、乙、丙3位同學(xué)選修課程，從4門(mén)課程中，甲選修2門(mén)，乙、丙各選修3門(mén)，則不同的選修方案的種數(shù)為_(kāi)___.解析從4門(mén)課程中，甲選修2門(mén)，乙、丙各選修3門(mén)，96123455.有4名男醫(yī)生、3名女醫(yī)生，從中選出2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)生組成1個(gè)醫(yī)療小組，則不同的選法共有____種.181.知識(shí)清單：知識(shí)小結(jié)(4)分組分配問(wèn)題.2.方法歸納：分類(lèi)討論、正難則反、方程思想.3.常見(jiàn)誤區(qū)：分組分配中是否為“平均分組”.1.計(jì)算：

等于A.120 B.240 C.60 D.480基礎(chǔ)鞏固12345678910111213141516√123456789101112131415162.從5名志愿者中選派4人在星期六和星期日參加公益活動(dòng)，每人一天，每天兩人，則不同的選派方法共有A.60種

B.48種

C.30種

D.10種√123456789101112131415163.(多選)下列等式正確的有√√√12345678910111213141516解析A是組合數(shù)公式；B是組合數(shù)性質(zhì)；123456789101112131415164.200件產(chǎn)品中有3件次品，任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有√123456789101112131415165.空間中有10個(gè)點(diǎn)，其中有5個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面內(nèi)，其余點(diǎn)無(wú)三點(diǎn)共線，無(wú)四點(diǎn)共面，則以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)，共可構(gòu)成四面體的個(gè)數(shù)為A.205 B.110 C.204 D.200√6.4名優(yōu)秀學(xué)生全部保送到3所學(xué)校去，每所學(xué)校至少去1名，則不同的保送方案有______種.1234567891011121314151636123456789101112131415167.甲、乙、丙3人站到共有7級(jí)