高中數(shù)學《第四章 數(shù)列》單元檢測試卷與答案（共四套）

高中數(shù)學選擇性必修二《第四章數(shù)列》單元檢測試卷（一）一、單選題1．在等差數(shù)列{an}中，已知a5=3，a9=6，則a13=（）A．9B．12C．15D．182．已知數(shù)列為等比數(shù)列，，且，則的值為（）A．1或B．1C．2或D．23．已知數(shù)列的前項和，，則（）A．20B．17C．18D．194．在等差數(shù)列中，若為其前項和，，則的值是（）A．60B．11C．50D．555．《張丘建算經(jīng)》是我國北魏時期大數(shù)學家張丘建所著，約成書于公元466-485年間.其中記載著這么一道“女子織布”問題：某女子善于織布，一天比一天織得快，且每日增加的數(shù)量相同.已知第一日織布4尺，20日共織布232尺，則該女子織布每日增加（）尺A．B．C．D．6．正項等比數(shù)列滿足，則（）A．1B．2C．4D．87．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，則（）A．60B．120C．160D．2408．公差不為0的等差數(shù)列中，，數(shù)列是等比數(shù)列，且，則（）A．2B．4C．8D．169．已知等比數(shù)列的前n項和為，且，，則（）A．B．C．D．10．數(shù)列，…的通項公式可能是（）A．B．C．D．11．已知數(shù)列滿足，，則（）A．B．C．D．12．等差數(shù)列中，，則此數(shù)列的前項和等于（）A．160B．180C．200D．220二、填空題13．設(shè)為等比數(shù)列，且，則______.14．已知是遞增的等差數(shù)列，是方程的根．則=_________.15．若是等差數(shù)列的前項和，，則______．16．等差數(shù)列中，為的前項和，若，則_________.三、解答題17．已知等差數(shù)列中，，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.18．已知數(shù)列的前n項和為（1）當取最小值時，求n的值；（2）求出的通項公式.19．設(shè)，數(shù)列的前n項和為，已知，，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項的和.20．已知點是函數(shù)圖象上一點，等比數(shù)列的前項和為.數(shù)列的首項為，前項和滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列的前項和為，問使的最小正整數(shù)是多少？21．已知數(shù)列（）是公差不為0的等差數(shù)列，若，且，，成等比數(shù)列.（1）求的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前n項和.22．設(shè)是等比數(shù)列，其前項的和為，且，.（1）求的通項公式；（2）若，求的最小值.參考答案1．A【分析】在等差數(shù)列{an}中，利用等差中項由求解.【詳解】在等差數(shù)列{an}中，a5=3，a9=6，所以，所以，故選：A2．C【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，由題中條件，求出公比，進而可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為，且，所以，解得，所以.故選：C.3．C【分析】根據(jù)題中條件，由，即可得出結(jié)果．【詳解】因為數(shù)列的前項和，所以．故選：C．4．D【分析】根據(jù)題中條件，由等差數(shù)列的性質(zhì)，以及等差數(shù)列的求和公式，即可求出結(jié)果.【詳解】因為在等差數(shù)列中，若為其前項和，，所以.故選：D.5．D【分析】設(shè)該婦子織布每天增加尺，由等差數(shù)列的前項和公式即可求出結(jié)果【詳解】設(shè)該婦子織布每天增加尺，由題意知，解得．故該女子織布每天增加尺．故選：D6．C【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)運算求解即可.【詳解】根據(jù)題意，等比數(shù)列滿足，則有，即，又由數(shù)列為正項等比數(shù)列，故．故選：C．7．B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知，結(jié)合題意，可得出，最后根據(jù)等差數(shù)列的前項和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)，得出，從而可得出結(jié)果.【詳解】解：由題可知，，由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，則，故.故選：B.8．D【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到，數(shù)列是等比數(shù)列，故=16.【詳解】等差數(shù)列中,,故原式等價于解得或各項不為0的等差數(shù)列,故得到，數(shù)列是等比數(shù)列，故=16.故選：D.9．D【分析】根據(jù)題中條件，先求出等比數(shù)列的公比，再由等比數(shù)列的求和公式與通項公式，即可求出結(jié)果.【詳解】因為等比數(shù)列的前n項和為，且，，所以，因此.故選：D.10．D【分析】根據(jù)觀察法，即可得出數(shù)列的通項公式.【詳解】因為數(shù)列可寫成，所以其通項公式為.故選：D.11．D【分析】根據(jù)題意可得，先求，，，，…，所以猜測，經(jīng)驗證即可得解.【詳解】因為，所以，因為，所以，，，…，所以猜測，代入，所以滿足題意，所以，故選：D.【點睛】本題考查了通過數(shù)列的遞推關(guān)系求通項公式，考查了利用規(guī)律對通項公式的猜想和驗算，屬于中檔題.解本類問題有兩個關(guān)鍵點：（1）當數(shù)列無法直接得出通項公式時，可觀察前幾項的規(guī)律；（2）通過前幾項的規(guī)律進行猜想；（3）最后驗算，必須帶入原等式進行驗算.12．B【分析】把已知的兩式相加得到，再求得解.【詳解】由題得，所以.所以.故選：B13．10【分析】根據(jù)題中條件，由等比數(shù)列的性質(zhì)，可直接得出結(jié)果.【詳解】因為為等比數(shù)列，且，所以.故答案為：.14．【分析】先求得方程的根，根據(jù)是遞增的等差數(shù)列，可求得的值，代入等差數(shù)列的通項公式，即可求得公差d和首項，進而可求得.【詳解】方程的兩根為2,3，由題意得設(shè)數(shù)列的公差為d，則，解得，從而，所以數(shù)列的通項公式為.故答案為：15．0【分析】根據(jù)題意，利用等差數(shù)列的前項和公式列方程組，求得首項和公差，再利用等差數(shù)列的前項和公式即可得解．【詳解】設(shè)的公差為，則由，得，解得故．故答案為：016．2【分析】直接利用等差數(shù)列求和公式求解即可.【詳解】因為，所以，所以.故答案為：2.17．（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)題中條件，先得出公差，進而可求出通項公式；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，由等差數(shù)列的求和公式，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）因為等差數(shù)列中，首項為，公差為，所以其通項公式為；（2）由（1）可得，數(shù)列的前項和.18．（1）或；（2）【分析】（1）直接對進行配方，由可求出其最小值（2）由求解的通項公式【詳解】解：（1），因為，所以當或時，取最小值，（2）當時，，當時，，當時，滿足上式，所以【點睛】此題考查由數(shù)列的遞推公式求通項公式，考查的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題19．（1）；（2）.【分析】（1）由，得，所以數(shù)列是以為首項，2為公差的等差數(shù)列，再由已知條件可得：，即可得解；（2）由（1）得，所以,分組求和即可得解.【詳解】（1）由，得，所以數(shù)列是以為首項，2為公差的等差數(shù)列.由，，成等比數(shù)列可得，即，解得，所以.（2）由（1）得，所以所以.【點睛】本題考查了數(shù)列的基本量的運算和數(shù)列的分組求和法，是常規(guī)的計算題，屬于基礎(chǔ)題.20．（1）；（2）59.【分析】（1）由已知求得，，，，得公比，即可寫出通項；（2）由題意可得可得是首項為1，公差為1的等差數(shù)列.所以，所以，由，作差可得：，時也滿足上式，根據(jù)裂項相消法求和即可得解.【詳解】（1）解：.，，則等比數(shù)列的前項和為，，由為等比數(shù)列，得公比，則，；（2）：由，得，當時，，則是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，，則，作差可得.當時，滿足上式由，得，則最小正整數(shù)為.【點睛】本題考查了數(shù)列與函數(shù)，考查了求等比數(shù)列的通項公式以及裂項求和法，有一定的計算量，屬于中檔題.21．（1）；（2）.【分析】（1）設(shè)的公差為d，由，，成等比數(shù)列，得，從而解方程可求出公差，進而可求得的通項公式；（2）由（1）得，然后利用裂項相消法可求得【詳解】解：（1）設(shè)的公差為d，因為，，成等比數(shù)列，所以.即，即又，且，解得所以有.（2）由（1）知：則.即.【點睛】此題考查等差數(shù)列基本量計算，考查裂項相消法求和，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題22．（1）；（2）.【分析】（1）由題意易得，根據(jù)等比數(shù)列的定義，可求出的公比為，由此即可求出的通項公式；（2）由（1）可求，進而求出的表達式，再根據(jù)，列出關(guān)于不等式，解不等式，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)的公比為q，因為，所以，所以，又，所以，所以.（2）因為，所以，由，得，即，解得，所以n的最小值為6.【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式和前n項和的求法和應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.高中數(shù)學選擇性必修二《第四章數(shù)列》單元檢測試卷（二）一、單選題1．設(shè)是等差數(shù)列（）的前項和，且，則（）A．B．C．D．2．等比數(shù)列的前項和為，，，則公比為（）A．B．或1C．1D．23．一個蜂巢有1只蜜蜂，第一天，它飛出去找回了5個伙伴；第二天，6只蜜蜂飛出去，各自找回了5個伙伴……如果這個找伙伴的過程繼續(xù)下去，第六天所有的蜜蜂都歸巢后，蜂巢中一共有（）只蜜蜂.A．55989B．46656C．216D．364．若數(shù)列{an}的通項公式為an＝n(n－2)，其中n∈N*，則a6＝（）A．8B．15C．24D．355．已知數(shù)列為等差數(shù)列，，，則（）A．B．C．D．6．中國古代數(shù)學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相還.”你的計算結(jié)果是（）A．80里B．86里C．90里D．96里7．設(shè){an}是等比數(shù)列，若a1+a2+a3=1，a2+a3+a4=2，則a6+a7+a8=（）A．6B．16C．32D．648．已知各項不為的等差數(shù)列滿足，數(shù)列是等比數(shù)列，且，則（)A．1B．8C．4D．29．已知數(shù)列則該數(shù)列中最小項的序號是（）A．3B．4C．5D．610．公比為的等比數(shù)列中，，則（）A．1B．2C．3D．411．已知數(shù)列的前n項和為，且，則（）A．0B．1C．2020D．202112．設(shè)數(shù)列的滿足：，，記數(shù)列的前n項積為，則（）A．B．2C．D．二、填空題13．等比數(shù)列的前項和為，，，則公比為______.14．數(shù)列的一個通項公式是___________15．已知等差數(shù)列的前項和為，且，則______.16．已知等比數(shù)列的公比，則等于______.三、解答題17．為等差數(shù)列的前項和，已知，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求，并求的最小值.18．等差數(shù)列滿足，.（1）求的通項公式.（2）設(shè)等比數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前n項和.19．已知等差數(shù)列的前項和滿足，.（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.20．設(shè)函數(shù)，數(shù)列滿足（，且）．（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）設(shè)，若對恒成立，求實數(shù)的取值范圍．21．已知是等差數(shù)列的前n項和，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）為何值時，取得最大值并求其最大值．22．已知等比數(shù)列的首項，前項和滿足.（1）求實數(shù)的值及通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項為，并證明：.參考答案1．C【分析】由題建立關(guān)系求出公差，即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，，，.故選：C2．A【分析】由，列出關(guān)于首項與公比的方程組，進而可得答案.【詳解】因為，所以，所以，解得，故選：A.3．B【分析】第天蜂巢中的蜜蜂數(shù)量為，則數(shù)列成等比數(shù)列．根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，可以算出第6天所有的蜜蜂都歸巢后的蜜蜂數(shù)量．【詳解】設(shè)第天蜂巢中的蜜蜂數(shù)量為，根據(jù)題意得數(shù)列成等比數(shù)列，它的首項為6，公比所以的通項公式：到第6天，所有的蜜蜂都歸巢后，蜂巢中一共有只蜜蜂．故選：．4．C【分析】代入通項公式可得．【詳解】代入通項公式得，，故選：C．5．A【分析】根據(jù)等差中項的性質(zhì)，求出，再求;【詳解】因為為等差數(shù)列，所以,∴.由,得,故選：A.6．D【分析】由題意得每天行走的路程成等比數(shù)列、且公比為，由條件和等比數(shù)列的前項和公式求出，由等比數(shù)列的通項公式求出答案即可．【詳解】由題意可知此人每天走的步數(shù)構(gòu)成為公比的等比數(shù)列，由題意和等比數(shù)列的求和公式可得，解得，此人第二天走里，第二天走了96里，故選：D．7．C【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求出公比，再根據(jù)等比數(shù)列的通項公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，又，所以，所以.故選：C．8．B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，由題中條件，求出，再由等比數(shù)列的性質(zhì)，即可求出結(jié)果.【詳解】因為各項不為的等差數(shù)列滿足，所以，解得或（舍）；又數(shù)列是等比數(shù)列，且，所以.故選：B.9．A【分析】首先將化簡為，即可得到答案?！驹斀狻恳驗楫敃r，取得最小值。故選：A10．D【分析】利用已知條件求得，由此求得.【詳解】依題意，所以.故選：D11．A【分析】當時，，當時，利用，結(jié)合題干條件，即可求得答案.【詳解】當時，，當時，，所以，即，故選：A12．D【分析】由的值確定數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，利用周期的性質(zhì)得出.【詳解】可知數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列故選：D13．【分析】由條件可得，即可得，從而可得出答案.【詳解】因為，即所以，所以，解得.故答案為：14．，【分析】根據(jù)數(shù)列的部分項，歸納數(shù)列的一個通項公式即可.【詳解】因為數(shù)列，所以通項公式可以為，故答案為：，15．【分析】根據(jù)題中條件，由等差數(shù)列的性質(zhì)，求出，再由等差數(shù)列的求和公式，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，即可求出結(jié)果.【詳解】因為等差數(shù)列的前項和為，且，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，，所以，因此.故答案為：.16．【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義計算．【詳解】是等比數(shù)列，，則．故答案為：．17．（1）；（2），時，的最小值為.【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項公式以及前項和公式求出，，代入通項公式即可求解.（2）利用等差數(shù)列的前項和公式可得，配方即可求解.【詳解】（1）設(shè)的公差為，由，，即，解得，所以.（2），，所以當時，的最小值為.18．（1）；（2）.【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項公式求解即可；（2）根據(jù)條件計算，從而求出，利用等比數(shù)列前項和公式即可求出.【詳解】解：()∵是等差數(shù)列，，∴解出，，∴.()∵，，是等比數(shù)列，，∴b1=419．（1）；（2）.【分析】（1）由，，可得求出，從而可得的通項公式；（2）由（1）可得，從而可得，然后利用裂項相消求和法可求得【詳解】解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，.所以，化簡得，解得，所以，（2）由（1）可知，所以，所以【點睛】此題考查等差數(shù)列前項和的基本量計算，考查裂項相消求和法的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題20．（Ⅰ）（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)解析式化簡題中的遞推關(guān)系，結(jié)合等差數(shù)列的概念求解數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）求出，進而得到不等式，利用分離變量法求解的取值范圍．【詳解】解：（Ⅰ）因為（，且），所以．因為，所以數(shù)列是以1為首項，公差為的等差數(shù)列，所以．（Ⅱ）要使對恒成立，只要使對恒成立，只要使對恒成立，只要，故實數(shù)的取值范圍為．【點睛】本題考查等差數(shù)列的概念和性質(zhì)、數(shù)列的綜合應(yīng)用,分離變量法求最值．21．（1）；（2）n=4時取得最大值.【分析】（1）利用公式，進行求解；（2）對進行配方，然后結(jié)合由，可以求出的最大值以及此時的值.【詳解】（1）由題意可知：，當時，，當時，，當時，顯然成立，∴數(shù)列的通項公式；（2），由，則時，取得最大值28，∴當為4時，取得最大值，最大值28．【點睛】本題考查了已知求，以及二次函數(shù)的最值問題，根據(jù)的取值范圍求最大值是解題的關(guān)鍵.22．(1),;(2)見解析.【分析】（1）由題設(shè)中的遞推關(guān)系可得，再對原有的遞推關(guān)系取，兩者結(jié)合可得的值，從而利用數(shù)列為等比數(shù)列求出其通項.（2）利用錯位相減法求，令，利用數(shù)列的單調(diào)性可以證明，從而原不等式成立.【詳解】（1）當時，，得，又由及，得因為等比數(shù)列，故有，解得，由，所以，故，故數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以.（2）①②①-②得：所以，又，故令，則，故單調(diào)遞減，又，所以恒成立，所以【點睛】（1）數(shù)列求和關(guān)鍵看通項的結(jié)構(gòu)形式，如果通項是等差數(shù)列與等比數(shù)列的和，則用分組求和法；如果通項是等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積，則用錯位相減法；如果通項可以拆成一個數(shù)列連續(xù)兩項的差，那么用裂項相消法；如果通項的符號有規(guī)律的出現(xiàn)，則用并項求和法.（2）數(shù)列的通項與前項和的關(guān)系式，我們常利用這個關(guān)系式實現(xiàn)與之間的相互轉(zhuǎn)化.高中數(shù)學選擇性必修二《第四章數(shù)列》單元檢測試卷（三）一、單選題1．在等差數(shù)列{an}中，已知a5=3，a9=6，則a13=（）A．9B．12C．15D．182．在等差數(shù)列中，若為其前項和，，則的值是（）A．60B．11C．50D．553．已知q為等比數(shù)列的公比，且，，則（）A．B．4C．D．4．等差數(shù)列的前項和為，已知，，則的值是（）A．48B．60C．72D．245．已知數(shù)列{xn}滿足x1＝1，x2＝，且(n≥2)，則xn等于（）A．()n－1B．()nC．D．6．已知數(shù)列1，,,,…，則數(shù)列的第k項是（）A．B．C．D．7．數(shù)列{an}滿足(n∈N*)，數(shù)列{an}前n和為Sn，則S10等于（）A．B．C．D．8．歷史上數(shù)列的發(fā)展，折射出很多有價值的數(shù)學思想方法，對時代的進步起了重要的作用，比如意大利數(shù)學家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233……即F（1）=F（2）=1，F(xiàn)（n）=F（n－1）＋F（n－2），，此數(shù)列在現(xiàn)代物理及化學等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，若此數(shù)列被4整除后的余數(shù)構(gòu)成一個新數(shù)列，則b2020=（）A．3B．2C．1D．09．已知數(shù)列的首項，前項的和為，且滿足，則滿足的的最大值為（）.A．7B．8C．9D．1010．已知數(shù)列滿足則數(shù)列的最大項為（）A．B．C．D．11．已知單調(diào)遞增數(shù)列的前n項和滿足，且，記數(shù)列的前n項和為，則使得成立的n的最小值為（）A．7B．8C．10D．1112．函數(shù)，數(shù)列滿足，，且為遞增數(shù)列．則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．二、填空題13．已知等差數(shù)列的前項和為，且，則______.14．數(shù)列的前項和為，則_________________.15．設(shè)是數(shù)列的前項和，若，則________.16．我國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有金箠，長五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤，問次一尺各重幾何？”意思是：“現(xiàn)有一根金杖，長5尺，一頭粗，一頭細，在粗的一端截下1尺，重4斤；在細的一端截下1尺，重2斤；問依次每一尺各重多少斤？”設(shè)該金杖由粗到細是均勻變化的，現(xiàn)將該金杖截成長度相等的15段，記第n段的重量為斤(n=1，2，…，15)，且，若(其中表示不超過的最大整數(shù))，則數(shù)列的所有項和為________.三、解答題17．在等比數(shù)列中，已知，．求的通項公式；若，分別為等差數(shù)列的前兩項，求的前n項和．18．已知等差數(shù)列的前項和為，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，的前項和為，求.19．已知數(shù)列的前項和為.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求的最大值及取得最大值時的值.20．已知等差數(shù)列，為其前項和，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.21．已知數(shù)列的前項和為，且，數(shù)列的通項公式為．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，求；（3）設(shè)，，求使得對任意，均有成立的最大整數(shù)22．已知是數(shù)列的前項和，，．（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和．參考答案1．A【分析】在等差數(shù)列{an}中，利用等差中項由求解.【詳解】在等差數(shù)列{an}中，a5=3，a9=6，所以，所以，故選：A2．D【分析】根據(jù)題中條件，由等差數(shù)列的性質(zhì)，以及等差數(shù)列的求和公式，即可求出結(jié)果.【詳解】因為在等差數(shù)列中，若為其前項和，，所以.故選：D.3．C【分析】利用等比通項公式直接代入計算，即可得答案；【詳解】，故選：C.4．A【分析】根據(jù)條件列方程組，求首項和公差，再根據(jù)，代入求值.【詳解】由條件可知，解得：，.故選：A5．C【分析】由已知可得數(shù)列是等差數(shù)列，求出數(shù)列的通項公式，進而得出答案．【詳解】由已知可得數(shù)列是等差數(shù)列，且，故公差則，故故選：C6．D【分析】根據(jù)已知中數(shù)列的前4項，分析數(shù)列的項數(shù)及起始項的變化規(guī)律，進而可得答案【詳解】解：由已知數(shù)列的前4項：1，,,,歸納可知該數(shù)列的第項是一個以1為首項，以為公比的等比數(shù)列第項開始的連續(xù)項和，所以數(shù)列的第項為：故選：D7．B【分析】根據(jù)題意得到，（），與條件兩式作差，得到，（），再驗證滿足，得到，進而可求出結(jié)果.【詳解】因為數(shù)列滿足，，（）則，則，（），又滿足，所以，因此.故選：B8．A【分析】根據(jù)條件得出數(shù)列的周期即可.【詳解】由題意可知“兔子數(shù)列”被4整除后的余數(shù)構(gòu)成一個新數(shù)列為：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，……則可得到周期為6，所以b2020=b4=3，故選：A9．C【分析】根據(jù)可求出的通項公式，然后利用求和公式求出，結(jié)合不等式可求的最大值.【詳解】相減得，，；則是首項為1，公比為的等比數(shù)列，，，則的最大值為9.故選：C10．B【分析】本題先根據(jù)遞推公式進行轉(zhuǎn)化得到．然后令，可得出數(shù)列是等比數(shù)列．即．然后用累乘法可求出數(shù)列的通項公式，根據(jù)通項公式及二次函數(shù)的知識可得數(shù)列的最大項．【詳解】解：由題意，可知：．令，則．，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列．．．，，．各項相乘，可得：．．令，則，根據(jù)二次函數(shù)的知識，可知：當或時，取得最小值．，，的最小值為．．數(shù)列的最大項為．故選：．【點睛】本題主要考查根據(jù)遞推公式得出通項公式，構(gòu)造新數(shù)列的方法，累乘法通項公式的應(yīng)用，以及利用二次函數(shù)思想求最值；11．B【分析】由數(shù)列與的關(guān)系轉(zhuǎn)化條件可得，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可得，再由錯位相減法可得，即可得解.【詳解】由題意，，當時，，所以，整理得，因為數(shù)列單調(diào)遞增且，所以，即，當時，，所以，所以數(shù)列是以為首項，公差為1的等差數(shù)列，所以，所以，，所以，所以，所以，，所以成立的n的最小值為8.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是數(shù)列與關(guān)系的應(yīng)用及錯位相減法的應(yīng)用.12．B【分析】根據(jù)分段函數(shù)的特征，以及數(shù)列在是單調(diào)遞增數(shù)列，列式求解.【詳解】是單調(diào)遞增數(shù)列，所以，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列.故選：B．【點睛】易錯點點睛：本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性和數(shù)列單調(diào)性的簡單綜合應(yīng)用，本地的易錯點是和時，數(shù)列的單調(diào)性，容易和函數(shù)時函數(shù)單調(diào)性搞混，此時函數(shù)單調(diào)性和數(shù)列單調(diào)性的式子是不一樣的，需注意這點.13．【分析】根據(jù)題中條件，由等差數(shù)列的性質(zhì)，求出，再由等差數(shù)列的求和公式，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，即可求出結(jié)果.【詳解】因為等差數(shù)列的前項和為，且，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，，所以，因此.故答案為：.14．【分析】利用計算可得出數(shù)列的通項公式.【詳解】當時，;而不適合上式，.故答案為：.15．【分析】令計算得出，然后推導(dǎo)出當為偶數(shù)時，，當為奇數(shù)時，，利用等比數(shù)列的求和公式可求得的值.【詳解】當時，，解得；當時，.當為偶數(shù)時，可得，則；當為奇數(shù)時，可得，則.因此，.故答案為：.【點睛】方法點睛：本題考查已知與的關(guān)系求和，常用的數(shù)列求和方法如下：（1）對于等差等比數(shù)列，利用公式法直接求和；（2）對于型數(shù)列，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，利用錯位相減法求和；（3）對于型數(shù)列，利用分組求和法；（4）對于型數(shù)列，其中是公差為的等差數(shù)列，利用裂項相消法求和.16．【分析】先根據(jù)等差數(shù)列的通項公式列方程求出公差與首項，可得，結(jié)合新定義與等差數(shù)列的求和公式可得答案.【詳解】由題意，由細到粗每段的重量成等差數(shù)列，設(shè)公差為，則解得，，所以．所以因此數(shù)列的所有項和為．故答案為：【點睛】與實際應(yīng)用相結(jié)合的題型也是高考命題的動向，這類問題的特點是通過現(xiàn)實生活的事例考查書本知識，解決這類問題的關(guān)鍵是耐心讀題、仔細理解題，只有吃透題意，才能將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型進行解答..17．（1）；（2）.【分析】(1)求出等比數(shù)列的公比q，進而得到其通項公式；（2）求出等差數(shù)列公差d，再利用等差數(shù)列的前n項和公式求解.【詳解】（1）∵公比，∴.（2）∵，，-8+4=12,∴，公差.故.【點睛】本題考查了等比數(shù)列的基本量計算和等比數(shù)列的通項公式，考查了等差數(shù)列的基本量計算和前n項和公式.是基礎(chǔ)題.18．（1）（2）【分析】（1）由，可得，即，從而可得公差，從而得出答案.（2）由條件可得，由等比數(shù)列的前項和公式可得答案.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，又，，又，得，則所以（2）所以19．（1）證明見解析；（2）前16項或前17項和最大，最大值為.【分析】（1）先由求通項公式，再利用定義法證明即可；（2）先判斷的n的范圍，得到數(shù)列的正負分布，即得何時最大.【詳解】解：（1）證明：當時，，又當時，，滿足，故的通項公式為，∴.故數(shù)列是以32為首項，為公差的等差數(shù)列；（2）令，即，解得，故數(shù)列的前16項或前17項和最大，此時.20．（1）；（2）.【分析】（1）設(shè)數(shù)列的首項為，公差為，然后根據(jù)題目條件列出關(guān)于和的方程組求解；（2）將（1）中所得的數(shù)列的通項公式代入，得到的通項公式，再根據(jù)通項公式確定該用哪個方法求前項和.【詳解】解：（1）設(shè)數(shù)列的首項為，公差為，則根據(jù)題意得：由，解得，所以.（2），則.【點睛】本題考查等差數(shù)列的基本公式的運用，考查利用分組求和法求數(shù)列的前項和.解答時，如果已知數(shù)列為等差數(shù)列或等比數(shù)列求通項公式，只需將題目條件翻譯成數(shù)學表達式，然后通過方程解出首項和公差或公比，然后得出數(shù)列的通項公式.對于數(shù)列，當和分別為等差數(shù)列與等比數(shù)列時，可采用分組求和法求和.21．（1）；（2）；（3）存在最大的整數(shù)滿足題意．【分析】（1）當時，；當時，，將已知代入化簡計算可得數(shù)列的通項公式；（2）利用錯位相減法計算，分和兩種情況，分別得出答案；（3）利用裂項相消法計算出，并得出單調(diào)性和最值，代入不等式解出的范圍，得到答案．【詳解】（1）當時，當時，即數(shù)列的通項公式為（2），，①則，②①﹣②，得．當時，，則．當時，綜上可得，（3）由（1）可得，則顯然為關(guān)于的增函數(shù)，故．于是欲使恒成立，則，解得．存在最大的整數(shù)滿足題意．【點睛】方法點睛：本題考查數(shù)列的通項公式，考查數(shù)列的求和，數(shù)列求和的方法總結(jié)如下：1.公式法，利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式進行計算即可；2.裂項相消法，通過把數(shù)列的通項公式拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求出數(shù)列的和；3.錯位相減法，當數(shù)列的通項公式由一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的乘積構(gòu)成時使用此方法；4.倒序相加法，如果一個數(shù)列滿足首末兩項等距離的兩項之和相等，可以使用此方法求和．22．（1）證明見解析，；（2）.【分析】（1）首先根據(jù)，兩式相減得，即可得到的通項公式.（2）首先求出，再利用錯位相減法求前項和即可.【詳解】（1）證明：由，當時，，兩式相減得，當時，即，∴，∴，∴時都有，∴數(shù)列是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，∴．（2）解：，∴，，∴，∴∴．【點睛】方法點睛：本題主要考查數(shù)列的求和，常見的數(shù)列求和方法如下：1.公式法：直接利用等差、等比數(shù)列的求和公式計算即可；2.分組求和法：把需要求和的數(shù)列分成熟悉的數(shù)列，再求和即可；3.裂項求和法：通過把數(shù)列的通項公式拆成兩項之差，再求和即可；4.錯位相減法：當數(shù)列的通項公式由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的乘積構(gòu)成時，可使用此方法求和.高中數(shù)學選擇性必修二《第四章數(shù)列》單元檢測試卷（四）一、單選題1．設(shè)數(shù)列滿足，則（）A．2B．4C．8D．162．在等差數(shù)列中，，則等于（）.A．6B．12C．24D．323．等比數(shù)列中，，，則等于（）A．16B．32C．64D．1284．設(shè)數(shù)列的通項公式為，要使它的前項的乘積大于36，則的最小值為（）A．6B．7C．8D．95．在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，則的最大值是（）A．25B．C．5D．6．已知等差數(shù)列的公差為正數(shù)，為常數(shù)，則（）A．B．C．D．7．在等差數(shù)列中，，，則中最大的是（）A．B．C．D．8．設(shè)等差數(shù)列、的前項和分別是、.若，則的值為（）A．B．C．1D．29．在數(shù)列中，，，則（）A．10B．145C．300D．32010．《張丘建算經(jīng)》卷上第題為：“今有女善織，日益功疾（注：從第天開始，每天比前一天多織相同量的布），第一天織尺布，現(xiàn)一月（按天計）共織尺”，則從第天起每天比前一天多織（）A．尺布B．尺布C．尺布D．尺布11．若一個數(shù)列的第m項等于這個數(shù)列的前m項的乘積，則稱該數(shù)列為“m積列”.若各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}是一個“2022積數(shù)列”，且a1>1，則當其前n項的乘積取最大值時，n的最大值為（）A．1009B．1010C．1011D．202012．已知數(shù)列的前項和為，，且，滿足，數(shù)列的前項和為，則下列說法中錯誤的是（）A．B．C．數(shù)列的最大項為D．二、填空題13．在公差不為0的等差數(shù)列{an}中，a1、a3、a4成等比數(shù)列，則該等比數(shù)列的公比為_______.14．若等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足，，則_________．15．在數(shù)列中，，，，記，若對任意的，恒成立，則實數(shù)的取值范圍為______.16．有一個數(shù)陣排列如下：1247111622……358121723…………69131824………………10141925……152026…………2127………………28……………則第40行從左至右第6個數(shù)字為______.三、解答題17．已知數(shù)列的前n項和為，，，，，且當時，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）證明：為等比數(shù)列．18．已知數(shù)列的前項和與通項滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，，，求.19．已知數(shù)列的前n項和為．（Ⅰ）若為等差數(shù)列，求證：；（Ⅱ）若，求證：為等差數(shù)列．20．在數(shù)列中，，．（1）設(shè)，證明：是等比數(shù)列，并求的通項公式；（2）設(shè)為數(shù)列的前n項和，證明：．21．設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，，，數(shù)列的前n項和為，滿足．（1）求數(shù)列的通項公式及數(shù)列的前n項和；（2）判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并說明理由．22．已知等差數(shù)列的前項和為，，，數(shù)列滿足，.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列與數(shù)列通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.參考答案1．D【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義可得數(shù)列是以2為公比的等比數(shù)列，由此可得選項.【詳解】因為數(shù)列滿足，所以數(shù)列是以2為公比的等比數(shù)列，所以，故選：D.【點睛】本題考查等比數(shù)列的定義，屬于基礎(chǔ)題.2．A【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得選項.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)得，故選：A.【點睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.3．A【分析】由，求得，再由求解.【詳解】，.∴，∴.故選：A4．C【分析】先求出數(shù)列的前項的乘積為，令解不等式，結(jié)合，即可求解.【詳解】記數(shù)列的前項的乘積為，則依題意有整理得解得：，因為，所以，故選：C5．B【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)，求得，再結(jié)合基本不等式，即可求得的最大值，得到答案.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)，可得，又因為，所以，所以，當且僅當時取等號．故選：B.6．A【分析】由已知等式分別求出數(shù)列的前三項，由列出方程，求出公差，利用等差數(shù)列的通項公式求解可得答案．【詳解】，,令，則，解得令，則，即，若，則，與已知矛盾，故解得等差數(shù)列，，即，解得則公差，所以.故選：A7．B【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d.由已知得，可得關(guān)系.再運用求和公式和二次函數(shù)的性質(zhì)可得選項.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d.由得，，整理得，.又，所以，因此，所以最大.故選：B.8．C【分析】令，，求出，，進而求出，，則可得．【詳解】令，，可得當時，，，當，，符合，故，，故.【點睛】由求時，，注意驗證a1是否包含在后面an的公式中，若不符合要單獨列出，一般已知條件含an與Sn的關(guān)系的數(shù)列題均可考慮上述公式求解．9．C【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，結(jié)合分組求和法即可得解?！驹斀狻恳驗椋?，所以數(shù)列是以為首項，公差為3的等差數(shù)列，所以，所以當時，；當時，；所以.故選：C.10．D【分析】設(shè)該女子第尺布，前天工織布尺，則數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)其公差為，根據(jù)，可求得的值.【詳解】設(shè)該女子第尺布，前天工織布尺，則數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)其公差為，由題意可得，解得.故選：D.11．C【分析】根據(jù)數(shù)列的新定義，得到，再由等比數(shù)列的性質(zhì)得到，再利用求解即可.【詳解】根據(jù)題意：，所以，因為{an}等比數(shù)列，設(shè)公比為，則，所以，因為，所以，所以，所以前n項的乘積取最大值時n的最大值為1011.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題主要考查數(shù)列的新定義以及等比數(shù)列的性質(zhì)，數(shù)列的最值問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)定義和等比數(shù)列性質(zhì)得出以及進行判斷.12．D【分析】當且時，由代入可推導(dǎo)出數(shù)列為等差數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公差，可求得數(shù)列的通項公式，由可判斷A選項的正誤；利用的表達式可判斷BC選項的正誤；求出，可判斷D選項的正誤.【詳解】當且時，由，由可得，整理得（且）.則為以2為首項，以2為公差的等差數(shù)列，.A中，當時，，A選項正確；B中，為等差數(shù)列，顯然有，B選項正確；C中，記，，，故為遞減數(shù)列，，C選項正確；D中，，，.，D選項錯誤.故選：D．【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用與的關(guān)系求通項，一般利用來求解，在變形過程中要注意是否適用，當利用作差法求解不方便時，應(yīng)利用將遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為有關(guān)的遞推數(shù)列來求解.13．【分析】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為，利用等比中項求出和的關(guān)系，代入求值即為該等比數(shù)列的公比．【詳解】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為則，即，解得則該等比數(shù)列的公比為故答案為：14．1【分析】利用等差、等比的通項公式結(jié)合已知求出公差d、公比q，進而求.【詳解】若令公差、公比分別為，由題意知：，得，，得，∴,故答案為：1.15．【分析】先由題意求得數(shù)列的前幾項，進而猜想，然后利用數(shù)學歸納法證明猜想，再求得，再根據(jù)恒成立對分奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況討論求得實數(shù)的取值范圍【詳解】解：由題意得，，，……故猜想：，下面用數(shù)學歸納法證明：（1）當時，顯然成立；（2）假設(shè)當時有，那么當時，所以當時，也成立，由（1），（2）得，所以，因為對任意的，恒成立，所以對任意的恒成立，即對任意的恒成立，當為偶數(shù)時，有，當為奇數(shù)時