2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末測(cè)試卷(蘇教版-2019)02(必修二解析版)

2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末測(cè)試卷（蘇教版2019）02試卷滿分：150分考試時(shí)長：120分鐘注意事項(xiàng)：1.本試題滿分150分，考試時(shí)間為120分鐘.2.答卷前務(wù)必將姓名和準(zhǔn)考證號(hào)填涂在答題紙上.3.使用答題紙時(shí)，必須使用0.5毫米的黑色簽字筆書寫，要字跡工整，筆跡清晰.超出答題區(qū)書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效.一、單選題（本大題共8小題，共40分）1．若向量，，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由向量加法的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算．【詳解】．故選：A．2．已知復(fù)數(shù)z滿足(i為虛數(shù)單位），則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】先利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)z，可得對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，故選：C.3．已知水平放置的△ABC是按“斜二測(cè)畫法”得到如圖所示的直觀圖，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么原△ABC的面積是()A． B．2C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)已知求出原△ABC的高為AO＝，再求原△ABC的面積.【詳解】由題圖可知原△ABC的高為AO＝，∴S△ABC＝×BC×OA＝×2×＝，故答案為A【點(diǎn)睛】本題主要考查斜二測(cè)畫法的定義和三角形面積的計(jì)算，意在考察學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.4．為了解學(xué)生課外閱讀的情況，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了名學(xué)生的課外閱讀時(shí)間，所得數(shù)據(jù)都在中，其頻率分布直方圖如圖所示．已知在中的頻數(shù)為100，則的值是（）A．500 B．1000 C．10000 D．25000【答案】B【分析】根據(jù)頻率分布直方圖可得在中的頻率，進(jìn)而可得.【詳解】由圖可得在中的頻率為，所以，故選：B.5．已知一個(gè)直角三角形的邊長分別為3，4，5，若以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該三角形旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的體積等于（）A．12π B．16π C． D．【答案】C【分析】先判斷所得幾何體是由兩個(gè)同底的圓錐拼接而成，中通過等面積法計(jì)算底面半徑，再利用圓錐體積之和求所得幾何體的體積即可.【詳解】依題意，所得幾何體是由兩個(gè)同底的圓錐拼接而成，如圖所示，中，，由的面積，得，即圓錐底面面積，又上面圓錐體積為，下面圓錐體積為，故幾何體的體積.故選：C.6．已知α∈（，π），并且sinα+2cosα，則tan（α）＝（）A． B． C． D．﹣7【答案】A【分析】將已知等式平方，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得cosα﹣2sinα，再結(jié)合已知等式作商可求得tanα，由兩角和與差的正切公式計(jì)算即可得解．【詳解】由sinα+2cosα，得sin2α+4sinαcosα+4cos2α，所以（1﹣cos2α）+4sinαcosα+4（1﹣sin2α），整理得cos2α﹣4sinαcosα+4sin2α，所以（cosα﹣2sinα）2，因?yàn)棣痢剩?，π），所以，所以cosα﹣2sinα，又sinα+2cosα，所以，，所以tanα，所以tan（α）．故選：A．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由sinα+2cosα推出cosα﹣2sinα是本題的解題關(guān)鍵.7．已知點(diǎn)是的重心，，若，，則的最小值是A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意將原問題轉(zhuǎn)化為均值不等式求最值的問題，據(jù)此求解的最小值即可.【詳解】如圖所示，由向量加法的三角形法則及三角形重心的性質(zhì)可得,，根據(jù)向量的數(shù)量積的定義可得,設(shè)，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，△ABC是等腰三角形時(shí)等號(hào)成立.綜上可得的最小值是.本題選擇C選項(xiàng).

【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的加法運(yùn)算，向量的模的求解，均值不等式求解最值的方法等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.8．設(shè)a，b，c為ABC中的三邊長，且a+b+c=1，則a2+b2+c2+4abc的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】記f(a，b，c)=a2+b2+c2+4abc，則f(a，b，c)=1﹣2ab﹣2c(a+b)+4abc，再根據(jù)三角形邊長性質(zhì)可以證得f(a，b，c).再利用不等式和已知可得ab，所以f(a，b，c)≥1﹣﹣2c(1﹣c)=，再利用求導(dǎo)根據(jù)單調(diào)性可以推得a2+b2+c2+4abc，繼而可以得出結(jié)果.【詳解】記f(a，b，c)=a2+b2+c2+4abc，則f(a，b，c)=1﹣2ab﹣2c(a+b)+4abc=1﹣2ab(1﹣2c)﹣2c(1﹣c)=2(c+ab)2﹣2a2b2﹣2(ab+c)+1=2[c+ab﹣]2﹣2a2b2+=4(c﹣)(a﹣)(b﹣，又a，b，c為ABC的三邊長，所以1﹣2a>0，1﹣2b>0，1﹣2c>0，所以f(a，b，c).另一方面f(a，b，c)=1﹣2ab(1﹣2c)﹣2c(1﹣c)，由于a>0，b>0，所以ab，又1﹣2c>0，所以f(a，b，c)≥1﹣﹣2c(1﹣c)=，不妨設(shè)a≥b≥c，且a，b，c為ABC的三邊長，所以0<c<1令y=，則y′=3c2﹣c=c(3c﹣1)≤0，所以ymin=﹣=，從而1327當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=時(shí)取等號(hào).故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了解三角形，考查導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查基本不等式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理計(jì)算能力.二、多選題（本大題共4小題，共20分）9．袋中裝有形狀完全相同的個(gè)白球和個(gè)黑球，從中一次摸出個(gè)球，下列事件是互斥事件的是（）A．摸出三個(gè)白球事件和摸出三個(gè)黑球事件B．恰好有一黑球事件和都是黑球事件C．至少一個(gè)黑球事件和至多一個(gè)白球事件D．至少一個(gè)黑球事件和全是白球事件【答案】ABD【分析】根據(jù)互斥事件的定義可判斷各選項(xiàng)的正誤，從而可得正確的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，摸出三個(gè)白球事件和摸出三個(gè)黑球事件不可能同時(shí)發(fā)生，故它們?yōu)榛コ馐录?，故A正確.對(duì)于B，恰好有一黑球事件和都是黑球事件不可能同時(shí)發(fā)生，故它們?yōu)榛コ馐录?，故B正確.對(duì)于C，比如三個(gè)球中兩個(gè)黑球和1個(gè)白球，則至少一個(gè)黑球事件和至多一個(gè)白球事件可同時(shí)發(fā)生，故C錯(cuò)誤.對(duì)于D，至少一個(gè)黑球事件和全是白球事件也不可能同時(shí)發(fā)生，故D正確.故選：ABD.10．已知，是平面上夾角為的兩個(gè)單位向量，在該平面上，且，則下列結(jié)論中正確的有（）A． B．C． D．，的夾角是鈍角【答案】ABC【分析】在平面上作出，，，，作，則可得出點(diǎn)在以為直徑的圓上，這樣可判斷選項(xiàng)C、D．由向量加法和減法法則判斷選項(xiàng)A、B．【詳解】對(duì)于A：，故A正確；對(duì)于B：設(shè)，，，，則，即，故B正確；，由(﹣)·(﹣)=0得，點(diǎn)在以直徑的圓上（可以與重合）．設(shè)中點(diǎn)是，的最大值為，故C正確；與同向，由圖，與的夾角不可能為鈍角．故D錯(cuò)誤．故選：ABC．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查向量的線性運(yùn)算，考查向量數(shù)量積．解題關(guān)鍵是作出圖形，作出，，，確定點(diǎn)軌跡，然后由向量的概念判斷．11．如圖，在棱長為1的正方體中，，，分別為棱，，上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)不與點(diǎn)，重合)，若，則下列說法正確的是（）A．存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離為B．用過，，三點(diǎn)的平面去截正方體，得到的截面一定是梯形C．平面D．用平行于平面的平面去截正方體，得到的截面為六邊形時(shí)，該六邊形周長一定為【答案】ABD【分析】A．根據(jù)條件分析出到平面的距離的取值范圍，即可進(jìn)行判斷；B．根據(jù)空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，結(jié)合線段比例關(guān)系，作出過，，三點(diǎn)的截面，并進(jìn)行判斷；C．根據(jù)與平面的位置關(guān)系，以及平面與平面的位置關(guān)系進(jìn)行判斷；D．先利用平行關(guān)系作出截面，然后根據(jù)長度關(guān)系求解出截面六邊形的周長并進(jìn)行判斷.【詳解】A．連接，如圖所示：因?yàn)?，所以易知，且平面平面，又已知三棱錐各條棱長均為，所以三棱錐為正四面體，所以到平面的距離為：，因?yàn)槠矫?，所以，又，且，所以平面，又平面，所以，同理可得，且，所以平面，又因?yàn)?，所以到平面的距離，且，故正確；B．如圖所示，連接并延長交的延長線于點(diǎn)，連接并將其延長與相交于，因?yàn)?，且，則，所以，所以即為，連接，所以過，，的截面為四邊形，由條件可知，且，所以四邊形為梯形，故正確；C．連接，由A可知平面平面，又因?yàn)槠矫?，平面，所以不平行于平面，所以平面不成立，故錯(cuò)誤；D．在上取點(diǎn)，過點(diǎn)作交于，過作交于，以此類推，依次可得點(diǎn)，此時(shí)截面為六邊形，根據(jù)題意可知：平面平面，不妨設(shè)，所以，所以，所以六邊形的周長為：，故正確；故選：ABD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：作空間幾何體截面的常見方法：（1）直接連接法：有兩點(diǎn)在幾何體的同一個(gè)面上，連接該兩點(diǎn)即為幾何體與截面的交線，找截面就是找交線的過程；（2）作平行線法：過直線與直線外一點(diǎn)作截面，若直線所在的平面與點(diǎn)所在的平面平行，可以通過過點(diǎn)找直線的平行線找到幾何體與截面的交線；（3）作延長線找交點(diǎn)法：若直線相交但是立體圖形中未體現(xiàn)，可通過作延長線的方法先找到交點(diǎn)，然后借助交點(diǎn)找到截面形成的交線；（4）輔助平面法：若三個(gè)點(diǎn)兩兩都不在一個(gè)側(cè)面或者底面中，則在作截面時(shí)需要作一個(gè)輔助平面.12．在中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且，，有以下四個(gè)命題中正確的是（）A．滿足條件的不可能是直角三角形B．面積的最大值為C．當(dāng)A=2C時(shí)，的周長為D．當(dāng)A=2C時(shí)，若O為的內(nèi)心，則的面積為【答案】BCD【分析】對(duì)于A，利用勾股定理的逆定理判斷；對(duì)于B，利用圓的方程和三角形的面積公式可得答案；對(duì)于C，利用正弦定理和三角函數(shù)恒等變形公式可得答案對(duì)于D，由已知條件可得為直角三角形，從而可求出三角形的內(nèi)切圓半徑，從而可得的面積【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以由正弦定理得，，若是直角三角形的斜邊，則有，即，得，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，因?yàn)?，所以，化簡得，所以點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，所以面積的最大值為，所以B正確；對(duì)于C，由A=2C，可得，由得，由正弦定理得，，即，所以，化簡得，因?yàn)椋曰喌?，因?yàn)椋?，所以，則，所以，所以，，，因?yàn)?，所以，所以的周長為，所以C正確；對(duì)于D，由C可知，為直角三角形，且，，，，所以的內(nèi)切圓半徑為，所以的面積為所以D正確，故選：BCD【點(diǎn)睛】此題考查三角形的正弦定理和面積公式的運(yùn)用，考查三角函數(shù)的恒等變換，考查轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算能力，屬于難題.三、填空題（本大題共4小題，共20分）13．寫出一個(gè)虛數(shù)z，使得為純虛數(shù)，則___________.【答案】（答案不唯一）．【分析】設(shè)（，，），代入計(jì)算后由復(fù)數(shù)的定義求解．【詳解】設(shè)（，，），則，因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以且.任取不為零的實(shí)數(shù)，求出即可得，答案不確定，如，故答案為：．14．棱長均為1的正四棱錐，該正四棱錐內(nèi)切球半徑為，外接球半徑為，則的值為______.【答案】【分析】對(duì)角線，設(shè)外接球球心為O，外接球球心到各頂點(diǎn)距離相等列出關(guān)于的方程可得，利用“體積法”可得，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】如圖所示，對(duì)角線，設(shè)外接球球心為O，，則，解得，內(nèi)切球半徑滿足，解得，于是，故答案為：.15．在△ABC中，設(shè)角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別為，記△ABC的面積為S，且，則的最大值為__________.【答案】【分析】根據(jù)題中條件利用余弦定理進(jìn)行簡化，然后化簡為二次函數(shù)，求出二次函數(shù)的最值即可.【詳解】由題知，整理得，因?yàn)椋胝淼?，令，有，所以，所以的最大值?故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用余弦定理解三角形，結(jié)合考查了二次函數(shù)的最值問題，屬于中檔題.16．趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家大約在公元222年，他為《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí)，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長得到的正方形由4個(gè)全等的直角三角形再加上中間的一個(gè)小正方形組成）類比“趙爽弦圖”，可構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由3個(gè)全等的三角形與中間一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)較大的等邊三角形，設(shè)，若，則可以推出_________.【答案】【分析】利用建系的方法，假設(shè)，根據(jù)，利用余弦定理可得長度，然后計(jì)算，可得點(diǎn)坐標(biāo)，最后根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)，可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，則如圖由題可知：，由所以，則所以，又所以所以即所以又所以所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查考查向量的坐標(biāo)線性表示，關(guān)鍵在于建系，充分使用條件，考驗(yàn)分析能力，屬難題.四、解答題（本大題共6小題，共70分）17．（10分）2020年春季，受疫情的影響，學(xué)校推遲了開學(xué)時(shí)間.上級(jí)部門倡導(dǎo)“停課不停學(xué)”，鼓勵(lì)學(xué)生在家學(xué)習(xí)，復(fù)課后，某校為了解學(xué)生在家學(xué)習(xí)的周均時(shí)長(單位:小時(shí))，隨機(jī)調(diào)查了部分學(xué)生，根據(jù)他們學(xué)習(xí)的周均時(shí)長，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求該校學(xué)生學(xué)習(xí)的周均時(shí)長的眾數(shù)的估計(jì)值;（2）估計(jì)該校學(xué)生學(xué)習(xí)的周均時(shí)長不少于30小時(shí)的概率.【答案】（1）25小時(shí)；（2）0.3.【分析】（1）根據(jù)直方圖，頻率最大的區(qū)間中點(diǎn)橫坐標(biāo)為眾數(shù)即可求眾數(shù)；（2）由學(xué)習(xí)的周均時(shí)長不少于30小時(shí)的區(qū)間有、，它們的頻率之和，即為該校學(xué)生學(xué)習(xí)的周均時(shí)長不少于30小時(shí)的概率.【詳解】（1）根據(jù)直方圖知：頻率最大的區(qū)間中點(diǎn)橫坐標(biāo)即為眾數(shù)，∴由頻率最大區(qū)間為，則眾數(shù)為；（2）由圖知：不少于30小時(shí)的區(qū)間有、，∴該校學(xué)生學(xué)習(xí)的周均時(shí)長不少于30小時(shí)的概率.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)直方圖求眾數(shù)、概率，應(yīng)用了眾數(shù)的概念、頻率法求概率，屬于簡單題.18．（12分）已知復(fù)數(shù)z＝a＋i(a>0，a∈R)，i為虛數(shù)單位，且復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù).（1）求復(fù)數(shù)z；（2）在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)(m＋z)2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的分類即求解.（2）利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】（1）因?yàn)閦＝a＋i(a>0)，所以z＋＝a＋i＋＝a＋i＋＝a＋i＋＝，由于復(fù)數(shù)z＋為實(shí)數(shù)，所以1－＝0，因?yàn)閍>0，解得a＝1，因此，z＝1＋i.（2）由題意(m＋z)2＝(m＋1＋i)2＝(m＋1)2－1＋2(m＋1)i＝(m2＋2m)＋2(m＋1)i，由于復(fù)數(shù)(m＋z)2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，則，解得m>0.因此，實(shí)數(shù)m的取值范圍是(0，＋∞).19．（12分）已知函數(shù)．（1）求的最小正周期及的圖象的對(duì)稱軸方程；（2）若，，求的取值范圍．【答案】（1）最小正周期為，對(duì)稱軸方程為，；（2），．【分析】（1）將化為，然后可求出答案；（2）由，可得，，然后可得答案.【詳解】（1），的最小正周期，令，，可得，，即的圖象的對(duì)稱軸方程為，．（2），，，，，，可得，．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角函數(shù)的恒等變換和三角函數(shù)的性質(zhì)，考查了學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況，較簡單.20．（12分）已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且．（1）求；（2）若，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用正弦定理與余弦定理將題中所給條件化簡整理，即可求出，從而可得角；（2）先由題中條件，得到，再由正弦定理將所求式子化為，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）由條件與正弦定理可得，，即，由余弦定理得，，所以，即．由得，．（2）由可知，．由正弦定理可知，又知，所以，所以，故的取值范圍為．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解三角形中有關(guān)邊長、角、面積的最值（范圍）問題時(shí)，常利用正弦定理、余弦定理與三角形面積公式，建立，，之間的等量關(guān)系與不等關(guān)系，然后利用函數(shù)或基本不等式求解.21．（12分）如圖，在中，是邊的中點(diǎn)，是邊上靠近點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn)，與交于點(diǎn).設(shè)，.（1）用，表示.（2）過點(diǎn)的直線與邊，分別交于點(diǎn)，.設(shè)，，求的值.【答案】（1）（2）【