2024-2024歷年考研數(shù)學(xué)一真題及答案詳解

年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、選擇題(1-8小題,每題4分,共32分,以下每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi).)(1)設(shè)函數(shù)那么的零點(diǎn)個(gè)數(shù)(A)0 (B)1 (C)2 (D)3(2)函數(shù)在點(diǎn)處的梯度等于(A) (B)- (C) (D)(3)在以下微分方程中,以(為任意常數(shù))為通解的是(A) (B)(C) (D)(4)設(shè)函數(shù)在內(nèi)單調(diào)有界,為數(shù)列,以下命題正確的選項(xiàng)是(A)假設(shè)收斂,那么收斂 (B)假設(shè)單調(diào),那么收斂(C)假設(shè)收斂,那么收斂 (D)假設(shè)單調(diào),那么收斂(5)設(shè)為階非零矩陣,為階單位矩陣.假設(shè),那么 (A)不可逆,不可逆 (B)不可逆,可逆 (C)可逆,可逆 (D)可逆,不可逆(6)設(shè)為3階實(shí)對稱矩陣,如果二次曲面方程在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)方程的圖形如圖,那么的正特征值個(gè)數(shù)為(A)0 (B)1(C)2 (D)3(7)設(shè)隨機(jī)變量獨(dú)立同分布且分布函數(shù)為,那么分布函數(shù)為(A) (B)(C) (D)(8)設(shè)隨機(jī)變量,且相關(guān)系數(shù),那么(A) (B)(C) (D)二、填空題(9-14小題,每題4分,共24分,請將答案寫在答題紙指定位置上.)(9)微分方程滿足條件的解是.(10)曲線在點(diǎn)處的切線方程為.(11)冪級數(shù)在處收斂,在處發(fā)散,那么冪級數(shù)的收斂域?yàn)?(12)設(shè)曲面是的上側(cè),那么.(13)設(shè)為2階矩陣,為線性無關(guān)的2維列向量,,那么的非零特征值為.(14)設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為1的泊松分布,那么.三、解答題(15－23小題,共94分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)(15)(此題總分值10分)求極限.(16)(此題總分值10分) 計(jì)算曲線積分,其中是曲線上從點(diǎn)到點(diǎn)的一段.(17)(此題總分值10分)曲線,求曲線距離面最遠(yuǎn)的點(diǎn)和最近的點(diǎn).(18)(此題總分值10分)設(shè)是連續(xù)函數(shù),(=1\*ROMAN1)利用定義證明函數(shù)可導(dǎo),且.(2)當(dāng)是以2為周期的周期函數(shù)時(shí),證明函數(shù)也是以2為周期的周期函數(shù).(19)(此題總分值10分),用余弦級數(shù)展開,并求的和.(20)(此題總分值11分),為的轉(zhuǎn)置,為的轉(zhuǎn)置.證明:(=1\*ROMAN1).(2)假設(shè)線性相關(guān),那么.(21)(此題總分值11分)設(shè)矩陣,現(xiàn)矩陣滿足方程,其中,,(=1\*ROMAN1)求證.(2)為何值,方程組有唯一解,求.(3)為何值,方程組有無窮多解,求通解.(22)(此題總分值11分)設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立,的概率分布為,的概率密度為,記,(=1\*ROMAN1)求.(2)求的概率密度.(此題總分值11分)設(shè)是總體為的簡單隨機(jī)樣本.記,,(=1\*ROMAN1)證明是的無偏估計(jì)量.(2)當(dāng)時(shí),求.

2024年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、選擇題(1-8小題,每題4分,共32分,以下每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi).)(1)當(dāng)時(shí),與等價(jià)無窮小,那么(A) (B) (C) (D)(2)如圖,正方形被其對角線劃分為四個(gè)區(qū)域,,那么(A) (B)(C) (D) (3)設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的圖形為1-21-2023-1O那么函數(shù)的圖形為(A) 0230231-2-110231-2-11(C)0230231-110231-2-11(4)設(shè)有兩個(gè)數(shù)列,假設(shè),那么(A)當(dāng)收斂時(shí),收斂. (B)當(dāng)發(fā)散時(shí),發(fā)散. (C)當(dāng)收斂時(shí),收斂. (D)當(dāng)發(fā)散時(shí),發(fā)散.(5)設(shè)是3維向量空間的一組基,那么由基到基的過渡矩陣為(A) (B) (C) (D)(6)設(shè)均為2階矩陣,分別為的伴隨矩陣,假設(shè),那么分塊矩陣的伴隨矩陣為(A) (B) (C) (D)(7)設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為,其中為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù),那么(A)0 (B)0.3 (C)0.7 (D)1(8)設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立,且服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,的概率分布為,記為隨機(jī)變量的分布函數(shù),那么函數(shù)的間斷點(diǎn)個(gè)數(shù)為(A)0 (B)1 (C)2 (D)3二、填空題(9-14小題,每題4分,共24分,請將答案寫在答題紙指定位置上.)(9)設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),,那么.(10)假設(shè)二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解為,那么非齊次方程滿足條件的解為.(11)曲線,那么.(12)設(shè),那么.(13)假設(shè)3維列向量滿足,其中為的轉(zhuǎn)置,那么矩陣的非零特征值為.(14)設(shè)為來自二項(xiàng)分布總體的簡單隨機(jī)樣本,和分別為樣本均值和樣本方差.假設(shè)為的無偏估計(jì)量,那么.三、解答題(15－23小題,共94分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)(15)(此題總分值9分)求二元函數(shù)的極值.(16)(此題總分值9分)設(shè)為曲線與所圍成區(qū)域的面積,記,求與的值.(17)(此題總分值11分)橢球面是橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)而成,圓錐面是過點(diǎn)且與橢圓相切的直線繞軸旋轉(zhuǎn)而成.(1)求及的方程.(2)求與之間的立體體積.(18)(此題總分值11分)(1)證明拉格朗日中值定理:假設(shè)函數(shù)在上連續(xù),在可導(dǎo),那么存在,使得.(2)證明:假設(shè)函數(shù)在處連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且,那么存在,且(19)(此題總分值10分)計(jì)算曲面積分,其中是曲面的外側(cè).(20)(此題總分值11分)設(shè),(1)求滿足的.的所有向量,.(2)對(1)中的任意向量,證明無關(guān).(21)(此題總分值11分)設(shè)二次型.(1)求二次型的矩陣的所有特征值;(2)假設(shè)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為,求的值.(22)(此題總分值11分)袋中有1個(gè)紅色球,2個(gè)黑色球與3個(gè)白球,現(xiàn)有回放地從袋中取兩次,每次取一球,以分別表示兩次取球所取得的紅球、黑球與白球的個(gè)數(shù).求.(2)求二維隨機(jī)變量概率分布(23)(此題總分值11分)設(shè)總體的概率密度為,其中參數(shù)未知,,,…是來自總體的簡單隨機(jī)樣本.(1)求參數(shù)的矩估計(jì)量.(2)求參數(shù)的最大似然估計(jì)量.2024年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、選擇題(1-8小題,每題4分,共32分,以下每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi).)(1)極限=(A)1 (B) (C) (D)(2)設(shè)函數(shù)由方程確定,其中為可微函數(shù),且那么=(A) (B) (C) (D) (3)設(shè)為正整數(shù),那么反常積分的收斂性(A)僅與取值有關(guān) (B)僅與取值有關(guān) (C)與取值都有關(guān) (D)與取值都無關(guān)(4)=(A) (B) (C) (D)(5)設(shè)為型矩陣為型矩陣,假設(shè)那么(A)秩秩 (B)秩秩 (C)秩秩 (D)秩秩(6)設(shè)為4階對稱矩陣,且假設(shè)的秩為3,那么相似于(A) (B) (C) (D)(7)設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)那么=(A)0 (B)1 (C) (D)(8)設(shè)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度為上均勻分布的概率密度,為概率密度,那么應(yīng)滿足(A) (B) (C) (D)二、填空題(9-14小題,每題4分,共24分,請將答案寫在答題紙指定位置上.)(9)設(shè)求=.(10)=.(11)曲線的方程為起點(diǎn)是終點(diǎn)是那么曲線積分=.(12)設(shè)那么的形心的豎坐標(biāo)=.(13)設(shè)假設(shè)由形成的向量空間的維數(shù)是2,那么=.(14)設(shè)隨機(jī)變量概率分布為那么=.三、解答題(15－23小題,共94分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)(15)(此題總分值10分)求微分方程的通解.(16)(此題總分值10分)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.(17)(此題總分值10分)(1)比較與的大小,說明理由記求極限(18)(此題總分值10分)求冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù).(19)(此題總分值10分)設(shè)為橢球面上的動(dòng)點(diǎn),假設(shè)在點(diǎn)的切平面與面垂直,求點(diǎn)的軌跡并計(jì)算曲面積分其中是橢球面位于曲線上方的局部.(20)(此題總分值11分)設(shè)線性方程組存在兩個(gè)不同的解.(1)求(2)求方程組的通解.(21)(此題總分值11分)設(shè)二次型在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為且的第三列為(1)求(2)證明為正定矩陣,其中為3階單位矩陣.(22)(此題總分值11分)設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為求常數(shù)及條件概率密度(23)(此題總分值11分)設(shè)總體的概率分布為123其中未知,以來表示來自總體的簡單隨機(jī)樣本(樣本容量為)中等于的個(gè)數(shù)試求常數(shù)使為的無偏估計(jì)量,并求的方差.2024年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、選擇題(1-8小題,每題4分,共32分,以下每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi).)曲線的拐點(diǎn)是〔〕A〔1，0〕B〔2，0〕C〔3，0〕D〔4，0〕2、設(shè)數(shù)列單調(diào)減少，且。無界，那么冪級數(shù)的收斂域?yàn)椤病矨BCD設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且.。那么函數(shù)在點(diǎn)處取得極小值的一個(gè)充分條件是〔〕ABCD4、設(shè)，那么的大小關(guān)系是〔〕ABCD5、設(shè)A為3階矩陣，把A的第二列加到第一列得到矩陣B，再交換B的第二行與第3行得到單位陣E，記，，那么A=〔〕ABCD6、設(shè)是4階矩陣，為A的伴隨矩陣。假設(shè)是的一個(gè)根底解系，那么的根底解系可為〔〕ABCD7、設(shè)為兩個(gè)分布函數(shù)，且連續(xù)函數(shù)為相應(yīng)的概率密度，那么必為概率密度的是〔〕ABCD+8、設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且都存在，記，那么〔〕ABCD二、填空題：9—14小題，每題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定的位置上。9、曲線的弧長為_____________10、微分方程滿足條件的解為________________11、設(shè)函數(shù)，那么12、設(shè)是柱面方程與平面的交線，從軸正向往軸負(fù)向看去為逆時(shí)針方向，那么曲線積分13、假設(shè)二次曲面的方程，經(jīng)正交變換化為，那么14、設(shè)二維隨機(jī)變量，那么三、解答題：15—23小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定的位置上，解容許寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15、〔此題總分值10分〕求極限16、〔此題總分值9分〕設(shè)函數(shù)，其中具有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)可導(dǎo)且在處取得極值.求17、〔此題總分值10分〕求方程的不同實(shí)根的個(gè)數(shù)，其中為參數(shù)。18、〔此題總分值10分〕=1\*GB3①證明：對任意的正整數(shù)，都有成立；=2\*GB3②設(shè)，證明數(shù)列收斂.19、〔此題總分值11分〕函數(shù)具有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且，其中計(jì)算二重積分20、〔此題總分值11分〕設(shè)向量組，，不能由向量組，，線性表示；求的值；將用線性表示；21、〔此題總分值11分〕A為3階實(shí)對稱矩陣，A的秩為2，且求〔1〕A的特征值與特征向量〔2〕矩陣A22、〔此題總分值11分〕設(shè)隨機(jī)變量X與Y的概率分布分別為X01Y-101且求〔1〕二維隨機(jī)變量〔X，Y〕的概率分布；〔2〕的概率分布〔3〕X與Y的相關(guān)系數(shù)23、〔此題總分值11分〕設(shè)是來自正態(tài)總體的簡單隨機(jī)樣本，其中，未知.為樣本均值和樣本方差.求〔1〕求參數(shù)的最大似然估計(jì)(2)計(jì)算E和D2024年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、選擇題：1～8小題，每題4分，共32分，以下每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的，請將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.〔1〕曲線漸近線的條數(shù)為〔〕〔A〕0 〔B〕1 〔C〕2 〔D〕3〔2〕設(shè)函數(shù)，其中為正整數(shù)，那么〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔3〕如果在處連續(xù)，那么以下命題正確的選項(xiàng)是〔〕〔A〕假設(shè)極限存在，那么在處可微〔B〕假設(shè)極限存在，那么在處可微〔C〕假設(shè)在處可微，那么極限存在〔D〕假設(shè)在處可微，那么極限存在〔4〕設(shè)sinxdx(k=1,2,3),那么有D〔A〕I1<I2<I3. (B)I2<I2<I3.(C)I1<I3<I1, (D)I1<I2<I3.〔5〕設(shè)其中為任意常數(shù)，那么以下向量組線性相關(guān)的是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔6〕設(shè)為3階矩陣，為3階可逆矩陣，且，，那么〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔7〕設(shè)隨機(jī)變量x與y相互獨(dú)立，且分別服從參數(shù)為1與參數(shù)為4的指數(shù)分布，那么〔〕〔8〕將長度為1m的木棒隨機(jī)地截成兩段，那么兩段長度的相關(guān)系數(shù)為〔〕二、填空題：914小題，每題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上.〔9〕假設(shè)函數(shù)滿足方程及，那么=________。〔10〕________?！?1〕________?！?2〕設(shè)那么________。〔13〕設(shè)X為三維單位向量，E為三階單位矩陣，那么矩陣的秩為________?！?4〕設(shè)是隨機(jī)事件，互不相容，,,那么________。三、解答題：15—23小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定位置上.解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟.〔15〕〔此題總分值10分〕證明：〔16〕〔此題總分值10分〕求的極值。〔17〕〔此題總分值10分〕求冪級數(shù)x2n的收斂域及和函數(shù)〔18〕〔此題總分值10分〕曲線，其中函數(shù)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，。假設(shè)曲線L的切線與x軸的交點(diǎn)到切點(diǎn)的距離恒為1，求函數(shù)的表達(dá)式，并求此曲線L與x軸與y軸無邊界的區(qū)域的面積?！?9〕〔此題總分值10分〕是第一象限中從點(diǎn)沿圓周到點(diǎn)，再沿圓周到點(diǎn)的曲線段，計(jì)算曲線積分?！?0〕〔此題總分值10分〕設(shè)，〔Ⅰ〕求〔Ⅱ〕線性方程組有無窮多解，求，并求的通解?！?1〕〔此題總分值10分〕三階矩陣，為矩陣的轉(zhuǎn)置，，且二次型。1〕求2〕求二次型對應(yīng)的二次型矩陣，并將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型，寫出正交變換過程。〔22〕〔此題總分值10分〕隨機(jī)變量以及的分布律如下表所示，X012P1/21/31/6Y012P1/31/31/3XY0124P7/121/301/12求：(1)；(2)與.〔23〕〔此題總分值11分〕設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立且分別服從正態(tài)分布與，其中是未知參數(shù)且,設(shè),求的概率密度；設(shè)為來自總體的簡單隨機(jī)樣本，求的最大似然估計(jì)量；證明為的無偏估計(jì)量。2024碩士研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)一1.極限，其中k，c為常數(shù)，且，那么〔〕A.B.C.D.2.曲面在點(diǎn)處的切平面方程為〔〕A.B.C.D.3.設(shè)，，令，那么〔〕A.B.C.D.4.設(shè)，，，為四條逆時(shí)針方向的平面曲線，記，那么A.B.C.D5.設(shè)A,B,C均為n階矩陣，假設(shè)AB=C，且B可逆，那么〔〕A.矩陣C的行向量組與矩陣A的行向量組等價(jià)B矩陣C的列向量組與矩陣A的列向量組等價(jià)C矩陣C的行向量組與矩陣B的行向量組等價(jià)D矩陣C的列向量組與矩陣B的列向量組等價(jià)6.矩陣與相似的充分必要條件為〔〕A.B.為任意常數(shù)C.D.為任意常數(shù)7.設(shè)是隨機(jī)變量，且，，，，那么〔〕A.B.C.D8.設(shè)隨機(jī)變量,，給定，常數(shù)c滿足，那么()9.設(shè)函數(shù)y=f(x)由方程y-x=ex(1-y)確定，那么＝。10.y1=e3x–xe2x，y2=ex–xe2x，y3=–xe2x是某二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的3個(gè)解，那么該方程的通解y=。11.設(shè)。12.。13.設(shè)A=(aij)是3階非零矩陣，為A的行列式，Aij為aij的代數(shù)余子式.假設(shè)aij+Aij=0(i，j=1,2,3〕，那么｜A｜＝。14.設(shè)隨機(jī)變量Y服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，a為常數(shù)且大于零，那么P{Y≤a+1|Y＞a}=三．解答題：〔15〕〔此題總分值10分〕計(jì)算，其中f(x)＝(1