2024年北京市西城區(qū)高三二模數(shù)學(xué)文科含答案

PAGE第4頁共11頁北京市西城區(qū)2024年高三二模試卷高三數(shù)學(xué)〔文科〕2024.5第一卷〔選擇題共40分〕一、選擇題：本大題共8小題，每題5分，共40分．在每題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1．復(fù)數(shù)〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕2．向量，．假設(shè)與共線，那么實數(shù)〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕3．給定函數(shù)：①；②；③；④，其中奇函數(shù)是〔A〕①〔B〕②〔C〕③〔D〕④4．假設(shè)雙曲線的離心率是，那么實數(shù)〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕5．如以下列圖的程序框圖表示求算式“〞之值，那么判斷框內(nèi)可以填入〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕6．對于直線，和平面，，使成立的一個充分條件是〔A〕，∥〔B〕∥，〔C〕，，〔D〕，，7．函數(shù)．假設(shè)關(guān)于的方程有兩個不同的實根，那么實數(shù)的取值范圍是〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕8．集合的非空子集具有性質(zhì)：當時，必有．那么具有性質(zhì)的集合的個數(shù)是〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕第二卷〔非選擇題共110分〕二、填空題：本大題共6小題，每題5分，共30分．9．直線，．假設(shè)∥，那么實數(shù)______．10．右圖是甲，乙兩組各名同學(xué)身高〔單位：〕數(shù)據(jù)的莖葉圖．記甲，乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)依次為和，那么______．〔填入：“〞，“〞，或“〞〕11．在△中，，，，那么______；△的面積是______．12．設(shè)，隨機取自集合，那么直線與圓有公共點的概率是______．13．命題函數(shù)在上單調(diào)遞增；命題不等式的解集是．假設(shè)且為真命題，那么實數(shù)的取值范圍是______．14．在直角坐標系中，兩定點，．動點滿足那么點構(gòu)成的區(qū)域的面積是______；點構(gòu)成的區(qū)域的面積是______．三、解答題：本大題共6小題，共80分．解容許寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．15．〔本小題總分值13分〕等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，，．〔Ⅰ〕求數(shù)列的通項公式；〔Ⅱ〕設(shè)．證明：為等差數(shù)列，并求的前項和．16．〔本小題總分值13分〕如圖，在直角坐標系中，角的頂點是原點，始邊與軸正半軸重合，終邊交單位圓于點，且．將角的終邊按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，交單位圓于點．記．〔Ⅰ〕假設(shè)，求；〔Ⅱ〕分別過作軸的垂線，垂足依次為．記△的面積為，△的面積為．假設(shè)，求角的值．17．〔本小題總分值14分〕如圖1，在四棱錐中，底面，面為正方形，為側(cè)棱上一點，為上一點．該四棱錐的正〔主〕視圖和側(cè)〔左〕視圖如圖2所示．〔Ⅰ〕求四面體的體積；〔Ⅱ〕證明：∥平面；〔Ⅲ〕證明：平面平面．18．〔本小題總分值13分〕函數(shù)，其中．〔Ⅰ〕假設(shè)，求曲線在點處的切線方程；〔Ⅱ〕求在區(qū)間上的最小值．19．〔本小題總分值14分〕如圖，橢圓的左頂點為，是橢圓上異于點的任意一點，點與點關(guān)于點對稱．〔Ⅰ〕假設(shè)點的坐標為，求的值；〔Ⅱ〕假設(shè)橢圓上存在點，使得，求的取值范圍．20．〔本小題總分值13分〕集合是正整數(shù)的一個排列，函數(shù)對于，定義：，，稱為的滿意指數(shù)．排列為排列的生成列．〔Ⅰ〕當時，寫出排列的生成列；〔Ⅱ〕證明：假設(shè)和為中兩個不同排列，那么它們的生成列也不同；〔Ⅲ〕對于中的排列，進行如下操作：將排列從左至右第一個滿意指數(shù)為負數(shù)的項調(diào)至首項，其它各項順序不變，得到一個新的排列．證明：新的排列的各項滿意指數(shù)之和比原排列的各項滿意指數(shù)之和至少增加．北京市西城區(qū)2024年高三二模試卷高三數(shù)學(xué)〔文科〕參考答案及評分標準2024.5一、選擇題：本大題共8小題，每題5分，共40分.1．A；2．A；3．D；4．B；5．C；6．C；7．B；8．B．二、填空題：本大題共6小題，每題5分，共30分.9．；10．；11．，；12．；13．；14．，．注：11、14題第一空2分，第二空3分.三、解答題：本大題共6小題，共80分.假設(shè)考生的解法與本解答不同，正確者可參照評分標準給分.15．〔本小題總分值13分〕〔Ⅰ〕解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，依題意．………………1分因為，，兩式相除得，………………3分解得，舍去．………………4分所以．………………6分所以數(shù)列的通項公式為．………………7分〔Ⅱ〕解：由〔Ⅰ〕得．………………9分因為，所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列．………………11分所以．………………13分16．〔本小題總分值13分〕〔Ⅰ〕解：由三角函數(shù)定義，得，．………………2分因為，，所以．………………3分所以．………………5分〔Ⅱ〕解：依題意得，．所以，………………7分．……………9分依題意得，整理得．………………11分因為，所以，所以，即．………………13分17．〔本小題總分值14分〕〔Ⅰ〕解：由左視圖可得為的中點，所以△的面積為．………………1分因為平面，………………2分所以四面體的體積為………………3分．………………4分〔Ⅱ〕證明：取中點，連結(jié)，．………………5分由正〔主〕視圖可得為的中點，所以∥，．………………6分又因為∥，，所以∥，．所以四邊形為平行四邊形，所以∥．………………8分因為平面，平面，所以直線∥平面．………………9分〔Ⅲ〕證明：因為平面，所以．因為面為正方形，所以．所以平面．………………11分因為平面，所以．因為，為中點，所以．所以平面．………………12分因為∥，所以平面．………………13分因為平面，所以平面平面.………………14分18.〔本小題總分值13分〕〔Ⅰ〕解：的定義域為，且．………………2分當時，，，所以曲線在點處的切線方程為，即．………………4分〔Ⅱ〕解：方程的判別式，………………5分令，得，或．………………6分和的情況如下：↗↘↗故的單調(diào)增區(qū)間為，；單調(diào)減區(qū)間為．………………9分①當時，，此時在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上的最小值是．………………10分②當時，，此時在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上的最小值是．………………12分③當時，，此時在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上的最小值是．………………13分綜上，當時，在區(qū)間上的最小值是；當時，在區(qū)間上的最小值是；當時，在區(qū)間上的最小值是．19．〔本小題總分值14分〕〔Ⅰ〕解：依題意，是線段的中點，因為，，所以點的坐標為．………………2分由點在橢圓上，所以，………………4分解得．………………6分〔Ⅱ〕解：設(shè)，那么，且． ①………………7分因為是線段的中點，所以．………………8分因為，所以． ②………………9分由①，②消去，整理得．………………11分所以，………………13分當且僅當時，上式等號成立．所以的取值范圍是．………………14分20．〔本小題總分值13分〕〔Ⅰ〕解：當時，排列的生成列為．………………3分〔Ⅱ〕證明：設(shè)的生成列是；的生成列是與．從右往左數(shù)，設(shè)排列與第一個不同的項為與，即：，，，，．顯然，，，，下面證明：．………………5分由滿意指數(shù)的定義知，的滿意指數(shù)為排列中前項中比小的項的個數(shù)減去比大的項的個數(shù)．由于排列的前項各不相同，設(shè)這項中有項比小，那么有項比大，從而．同理，設(shè)排列中有項比小，那么有項比大，從而．因為與是個不同數(shù)的兩個不同排列，且，所以，從而．所以排列和