夯基專題9平面向量的基本運算與應(yīng)用講義-高三數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)

夯基專題9平面向量的基本運算與應(yīng)用考向考向一平面向量的概念與線性運算【核心知識】考點一：平面向量的有關(guān)概念(1)向量定義的關(guān)鍵是方向和長度．(2)非零共線向量的關(guān)鍵是方向相同或相反，長度沒有限制．(3)相等向量的關(guān)鍵是方向相同且長度相等．(4)單位向量的關(guān)鍵是長度都是一個單位長度．(5)零向量的關(guān)鍵是長度是0，規(guī)定零向量與任何向量共線．考點二：平面向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算(3)交換律：a＋b＝b＋a；(4)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法求a與b的相反向量－b的和的運算a－b＝a＋(－b)數(shù)乘求實數(shù)λ與向量a的積的運算(6)|λa|＝|λ||a|；(7)當λ>0時，λa與a的方向相同；當λ<0時，λa與a的方向相反；當λ＝0時，λa＝0(8)λ(μa)＝(λμ)a；(9)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(10)λ(a＋b)＝λa＋λb強調(diào)：一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指向最后一個向量終點的向量，即eq\o(A1A2,\s\up6(→))＋eq\o(A2A3,\s\up6(→))＋eq\o(A3A4,\s\up6(→))＋…＋eq\o(An－1An,\s\up6(→))＝eq\o(A1An,\s\up6(→))，特別地，一個封閉圖形，首尾連接而成的向量和為零向量．考點三：共線向量定理向量a(a≠0)與b共線，當且僅當有唯一一個實數(shù)λ，使b＝λa.強調(diào)：1．若P為線段AB的中點，O為平面內(nèi)任一點，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))．2.eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ為實數(shù))，若點A，B，C共線，則λ＋μ＝1.【典例精講】例1.(2023·廣東省清遠市月考)設(shè)點P是△ABC所在平面內(nèi)的一點，且BC+BA=2BP，則A.PA+PB=0 B.PC+PA例2.(2023·安徽省滁州市·模擬題)△ABC中，點M是BC的中點，點N為AB上一點，AM與CN交于點D，且AD=45AM，ANA.23 B.34 C.45【拓展提升】練11.(2023·北京市朝陽區(qū)·期中考試)已知平面內(nèi)四個不同的點A,B,C,D滿足BA=2DB-2DC，則|A.23 B.32 C.2 練12.(2023·山東省青島月考)如圖，在?ABC中，N為線段AC上靠近A的三等分點，點P在BN上且AP=(m+211)AB+211BCA.1 B.13 C.911 考向考向二平面向量基本定理及坐標表示【核心知識】考點一：平面向量基本定理的應(yīng)用如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．考點二：平面向量的坐標運算(1)向量加法、減法、數(shù)乘及向量的模設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).(2)向量坐標的求法①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標．②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).考點三：平面向量共線的坐標表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共線?x1y2－x2y1＝0.【典例精講】例3.(2023·浙江省杭州市月考)“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學(xué)的瑰寶，它是由四個全等的直角三角形和一個正方形構(gòu)成．現(xiàn)仿照趙爽弦圖，用四個三角形和一個小平行四邊形構(gòu)成如圖圖形，其中，E，F(xiàn)，G，H分別是DF，AG，BH，CE的中點，若AG=xAB+yAD，則2x+y等于(

)A.25 B.45 C.1 例4.(2023·江蘇省·聯(lián)考題)如圖，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，AD=1，BC=2，P是線段AB上的動點，則PC+4PD的最小值為(

)

A.35 B.6 C.2【拓展提升】練21.(2023·北京市市轄區(qū)·期中考試)已知向量a=(5,m)，b=(2,-2)，若a-b與b共線，則實數(shù)m=A.-1 B.1 C.2 D.-5練22.(2023·河北省邯鄲市聯(lián)考)(多選)如圖，圓О是邊長為23的等邊三角形ABC的內(nèi)切圓，其與BC邊相切于點D，點M為圓上任意一點，BM=xBA+yBD(x,y∈R)，則2x+y可以取值為A.16 B.13 C.23考向三平面向量考向三平面向量的數(shù)量積考點一：平面向量數(shù)量積的運算(1)當已知向量的模和夾角時，可利用定義法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)當已知向量的坐標時，可利用坐標法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2.(3)利用數(shù)量積的幾何意義求解．考點二：平面向量數(shù)量積的應(yīng)用(1)求解平面向量模的方法①寫出有關(guān)向量的坐標，利用公式|a|＝eq\r(x2＋y2)即可．②當利用向量的線性運算和向量的數(shù)量積公式進行求解，|a|＝eq\r(a2).(2)求平面向量的夾角的方法①定義法：cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)，注意θ的取值范圍為[0，π]．②坐標法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).③解三角形法：可以把所求兩向量的夾角放到三角形中進行求解．【典例精講】例5.(2023·江蘇省南京市月考)設(shè)平面向量a，b滿足|a|=12,b=(2,5),a?A.12b B.18b C.例6.(2023·海南省·模擬題)(多選)某公園準備在一處空地上建一個等腰梯形花壇，如圖，現(xiàn)將此花壇分為16塊大小相等的等腰直角三角形，則(

)

A.BH=2BK B.OJ+OC+ON【拓展提升】練31.(2023·湖北省聯(lián)考題)平面向量a與b相互垂直，已知a=(6,-8)，|b|=5，且b與向量(1,0)的夾角是鈍角，則bA.(-3,-4) B.(4,3) C.(-4,3) D.(-4,-3)練32.(2023·湖南省懷化市期末)(多選)正方形ABCD的邊長為2，E是BC中點，如圖，點P是以AB為直徑的半圓上任意點，AP=λAD+μAE，(λ,μ∈R)，則(

)

A.λ的最大值為12 B.μ的最大值為1

C.AP?AD的最大值是2 D.考考向四平面向量的綜合應(yīng)用【核心知識】考點一：向量在平面幾何在的應(yīng)用若G是△ABC的重心，則eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0.若動點P滿足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))，λ∈(0，＋∞)，則點P的軌跡一定通過△ABC的內(nèi)心.3．考點二：向量在三角函數(shù)、解三角形中的應(yīng)用【典例精講】例7.(2023·福建省三明市·模擬題)在平面直角坐標系中，O(0,0)，A(sin?α,cos?α)，Bcosα+π6,例8.(2023·江蘇省泰州市·期中考試)(多選)已知P為△ABC所在平面內(nèi)一點，則下列正確的是(

)A.若PA+3PB+2PC=0，則點P在△ABC的中位線上

B.若PA+PB+PC=0，則P為△ABC的重心

C.若【拓展提升】練41.(2023·湖南省·模擬題)已知函數(shù)g(x)=3sin(π-x)cos(-x)+sin(π+x)cos(π2-x)A.9+π29， B.9-π29， C.練42.(2023·北京市豐臺區(qū)月考)如圖，已知BD是圓O的直徑，AC是與BD垂直的弦，且AC與BD交于點E，點P是線段AD上的動點，直線PE交BC于點Q.當PD?PB取得最小值時，下列結(jié)論中一定成立的是(

)

A.OQ⊥BC B.OP⊥AD C.PQ//AB D.OP//AC【答案解析】例1.解：因為BC+BA=2BP，

所以(BC-BP)+(例2.解：由題設(shè)，AM=12∴AD=25(AB+AC)，

∵∴25λ+故選A．練11.解：

∵BA=2∴BC+即

3BC=AC

∴|AC故選：D．練12.解：∵BC∴AP又∵B，P，N三點共線，

∴m+6解得m=5故選D．例3.解：∵AG=AB+BG=AB+12BH=AB+12(BC+12CE)

=AB+12BC例4.解：以B為原點，BC，BA所在直線分別為x，y軸建立如圖所示的平面直角坐標系，

則B(0,0)，C(2,0)，設(shè)A(0,m)，D(1,m)，P(0,y)，

所以PC=(2,-y)，PD=(1,m-y)，

所以PC+4PD=(6,4m-5y)，

所以|PC+4PD|=36+(4m-5y)2，練21.解：a-b=(3,m+2)，b=(2,-2)，且a-b與b共線，

∴-6-2(m+2)=0練22.解：設(shè)圓與AB，AC的切點分別為F，E，

BM=xBA+yBD=2xBF+yBD，

若2x+y=1，則M在直線DF上，

所以當M為點D或F時，2x+y=1；

若2x+y=m，則BM=xBA+yBD=2xm·mBF+ym·mBD，

令mBF=BF',mBD=BD'，

由2x+y=m，2xm+ym=1，M在直線例5.解：因為平面向量a，b滿足|a|=12,?b=(2,5),?a?b=18例6.解：建立以O(shè)為坐標原點，KG、IC所在直線為x軸，y軸的平面直角坐標系，設(shè)ON=1，

則O(0,0)，A(-2,-1)，B(-1,-1)，C(0,-1)，D(1,-1)，E(2,-1)，F(xiàn)(3,-1)，G(2,0)，H(1,1)，K(-2,0)，L(-3,-1)，N(1,0)，J(-1,1)，

對于選項A，BH和BK方向不一致，即選項A錯誤；

對于選項B，OJ+OC+ON=(-1+0+1,1-1+0)=(0,0)=0，即選項B正確；

對于選項C，LK-OD+HF=(1,1)-(1,-1)+(2,-2)=(2,0)=-CA，即選項C錯誤；

對于選項D，練31.解：設(shè)b=(x,y)，則由題意得a?b=0x2+y2=5，即6x-8y=0x2+y2=25，

解得x=4y=3或x=-4y=-3，

設(shè)練32.解：如圖，以AB的中點O為原點建立平面直角坐標系，則A-1,0，D-1,2，E1,1，連接OP，設(shè)∠BOP=α則Pcosα,sinα，AP=由AP=λAD+μAE，得2μ=所以λ=142sinα-cosα-1當α=0時，μmax=1，故AP?AD=2AP?AE=sin?α+2cos?α+2=故選BCD．例7.解：由題意，

則OA=1,OB=1，，

即，

所以，或，

即α=-π6+kπ，k∈Z或α=π2+kπ，k∈Z，

故答案為-π6(或π2、5π6、3π例8.解：對于A，設(shè)AB中點為D，BC中點為E，∵PA+3PB∴2PD=-4PE，即PD又DE為△ABC的中位線，∴點P在△ABC的中位線上，故選項對于B，設(shè)AB中點為D，由PA+PB+又PA+PB=2PD，∴CP=2PD，∴P為△ABC的重心，故選項B對于C，∵AB?AC>0，∴AB與AC夾角為銳角，即A為銳角，

但此時B,C對于D，∵AP=13AB+23AC，∴P為線段BC上靠近故選：ABD．練41.解：由三角函數(shù)公式化簡可得：gx=3sinxcosx-sin2x

=32sin2x+12cos2x-12

=sin(2x+π練42.解：連接

OP

，