2021新高考數(shù)學(xué)新課程一輪復(fù)習(xí)學(xué)案第一章第2講充分條件與必要條件全稱量詞與存在量詞

第2講充分條件與必要條件、全稱量詞與存在量詞[考綱解讀]1.理解充分條件、必要條件與充要條件的含義，理解全稱量詞與存在量詞的含義．(重點、難點)2.能正確地對含有一個量詞的命題進行否定．(重點)[考向預(yù)測]本講是高考中的?？贾R點．預(yù)測2021年高考將會對命題及充要條件的判斷，全稱命題、特稱命題的否定進行考查，考查知識面比較廣泛，以數(shù)列、向量、三角函數(shù)、立體幾何、解析幾何等基本概念為命題方向．試題難度以中、低檔題型為主，且以選擇、填空題的形式進行考查.1.命題用語言、符號或式子表達的，可以eq\o(□,\s\up3(01))判斷真假的陳述句叫做命題，其中eq\o(□,\s\up3(02))判斷為真的語句叫做真命題，eq\o(□,\s\up3(03))判斷為假的語句叫做假命題．2．充分條件、必要條件與充要條件若p?q，則p是q的eq\o(□,\s\up3(01))充分條件，q是p的eq\o(□,\s\up3(02))必要條件p成立的對象的集合為A，q成立的對象的集合為Bp是q的eq\o(□,\s\up3(03))充分不必要條件p?q且qeq\o(?,/)pA是B的eq\o(□,\s\up3(04))真子集p是q的eq\o(□,\s\up3(05))必要不充分條件peq\o(?,/)q且q?pB是A的eq\o(□,\s\up3(06))真子集p是q的eq\o(□,\s\up3(07))充要條件p?qeq\o(□,\s\up3(08))A＝Bp是q的eq\o(□,\s\up3(09))既不充分也不必要條件peq\o(?,/)q且qeq\o(?,/)pA，B互不eq\o(□,\s\up3(10))包含3．全稱量詞和存在量詞量詞名詞常見量詞表示符號全稱量詞所有、一切、任意、全部、每一個、任給等eq\o(□,\s\up3(01))?存在量詞存在一個、至少有一個、有一個、某個、有些、某些等eq\o(□,\s\up3(02))?4．全稱命題和特稱命題名稱形式全稱命題特稱命題結(jié)構(gòu)對M中的任意一個x，有p(x)成立存在M中的一個x0，使p(x0)成立簡記eq\o(□,\s\up3(01))?x∈M，p(x)eq\o(□,\s\up3(02))?x0∈M，p(x0)否定eq\o(□,\s\up3(03))?x0∈M，p(x0)eq\o(□,\s\up3(04))?x∈M，p(x)1．概念辨析(1)“x－3>0”是命題．()(2)命題“3≤3”是假命題．()(3)當(dāng)q是p的必要條件時，p是q的充分條件．()(4)“長方形的對角線相等”是特稱命題．()答案(1)×(2)×(3)√(4)×2．小題熱身(1)對于任意兩個集合A，B，“x∈A∩B”是“x∈A”的()A．充分條件B．必要條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案A解析∵(A∩B)?A，∴x∈A∩B?x∈A，∴“x∈A∩B”是“x∈A”的充分條件．(2)設(shè)集合M＝{x|0＜x≤3}，N＝{x|0＜x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的()A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案B解析因為NM，所以“a∈M”是“a∈N”的必要而不充分條件．(3)下列命題中的假命題是()A．?x0∈R，lgx0＝1 B．?x0∈R，sinx0＝0C．?x∈R，x3>0 D．?x∈R,2x>0答案C解析因為lg10＝1，所以A是真命題；因為sin0＝0，所以B是真命題；因為(－2)3<0，所以C是假命題；由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知?x∈R,2x>0是真命題．(4)命題“?x0∈R,1＜f(x0)≤2”的否定是________．答案?x∈R，f(x)≤1或f(x)＞2解析由特稱命題的否定可得，已知命題的否定是?x∈R，f(x)≤1或f(x)＞2.題型一充分、必要條件的判斷角度1定義法判斷充分、必要條件1．(2019·模擬)已知ai，bi∈R且ai，bi都不為0(i＝1,2)，則“eq\f(a1,b1)＝eq\f(a2,b2)”是“關(guān)于x的不等式a1x－b1＞0與a2x－b2＞0同解”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案B解析當(dāng)a1＝－1，b1＝－1或a2＝1，b2＝1時，滿足eq\f(a1,b1)＝eq\f(a2,b2)，但關(guān)于x的不等式a1x－b1＞0與a2x－b2＞0的解集顯然不同；當(dāng)關(guān)于x的不等式a1x－b1＞0與a2x－b2＞0的解集相同時，一定有eq\f(a1,b1)＝eq\f(a2,b2)，所以“eq\f(a1,b1)＝eq\f(a2,b2)”是“關(guān)于x的不等式a1x－b1＞0與a2x－b2＞0同解”的必要不充分條件．角度2集合法判斷充分、必要條件2．(2020·青島模擬)“x>1”是“l(fā)ogeq\s\do8(\f(1,2))(x＋2)<0”的()A．充要條件 B．充分而不必要條件C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件答案B解析由logeq\s\do8(\f(1,2))(x＋2)<0，得x>－1，顯然{x|x>1}{x|x>－1}，故“x>1”是“l(fā)ogeq\s\do8(\f(1,2))(x＋2)<0”的充分不必要條件．故選B.判斷充分、必要條件的兩種方法方法解讀適合題型定義法第一步，分清條件和結(jié)論：分清誰是條件，誰是結(jié)論；第二步，找推式：判斷“p→q”及“q→p”的真假；第三步，下結(jié)論：根據(jù)推式及定義下結(jié)論定義法是判斷充分、必要條件最根本、最適用的方法．如舉例說明1集合法記條件p，q對應(yīng)的集合分別為A，B.若AB，則p是q的充分不必要條件；若AB，則p是q的必要不充分條件；若A＝B，則p是q的充要條件適用于“當(dāng)所要判斷的命題與方程的根、不等式的解集以及集合有關(guān)，或所描述的對象可以用集合表示時”的情況．如舉例說明21．(2020·四川蓉城名校高三摸底)已知實數(shù)a≠0，則“eq\f(1,a)＜2”是“a＞eq\f(1,2)”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案B解析a＝－1時eq\f(1,a)＜2但a＜eq\f(1,2)；若a＞eq\f(1,2)，則a＞0，所以a·eq\f(2,a)＞eq\f(1,2)·eq\f(2,a)，即eq\f(1,a)＜2.所以“a＞eq\f(1,2)”?“eq\f(1,a)＜2”，“eq\f(1,a)＜2”eq\o(?,/)“a＞eq\f(1,2)”，所以“eq\f(1,a)＜2”是“a＞eq\f(1,2)”的必要不充分條件．2．(2020·石家莊模擬)設(shè)a，b都是不等于1的正數(shù)，則“3a>3b>3”是“l(fā)oga3<logb3”的()A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件答案B解析“3a>3b>3”等價于“a>b>1”，“l(fā)oga3<logb3”等價于“a>b>1或0<a<1<b或0<b<a<1”，從而“3a>3b>3”是“l(fā)oga3<logb3”的充分不必要條件．故選B.題型二利用充分、必要條件求參數(shù)的取值范圍1．(2019·四川綿陽模擬)命題“對任意x∈[1,2)，x2－a≤0”為真命題的一個充分不必要條件可以是()A．a(chǎn)≥1B．a(chǎn)>1C．a(chǎn)≥4D．a(chǎn)>4答案D解析命題可化為?x∈[1,2)，a≥x2恒成立，∵x∈[1,2)，∴x2∈[1,4)，∴命題為真命題的充要條件為a≥4.∴命題為真命題的一個充分不必要條件為a>4，故選D.2.(2020·河北衡水中學(xué)模擬)已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x2－x－6≤1}，B＝{x|log3(x＋a)≥1}，若x∈A是x∈B的必要不充分條件，則實數(shù)a的取值范圍是________．答案(－∞，0]解析由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x2－x－6≤1，得x2－x－6≥0，解得x≤－2或x≥3，故A＝{x|x≤－2或x≥3}．由log3(x＋a)≥1，得x＋a≥3，即x≥3－a，故B＝{x|x≥3－a}．由題意可知BA，所以3－a≥3，解得a≤0.故實數(shù)a的取值范圍是(－∞，0]．利用充分、必要條件求參數(shù)取值范圍的步驟和注意點(1)步驟①把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，如舉例說明2.②根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解．(2)三個注意點①看清“p是q的……條件”還是“p的……條件是q”，如果是第二種形式，要先轉(zhuǎn)化為第一種形式，再判斷．如舉例說明1.②要注意區(qū)間端點值的檢驗．尤其是利用兩個集合之間的關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍時，不等式是否能夠取等號決定端點值的取舍.1．(2020·日照模擬)(多選)設(shè)p：實數(shù)x滿足x2－4ax＋3a2<0，其中a≠0，q：實數(shù)x滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x－6≤0，,x2＋2x－8>0，))若p是q的必要不充分條件，則實數(shù)a的取值可以是()A．1B.eq\f(3,2)C.eq\f(5,4)D．3答案BC解析因為p是q的必要不充分條件，即q?p但peq\o(?,/)q，設(shè)A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，則BA，又B＝(2,3]，當(dāng)a>0時，A＝(a,3a)；當(dāng)a<0時，A＝(3a，a)，所以當(dāng)a>0時，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤2，3<3a，))解得1<a≤2；當(dāng)a<0時，顯然A∩B＝?，不符合題意．綜上所述，實數(shù)a的取值可以是eq\f(3,2)或eq\f(5,4)，故B，C成立．2．設(shè)n∈N＋，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整數(shù)根的充要條件是n＝________.答案3或4解析由Δ＝16－4n≥0，得n≤4.又n∈N＋，則n＝1,2,3,4.當(dāng)n＝1,2時，方程沒有整數(shù)根；當(dāng)n＝3時，方程有整數(shù)根1,3，當(dāng)n＝4時，方程有整數(shù)根2.綜上可知，n＝3或4.3．已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要條件，則m的取值范圍為________．答案[0,3]解析由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，所以P＝{x|－2≤x≤10}．由x∈P是x∈S的必要條件，知S?P.則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≤1＋m，1－m≥－2，1＋m≤10，))解得0≤m≤3.所以當(dāng)0≤m≤3時，x∈P是x∈S的必要條件，即所求m的取值范圍是[0,3]．題型三全稱命題、特稱命題角度1全稱命題、特稱命題的真假判斷1.試判斷以下命題的真假.(1)?x∈R，x2＋2>0；(2)?x∈N，x4≥1；(3)?x0∈Z，xeq\o\al(3,0)<1；(4)?x0∈Q，xeq\o\al(2,0)＝3；(5)?x∈R，x2－3x＋2>0；(6)?x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋1＝0.解(1)由于?x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0，所以命題“?x∈R，x2＋2>0”是真命題.(2)由于0∈N，當(dāng)x＝0時，x4≥1不成立，所以命題“?x∈N，x4≥1”是假命題.(3)由于－1∈Z，當(dāng)x＝－1時，能使x3<1，所以命題“?x0∈Z，xeq\o\al(3,0)<1”是真命題.(4)由于使x2＝3成立的數(shù)只有±eq\r(3)，而它們都不是有理數(shù)．因此，沒有任何一個有理數(shù)的平方能等于3，所以命題“?x0∈Q，xeq\o\al(2,0)＝3”是假命題.(5)假命題，因為只有x>2或x<1時滿足.(6)假命題，因為不存在一個實數(shù)x使x2＋1＝0成立.角度2含有一個量詞的命題的否定2.(1)已知定義在R上的函數(shù)f(x)周期為T(常數(shù))，則命題“?x∈R，f(x)＝f(x＋T)”的否定是____________；(2)命題“角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等”的否定是____________________.答案(1)?x0∈R，f(x0)≠f(x0＋T)(2)角平分線上有的點到這個角兩邊的距離不相等解析(1)量詞“?”改為“?”，f(x)＝f(x＋T)改為f(x)≠f(x＋T)，故已知命題的否定是?x0∈R，f(x0)≠f(x0＋T).(2)①改量詞，本題中省略了量詞“所有”，應(yīng)將其改為“有的”；②否定結(jié)論，“距離相等”改為“距離不相等”.故已知命題的否定是“角平分線上有的點到這個角兩邊的距離不相等”.1.全(特)稱命題真假的判斷方法全稱命題(1)要判斷一個全稱命題是真命題，必須對限定的集合M中的每一個元素x，證明p(x)成立；(2)要判斷一個全稱命題是假命題，只要能舉出集合M中的一個特殊值x＝x0，使p(x0)不成立即可．如舉例說明1中(1)(2)(5)特稱命題要判斷一個特稱命題是真命題，只要在限定的集合M中，找到一個x＝x0，使p(x0)成立即可，否則這一特稱命題就是假命題．如舉例說明1中(3)(4)(6)2．對全(特)稱命題進行否定的方法(1)改寫量詞：全稱量詞改寫為存在量詞，存在量詞改寫為全稱量詞；(2)否定結(jié)論：對于一般命題的否定只需直接否定結(jié)論即可．提醒：對于省略量詞的命題，應(yīng)先挖掘命題中隱含的量詞，改寫成含量詞的完整形式，再寫出命題的否定．如舉例說明2(2).1．設(shè)命題p：?n∈N，n2>2n，則p為()A．?n∈N，n2>2n B．?n∈N，n2≤2nC．?n∈N，n2≤2n D．?n∈N，n2＝2n答案C解析命題p的量詞“?”改為“?”，“n2>2n”改為“n2≤2n”，故p：?n∈N，n2≤2n.2．已知直線l：y＝k(x－1)，圓C：(x－1)2＋y2＝r2(r>0)，現(xiàn)給出下列四個命題：p1：?k∈R，l與C相交； p2：?k∈R，l與C相切；p3：?r>0，l與C相交； p4：?r>0，l與C相切．其中真命題為()A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4答案A解析因為直線l：y＝k(x－1)恒過定點(1,0)，圓C：(x－1)2＋y2＝r2(r＞0)的圓心坐標為(1,0)，所以直線l恒過圓心，所以?k∈R，l與C相交，?r>0，l與C相交，所以p1，p3是真命題，p2，p4是假命題．題型四根據(jù)命題的真假求參數(shù)的取值范圍1．若“?x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))，m≤tanx＋1”為真命題，則實數(shù)m的最大值為________．答案0解析y＝tanx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))上單調(diào)遞增，所以x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))?tanx∈[－1,1]?tanx＋1∈[0,2]．若?x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))，總有m≤tanx＋1成立，則m≤0，故實數(shù)m的最大值為0.2．已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－m，若?x1∈[0,3]，?x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，則實數(shù)m的取值范圍是________．答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，＋∞))解析當(dāng)x1∈[0,3]時，f(x1)∈[0，ln10]，當(dāng)x2∈[1,2]時，g(x2)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)－m，\f(1,2)－m)).因為?x1∈[0,3]，?x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，所以只需0≥eq\f(1,4)－m，解得m≥eq\f(1,4).條件探究將本例中“?x2∈[1,2]”改為“?x2∈[1,2]”，其他條件不變，則實數(shù)m的取值范圍是________．答案eq\b\l