2021年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)之二次函數(shù)中相似三角形的存在性問題真題訓(xùn)練

2021中考數(shù)學(xué)——二次函數(shù)中的相似三角形存在性問題真題訓(xùn)練

1.(2020?煙臺(tái))如圖，拋物線片加+6+2與x軸交于工，8兩點(diǎn)，且04=208,與

V軸交于點(diǎn)C連接BC,拋物線對(duì)稱軸為直線x=/,。為第一象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，

過點(diǎn)。作。于點(diǎn)￡與4C交于點(diǎn)尸，設(shè)點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)當(dāng)線段。尸的長(zhǎng)度最大時(shí)，求。點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)拋物線上是否存在點(diǎn)。，使得以點(diǎn)。，D,尸為頂點(diǎn)的三角形與△SOC相似？若存

在，求出。的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

管用圖

2.(2020?濰坊)如圖，拋物線y=加+—+8(g0)與x軸交于點(diǎn)力(-2,0)和點(diǎn)8

(8,0),與)/軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為。，連接4C,BC,8c與拋物線的對(duì)稱軸/交于點(diǎn)

E.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

⑵點(diǎn)尸是第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接做PC,當(dāng)s△尸時(shí)，求點(diǎn)尸

b

的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)N是對(duì)稱軸/右側(cè)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，在射線中上是否存在點(diǎn)例，使得以點(diǎn)用，

N,E為頂點(diǎn)的三角形與△O8C相似？若存在，求點(diǎn)用的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

1

3.(2020?聊城)如圖，二次函數(shù)片a^+bx+4的圖象與x軸交于點(diǎn)/(-1,0),8(4,

0),與"軸交于點(diǎn)C,拋物線的頂點(diǎn)為。，其對(duì)稱軸與線段8c交于點(diǎn)￡垂直于x軸

的動(dòng)直線/分別交拋物線和線段8c于點(diǎn)尸和點(diǎn)尸,動(dòng)直線/在拋物線的對(duì)稱軸的右側(cè)(不

含對(duì)稱軸)沿x軸正方向移動(dòng)到8點(diǎn).

(1)求出二次函數(shù)和8c所在直線的表達(dá)式；

(2)在動(dòng)直線/移動(dòng)的過程中，試求使四邊形。&0為平行四邊形的點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)連接CRCD,在動(dòng)直線/移動(dòng)的過程中，拋物線上是否存在點(diǎn)尸，使得以點(diǎn)凡

C,尸為頂點(diǎn)的三角形與△。吐相似？如果存在，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說

明理由.

4.(2020?廣東)如圖，拋物線y=◎巨與*軸交于力，8兩點(diǎn)，點(diǎn)48分別位

6

于原點(diǎn)的左、右兩側(cè),80=34行3,過點(diǎn)8的直線與y軸正半軸和拋物線的交點(diǎn)分別為C,

D,BC--

(1)求上c的值;

2

(2)求直線劭的函數(shù)解析式；

(3)點(diǎn)夕在拋物線的對(duì)稱軸上且在x軸下方，點(diǎn)。在射線外上.當(dāng)△48〃與△8戶。相似

時(shí)，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)。的坐標(biāo).

5.(2019?廣東)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=返*2+$巨宣號(hào)與/軸交

848

于點(diǎn)48(點(diǎn),在點(diǎn)8右側(cè))，點(diǎn)〃為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，CD交x

軸于點(diǎn)尸，繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△0T,點(diǎn)力恰好旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)尸，連接8￡

(1)求點(diǎn)4B、。的坐標(biāo)；

(2)求證：四邊形8尸結(jié)是平行四邊形；

(3)如圖2,過頂點(diǎn)。作軸于點(diǎn)四,點(diǎn)。是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)戶作為小x軸，

點(diǎn)"為垂足，使得與相似(不含全等).

①求出一個(gè)滿足以上條件的點(diǎn)。的橫坐標(biāo);

②直接回答這樣的點(diǎn)戶共有幾個(gè)？

3

6.(2020?銅仁市)如圖，已知拋物線y=。后+6必經(jīng)過兩點(diǎn)/(-1,0),5(3,0),

c是拋物線與V軸的交點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)尸(m,ri)在平面直角坐標(biāo)系第一象限內(nèi)的拋物線上運(yùn)動(dòng)，設(shè)△戶8c的面積為

5,求5關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式(指出自變量少的取值范圍)和S的最大值；

(3)點(diǎn)用在拋物線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在)/軸上運(yùn)動(dòng)，是否存在點(diǎn)乂、點(diǎn)N使得

90°,且△OWN與△O8C相似，如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)〃和點(diǎn)/V的坐標(biāo).

7.(2018?畢節(jié)市)如圖，以。為頂點(diǎn)的拋物線)/=-必+匕心。交x軸于/、8兩點(diǎn)，交

V軸于點(diǎn)C直線8c的表達(dá)式為y=-必3.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)在直線8c上有一點(diǎn)尸，使2＞外的值最小，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)在x軸上是否存在一點(diǎn)Q,使得以4、C、Q為頂點(diǎn)的三角形與△SCO相似？若

存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

4

8.(2018?銅仁市)如圖，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)/1(-1,0),8(4,0),C(0,2)三

點(diǎn)，點(diǎn)。與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱，點(diǎn)。是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(m,0),

過點(diǎn)尸作x軸的垂線/交拋物線于點(diǎn)交直線6。于點(diǎn)M.

(1)求該拋物線所表示的二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)已知點(diǎn)尸(0,-1),當(dāng)點(diǎn)尸在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試求m為何值時(shí)，四邊形。尸

是平行四邊形？

(3)點(diǎn)Q在線段"8運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在點(diǎn)Q,使得以點(diǎn)6、例為頂點(diǎn)的三角形

與△60。相似？若存在，求出點(diǎn)&的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

9.(2020?連云港)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，把與x軸交點(diǎn)相同的二次函數(shù)圖象稱為“共

根拋物線”.如圖，拋物線k：丫=32一|*-2的頂點(diǎn)為D,交x軸于點(diǎn)A、B(點(diǎn)A在點(diǎn)

8左側(cè))，交y軸于點(diǎn)C.拋物線匕與L1是“共根拋物線”，其頂點(diǎn)為P.

(1)若拋物線匕經(jīng)過點(diǎn)(2,-12),求心對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式;

5

(2)當(dāng)BP-CP的值最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)設(shè)點(diǎn)Q是拋物線Li上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且位于其對(duì)稱軸的右側(cè).若△DPQ與△A8C相

似，求其“共根拋物線”上的頂點(diǎn)P的坐標(biāo).

10.(2020成都)在平面直角坐標(biāo)系xO)，中，已知拋物線y=c/+6x+c'與x軸交于4-1,0),

8(4,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0,-2).

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)如圖1,點(diǎn)。為第四象限拋物線上一點(diǎn)，連接AZ),BC交于點(diǎn)E,連接30,記MDE

的面積為面，4腔的面積為邑，求苓的最大值；

(3)如圖2,連接AC,BC,過點(diǎn)。作直線〃/BC,點(diǎn)P,Q分別為直線/和拋物線上的

點(diǎn).試探究：在第一象限是否存在這樣的點(diǎn)P,Q,使APQBSACAB.若存在，請(qǐng)求出所

有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

6

試題答案

1.(2020?煙臺(tái))如圖，拋物線y=A+hx+Z與x軸交于48兩點(diǎn)，且0/4=208,與

V軸交于點(diǎn)C連接8C,拋物線對(duì)稱軸為直線x=/,。為第一象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，

過點(diǎn)。作。三L0/1于點(diǎn)￡與/C交于點(diǎn)尸，設(shè)點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為力.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)當(dāng)線段。尸的長(zhǎng)度最大時(shí)，求。點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)拋物線上是否存在點(diǎn)D,使得以點(diǎn)O,D,E為頂點(diǎn)的三角形與△SOC相似？若存

在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】解：⑴設(shè)08"則0/1=2/,則點(diǎn)48的坐標(biāo)分別為(2/,0)、(-/,0),

貝iJx=/=/(2/-/),解得：/=1,

故點(diǎn)A8的坐標(biāo)分別為(2,0)、(-1,0),

則拋物線的表達(dá)式為：y=a(x-2)(肝］)=a^+bx+2,

解得：。=-1,

故拋物線的表達(dá)式為：y=-^+%+2;

(2)對(duì)于%-義+刈2,令x=0,貝。=2,故點(diǎn)C(0,2),

由點(diǎn)工、C的坐標(biāo)得，直線/C的表達(dá)式為：y=-x+2,

設(shè)點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為人則點(diǎn)。(m,-4+m+2),則點(diǎn)尸(m,一辦2),

貝ij0尸=一4+內(nèi)？一(-/77+2)=-rrP+2m,

-1<0,故。尸有最大值，。尸最大時(shí)6=1,

二點(diǎn)。(1,2);

8

(3)存在，理由:

點(diǎn)。(6,-/772+/??4-2)(/77>0),貝lJOf=/77,DE=-m^+fY^l,

以點(diǎn)O,D,三為頂點(diǎn)的三角形與△SOC相似,

則器器，即黑=￡或2,即-m24m+2”或2,

UDUENmN

解得：人或-2"或T或等(舍去)，

故6=1或上運(yùn).

4

2.(2020?濰坊)如圖，拋物線(awO)與x軸交于點(diǎn)力(-2,0)和點(diǎn)8

(8,0),與)/軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為。，連接4C,BC,8c與拋物線的對(duì)稱軸/交于點(diǎn)

E.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

⑵點(diǎn)尸是第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接做PC,當(dāng)s△的=尚5△板時(shí)，求點(diǎn)尸

b

的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)N是對(duì)稱軸/右側(cè)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，在射線中上是否存在點(diǎn)用，使得以點(diǎn)例，

N,E為頂點(diǎn)的三角形與△O8C相似？若存在，求點(diǎn)用的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

9

【答案】解：(1)???拋物線yuaM+hx+S(o*0)過點(diǎn)/(-2,0)和點(diǎn)8(8,0),

1

(4a~2b+8=0a=-^

解得2,

I64a+8b+8=0

b=3

，拋物線解析式為：y=-^*x，3x+8；

⑵當(dāng)x=0時(shí)，y=8,

.-.C(0,8),

，直線8c解析式為：y=-A+8,

???SAABC=^-AB-0C=yX10X8=40,

3

一^APBC^^AABC=2%

過點(diǎn)尸作PG_LX軸，交X軸于點(diǎn)G,交6c于點(diǎn)F,

設(shè)P(t,~jt2+3t+8),

：.F(/,一下8),

12

.?-PF=-yt+4t，

io

SAPBC"2-PF'0B=24,

119

即與X(4t+4t)X8=24,

."=2,t2-6,

：#、(2,12),P2(6,8);

圖1

(3)-：C(0,8),B(8,0),“08=90°,

.?.△O8C為等腰直角三角形，

1__b_3

拋物線y=F*x2+3x+8的對(duì)稱軸為“2a,1

22X(一,

???點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為3,

又???點(diǎn)E在直線8c上，

???點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為5,

:.E(3,5),

設(shè)M(3,m),N(n,9n?+3n+8),

ii

①當(dāng)/_EMN=90°,

"m-5=n-3

RNME?RCOB、貝i卜i2，

為n+3n+8=m

解得卜軍或嚴(yán)-2（舍去），

Im=8Im=0

..?此時(shí)點(diǎn)用的坐標(biāo)為（3,8）,

②當(dāng)ME=EN,當(dāng)（MEN=90°時(shí),

m-5=n-3rm=5-V15

，,解得：m=5+"V二15或_^

則12（舍去）

-jn+3n+8=5n=3+V15|n=3-V15

，此時(shí)點(diǎn)用的坐標(biāo)為（3,5+V15）；

圖3

12

③當(dāng)MN=EN,zMNE=90"時(shí),

此時(shí)△MNE與△COB相似，

此時(shí)的點(diǎn)例與點(diǎn)下關(guān)于②的結(jié)果(3,8)對(duì)稱,

設(shè)例(3,Z7?),

貝I]777-8=8-5,

解得力=11,

:.M(3,11);

此時(shí)點(diǎn)用的坐標(biāo)為(3,11);

圖4

故在射線口上存在點(diǎn)用，使得以點(diǎn)用，N,三為頂點(diǎn)的三角形與△O6C相似，點(diǎn)用的

坐標(biāo)為：(3,8),(3,5+6)或(3,11).

3.(2020?聊城)如圖，二次函數(shù)y=加+—+4的圖象與x軸交于點(diǎn)/(-1,0),8(4,

0),與V軸交于點(diǎn)C,拋物線的頂點(diǎn)為。，其對(duì)稱軸與線段8c交于點(diǎn)￡垂直于x軸

的動(dòng)直線/分別交拋物線和線段8c于點(diǎn)尸和點(diǎn)F,動(dòng)直線/在拋物線的對(duì)稱軸的右側(cè)(不

含對(duì)稱軸)沿x軸正方向移動(dòng)到8點(diǎn).

(1)求出二次函數(shù)yuA+hx+d和8c所在直線的表達(dá)式；

13

(2)在動(dòng)直線/移動(dòng)的過程中，試求使四邊形。&0為平行四邊形的點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)連接"，CD,在動(dòng)直線/移動(dòng)的過程中，拋物線上是否存在點(diǎn)尺使得以點(diǎn)尸，

。，尸為頂點(diǎn)的三角形與△OT相似？如果存在，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說

明理由.

【答案】解：(1)將點(diǎn)力(一1,0),5(4,0),代入"二加+匕肝4

，日f0=a-b+4

得：〈，

I0=16a+4b+4

解得:卜=T,

Ib=3

，二次函數(shù)的表達(dá)式為：>=-必+3刈4,

當(dāng)x=0時(shí)，y=4,

.1.C(0,4),

設(shè)6c所在直線的表達(dá)式為：y=mx+n,

將C(0,4)、B(4,0)代入y=6x+〃，

，曰f4=n

得：\,

\0=4mtn

解得：卜-1,

ln=4

???6C所在直線的表達(dá)式為：y=-A4-4;

(2)?.?O￡Lx軸，尸尸lx軸,

14

DEWPF,

只要DE=PF,四邊形DEFP即為平行四邊形，

?.?=一/+3刈4=-(x-3)2+—,

24

.??點(diǎn)。的坐標(biāo)為:島軍)，

24

將Xu,代入-X+4,gpy==

???點(diǎn)E的坐標(biāo)為:(-|,1),

.co25515

424

設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為/,

則戶的坐標(biāo)為：(力-3+3金4),尸的坐標(biāo)為："-f+4)

PF=—+3^4—(—"4)=—#+4力

由DE=尸尸得：-#+4/=m，

4

解得：力二13(不合題意舍去)，4=5

當(dāng)/=$時(shí)，一/+3計(jì)4=一(―)2+3x—+4=—,

2224

二點(diǎn)戶的坐標(biāo)為舟鄉(xiāng))；

24

(3)存在，理由如下：

如圖2所示：

由⑵得：PFIIDE,

；.ZCED=ZCFP,

15

又尸與NOCE有共同的頂點(diǎn)C,且NPC廠在/。叱的內(nèi)部,

；./PCF豐ZDCE,

，只有NPCF=ZCOF時(shí)，△PCMXCDE,

,PF_CF

"CE-DE'

-.C(0,4)、E(-|,-|),

.?.6用語★等,

由(2)得：。仁孕，尸尸=一產(chǎn)+"尸的坐標(biāo)為：(/,一金4),

4

CF=7t2+[4-(-t+4)]2=

-t2+4t

,?3^2=15，

24

m

，尊(-A-4)=3,

4

解得：片辛，

0

當(dāng)/=孕時(shí)，一產(chǎn)+3升4=一(羋)2+3乂學(xué)+4=等，

55525

???點(diǎn)尸的坐標(biāo)為：(稱，,).

16

\D

圖2

4.(2020?廣東)如圖，拋物線迎必+6廣。與*軸交于4s兩點(diǎn)，點(diǎn)48分別位

6

于原點(diǎn)的左、右兩側(cè),80=3加=3,過點(diǎn)8的直線與v軸正半軸和拋物線的交點(diǎn)分別為C,

D、BC^yJ"^CD.

(1)求6,c的值;

(2)求直線切的函數(shù)解析式;

(3)點(diǎn)戶在拋物線的對(duì)稱軸上且在x軸下方，點(diǎn)。在射線外上.當(dāng)△/!劭與48戶。相似

時(shí)，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)。的坐標(biāo).

【答案】解：(D?■-BO=3AO=3,

.?.點(diǎn)8(3,0),點(diǎn)4(-1,0),

???拋物線解析式為：尸型反(.)-3)=史型3-士叵,

6632

??D一―------,C一—------：

32

(2)如圖1,過點(diǎn)。作況工施于E,

17

y

圖i

/.CO//DE,

.BCBQ

"CD"0E"

30=yf^CD,80=3,

3

OE'

：.OE=M，

..?點(diǎn)。橫坐標(biāo)為一遍,

，點(diǎn)。坐標(biāo)為（-?,J*1）,

設(shè)直線BD的函數(shù)解析式為：y=k/b,

［百+l=_?k+b

由題意可得：\,

l0=3k+b

解得：/3,

b=V3

???直線故的函數(shù)解析式為y=-浮/

O

（3）.:點(diǎn)8（3,0）,點(diǎn)力（-1,0）,點(diǎn)。（-遮，傷1）,

：.AB=^,AD=2瓜BD=202,對(duì)稱軸為直線x=1,

?.,直線BD-.y=-理*■遍與y軸交于點(diǎn)C,

O

18

點(diǎn)c(o,,

*0-OC=\j~2,

?tannL/DU~~>

BO3

：.ZCB0=30°,

如圖2,過點(diǎn)彳作而工劭于X,

DK=VAD2-AK2=Vs^4=2，

：.DK=AK,

:?/ADB=45°,

如圖，設(shè)對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為乂即點(diǎn)（（1,0）,

19

若NC80=N陶=30。,

：.BN=y[2PN=2,BP=2PN,

33

當(dāng)△BAD^XBPQ,

.BPBQ

"BA"BD'

."仁華又&?+2)=2+型3

...點(diǎn)Q(1-3X0);

當(dāng)△BAMXBQP、

.BPBQ

"BD"AB'

.吩孚XJW3

2a+23

.?.點(diǎn)。o)；

o

若NPB0=NADB=45°,

:.BN=P42,BP=yp^N=2五,

當(dāng)△以8s△822,

.BPBQ

"AD"BO'

,272_BQ

"2V2-273+2'

.-.80=2^2

.?.點(diǎn)0(1-2A/3,0)；

20

當(dāng)△BAD^XPQB,

.BPBQ

'BD'AD

2&X2&

：.BQ==2加-2,

2a+2

.?.點(diǎn)Q（5-273,0）；

綜上所述：滿足條件的點(diǎn)。的坐標(biāo)為（1-零，0）或（-1+華，0）或（1-273.

0O

0）或（5-2西0）.

5.（2019?廣東）如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線〃=返/+當(dāng)巨x-述與*軸交

848

于點(diǎn)4B（點(diǎn)A在點(diǎn)8右側(cè)），點(diǎn)。為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)。在y軸的正半軸上，CD交x

軸于點(diǎn)尸，△以。繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△。王，點(diǎn)4恰好旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)尸，連接

（1）求點(diǎn)4B、。的坐標(biāo);

（2）求證：四邊形外然是平行四邊形;

（3）如圖2,過頂點(diǎn)。作加_Lx軸于點(diǎn)。，點(diǎn)。是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)戶作軸,

點(diǎn)"為垂足，使得與相似（不含全等）.

①求出一個(gè)滿足以上條件的點(diǎn)。的橫坐標(biāo)；

②直接回答這樣的點(diǎn)P共有幾個(gè)？

21

解得X1=1,x2=-7.

.,.A(1,0),8(-7,0).

由y=鳥+年X_嚶=千(對(duì)3)2-2?得，。(-3,-273)；

8488

(2)證明：.??加_Lx軸于點(diǎn)。，

:?/COF=4DD、F=M,

/D[FD=4CFO,

:.△DD'FsRCOF,

.D1D_CO

??可一麗’

(-3,-2y)，

：?DiD=2，^,ODy—3,

?：AC=CF,COA-AF

：.OF=OA='

:,D、F=DiO-OF=3-\=2、

.2A/3_0C

"~2]，

*0-OC=y/~2,

:.CA=CF=FA=2、

??.△4?F是等邊三角形，

???NAFC=NACF,

22

繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△CFE

，/ECF=/AFC=6N,

：.EG//BF,

E0=DC=732+（V3+2V3）2=6，

\'BF=6,

:?EC=BF、

二四邊形8尸笫是平行四邊形；

（3）???點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，

.??設(shè)戶點(diǎn)（X,坐肉之叵x-畢），

848

①當(dāng)點(diǎn)夕在8點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，

與相似，

■DDi%A或DD'D^A

""pF'_MAAF-pF'

2百

；V23a7%=

Y+Y

8------4--------8

解得：M=1（不合題意舍去），*2=-11或*1=1（不合題意舍去）x2=~~7r；

0

當(dāng)點(diǎn)戶在4點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，

??.△以附與相似，

,PM_DD1^PM_D1A

,,前一班麻—百，

23

近2

-------4---

X-l

解得：％=1（不合題意舍去），X2=-3（不合題意舍去）或％=1（不合題意舍去），

X?=*（不合題意舍去）；

當(dāng)點(diǎn)戶在48之間時(shí),

???△以〃與4。44相似,

.史=叫或理=￡i￡

■AM-D7AMA-DD7

解得：毛=1（不合題意舍去），X2=-3（不合題意舍去）或％=1（不合題意舍去），

5

*2，；

綜上所述，點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為-11或-舁或-冷；

Oo

②由①得，這樣的點(diǎn)。共有3個(gè).

6.（2020?銅仁市）如圖，已知拋物線）/=。么+6*+6經(jīng)過兩點(diǎn)4（-1,0）,5（3,0）,

。是拋物線與V軸的交點(diǎn).

24

(1)求拋物線的解析式;

(2)點(diǎn)戶(m,〃)在平面直角坐標(biāo)系第一象限內(nèi)的拋物線上運(yùn)動(dòng)，設(shè)△尸8c的面積為

5,求S關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式(指出自變量m的取值范圍)和S的最大值；

(3)點(diǎn)例在拋物線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在y軸上運(yùn)動(dòng)，是否存在點(diǎn)從、點(diǎn)N使得

90°,且△。偽N與△OSC相似，如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)用和點(diǎn)N的坐標(biāo).

【答案】解：⑴將/(-1,0)、8(3,0)代入片加+^^,

得：卜山+6=0,解得：卜=-2

I9a+3b+6=0Ib=4

，拋物線的解析式為"=-2M+4X+6.

(2)過點(diǎn)尸作PFWy軸，交8c于點(diǎn)F,如圖1所示.

25

當(dāng)x=0時(shí)，y=-2爐+4只6=6,

，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,6).

設(shè)直線8c的解析式為y=kx+c,

將8(3,0)、C(0,6)代入)/=奴+。，得：

(3k+C=°,解得：卜-2,

Ic=6Ic=6

，直線8c的解析式為y=-2A+6.

.?.點(diǎn)尸(m,ri)在平面直角坐標(biāo)系第一象限內(nèi)的拋物線上運(yùn)動(dòng)，

，點(diǎn)戶的坐標(biāo)為(m,-2環(huán)+4底6),則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(m,-2/77+6),

.0.PF=-2f772+4/7H-6-(-2/7H-6)=-2/772+6/77,

1o97

:.S=—PF?OB=-3ni+9m=-3(z77-—)2+—,

224

，當(dāng)m=3時(shí)，△尸8c面積取最大值，最大值為耳.

24

???點(diǎn)尸(力，ri)在平面直角坐標(biāo)系第一象限內(nèi)的拋物線上運(yùn)動(dòng)，

.,.0</77<3.

26

綜上所述，S關(guān)于"的函數(shù)表達(dá)式為=-3環(huán)+%(。＜#3),S的最大值為學(xué)

(3)存在點(diǎn)從、點(diǎn)N使得NCMN=90°,且與△O8C相似.

如圖2,ACMN=90°,當(dāng)點(diǎn)例位于點(diǎn)C上方，過點(diǎn)用作軸于點(diǎn)

■：/_CDM=ZCMN=90°,ZDCM=ZNCM,

:.XMCDSRNCM,

若△CMN與△O6C相似，則△/V/C。與△O8C相似,

設(shè)從9,-2〃+4少6),C(0,6),

:.DC--la^+Aa,DM-a,

當(dāng)迦^_衛(wèi)」時(shí)xcOBsxCDMsXCMN、

CD0C62

a_____1^

'-2a2+4a，

解得，。=1,

.■.M(1,8),

27

此時(shí)

1?N（0,,

當(dāng)需二黑弓時(shí)，XCOBsAMDCsXNMC、

.一2a?+4a1

?-----------------=—）

a2

解得。=—7,

4

.,,7755、

早，

此時(shí)N（0,等）.

如圖3,當(dāng)點(diǎn)例位于點(diǎn)C的下方，

過點(diǎn)M作MELy軸于點(diǎn)￡

設(shè)〃(a,-2/+4O+6),C(0,6),

:.EC=2&-4a,EM=a,

28

22

同理可得：2a-4a二工或2=4亙=2,△OVW與△O8C相似，

a2a

g

解得a=3?或。=3,

4

：.M弓，雪）或從（3,0）,

此時(shí)可點(diǎn)坐標(biāo)為（0,V）或（0,—得）.

o2

綜合以上得，存在例（1,8）,N（0,耳）或用（［，萼），N（0,警）或從（4,

24884

QQ2Q

*），N（0,卷）或用（3,0）,N（0,-高），使得NC7VW=9O°,且△CMN與

△O8C相似.

7.（2018?畢節(jié)市）如圖，以。為頂點(diǎn)的拋物線y=-/+hx+c交x軸于力、8兩點(diǎn)，交

V軸于點(diǎn)C,直線8c的表達(dá)式為y=-x+3.

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）在直線8c上有一點(diǎn)只使尸6%的值最小，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

（3）在x軸上是否存在一點(diǎn)Q,使得以工、C、Q為頂點(diǎn)的三角形與△88相似？若

存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

29

【答案】解：(1)把x=0代入y=-x+3,得：y=3,

.-.C(0,3).

才巴y=0代入y=-刈3得：x=3,

：.B(3,0),

將C(0,3)、B(3,0)代入y=-必+hx+c得：「9+3b+c=0,解得匕=2,c=3.

(c=3

..?拋物線的解析式為y=-/+2刈3.

(2)如圖所示：作點(diǎn)O關(guān)于6c的對(duì)稱點(diǎn)O',則O'(3,3).

???O'與。關(guān)于8c對(duì)稱，

:.PO=PO'.

：.OP+AP^O'P^AP<AO'.

.,.當(dāng)4P、O'在一條直線上時(shí)，。戶+工戶有最小值.

設(shè)工尸的解析式為/=依+。財(cái)［5+b=0,解得：k=JZ?=4.

l3k+b=344

33

..乂戶的解析式為y=4^+4.

44

33199

將y=^x+弓與)/=-x+3聯(lián)立，解得：y=￥，x=5，

4477

9

???點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(y,

30

(3)y=-A2A+3=-(x-1)2+4,

:.D(1,4).

又丫。(0,3,B(3,0),

CD=y[2,BC=3^/2，DB=2y[^.

：.B+C*=BU,

:"DCB=9G°.

-.-A(-1,0),C(0,3),

OA-1,CO-3.

,AO_CD

"CO"BC"3'

又,：/_AOC=DCB=9h,

:.XAOCs^DCB.

，當(dāng)。的坐標(biāo)為(0,0)時(shí)，XAQCSXDCB.

如圖所示：連接4C,過點(diǎn)右作6<?_1/1。，交x軸與點(diǎn)Q.

.1.△z4COs/\/4OC.

義?：AAOCSADCB,

31

XACQsXDCB.

,CDAC

=,解得：/Q=10.

,BD-AQ

：.Q(9,0).

綜上所述，當(dāng)Q的坐標(biāo)為(0,0)或(9,0)時(shí)，以/、C、Q為頂點(diǎn)的三角形與△68

相似.

8.(2018?銅仁市)如圖，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)4(-1,0),8(4,0),C(0,2)三

點(diǎn)，點(diǎn)。與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱，點(diǎn)戶是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(m,0),

過點(diǎn)尸作x軸的垂線/交拋物線于點(diǎn)Q,交直線8。于點(diǎn)M.

(1)求該拋物線所表示的二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)已知點(diǎn)尸(0,-1),當(dāng)點(diǎn)。在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試求。為何值時(shí)，四邊形廠

是平行四邊形？

(3)點(diǎn)P在線段工8運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在點(diǎn)Q,使得以點(diǎn)6、Q、例為頂點(diǎn)的三角形

與△80。相似？若存在，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】解：(】)由拋物線過點(diǎn)工(-1,0)、8(4,0)可設(shè)解析式為y=a(x+1)(x

-4),

將點(diǎn)C(0,2)代入，得：—4a=2,

32

解得：a=-p

則拋物線解析式為v=(X+I)(X-4)=-1^+-1%+2;

(2)由題意知點(diǎn)。坐標(biāo)為(0,-2),

設(shè)直線8。解析式為y=kx+b,

將8(4,0)、D(0,-2)代入，得：［4k+b=0,

Ib=_2

(k=l

解得：［2,

b=-2

，直線8。解析式為y=-1x-2,

當(dāng)點(diǎn)尸在線段力8上時(shí)，

QM_Lx軸，P(/77,0),

1O1

:、Q(777,r772+-1-/77+2)、M(/77,寧/77-2),

IQII

貝ijQM=——+—/7?+2—(—/??—2)=—+/7T+4,

?.?尸(0,4)、D(0,-2),

；.DF=>,

2

?:QMIIDF,

.,.當(dāng)-/4+e4=>|時(shí)，四邊形尸是平行四邊形,

解得：Z77=-1或6=3,

即/77=-1或<77=3時(shí)，四邊形。例。尸是平行四邊形；

33

綜上，當(dāng)。=-1或m=3時(shí)，四邊形OWO廠是平行四邊形.

(3)如圖所示:

■.-QMIIDF,

/_ODB—/QMB,

分以下兩種情況：

①當(dāng)/⑨8。=90°時(shí)，ADOBSAMBQ、

,DO_MB_2_1

人OBBQ42，

'：^MBQ=90°,

:./_MBP+/_PBQ=94°,

?：/_MPB=Z.BPQ=9Q0,

MBP+乙BMP=90°,

/.ZBMP=ZPBQ、

i\MBQs[\BPQ、

34

.M-BP即二一—

"BQPQ'即2-^m2^m+2，

解得：仍=3、g=4,

當(dāng)6=4時(shí)，點(diǎn)、P、Q、用均與點(diǎn)8重合，不能構(gòu)成三角形，舍去，

，m=3,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3,2）;

②當(dāng)N8QV/=90°時(shí)，此時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)/重合，ABODs△BQM',

此時(shí)m=-1,點(diǎn)。的坐標(biāo)為（-1,0）；

綜上，點(diǎn)。的坐標(biāo)為（3,2）或（-1,0）時(shí)，以點(diǎn)8、Q、從為頂點(diǎn)的三角形與△80。

相似.

9.（2020?連云港）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，把與x軸交點(diǎn)相同的二次函數(shù)圖象稱為“共

根拋物線”.如圖，拋物線Li：y=32—|x-2的頂點(diǎn)為D,交x軸于點(diǎn)A、8（點(diǎn)A在點(diǎn)

B左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C.拋物線匕與L1是“共根拋物線”，其頂點(diǎn)為P.

（1）若拋物線匕經(jīng)過點(diǎn)（2,-12）,求上對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

（2）當(dāng)BP-CP的值最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）設(shè)點(diǎn)Q是拋物線G上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且位于其對(duì)稱軸的右側(cè).若△DPQ與△ABC相

似，求其“共根拋物線”上的頂點(diǎn)P的坐標(biāo).

35

1,0

【答案】解：(1)當(dāng)y=0時(shí)，聲—/-2=0,解得x=-l或4,

：.A(-1,0),B(4,0),C(0,2),

由題意設(shè)拋物線/>2的解析式為V=a(x+1)(x-4),

把(2,-12)代入y=a(x+1)(x-4),

-12=-6a,

解得。=2,

二拋物線的解析式為y=2(x+1)(x-4)=2x?-6x-8.

(2),拋物線豆與A是“共根拋物線”，AC-1,0),B(4,0),

.??拋物線Li，匕的對(duì)稱軸是直線x=|,

.?.點(diǎn)P在直線x=壯，

：.BP=AP,如圖1中，當(dāng)A,C,P共線時(shí)，8P-PC的值最大，

此時(shí)點(diǎn)P為直線AC與直線x=，的交點(diǎn)，

?.?直線AC的解析式為y=-2x-2,

3

：.P-5)

2

36

(3)由題意，48=5,CB=2瓜CA=V5,

:.AB2=BC2+AC2,

；.NACB=90°,CB=2CA,

Vy=1x2-|x-2=i(x-|)2_備

二頂點(diǎn)D—券），

由題意，NPDQ不可能是直角,

第一種情形：當(dāng)/DPQ=90°時(shí),

QPAC1

①如圖3-1中，當(dāng)△QDPs/\A8C時(shí),

DPBC—2

圖3-1

37

10o31oQ

設(shè)Q（x,-x—*-2）,則P（-，—X—與x-2）,

22222

?cc123、/25、123,9—3

??DP=TTX-TTX-2-（--Q-）=TTX-為x+6，QP—x-5，

ZZoZZoL

*/PD=2QP,

2x-3=1x2-|x+1，解得x=導(dǎo)或;（舍棄），

339

AP（一，——）.

28

②如圖3-2中，當(dāng)△DQPs/^ABC時(shí)，同法可得QO=2PD,

%

解得x=9或:（舍棄），

乙2

，p（|，-黑

第二種情形：當(dāng)NDQP=90°.

pn4c1

①如圖3-3中，當(dāng)△PDQs△八BC時(shí)，一=—=

DQBC2

38

過點(diǎn)Q作QM_LP。于M.則△QDMS/XPDQ,

9QMPQ1」e-L3391139

由圖3-1可知，M（-,一）,Q（一，一）,

MD~DQ~22828

AMD=8,MQ=4,

I.DQ=4后

DQPD

由一=—,可得PD=10,

DMDQ

?：D弓-韻

355

.*?P（—?——）.

28

②當(dāng)△DPQS/\4BC時(shí)，過點(diǎn)Q作QM_LP。于M.