2021年中考數(shù)學復習 24 矩形（教師版含解析）

專題24矩形問題

專題知識點概述

1.矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形。

2.矩形的性質(zhì)

(1)矩形的四個角都是直角；

(2)矩形的對角線平分且相等。

3.矩形判定定理

(1)有一個角是直角的平行四邊形是矩形；

(2)對角線相等的平行四邊形是矩形；

(3)有三個角是直角的四邊形是矩形。

4.矩形的面積：S=ab(a、b分別表示矩形的長、寬)

例題解析與對點練習

【例題1】(2020?湘西州)如圖，在平面直角坐標系x行中，矩形46切的頂點1在x軸的正半軸上，矩形的

另一個頂點〃在y軸的正半軸上，矩形的邊49=a,BC=b,ADAO=x,則點C到x軸的距離等于()

A.acos廣加inxB.C?COSA+Z?COSX

C.asinx+6cosxD.asin產(chǎn)桃inx

【答案】A

【解析】作龐，y軸于￡,由矩形的性質(zhì)得出切=力加=&AD=BC=b,N4r=90°,證出NC組=N"W=

x,由三角函數(shù)定義得出O/J=bsinx,DE=acosx,進而得出答案.

作四_Ly軸于反如圖：

?四邊形力比少是矩形，

：.CD=AB=ayAD=BC=b,N49c=90°,

:?/CDE+/ADO=9G,

VZAOD=90°,:?/DA必NADO=9。。,

:?NCDE=4DAO=x,

?：sinZDAO=—,cosACDE=—,

ADCD

/.OD=ADXsinZDAO=6sinx,DE=DXcosZCDE=acosx,

/.0E=DE+0D=acosx+bnnx,

???點C到x軸的距離等于acos廣加inx.

【對點練習】（2019?貴州省銅仁市）如圖為矩形力四，一條直線將該矩形分割成兩個多邊形，若這兩個多邊

形的內(nèi)角和分別為a和力，則研，不可能是（）

AK-----------------------

B'---------------1c

A.360°B.540°C.630°D.720°

【答案】c.

【解答】一條直線將該矩形力時分割成兩個多邊形，每一個多邊形的內(nèi)角和都是180。的

倍數(shù)，都能被180整除，分析四個答案，

只有630不能被180整除，所以不可能是630°.

【例題2】（2020?荷澤）如圖，矩形力及力中，AB=5,/仄=12,點一在對角線如上，且BP=BA,連接"并

延長，交加的延長線于點。，連接80,則制的長為.

【答案】3m.

【解析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可得劭=13,再根據(jù)跖=為可得&?=勿=8,所以得0=3,在RtZXJS中，根

據(jù)勾股定理即可得回的長.

,矩形力靦中，49=5,/W=12,NBAD=/BCD=9G°,

：.BD=5MB2+）。2=13,

,:BP=BA=5,

：.PD=BD-BP=3,

,:BA=BP,

：.NBA—/BPA=/DPQ,

?：AB"CD,

：./BA—/DQP,

ADPQ=ADQP,

：.DgDS

：.CQ=DQ-CD=DQ-AB=8-5=3,

.?.在低△&%＞中，根據(jù)勾股定理，得

BQ=,JBC2+CQ2=V153=3V17.

【對點練習】（2019內(nèi)蒙古通遼）如圖，在矩形/時中，AD=8,對角線4C與被相交于點0,AEVBD,垂

足為點E,且45"平分/劭C,則的長為.

【答案】名叵.

3

【解答】1?四邊形/空9是矩形

：.AO=CO=BO=DO,

平分N協(xié)0

:.NBAE=NEAO,且AE=AE,NAEB=NAEO,

：./\ABE^/\AOE(ASA)

:.AgAB,且47=龐

：.AO=AB=BO=DO,

:.BIA2AB,

.?.64+麻=44次

.?"6=色叵

3

【例題3】（2020?聊城）如圖，在外吃》中，￡為優(yōu)的中點，連接止并延長交加的延長線于點F,連接BF,

AC,若的=AF,求證：四邊形/眼是矩形.

A__________________D

【答案】見解析。

【解析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到兩角一邊對應相等，利用加S判定從而得到AB=CF；

由已知可得四邊形力跖T是平行四邊形，BC=AF,根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形，可得到四邊形

46尸C是矩形.

證明：???四邊形/時是平行四邊形，

：.AB//CD,AB=CD,

:./BAE=NCFE,NABE=NFCE,

???￡為用的中點，

:.EB=EC,

:.△AB-XFC隊AAS）,

:.AB=CF.

'：AB//CF,

四邊形/跖C是平行四邊形，

’：BC=AF'

四邊形4跖C是矩形.

【對點練習】（2019?湖北省鄂州市）如圖，矩形46繆中，AB=8,4A6,點。是對角線切的中點，過點。

的直線分別交/從切邊于點反F.

(1)求證：四邊形比,仍是平行四邊形;

(2)當班'=毋'時，求)'的長.

【答案】見解析。

【解析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到由平行線的性質(zhì)得到/MH根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到所

=BE,于是得到四邊形弧班是平行四邊形；推出四邊形應加'是菱形，得到〃￡=應；EFX.BD,OE=OF,設

AE=x,則DE=BE=S-x根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

(1)證明：?.?四邊形49繆是矩形，

：.AB//CD,

：.2DF0=ABEO,

天黃為ZD0F=2B0E,OD=OB,

：./\DOF^/\BOE{ASA),

：.DF=BE,

丈因'為DF〃BE,

...四邊形則■、是平行四邊形；

②解■:，：DE=DF,四邊形即A是平行四邊形

二四邊形龐加是菱形，

:.DE=BE,EFLBD,OE=OF,

AE=x,貝ij應'=8-x

在他△力班1中，根據(jù)勾股定理，有相+而=流

：.x+6l=（8-x）2,

解之得：*=工，

4

."￡=8-工=空，

44

在心△月初中，根據(jù)勾股定理，有就+/4=如

?■?^762+82=10,

.?.浙_LBM5,

2

在心△〃龐.中，根據(jù)勾股定理，有〃片-布=施工

一、選擇題

1.（2020?懷化）在矩形力靦中，AC,加相交于點。，若/的面積為2,則矩形/靦的面積為（）

C.8D.10

【答案】C

【解析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到OA=OB=OC=Oil推出S△四產(chǎn)S—=SMDO=Sso=2,即可求出矩形力以7〃的面

積.

?.?四邊形力靦是矩形，對角線勿相交于點0,

：.AC=即，且%=0B=0C=0D,

■.Sc^AOO-S/\!X：n-S/\dM~Sl^AHO-2,

二矩形力的面積為45k.=8,

2.（2020?達州）如圖，/打切=45°,80^DO,點力在加上，四邊形46（6是矩形，連接BD交于點、E,

連接應'交4。于點片下列4個判斷：①應"平分N8M；②0F=BD；③DF=?AF；④若點G是線段。尸的中

點，則為等腰直角三角形.正確判斷的個數(shù)是（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【解析】由矩形得醫(yī)=勿=必，N掰〃為直角，再由等腰三角形的三線合一性質(zhì)可判斷①的正誤；證明△

AO0AABD,便可判斷②的正誤；連接以；由線段的垂直平分線得毋,=〃尸，由前面的三角形全等得/尸=46,

進而便可判斷③的正誤；由直角三角形斜邊上的中線定理得4c=例，進而求得//仍'=45°,由矩形性質(zhì)得

ED=EA,進而得/用力=22.5°,再得N￡4G=90°,便可判斷④的正誤.

①：四邊形"切是矩形，

：.EB=ED,

'：BO=DO,

：.OE平■64BOD,

故①正確;

②,??四邊形月比。是矩形，

：.ZOAD=ZBAD=90°,

???//即N/龐=90°,

?：OB=OD,BE=DE,

：?OELBD,

:./BOE+/OBE=9。。,

A￡BOE=ABDA.

'：4BOD=鐘,N如片90°,

.??/490=45°,

：.AO=AD,

,△力行絲△月劭（力9）,

???OF=BD,

故②正確；

③?：XAOF^XABD、

：.AF=AB,

連接外；如圖1,

圖1

:,BF=0AF,

、：BE=DE,OELBD,

:?DF=BF,

:?DF=y/2AFy

故③正確；

④根據(jù)題意作出圖形，如圖2,

是冰的中點，Zfl4A=90°,

:?AG=OG,

:"AOG=/OAG,

〈N4勿=45°,0E平分乙AOD,

：.ZAOG=ZOAG=22.5°,

：.ZFAG=67,5°,ZADB=ZAOF=22.50,

??,四邊形力靦是矩形，

:?EA=ED,

：.ZEAD=ZEDA=22.5°,

：.ZEAG=90°,

VZAGE=ZAOG^ZOAG=450,

/.ZAEG=45°,

:"E=AG,

為等腰直角三角形,

故④正確；

故選:A.

3.（2019?廣東廣州）如圖，矩形力及力中，對角線〃1的垂直平分線跖分別交6C,AD于點、E,F,若

跖=3,AF=5,則/C的長為（）

A.4旄B.473C.10D.8

【答案】A

【解析】連接46,由線段垂直平分線的性質(zhì)得出以=OC,AE=CE,證明得出4-CX'=5,

得出/￡=龍=5,BC=BE+CE=8,由勾股定理求出仍=J^Z^=4，再由勾股定理求出即可.

連接｛反如圖：

?.?）是/C的垂直平分線,

：.OA=OC,AE=CE,

?；四邊形4?⑺是矩形，

.../6=90°,AD//BC,

：.AOAF=AOCE,

rZA0F=ZC0E

在△/"和中，.0A=0C

Z0AF=Z0CE

:.△AOKACOElASa,

:.AF=CE=3,

:?AE=CE=5,筋四=3+5=8,

?"AVAE2-BE2=V52-32=Z4,

:'AC=VAB2+BC2=V42+82=4^:

故選：A.

4.（2019?山東泰安）如圖，矩形加W中，AB=4,AD^2,￡為16的中點，尸為比上一動點，P為DF中點,

連接加，則陽的最小值是（）

A.2B.4C.A/2D.272

【答案】D

【解析】根據(jù)中位線定理可得出點點9的運動軌跡是線段P0,再根據(jù)垂線段最短可得當由LA月時，PB

取得最小值：由矩形的性質(zhì)以及已知的數(shù)據(jù)即可知防，故即的最小值為郎的長，由勾股定理求解

即可.

如圖:

當點尸與點C重合時，點夕在4處，CP尸DP\,

當點尸與點￡重合時，點尸在2處，EP尸DP?,

:.PHHCE豆P、P產(chǎn)ACE

2

當點尸在尾上除點C、￡的位置處時，有DP=FP

由中位線定理可知：P\P〃CEAP\4LCF

2

...點一的運動軌跡是線段產(chǎn)出，

,當初，△旦時，陽取得最小值

?.?矩形4比》中，4?=4,AD=2,￡'為47的中點，

:NBE、4ADE、△8CF為等腰直角三角形，CP\二2

:.NADE=NCDE=/CP\B=?,/DEC=9Q°

AZ^1=90°

二/如0=45°

：.NRRB=90°,即即_LK8,

游的最小值為陰的長

在等腰直角a2中，CP產(chǎn)BC=2

,郎=2加

二陽的最小值是2M

5.（2019湖北荊州）如圖，矩形四切的頂點4,B,。分別落在乙股￥的邊。姑ON上,若OA=OC,要求只用

無刻度的直尺作/玳邠的平分線.小明的作法如下：連接AC,BD交于點、￡,作射線OE,則射線曬平分/他出有

以下幾條幾何性質(zhì)：①矩形的四個角都是直角，②矩形的對角線互相平分，③等腰三角形的“三線合一”.小

明的作法依據(jù)是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【答案】C

【解析】???四邊形/1%。為矩形，

：.AE=CE,

而OA=OC,

二比為//3的平分線.

二、填空題

6.（2020?紹興）將兩條鄰邊長分別為魚，1的矩形紙片剪成四個等腰三角形紙片（無余紙片），各種剪法剪

出的等腰三角形中，其中一個等腰三角形的腰長可以是下列數(shù)中的（填序號）.

①也②1,③e-1,@y,⑤VI

【答案】①②③④.

【解析】首先作出圖形，再根據(jù)矩形的性質(zhì)和等腰三角形的判定即可求解.

如圖所示:

則其中一個等腰三角形的腰長可以是①近，②I,③立—I,鱷，不可以是VI

7.（2020?瀘州）如圖，在矩形四切中，E,尸分別為邊四，/〃的中點，BF與EC、口分別交于點M,N.已

知四=4,BC=6,則腑的長為.

【解析】/

【分析】延長區(qū)為交于。，延長跖和切，交于隊根據(jù)勾股定理求出防，根據(jù)矩形的性質(zhì)求出4。，根

據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AQ=BC,AB=CW,根據(jù)相似三角形的判定得出監(jiān)監(jiān)，△創(chuàng)%s△例以根

據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出比例式，求出以'和8獷的長，即可得出答案.

【解析】延長四、的交于Q,如圖1,

2、

'E-

BC

圖1

???四邊形被⑦是矩形，BC=6,

：.ZBAD=^°,AD=BC=&,AD//BC,

?“為力〃中點，

:?AF=DF=3,

在Rt△物廠中，由勾股定理得：BF=y/AB2+AF2=V42+32=5,

u：AD//BQ

：.4Q=/ECB,

???￡為45的中點,AB=4,

:.AE=BE=2,

在后和△鹿中

(NQEA=NBEC

|NQ=NECB

MF=BE

:、△QAE^XCBE'AAS,

:.AQ=BC=6,

即g=6+3=9,

u：AD//BQ

:?XQMFs[\CMB,

.FM_QF_9

，-BC-6，

,:BF=5,

:.BM=2,FM=3,

延長必和徼交于例如圖2,

w

同理四=〃V=4,CW=8,BF=FM=5,

?：AB//CD,

:、△BNESXWND,

?BNBE

NFDW

,BN_2

**5-5N+5-4'

解得：BN=y,

：..MN=BN-BM=--2=-

33

8.（2020?黔東南州）如圖，矩形加力中，AB=2,BC=圓￡為徵的中點，連接被加交于點R過點一

作PQ1BC于點Q,則Pg.

【解析埒.

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到48〃G9,AB^CD,AD^BC,/切片90°,根據(jù)線段中點的定義得到西

\AB,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解析】?.?四邊形46，力是矩形，

：.AB//CD,AB=CD,AD=BC,ZBAD=^O°,

?；￡為丁的中點,

：.DE=\CD=：AB,

：.XABP^XEDP,

.AB_PB

??=i

DEPD

?2PB

.?一=,

1PD

?PB2

..——=

BD3

■:PQ'BC,

：.PQ//CD,

:.△BPgXDBC,

.PQBP2

??-——,

CDBD3

"：CD^2,

：g

9.（2019湖南婁底）如圖，要使平行四邊形力靦是矩形，則應添加的條件是（添加一個條

件即可）.

【答案】N/叱90°或AC=BD.

【解析】根據(jù)矩形的判定定理：對角線相等的平行四邊形是矩形，有一個角是直角的平行四邊形是矩形;

故添加條件：N4麻90°或AC=BD.

故答案為：N4脛90°或AC=BD.

10.（2019黑龍江省龍東地區(qū)）如圖，矩形四切中，四=4,比'=6,點P是矩形46切內(nèi)一動點，且區(qū)"尸,

2

S；則％+如的最小值是

【答案】475.

【解析】結(jié)合已知條件，根據(jù)嘉行,可判斷出點P在平行于AB,與AB的距離為2、與CD的距離為

2

4的直線上，再根據(jù)“將軍飲馬問題”的解法解之即可.

過點P作直線1〃AB,作點D關于直線1的對稱點”,連接CDJ?矩形ABCD中，〃=4,a三6,；.CD=4,DDi=8,

在RtACDD,^,由勾股定理得CD「4布,.”C+如的最小值是4療.

11.（2019貴州省安順市）如圖，在Rt△力8。中，N的。=90°,49=3,AC=4,點〃為斜邊比1上的一個動

點，過〃分別作〃以48于點弘作例L/C于點兒連接川M則線段4V的最小值為

BD

【答案】y

【解析】連接力。，即可證明四邊形/例’是矩形；由矩形得出廨=4）,再由三角形的面積關系求出力〃

的最小值，即可得出結(jié)果.

連接/〃，如圖所示：

"：DMLAB,DNLAC,//必=N4\g90°,

又劭f=90°,；.四邊形4監(jiān)!V是矩形；:.MN=AD,

胡C=90°,4Q3,然=4,:.BC=3,

當比時，4。最短，

此時△47C的面積='BC'AD=-AB'AC,

22

.曰［/士A5,AC12

??AD的最小值=--------——,

BC5

...線段物，的最小值為以

O

12.（2019?湖北省咸寧市）如圖，先有一張矩形紙片4?=4,應、=8,點也"分別在矩形的邊4〃BC

上，將矩形紙片沿直線網(wǎng)，折疊，使點，落在矩形的邊/〃上，記為點R點〃落在G處，連接尸G友.MN于

點。，連接。肌下列結(jié)論：

①CQ=O）；

②四邊形。必必是菱形;

③P,力重合時，松三2旄;

④△收〃的面積S的取值范圍是3WSW5.

其中正確的是（把正確結(jié)論的序號都填上）.

【答案】②③.

【解析】先判斷出四邊形歷是平行四邊形，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得CN=NP,然后根據(jù)鄰邊相等的平行四

邊形是菱形證明，判斷出②正確；假設8=或，'懇RtXCMgXCMD,進而得/必kNQQ/=N8CP=30°,

這個不一定成立，判斷①錯誤；點。與點4重合時，設.B4x,表示出4V=M、=8-%利用勾股定理列出

方程求解得x的值，進而用勾股定理求得協(xié)'，判斷出③正確；當必V過〃點時，求得四邊形。的￥的最小面

積，進而得S的最小值，當戶與力重合時，S的值最大，求得最大值便可.

如圖1,

"：PM//CN,

二4PMN=NMNC,

"：/MNC=ZPNM,：.ZP肺=ZPNM,：.P\f=PN,

,：NC=NP,：.PM=CN,

'：MP//CN,

...四邊形。仍V是平行四邊形，

???。￥=八巴...四邊形。W%是菱形，故②正確；

:.CP；MN,ABCP=^MCP,

二乙園C-N片90°,

TCP=CP,

若CgCI),則Rt/\CMQQ△CMD,

：.ZDCM=ZQCM=ZBCP^300,這個不一定成立,

故①錯誤；

點一與點力重合時，如圖2,

圖2

設BN=x,貝匕叱=8-必

在Rt/XABN中,AR+BN-旃，

即42+X2=(8-x))

解得x=3,

；.CV=8-3=5,^C=<\/AB2+BC2=W5,

**?CQ$C=2代，

QN=VCN2-CQ2=V5)

:.MN=2QN=2娓.

故③正確；

當好'過點〃時，如圖3,

圖3

此時，GV最短，四邊形的v的面積最小，貝ijs最小為s='s菱形CMPN4X4X4=4，

當9點與4點重合時，0V最長，四邊形CM科的面積最大，則S最大為S=\>X5X4=5,

...4WSW5,故④錯誤.故答案為：②③.

13.（2019?貴州貴陽）如圖，在矩形4?繆中，AB=4,N%4=30°，點尸是對角線〃1上的一個動點，連接

DF,以加1為斜邊作/"野=30°的直角三角形困'，使點￡和點/位于小兩側(cè)，點廠從點4到點，的運動

過程中，點￡的運動路徑長是.

【解析】￡的運動路徑是EE的長;

,.38=4,〃。=30°,

3

當「與/點重合時,

在打中，47=生叵，=30°,N4芯=60°,

3

：.DE/CDE=30°,

3

當尸與C重合時，NEDC=60°,

：.￡EDE=90°，ADEE=30°,

在打△施〃中，氏

3

14.（2019?山東濰坊）如圖，在矩形四口中，4?=2.將//向內(nèi)翻折，點4落在比■上，記為4,折痕為

DE.若將N3沿勵'向內(nèi)翻折，點8恰好落在朦上，記為8',則4?=—.

【答案】V3.

【解析】利用矩形的性質(zhì)，證明應=//'a■=30°,NC=N4'@P=90°,推出△⑻/'<△

DCA,CD=SD,沒AB=DC=x,在RtAADE中,通過勾股定理可求出48的長度.

?.?四邊形485為矩形，

:.NADC=/C=NB=90°,AB=DC,

由翻折知，XAE恒l\AED,△/BE^/XASE,N#HE=N4N/fBg90°,

二￡AED=Z/ED,Z/EB=4AEB,BE=BE,

：.AAED^Z/￡9=ZJ'180°=60°,

3

...N/1〃￡=90°-ZAED=30°,NA'DE=90°-ZA'￡^=30°,

；.NADE=Z/DE=ZADC=30°,

又,：NC=N#BD=90°,DA=DA,

:ZBA絲（A4。，

：.DC=DB,

在RtAAED中,

/49￡=30°,4g2,

.力￡=2=26,

V33

設人月DC=x、則應=￡￡=*-冬叵

3

■:A!^Alf=D這,

22

...（型3）+2=（戶%-型3°,

33

解得，小=玉（負值舍去），XFM

3

15.（2019北京市）在矩形ABCD中，M,N,P,Q分別為邊AB,BC,CD,DA上的點（不與端點重合）.對于任

意矩形ABCD,下面四個結(jié)論中，

①存在無數(shù)個四邊形MNPQ是平行四邊形；

②存在無數(shù)個四邊形MNPQ是矩形；

③存在無數(shù)個四邊形MNPQ是菱形;

④至少存在一個四邊形MNPQ是正方形.

所有正確結(jié)論的序號是.

【答案】①②③

【解析】如圖，0為矩形ABCD對角線的交點,

圖16-1

①圖中任過點。的兩條線段PM,QN,則四邊形MNPQ是平行四邊形；顯然有無數(shù)個.本結(jié)論正確.

②圖中任過點0的兩條相等的線段PM,QN,則四邊形MNPQ是矩形：顯然有無數(shù)個.本結(jié)論正確.

③圖中任過點0的兩條垂直的線段PM,QN,則四邊形MNPQ是菱形；顯然有無數(shù)個.本結(jié)論正確.

④圖中過點0的兩條相等且垂直的線段PM,QN,則四邊形MNPQ是正方形；顯然有一個.本結(jié)論錯誤.

故填：①②③.

三、解答題

16.(2020?蘇州)如圖，在矩形/靦中，￡是寬的中點，DFLAE,垂足為五.

(1)求證：MABEs[\DFA；

(2)若16=6,BC=\,求加的長.

AK-----------

BE

【解析】見解析。

【分析】(1)由矩形性質(zhì)得力〃〃比；進而由平行線的性質(zhì)得再根據(jù)兩角對應相等的兩個三角

形相似；

(2)由后是力的中點，求得跖再由勾股定理求得力￡,再由相似三角形的比例線段求得〃尸.

【解析】(1廣?,四邊形力筋是矩形，

：.AD//BC,N8=90°,

：.ZDAF=4AEB,

?：DF_LAE,

：.ZAFD=ZB=90°,

:.XADFSMEAB,

:?△ABESXDFA：

(2)???夕是6。的中點，BC=4,

:.BE=2,

■:AB=6,

：.AE=7AB2+BE?=/+22=2“U,

???四邊形)靦是矩形，

：.AD=BC=4,

?：/\ABES/\DFA,

,ABAE

.?--------,

DFAD

?ABAD6X46rryr

??DF=----------=—==-V10.

AE2V105

D

17.（2020?貴陽）如圖，四邊形/靦是矩形，6是8c邊上一點，點尸在玄的延長線上，且CF=8￡.

（1）求證：四邊形府;叨是平行四邊形；

⑵連接切,若NAED=90°,AB=\,BE=2,求四邊形4環(huán)?的面積.

【解析】見解析。

【分析】（1）先