2019年山西省中考數(shù)學(xué)試卷

2019年山西省中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分，在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求,

請選出并在答題卡上將該項涂黑

1.（3分）-3的絕對值是（）

A.-3B.3

2.（3分）下列運算正確的是（）

A.2a+3a—5a2B.(a+2b)2—a2+4b2

2,356236

C.<r/a=aD.(-ab)=-ah

3.（3分）某正方體的每個面上都有一個漢字，如圖是它的一種展開圖，那么在原正方體中，與“點”字所在面相對面

C.夢D.想

4.（3分）下列二次根式是最簡二次根式的是（）

5.（3分）如圖，在AABC中，AB=AC,/4=30°,直線頂點C在直線b上，直線a交AB于點。，交AC

與點E,若/1=145。，則/2的度數(shù)是（）

A.30°B.35°C.40°D.45°

\-1>3

6.（3分）不等式組|/的解集是（）

2-2x<4

A.x>4B.x>-1C.-l<x<4D.x<-1

7.（3分）五臺山景區(qū)空氣清爽，景色宜人.“五一”小長假期間購票進山游客12萬人次，再創(chuàng)歷史新高.五臺山景區(qū)

門票價格旺季】68元/人.以此計算，“五一”小長假期間五臺山景區(qū)進山門票總收入用科學(xué)記數(shù)法表示（）

A.2.016X1()8元B.0.2016X1()7元

C.2.O16X0元D.2016X1()4元

8.（3分）一元二次方程/-4x-1=0配方后可化為（）

A.（x+2）2=3B.（x+2）2=5C.（%-2）2=3D.（x-2）2=5

9.（3分）北中環(huán)橋是省城太原的一座跨汾河大橋（如圖1）,它由五個高度不同，跨徑也不同的拋物線型鋼拱通過吊

橋，拉索與主梁相連，最高的鋼拱如圖2所示，此鋼拱（近似看成二次函數(shù)的圖象-拋物線）在同一豎直平面內(nèi)，

與拱腳所在的水平面相交于4,B兩點.拱高為78米（即最高點。到的距離為78米），跨徑為90米（即AB=

90米），以最高點。為坐標原點，以平行于AB的直線為x軸建立平面直角坐標系，則此拋物線鋼拱的函數(shù)表達式

為（）

圖1圖2

A.B.y=--^-^x2

-675675

y=*/13,.2

C.D.y=-

13501350

10.(3分)如圖，在RtZ\ABC中，ZABC=90°,AB=2?,BC=2,以AB的中點O為圓心OA的長為半徑作半

圓交4c于點D,則圖中陰影部分的面積為（）

A.5.（B.^H.+—C.2?-TTD.473--

42422

二、填空題（本大題共5個小題，每小題3分，共15分）

11.（3分）化簡紅-上的結(jié)果是.

x~l1-x

12.（3分）要表示一個家庭一年用于“教育”，“服裝”，“食品”，“其他”這四項的支出各占家庭本年總支出的百分比,

從“扇形統(tǒng)計圖”，“條形統(tǒng)計圖”，“折線統(tǒng)計圖”中選擇一種統(tǒng)計圖，最適合的統(tǒng)計圖是.

13.（3分）如圖，在一塊長Urn,寬8/n的矩形空地上，修建同樣寬的兩條互相垂直的道路（兩條道路各與矩形的一

條平行），剩余部分栽種花草，且栽種花草的面積77機2,設(shè)道路的寬為初2,則根據(jù)題意，可列方程為.

14.（3分）如圖，在平面直角坐標中，點0為坐標原點，菱形ABC。的頂點B在x軸的正半軸上，點A坐標為（-4,

0）,點。的坐標為（-1,4）,反比例函數(shù)y=k（x>0）的圖象恰好經(jīng)過點C,則k的值為.

15.（3分）如圖，在△ABC中，N8AC=90°,AB=AC=10c%,點。為△ABC內(nèi)一點，NBAD=15°,AD=6cm,

連接8D,將△4B。繞點4按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使4B與AC重合，點。的對應(yīng)點為點￡,連接OE,交AC于點

三、解答題（本大題共8個小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

16.（10分）（1）計算：\/27+（-—）2-3tan60°+（n-\/2）0-

2

（2）解方程組:伊"-8二①

x+2y=0,②

17.（7分）已知：如圖，點B,。在線段AE上，AD=BE,AC//EF,NC=NF.求證：BC=DF.

18.（9分）中華人民共和國第二屆青年運動會（簡稱二青會）將于2019年8月在山西舉行.太原市作為主賽區(qū)，將承

擔多項賽事，現(xiàn)正從某高校的甲、乙兩班分別招募10人作為頒獎禮儀志愿者，同學(xué)們踴躍報名，甲、乙兩班各報

了20人，現(xiàn)已對他們進行了基本素質(zhì)測評，滿分10分.各班按測評成績從高分到低分的順序各錄用10人，對這

次基本素質(zhì)測評中甲、乙兩班學(xué)生的成績繪制了如圖所示的統(tǒng)計圖.請解答下列問題：

（1）甲班的小華和乙班的小麗基本素質(zhì)測評成績都為7分，請你分別判斷小華，小麗能否被錄用（只寫判斷結(jié)果,

不必寫理由）.

（2）請你對甲、乙兩班各被錄用的10名志愿者的成績作出評價（從“眾數(shù)”，“中位數(shù)”，或“平均數(shù)”中的一個

方面評價即可）.

（3）甲、乙兩班被錄用的每一位志愿者都將通過抽取卡片的方式?jīng)Q定去以下四個場館中的兩個場館進行頒獎禮儀

服務(wù)，四個場館分別為：太原學(xué)院足球場，太原市沙灘排球場，山西省射擊射箭訓(xùn)練基地，太原水上運動中心，這

四個場館分別用字母A，B,C,。表示.現(xiàn)把分別印有4,B,C,。的四張卡片（除字母外，其余都相同）背面朝

上，洗勻放好.志愿者小玲從中隨機抽取一張（不放回），再從中隨機抽取一張，請你用列表或畫樹狀圖的方法求

小玲抽到的兩張卡片恰好是“A”和“B”的概率.

點生人數(shù)

19.（8分）某游泳館推出了兩種收費方式.

方式一：顧客先購買會員卡，每張會員卡200元，僅限本人一年內(nèi)使用，憑卡游泳，每次游泳再付費30元.

方式二：顧客不購買會員卡，每次游泳付費40元.

設(shè)小亮在一年內(nèi)來此游泳館的次數(shù)為x次，選擇方式一的總費用為力（元），選擇方式二的總費用為"（元）.

（1）請分別寫出尹，”與x之間的函數(shù)表達式.

（2）小亮一年內(nèi)在此游泳館游泳的次數(shù)x在什么范圍時，選擇方式一比方式二省錢.

20.（9分）某“綜合與實踐”小組開展了測量本校旗桿高度的實踐活動.他們制訂了測量方案，并利用課余時間完成

了實地測量.他們在該旗桿底部所在的平地上，選取兩個不同測點，分別測量了該旗桿頂端的仰角以及這兩個測點

之間的距離.為了減小測量誤差，小組在測量仰角的度數(shù)以及兩個測點之間的距離時，都分別測量了兩次并取它們

與，在同一條水平直

線上，A,2之間的距

離可以直接測得，且

點G,H,A,B,C,

。都在同一豎直平面

內(nèi)，點C,D,E在同

一條直線上，點E在

GH上.

測量數(shù)據(jù)測量項目第一第二平均

次次值

NGCE的度數(shù)25.6°25.8°25.7°

ZGDE的度數(shù)31.2°30.8°31°

A,B之間的距離5.4〃？5.6m

任務(wù)一：兩次測量A,B之間的距離的平均值是m.

任務(wù)二：根據(jù)以上測量結(jié)果，請你幫助該“綜合與實踐”小組求出學(xué)校旗桿GH的高度.

（參考數(shù)據(jù)：sin25.7°-0.43,cos25.7°-0.90,tan25.7’'-0.48,sin31°弋0.52,cos310-0.86,tan310弋0.60）

任務(wù)三：該“綜合與實踐”小組在制定方案時，討論過“'利用物體在陽光下的影子測量旗桿的高度”的方案，但未

被采納.你認為其原因可能是什么？（寫出一條即可）

—IM

21.（8分）閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)：

萊昂哈德?歐拉（LeonhardEaler）是瑞士數(shù)學(xué)家，在數(shù)學(xué)上經(jīng)常見到以他的名字命名的重要常數(shù)，公式和定理，下

面就是歐拉發(fā)現(xiàn)的一個定理：在△ABC中，R和/?分別為外接圓和內(nèi)切圓的半徑，。和/分別為其中外心和內(nèi)心，

貝IJ0/2=R2_2Rr.

如圖1,和分別是△ABC的外接圓和內(nèi)切圓，。/與AB相切分于點凡設(shè)。。的半徑為R,。/的半徑為r,

外心。（三角形三邊垂直平分線的交點）與內(nèi)心/（三角形三條角平分線的交點）之間的距離OI=d,則有/=網(wǎng)

-2Rr.

下面是該定理的證明過程（部分）：

延長4/交。。于點。，過點/作。。的直徑連接。例，AN.

'：ZD=ZN,ZDMI=ZNA1（同弧所對的圓周角相等）.

:.XMDlsAANl..-,11=20.,：.IA?ID=IM?IN,①

IAIN

如圖2,在圖1（隱去MD,AN）的基礎(chǔ)上作。。的直徑QE,連接8E,BD,BI,IF.

是OO的直徑，所以/￡>8E=90°.

與A8相切于點尸，所以NA/7=90°,

：.NDBE=/IFA.

；/BAD=NE（同弧所對的圓周角相等），

?IA=IF

"DEBD'

：.IA'HD=DE'iF（2）

任務(wù)：（1）觀察發(fā)現(xiàn)：IM=R+d,IN=（用含R,d的代數(shù)式表示）；

（2）請判斷8。和〃）的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

（3）請觀察式子①和式子②，并利用任務(wù)（1）,（2）的結(jié)論，按照上面的證明思路，完成該定理證明的剩余部分;

（4）應(yīng)用：若△ABC的外接圓的半徑為5cm,內(nèi)切圓的半徑為2cm,貝iJZ\A8C的外心與內(nèi)心之間的距離為cm.

22.（11分）綜合與實踐

動手操作：

第一步：如圖1,正方形紙片4BC。沿對角線4c所在的直線折疊，展開鋪平.在沿過點C的直線折疊，使點8,

點。都落在對角線AC上.此時，點B與點。重合，記為點M且點E,點N,點尸三點在同一條直線上，折痕分

別為CE,CF.如圖2.

第二步：再沿AC所在的直線折疊，4人”與△Ab重合，得到圖3.

第三步：在圖3的基礎(chǔ)上繼續(xù)折疊，使點C與點尸重合，如圖4,展開鋪平，連接E凡FG,GM,ME.如圖5,

圖中的虛線為折痕.

問題解決：

(1)在圖5中，NBEC的度數(shù)是,四?的值是.

BE

(2)在圖5中，請判斷四邊形EMGF的形狀，并說明理由；

(3)在不增加字母的條件下，請你以圖中5中的字母表示的點為頂點，動手畫出一個菱形(正方形除外)，并寫出

這個菱形：.

圖5

如圖，拋物線y=n/+fer+6經(jīng)過點A(-2,0),B(4,0)兩點，與y軸交于點C,點。是拋物線上一個動點，設(shè)

點。的橫坐標為"？(l<w<4).連接AC,BC,DB,DC.

(1)求拋物線的函數(shù)表達式；

(2)△BCD的面積等于△AOC的面積的W時，求機的值;

(3)在(2)的條件下，若點M是x軸上一動點，點N是拋物線上一動點，試判斷是否存在這樣的點使得以

點8,D,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點仞的坐標；若不存在，請說明理由.

2019年山西省中考數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分，在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，

請選出并在答題卡上將該項涂黑

1.（3分）-3的絕對值是（）

A.-3B.3C.」D.J.

33

【考點】15：絕對值.

【分析】根據(jù)絕對值的定義，-3的絕對值是指在數(shù)軸上表示-3的點到原點的距離，即可得到正確答案.

【解答】解：|-3|=3.

故-3的絕對值是3.

故選：B.

【點評】本題考查的是絕對值的定義，抓住定義及相關(guān)知識點即可解決問題.

2.（3分）下列運算正確的是（）

A.2。+3a=5/B.（a+26）2=a2+4b1

C.a2,a3=a6D.（.-ab2）3=-

【考點】35：合并同類項；46：同底數(shù)寨的乘法；47：寨的乘方與積的乘方；4C：完全平方公式.

【分析】直接利用合并同類項法則以及完全平方公式、積的乘方運算法則、同底數(shù)塞的乘除運算法則分別化簡得出

答案.

【解答】解：A、2a+3〃=5a,故此選項錯誤；

B、Ca+2h）2=a2+4ah+4h2,故此選項錯誤；

C、a2,a3=a5,故此選項錯誤；

D、（-ab1）3--正確.

故選：D.

【點評】此題主要考查了合并同類項以及完全平方公式、積的乘方運算、同底數(shù)累的乘除運算，正確掌握相關(guān)運算

法則是解題關(guān)鍵.

3.（3分）某正方體的每個面上都有一個漢字，如圖是它的一種展開圖，那么在原正方體中，與“點”字所在面相對面

上的漢字是（）

C.夢D.想

【考點】18：專題：正方體相對兩個面上的文字.

【分析】根據(jù)正方體展開z字型和L型找對面的方法即可求解；

【解答】解：展開圖中“點”與“春”是對面，“亮”與“想”是對面，“青”與“夢”是對面;

故選：B.

【點評】本題考查正方體的展開圖；熟練掌握正方體展開圖找對面的方法是解題的關(guān)鍵.

4.（3分）下列二次根式是最簡二次根式的是（）

【考點】74：最簡二次根式.

【分析】檢查最簡二次根式的兩個條件是否同時滿足，同時滿足的就是最簡二次根式，否則就不是.

C、我=2后，故C不符合題意;

D、、后是最簡二次根式，故。符合題意.

故選：D.

【點評】本題考查最簡二次根式的定義，最簡二次根式必須滿足兩個條件：被開方數(shù)不含分母；被開方數(shù)不含能開

得盡方的因數(shù)或因式.

5.（3分）如圖，在△ABC中，AB=AC,NA=30°,直線頂點C在直線。上，直線。交48于點，交AC

與點E,若21=145°,則/2的度數(shù)是（）

A.30°B.35°C.40°D.45°

【考點】JA：平行線的性質(zhì)；KH：等腰三角形的性質(zhì).

【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和可得/AC8=75°,由三角形外角的性質(zhì)可得/AED的度數(shù),

由平行線的性質(zhì)可得同位角相等，可得結(jié)論.

【解答】解：?；A8=AC,且N4=30°,

；.NACB=75°,

在△ADE中，VZ1=ZA+ZAED=145",

AZAED=1450-30°=115°,

'：a//b,

ZAED=Z2+ZACB,

.*.Z2=115°-75°=40°,

故選：C.

【點評】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，題目比較基礎(chǔ)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

6.（3分）不等式組J的解集是（）

2-2x<4

A.x>4B.x>-1C.-l<x<4D.x<-1

【考點】CB：解一元一次不等式組.

【分析】首先求出不等式組中每一個不等式的解集，再求出其公共解集.

'xT>3①

【解答】解:

2-2x<4②'

由①得：x>4,

由②得：x>-1,

不等式組的解集為：x>4,

故選：A.

【點評】此題主要考查了解一元一次不等式組，關(guān)鍵是掌握解集的規(guī)律：同大取大；同小取小；大小小大中間找；

大大小小找不到.

7.（3分）五臺山景區(qū)空氣清爽，景色宜人.“五一”小長假期間購票進山游客12萬人次，再創(chuàng)歷史新高.五臺山景區(qū)

門票價格旺季168元/人.以此計算，“五一”小長假期間五臺山景區(qū)進山門票總收入用科學(xué)記數(shù)法表示（）

A.2.016X1（）8元B.0.2016X1（）7元

C.2.016X1（）7元D.2016X1（）4元

【考點】II：科學(xué)記數(shù)法一表示較大的數(shù).

【分析】科學(xué)記數(shù)法就是將一個數(shù)字表示成QX10的〃次幕的形式），其中1<間<10,〃表示整數(shù)，即從左邊第

一位開始，在首位非零的后面加上小數(shù)點，再乘以10的〃次幕.

【解答】解：120000X168=20160000=2.016X1（）7,

故選：C.

【點評】此題考查了對科學(xué)記數(shù)法的理解和運用和單位的換算.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為。義10"的形式，其中1W

⑷<10,〃為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定。的值以及〃的值.

8.（3分）一元二次方程7-4x-1=0配方后可化為（）

A.（x+2）2=3B.（x+2）2=5C.（x-2）2=3D.（%-2）2=5

【考點】A6：解一元二次方程-配方法.

【分析】移項，配方，即可得出選項.

【解答】解：?-4x-1=0,

x2-4x=1,

x2-4x+4=l+4,

（x-2）2=5,

故選：D.

【點評】本題考查了解一元二次方程的應(yīng)用，能正確配方是解此題的關(guān)鍵.

9.（3分）北中環(huán)橋是省城太原的一座跨汾河大橋（如圖1）,它由五個高度不同，跨徑也不同的拋物線型鋼拱通過吊

橋，拉索與主梁相連，最高的鋼拱如圖2所示，此鋼拱（近似看成二次函數(shù)的圖象-拋物線）在同一豎直平面內(nèi)，

與拱腳所在的水平面相交于A,B兩點.拱高為78米（即最高點。到AB的距離為78米），跨徑為90米（即48=

90米），以最高點。為坐標原點，以平行于AB的直線為x軸建立平面直角坐標系，則此拋物線鋼拱的函數(shù)表達式

為（）

圖1圖2

嚴磊2

c尸舟D.尸一舟

【考點】HD：根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式.

【分析】直接利用圖象假設(shè)出拋物線解析式，進而得出答案.

【解答】解：設(shè)拋物線的解析式為：y=ax2,

將B（45,-78）代入得：-78=aX452,

解得：a=--2￡,

675

故此拋物線鋼拱的函數(shù)表達式為：y=-型/.

675

故選：B.

【點評】此題主要考查了根據(jù)實際問題列二次函數(shù)解析式，正確假設(shè)出拋物線解析式是解題關(guān)鍵.

10.（3分）如圖，在RtZ\ABC中，/ABC=90°,AB=2?8c=2,以AB的中點。為圓心，OA的長為半徑作半

圓交AC于點￡>,則圖中陰影部分的面積為（）

C.2后TTD4后當

【考點】KQ：勾股定理；MO：扇形面積的計算.

【分析】根據(jù)題意，作出合適的輔助線，即可求得。E的長、/OOB的度數(shù)，然后根據(jù)圖形可知陰影部分的面積是

△ABC的面積減去△AOO的面積和扇形BOD的面積，從而可以解答本題.

【解答】解：?.?在RtZUBC中，ZABC=90°,A8=2?,BC=2,

BC_2___V3

/.tanA=

瓦二2盯二3'

???NA=30°,

AZDOB=60",

?.?0。=工48=逐，

2

.??OE=W,

2

3

陰影部分的面積是：2返義馬y兀x（近）：=浦一兀，

2236042

【點評】本題考查扇形面積的計算、勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

二、填空題（本大題共5個小題，每小題3分，共15分）

11.（3分）化簡紅-上的結(jié)果是

X-l1-XX-1

【考點】6B：分式的加減法.

【分析】先把異分母轉(zhuǎn)化成同分母，再把分子相減即可.

［解答］解：原式=&+x/x+x=3x

X-1X-lX-lX-1

故答案為：至工

X-1

【點評】此題考查了分式的加減運算，在分式的加減運算中，如果是同分母分式，那么分母不變，把分子直接相加

減即可；如果是異分母分式，則必須先通分，把異分母分式化為同分母分式，然后再相加減.

12.（3分）要表示一個家庭一年用于“教育”，“服裝”，“食品”，“其他”這四項的支出各占家庭本年總支出的百分比,

從“扇形統(tǒng)計圖”，“條形統(tǒng)計圖”，“折線統(tǒng)計圖”中選擇一種統(tǒng)計圖，最適合的統(tǒng)計圖是扇形統(tǒng)計圖.

【考點】VE：統(tǒng)計圖的選擇.

【分析】條形統(tǒng)計圖能很容易看出數(shù)量的多少；折線統(tǒng)計圖不僅容易看出數(shù)量的多少，而且能反映數(shù)量的增減變化

情況；扇形統(tǒng)計圖能反映部分與整體的關(guān)系；由此根據(jù)情況選擇即可.

【解答】解：要表示一個家庭一年用于“教育”，“服裝”，“食品”，“其他”這四項的支出各占家庭本年總支出的百

分比，最適合的統(tǒng)計圖是扇形統(tǒng)計圖.

故答案為：扇形統(tǒng)計圖

【點評】此題應(yīng)根據(jù)條形統(tǒng)計圖、折線統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖各自的特點進行解答.

13.（3分）如圖，在一塊長12〃?，寬8m的矩形空地上，修建同樣寬的兩條互相垂直的道路（兩條道路各與矩形的一

條平行），剩余部分栽種花草，且栽種花草的面積77機2,設(shè)道路的寬為箝〃，則根據(jù)題意，可列方程為（12-x）（8

【考點】AC：由實際問題抽象出一元二次方程.

【分析】把所修的兩條道路分別平移到矩形的最上邊和最左邊，則剩下的草坪是一個長方形，根據(jù)長方形的面積公

式列方程.

【解答】解：???道路的寬應(yīng)為x米，

由題意得，（12-x）（8-x）=77,

故答案為：（12-x）（8-x）=77.

【點評】此題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程，把中間修建的兩條道路分別平移到矩形地面的最上邊和

最左邊是做本題的關(guān)鍵.

14.（3分）如圖，在平面直角坐標中，點。為坐標原點，菱形A8CO的頂點8在x軸的正半軸上，點A坐標為（-4,

0）,點。的坐標為（-1,4）,反比例函數(shù)尸k（x>0）的圖象恰好經(jīng)過點C,則一的值為16

x

【考點】G4：反比例函數(shù)的性質(zhì)；G6：反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征；L8：菱形的性質(zhì).

【分析】要求k的值，求出點C坐標即可，由菱形的性質(zhì)，再構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理，可以求出相應(yīng)的線

段的長，轉(zhuǎn)化為點的坐標，進而求出”的值.

【解答】解：過點C、。作CELx軸，。尸，x軸，垂足為E、F,

?.,ABC。是菱形，

：.AB=BC=CD=DA,

易證△AOF絲△8CE,

點A(-4,0),￡)(-1,4),

ADF=CE=4,OF=\,AF=OA-OF=3,

在RtZVIOF中，AD=J32+42-5,

：.OE=EF-OF=5-1=4,

：.C(4,4)

.-.^=4X4=16

故答案為：16.

【點評】本題主要考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，綜合利用菱形的性質(zhì)、全等三角形、直角三角形勾股定理,

以及反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)；把點的坐標與線段的長度相互轉(zhuǎn)化也是解決問題重要方法.

15.（3分）如圖，在△ABC中，NBAC=90°,AB=AC=\0cm,點。為△ABC內(nèi)一點，ZBAD=\50,AD=6cm,

連接B。，將△AB。繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使AB與AC重合，點。的對應(yīng)點為點E,連接QE,OE交AC于點

F,則CF的長為（10-2近）cm.

【考點】KO：含30度角的直角三角形；KW：等腰直角三角形：R2：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

【分析】過點A作AGJ_OE于點G,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)推出/AEO=/AOG=45°,ZAFD=60°,利用銳角三角函數(shù)

分別求出AG,GF,AF的長，即可求出CF=AC-AF=10-2j￡

【解答】解：過點A作AGLOE于點G,

由旋轉(zhuǎn)知：AO=AE,ZDAE=90°,NCAE=NBAD=15°,

AZAED=ZADG=45°,

在△人￡尸中，ZAFD=ZAED+ZCAE=6Qa,

在RtZ\AQG中，AG=DG=單=3瓜

V2

在RtZSAFG中，GF=J^=瓜AF=2FG=2巫,

V3

：.CF=AC-AF^iO-2yfl，

故答案為：10?2d

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，解直角三角形等，解題的關(guān)鍵是能夠通過作適當?shù)妮o助

線構(gòu)造特殊的直角三角形，通過解直角三角形來解決問題.

三、解答題(本大題共8個小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

16.(10分)(1)計算：-\/27+(--)-2-3tan60°+(n-&)°.

2

(2)解方程組:產(chǎn)-2尸-：①

x+2y=0,②

【考點】2C：實數(shù)的運算；6E：零指數(shù)累；6F：負整數(shù)指數(shù)暴；98：解二元一次方程組；T5：特殊角的三角函數(shù)值.

【分析】(1)先根據(jù)二次根式的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)，0次幕進行計算，再合并同類二次根式;

(2)用加減法進行解答便可.

【解答】解：（1）原式=3后4-3?+1

=5；

（2）①+②得，

4x=-8,

/.%=-2,

把x=-2代入①得，

-6-2y=-8,

，＞=1,

.fx=-2

Iy=l

【點評】本題是解答題的基本計算題，主要考查了實數(shù)的計算，解二元一次方程組，是基礎(chǔ)題，要求100%得分,

不能有失誤.

17.（7分）已知：如圖，點8,。在線段AE上，AD=BE,AC//EF,ZC=ZF.求證：BC=DF.

【考點】KD：全等三角形的判定與性質(zhì).

【分析】由已知得出由平行線的性質(zhì)得出NA=NE,由AAS證明△ABC好△￡：￡）/,即可得出結(jié)論.

【解答】證明：

：.AD-BD=BE-BD,

：.AB=ED,

'.'AC//EF,

：./A=NE,

，ZC=ZF

在△ABC和△即/中，.ZA=ZE，

AB=ED

:.△ABg/\EDF（4AS）,

：.BC=DF.

【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)；熟練掌握平行線的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的

關(guān)鍵.

18.（9分）中華人民共和國第二屆青年運動會（簡稱二青會）將于2019年8月在山西舉行.太原市作為主賽區(qū)，將承

擔多項賽事，現(xiàn)正從某高校的甲、乙兩班分別招募10人作為頒獎禮儀志愿者，同學(xué)們踴躍報名，甲、乙兩班各報

了20人，現(xiàn)已對他們進行了基本素質(zhì)測評，滿分10分.各班按測評成績從高分到低分的順序各錄用10人，對這

次基本素質(zhì)測評中甲、乙兩班學(xué)生的成績繪制了如圖所示的統(tǒng)計圖.請解答下列問題：

（1）甲班的小華和乙班的小麗基本素質(zhì)測評成績都為7分，請你分別判斷小華，小麗能否被錄用（只寫判斷結(jié)果,

不必寫理由）.

（2）請你對甲、乙兩班各被錄用的10名志愿者的成績作出評價（從“眾數(shù)”，“中位數(shù)”，或“平均數(shù)”中的一個

方面評價即可）.

（3）甲、乙兩班被錄用的每一位志愿者都將通過抽取卡片的方式?jīng)Q定去以下四個場館中的兩個場館進行頒獎禮儀

服務(wù)，四個場館分別為：太原學(xué)院足球場，太原市沙灘排球場，山西省射擊射箭訓(xùn)練基地，太原水上運動中心，這

四個場館分別用字母A,B,C,。表示.現(xiàn)把分別印有A,B,C,。的四張卡片（除字母外，其余都相同）背面朝

上，洗勻放好.志愿者小玲從中隨機抽取一張（不放回），再從中隨機抽取一張，請你用列表或畫樹狀圖的方法求

小玲抽到的兩張卡片恰好是“A”和“B”的概率.

【考點】W1：算術(shù)平均數(shù)；W4：中位數(shù)；W5：眾數(shù)；X6：列表法與樹狀圖法.

【分析】（1）判斷小華和小麗在各自班級的名次即可得出答案;

（2）分別得出甲乙兩班的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)，再判斷大小即可得;

（3）畫樹狀圖列出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式計算可得.

【解答】解：（1）小華在甲班是第11名，不能錄用；小麗在乙班是第10名，可以錄用:

（2）從眾數(shù)來看，甲乙兩班各被錄用的10名志愿者的眾數(shù)分別為8分、10分，說明甲班被錄用的10名志愿者中

8分最多，乙班被錄用的10名志愿者中10分最多;

從中位數(shù)來看，甲乙兩班被錄用的10名志愿者成績的中位數(shù)分別為9分、8.5分，說明甲班被錄用的10名志愿者

成績的中位數(shù)大于乙班被錄用的10名志愿者成績的中位數(shù):

從平均數(shù)看，甲乙兩班被錄用的10名志愿者成績的平均數(shù)分別為8.9分、8.7分，說明甲班被錄用的10名志愿者成

績的平均數(shù)大于乙班被錄用的10名志愿者成績的平均數(shù).

（3）畫樹狀圖如下:

BD

/|\

公電AABC

由樹狀圖知，共有12種等可能結(jié)果，其中抽到的兩張卡片恰好是“A”和“8”的有2種結(jié)果，

所以抽到的兩張卡片恰好是“A”和“B”的概率為2=工.

126

【點評】本題考查讀頻數(shù)分布直方圖的能力和利用統(tǒng)計圖獲取信息的能力；利用統(tǒng)計圖獲取信息時，必須認真觀察、

分析、研究統(tǒng)計圖，才能作出正確的判斷和解決問題.

19.（8分）某游泳館推出了兩種收費方式.

方式一：顧客先購買會員卡，每張會員卡200元，僅限本人一年內(nèi)使用，憑卡游泳，每次游泳再付費30元.

方式二：顧客不購買會員卡，每次游泳付費40元.

設(shè)小亮在一年內(nèi)來此游泳館的次數(shù)為x次，選擇方式一的總費用為w（元），選擇方式二的總費用為”（元）.

（1）請分別寫出yi，”與x之間的函數(shù)表達式.

（2）小亮一年內(nèi)在此游泳館游泳的次數(shù)x在什么范圍時，選擇方式一比方式二省錢.

【考點】FH：一次函數(shù)的應(yīng)用.

【分析】（1）根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式即可；

（2）根據(jù)（1）中的函數(shù)關(guān)系式列不等式即可得到結(jié)論.

【解答】解：（1）當游泳次數(shù)為x時，方式一費用為：yi=30x+200,方式二的費用為：”=40x；

（2）由得：30x+200<40x,

解得20時，

當x>20時，選擇方式一比方式二省錢.

【點評】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條

件.

20.（9分）某“綜合與實踐”小組開展了測量本校旗桿高度的實踐活動.他們制訂了測量方案，并利用課余時間完成

了實地測量.他們在該旗桿底部所在的平地上，選取兩個不同測點，分別測量了該旗桿頂端的仰角以及這兩個測點

之間的距離.為了減小測量誤差，小組在測量仰角的度數(shù)以及兩個測點之間的距離時，都分別測量了兩次并取它們

的平均值作為測量結(jié)果，測量數(shù)據(jù)如下表（不完整）.

課題測量旗桿的高度

成員組長：XXX組員：XXX,XXX,XXX

測量工具測量角度的儀器，皮尺等

C

測量示意圖說明：線段G”表示

學(xué)校旗桿，測量角度

E的儀器的高度47=

BA

BD=\.5m,測點A,B

與，在同一條水平直

線上，A,3之間的距

離可以直接測得，且

點G,H,A,B,C,

。都在同一豎直平面

內(nèi)，點C,D,E在同

一條直線上，點E在

GH上.

測量數(shù)據(jù)測量項目第一第二平均

次次值

NGCE的度數(shù)25.6°25.8°25.7°

ZGDE的度數(shù)31.2°30.8°31°

A,8之間的距離5Am5.6m

???…

任務(wù)一：兩次測量4,8之間的距離的平均值是5.5m.

任務(wù)二：根據(jù)以上測量結(jié)果，請你幫助該“綜合與實踐”小組求出學(xué)校旗桿GH的高度.

(參考數(shù)據(jù):sin25.7°心0.4考cos25.7°=0.90,tan25.7°=0.48,sin31°心0.52,cos310-0.86,tan31°-0.60)

任務(wù)三：該“綜合與實踐”小組在制定方案時，討論過“利用物體在陽光下的影子測量旗桿的高度”的方案，但未

被采納.你認為其原因可能是什么？(寫出一條即可)

【考點】TA：解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題；U5：平行投影.

【分析】任務(wù)一：根據(jù)矩形的性質(zhì)得到EH=AC=1.5,CO=AB=5.5；

任務(wù)二：設(shè)EC=xm,解直角三角形即可得到結(jié)論；

任務(wù)三：根據(jù)題意得到?jīng)]有太陽光，或旗桿底部不可能達到等（答案不唯一）.

【解答】解：任務(wù)一：由題意可得，四邊形ACC8,四邊形ADE"是矩形，

：.EH=AC=\.5,CD=AB=5.5,

故答案為：5.5；

任務(wù)二：設(shè)EC=X"?,

在Rt^OEG中，Z￡)EC=90°,NG￡>E=31

在Rtz^CEG中，ZC￡G=90°,ZGCE=25.7°,

Vtan25.7°=或，CE=-----七-----,

CEtan25.7°

"：CD=CE-DE,

?X_X=<5

tan25.7°tan310

?*?x=13.2,

/.GH=CE+EH=13.2+1.5=14.7,

答：旗桿G”的高度為14.7米；

任務(wù)三：沒有太陽光，或旗桿底部不可能達到.

【點評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解

題的關(guān)鍵.

21.（8分）閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)：

萊昂哈德?歐拉（LeonhardEuler）是瑞士數(shù)學(xué)家，在數(shù)學(xué)上經(jīng)常見到以他的名字命名的重要常數(shù)，公式和定理，下

面就是歐拉發(fā)現(xiàn)的一個定理：在AABC中，R和/?分別為外接圓和內(nèi)切圓的半徑，。和/分別為其中外心和內(nèi)心，

貝IJ0尸=網(wǎng)_2Rf.

如圖1,。。和。/分別是△ABC的外接圓和內(nèi)切圓，。/與相切分于點F,設(shè)。。的半徑為R,的半徑為r,

外心o（三角形三邊垂直平分線的交點）與內(nèi)心/（三角形三條角平分線的交點）之間的距離0/=",則有￡=R2

-2Rr.

下面是該定理的證明過程（部分）：

延長A/交。。于點。，過點/作。0的直徑MN,連接CM,AN.

,:ND=/N,NDMI=NNA1（同弧所對的圓周角相等）.

:.叢MDls叢ANL：.IA?ID=IM*IN,①

IAIN

如圖2,在圖1（隱去MZ）,AN）的基礎(chǔ)上作。。的直徑。E,連接8E,BD,BI,IF.

是。。的直徑，所以N￡>8E=90°.

/與AB相切于點F,所以NAF/=90°,

:./DBE=NIFA.

?:NBAD=NE（同弧所對的圓周角相等），

"DEBD'

：.IA-BD=DE'IF@

任務(wù)：（1）觀察發(fā)現(xiàn)：/M=R+d,IN=R-d（用含R,d的代數(shù)式表示）；

（2）請判斷8。和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

（3）請觀察式子①和式子②，并利用任務(wù)（1）,（2）的結(jié)論，按照上面的證明思路，完成該定理證明的剩余部分;

（4）應(yīng)用：若△ABC的外接圓的半徑為5cm,內(nèi)切圓的半徑為2cm,則AABC的外心與內(nèi)心之間的距離為

【考點】MR：圓的綜合題.

【分析】（1）直接觀察可得；

（2）BD=