備考2024屆高考數(shù)學一輪復(fù)習講義第二章函數(shù)第7講函數(shù)的零點與方程的解

第7講函數(shù)的零點與方程的解課標要求命題點五年考情命題分析預(yù)測1.了解函數(shù)零點與方程解的關(guān)系.2.了解函數(shù)零點存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路并會畫程序框圖，能借助計算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性.判斷函數(shù)零點所在區(qū)間本講是高考的熱點，主要考查函數(shù)是否存在零點，判斷函數(shù)的零點個數(shù)，利用零點（方程實根）的存在情況求相關(guān)參數(shù)的范圍，題型以選擇題、填空題為主，有時與導(dǎo)數(shù)等知識綜合考查，一般難度較大.備考時，要掌握函數(shù)零點存在定理及數(shù)形結(jié)合思想.判斷函數(shù)的零點個數(shù)2021北京T15；2019全國卷ⅢT5函數(shù)零點的應(yīng)用2023天津T15；2022天津T15；2020天津T9；2019浙江T91.函數(shù)零點的概念對于函數(shù)y＝f（x），我們把使①f（x）＝0的實數(shù)x叫做函數(shù)y＝f（x）的零點.注意零點不是點，是滿足f（x）＝0的實數(shù)x.2.三個等價關(guān)系3.零點存在定理如果函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有④f（a）·f（b）＜0，那么，函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間⑤（a，b）內(nèi)至少有一個零點，即存在c∈（a，b），使得⑥f（c）＝0，這個c也就是方程f（x）＝0的解.注意（1）函數(shù)的零點存在定理只能判斷函數(shù)在某個區(qū)間上的變號零點，而不能判斷函數(shù)的不變號零點.（2）對于連續(xù)函數(shù)f（x），在[a，b]上，f（a）·f（b）＜0是f（x）在（a，b）上存在零點的充分不必要條件.規(guī)律總結(jié)（1）若圖象連續(xù)不斷的函數(shù)f（x）在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則函數(shù)f（x）至多有一個零點.（2）圖象連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個零點之間的所有函數(shù)值同號.4.二分法對于在區(qū)間[a，b]上圖象連續(xù)不斷且f（a）·f（b）＜0的函數(shù)y＝f（x），通過不斷地把它的⑦零點所在區(qū)間⑧一分為二，使所得區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法.思維拓展給定精確度ε，用二分法求函數(shù)y＝f（x）零點x0的近似值的一般步驟：1.確定零點x0的初始區(qū)間[a，b]，驗證f（a）f（b）＜0.2.求區(qū)間（a，b）的中點c.3.計算f（c），并進一步確定零點所在的區(qū)間：（1）若f（c）＝0（此時x0＝c），則c就是函數(shù)的零點；（2）若f（a）f（c）＜0（此時x0∈（a，c）），則令b＝c；（3）若f（c）f（b）＜0（此時x0∈（c，b）），則令a＝c.4.判斷是否達到精確度ε：若｜a－b｜＜ε，則得到零點近似值a（或b）；否則重復(fù)步驟2～4.1.下列說法正確的是（D）A.函數(shù)的零點就是函數(shù)的圖象與x軸的交點B.若函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點（函數(shù)圖象連續(xù)不斷），則f（a）·f（b）＜0C.二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c在b2－4ac≤0時沒有零點D.函數(shù)y＝f（x）的零點就是方程f（x）＝0的實數(shù)解2.函數(shù)y＝3x－lnx的零點所在區(qū)間是（BA.（3，4） B.（2，3） C.（1，2） D.（0，1）解析因為y＝3x在（0，＋∞）上單調(diào)遞減，y＝－lnx在（0，＋∞）上單調(diào)遞減，所以函數(shù)y＝3x－lnx在（0，＋∞）上單調(diào)遞減.又當x＝2時，y＝32－ln2＞0；當x＝3時，y＝1－ln3＜0，兩函數(shù)值異號，所以函數(shù)y＝3x－lnx的零點所在區(qū)間是（23.已知函數(shù)f（x）＝x2＋x－2，x≤0，－1+ln解析當x≤0時，由x2＋x－2＝0，得x＝－2.當x＞0時，由－1＋lnx＝0，得x＝e.所以f（x）的零點為－2，e.4.已知函數(shù)y＝f（x）的圖象是連續(xù)不斷的曲線，且有如下的對應(yīng)值表：x123456y124.433－7424.5－36.7－123.6則函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[1，6]上的零點至少有3個.解析依題意，f（2）＞0，f（3）＜0，f（4）＞0，f（5）＜0，根據(jù)零點存在定理可知，f（x）在區(qū)間（2，3），（3，4），（4，5）上均至少含有1個零點，故函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[1，6]上的零點至少有3個.研透高考明確方向命題點1判斷函數(shù)零點所在區(qū)間例1（1）[2024海南模擬]函數(shù)f（x）＝x＋sinx－2的零點所在區(qū)間為（B）A.（0，1） B.（1，2） C.（2，3） D.（3，4）解析因為f'（x）＝1＋cos≥0，所以f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增.因為f（1）＝－1＋sin1＜0，f（2）＝sin2＞0，所以函數(shù)f（x）的零點在（1，2）內(nèi).故選B.（2）函數(shù)f（x）＝log3x＋x－2的零點所在的區(qū)間為 （B）A.（0，1） B.（1，2） C.（2，3） D.（3，4）解析解法一函數(shù)f（x）＝log3x＋x－2的定義域為（0，＋∞），并且f（x）在（0，＋∞）上單調(diào)遞增.由題意知f（1）＝－1＜0，f（2）＝log32＞0，根據(jù)零點存在定理可知，函數(shù)f（x）＝log3x＋x－2有唯一零點，且零點在區(qū)間（1，2）內(nèi).故選B.解法二將判斷函數(shù)f（x）的零點所在的區(qū)間轉(zhuǎn)化為判斷函數(shù)g（x）＝log3x，h（x）＝－x＋2圖象交點的橫坐標所在的范圍.作出兩函數(shù)圖象如圖所示，可知f（x）的零點所在的區(qū)間為（1，2）.故選B.方法技巧確定函數(shù)零點所在區(qū)間的常用方法（1）利用函數(shù)零點存在定理：先看函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f（a）·f（b）＜0.（2）數(shù)形結(jié)合法：畫函數(shù)圖象，通過觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點來判斷，也可轉(zhuǎn)化為觀察兩個函數(shù)圖象在給定區(qū)間上是否有交點來判斷.訓練1若a＜b＜c，則函數(shù)f（x）＝（x－a）（x－b）＋（x－b）（x－c）＋（x－c）（x－a）的兩個零點分別位于區(qū)間（A）A.（a，b）和（b，c）內(nèi)B.（－∞，a）和（a，b）內(nèi)C.（b，c）和（c，＋∞）內(nèi)D.（－∞，a）和（c，＋∞）內(nèi)解析因為f（a）＝（a－b）（a－c）＞0，f（b）＝（b－c）（b－a）＜0，f（c）＝（c－a）（c－b）＞0，所以f（a）·f（b）＜0，f（b）·f（c）＜0，所以函數(shù)f（x）的兩個零點分別位于區(qū)間（a，b）和（b，c）內(nèi).故選A.命題點2判斷函數(shù)的零點個數(shù)例2（1）[全國卷Ⅲ]函數(shù)f（x）＝2sinx－sin2x在[0，2π]的零點個數(shù)為（B）A.2 B.3 C.4 D.5解析f（x）＝2sinx－2sinxcosx＝2sinx（1－cosx），令f（x）＝0，則sinx＝0或cosx＝1，所以x＝kπ（k∈Z），又x∈[0，2π]，所以x＝0或x＝π或x＝2π.故選B.（2）[2024江蘇蘇州常熟中學模擬]設(shè)定義域為R的函數(shù)f（x）＝｜lgx|,x>0，－x2－2x，x≤0，則關(guān)于x的函數(shù)y＝2fA.3 B.7 C.5 D.6解析根據(jù)題意，令2f2（x）－3f（x）＋1＝0，得f（x）＝1或f（x）＝12.作出yf（x），y＝1，y＝12由圖象可得f（x）的圖象與直線y＝1和y＝12分別有3個和4個交點，故關(guān)于x的函數(shù)y＝2f2（x）－3f（x）＋1的零點的個數(shù)為方法技巧判斷函數(shù)零點個數(shù)的方法（1）直接法：令f（x）＝0，解方程可得.（2）利用函數(shù)的零點存在定理：利用函數(shù)的零點存在定理結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)（如單調(diào)性、奇偶性）判斷.（3）圖象法：將判斷函數(shù)f（x）零點個數(shù)轉(zhuǎn)化為判斷函數(shù)f（x）的圖象與x軸交點的個數(shù)，或?qū)⒑瘮?shù)f（x）拆成兩個函數(shù)h（x）和g（x）的差的形式，判斷函數(shù)y＝h（x）和y＝g（x）的圖象的交點個數(shù).訓練2（1）定義在R上的函數(shù)y＝f（x）滿足f（x＋2）＝f（x），且x∈[－1，1]時，f（x）＝1－x2.若函數(shù)g（x）＝｜lgx|,x>0，ex，x≤0，則函數(shù)[－6，6]內(nèi)的零點個數(shù)為（B）A.14 B.13 C.12 D.11解析易得函數(shù)y＝f（x）是周期為2的函數(shù)，因為x∈[－1，1]時，f（x）＝1－x2，所以作出y＝f（x）的圖象，如圖所示.再作出函數(shù)g（x）＝｜lgx|,x>0，[2023河南省部分學校押題信息卷]設(shè)f（x）是定義在R上且周期為5的奇函數(shù)，f（3）＝0，則f（x）在[0，10]內(nèi)的零點個數(shù)最少是（D）A.4 B.6 C.7 D.9解析因為f（x）是定義在R上且周期為5的奇函數(shù)，所以f（0）＝f（5）＝f（10）＝0.又f（3）＝0，所以f（3）＝f（8）＝0，f（－3）＝f（2）＝f（7）＝0.f（－52）－f（52），f（－52）＝f（－52＋5）＝f（52），所以f（－52）＝f（52）＝0，f（152）＝f（52＋5）＝f（52）＝0，故零點至少有0，2，52，3，5，7，8，152，10，則f（命題點3函數(shù)零點的應(yīng)用角度1根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)的范圍例3函數(shù)f（x）＝4－x2，x≤2，log3（x－1),x>2，g（x）＝A.（22－6，0） B.（23－6，0）C.（－2，0） D.（25－6，0）解析作出函數(shù)f（x）＝4－x2，x≤2，log3（x－1),x>2的圖象，如圖所示.g（x）＝kx－3k＝k（x－3），故g（x）過定點（3，0），設(shè)過（3，0）且與y＝4－x2相切的直線為l，切點為P（x0，4－x02），x0＜2，因為y'＝－2x，所以切線的斜率為k＝－2x0＝4－x02x0－3，解得x0＝3－5或x0＝3＋角度2根據(jù)函數(shù)零點的范圍求參數(shù)的范圍例4已知函數(shù)f（x）＝3x－1+axx.若存在x0∈（－∞，－1），使得f（x0）＝0，則實數(shù)a的取值范圍是（BA.（－∞，43） B.（0，4C.（－∞，0） D.（43，＋∞解析由f（x）＝3x－1+axx＝0，可得a＝3x－1x.令g（x）＝3x－1x，x∈（－∞，－1）.由于存在x0∈（－∞，－1），使得f（x0）＝0，則函數(shù)g（x）的值域即為實數(shù)a的取值范圍.因為函數(shù)y＝3x和y＝－1x在區(qū)間（－∞，－1）上均單調(diào)遞增，所以函數(shù)g（x）在（－∞，－1）上單調(diào)遞增，所以g（x）＝3x－1x＜3－1＋1＝43，且g（x）＝g（x）的值域為（0，43），因此，實數(shù)a的取值范圍是（0，43方法技巧已知函數(shù)零點情況求參數(shù)取值范圍的方法（1）直接法：先直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式（組），再通過解不等式（組）確定參數(shù)的取值范圍.（2）分離參數(shù)法：將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題.（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，再在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，最后數(shù)形結(jié)合求解.角度3函數(shù)零點（或方程根）的和例5[2023廣東六校第一次聯(lián)考]定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（－x）＋f（x）＝0，f（x）＝f（2－x）；且當x∈[0，1]時，f（x）＝x3－x2＋x.則方程7f（x）－x＋2＝0所有的根的和為（A）A.14 B.12 C.10 D.8解析由f（－x）＋f（x）＝0，f（x）＝f（2－x）可得f（x）為奇函數(shù)，且圖象關(guān)于直線x＝1對稱，且易得f（x）的周期為4.當x∈[0，1]時，f（x）＝x3－x2＋x，此時f'（x）＝3x2－2x＋1＝3（x－13）2＋23＞f（x）＝x3－x2＋x在[0，1]上單調(diào)遞增.綜上，可畫出y＝f（x）的部分圖象如圖所示.方程7f（x）－x＋2＝0的根，即y＝f（x）與y＝17（x－2）的圖象的交點的橫坐標，作出直線l：y＝17（x－2），易知直線l也關(guān)于點（2，0）對稱且y＝f（x）與[－5，2），（2，9]上均有3個交點，且關(guān)于點（2，0）對稱，加上點（2，0）共7個交點，所以方程7f（x）－x＋2＝0所有的根的和為3×2×2＋2＝14.故選A.方法技巧解函數(shù)零點（或方程根）的和的問題的方法（1）把函數(shù)零點轉(zhuǎn)化為方程的根，通過解方程，求出方程的所有根，再求出這些根的和.（2）作出函數(shù)的草圖，通過函數(shù)的圖象的對稱性，得出函數(shù)零點的對稱性，從而求出這些零點的和.訓練3（1）[2023湖北省沙市中學模擬]若函數(shù)f（x）＝lnx＋x2＋a－1在區(qū)間（1，e）內(nèi)有零點，則實數(shù)a的取值范圍是（A）A.（－e2，0） B.（－e2，1）C.（1，e） D.（1，e2）解析函數(shù)f（x）的定義域為（0，＋∞），因為函數(shù)y＝lnx與y＝x2在（0，＋∞）上均單調(diào)遞增，所以函數(shù)f（x）＝lnx＋x2＋a－1在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，則由函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，e）內(nèi)有零點知f（1）f（e）＜0，即a（e2＋a）＜0，解得－e2＜a＜0，故選A.（2）[2024江西撫州模擬]已知函數(shù)f（x）＝2x+3，x≤[f（x）]2－f[f（x）]的所有零點之和為（D）A.2 B.3 C.0 D.1解析令t＝f（x），則h（t）＝t2－f（t），令h（t）＝0，可得t2＝f（t），當t＞0時，由t2＝f（t），可得t2＝（t－2）2，即－4t＋4＝0，解得t＝1；當t＜0時，由t2＝f（t），可得t2＝2t＋3，即t2－2t－3＝0，解得t＝－1或t＝3（舍去），所以t＝±1，即f（x）＝±1.當x＞0時，令（x－2）2＝1或（x－2）2＝－1（舍去），解得x＝1或x＝3；當x＜0時，令2x＋3＝1或2x＋3＝－1，解得x＝－1或x＝－2，所以函數(shù)g（x）＝[f（x）]2－f[f（x）]的零點之和為1＋3－1－2＝1.故選D.（3）[多選/2023廊坊模擬]已知函數(shù)f（x）＝｜x2＋3x＋1｜－a｜x｜，則下列結(jié)論正確的是（AC）A.若f（x）沒有零點，則a∈（－∞，0）B.若f（x）恰有2個零點，則a∈（1，5）C.