備考2024屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義第四章三角函數(shù)第4講簡(jiǎn)單的三角恒等變換

第4講簡(jiǎn)單的三角恒等變換課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測(cè)能運(yùn)用和、差、倍角公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換（包括推導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，這三組公式不要求記憶）.三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)2021新高考卷ⅠT6；2021全國(guó)卷甲T9本講每年必考，主要考查利用三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式以及和、差、倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值.題型以選擇題、填空題為主，有時(shí)在解答題中也有應(yīng)用，難度中等偏易.預(yù)計(jì)2025年高考命題趨勢(shì)變化不大，在復(fù)習(xí)備考時(shí)要掌握公式及其變形，并能靈活應(yīng)用，應(yīng)用時(shí)注意角和函數(shù)名的變換.三角函數(shù)式的求值2022浙江T13；2021新高考卷ⅠT6；2021全國(guó)卷乙T6；2020全國(guó)卷ⅠT9；2020全國(guó)卷ⅢT9；2019全國(guó)卷ⅡT10命題點(diǎn)1三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)例1（1）[2021全國(guó)卷甲]若α∈（0，π2），tan2α＝cosα2－sinα，則tanA.1515 B.55 C.53 解析因?yàn)閠an2α＝sin2αcos2α＝2sinαcosα1－2sin2α，且tan2α＝cosα2－sinα，所以2sinαcosα1－2sin2α＝cosα2－sin（2）化簡(jiǎn)：2cos2α－解析原式＝cos2α2tan（π4－α）方法技巧化簡(jiǎn)三角函數(shù)式的方法與技巧1.三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要遵循“三看”原則：一看角，二看名，三看式子結(jié)構(gòu)特征.2.化簡(jiǎn)時(shí)要注意觀察條件中角之間的聯(lián)系（和、差、倍、互余、互補(bǔ)等），尋找式子與三角函數(shù)公式間的聯(lián)系，找到變形方向.訓(xùn)練1[2021新高考卷Ⅰ]若tanθ＝－2，則sinθ（1+sin2θ）A.－65 B.－25 C.25 解析解法一因?yàn)閠anθ＝－2，所以sinθ（1+sin2θ）sinθ＋coscosθ）＝sin2θ＋sinθcosθsi解法二因?yàn)閠anθ＝－2，所以角θ的終邊在第二或第四象限，所以sinθ＝25，cosθ＝－15或sincosθ）＝sin2θ＋sinθcosθ＝45－25＝25命題點(diǎn)2三角函數(shù)式的求值角度1給角求值例2（1）sin50°（1＋3tan10°）＝1.解析sin50°（1＋3tan10°）＝sin50°（1＋tan60°tan10°）＝sin50°×cos60°cos10°＋sin60°sin10°cos60°cos10°＝sin50°×cos（60°－10（2）sin10°·sin30°·sin50°·sin70°＝116解析原式＝12cos20°·cos40°·cos80°＝sin20°·cos20°·cos40°·方法技巧給角求值問題的解題策略一般給出的角都是非特殊角，求解時(shí)要觀察所給角與特殊角的關(guān)系及三角函數(shù)名稱，然后進(jìn)行角的變換和式子結(jié)構(gòu)的變換，通過公式的正用、逆用及變形化簡(jiǎn)求值.注意當(dāng)式子中出現(xiàn)12，1，32，3等數(shù)時(shí)，要考慮引入特殊角，通過“值變角”角度2給值求值例3（1）[2022浙江高考]若3sinα－sinβ＝10，α＋β＝π2，則sinα＝31010，cos2β＝解析因?yàn)棣粒拢溅?，所以β＝π2－α，所以3sinα－sinβ＝3sinα－sin（π2－α）＝3sinα－cosα＝10sin（α－φ）＝10，其中sinφ＝1010，cosφ＝31010，所以α－φ＝π2＋2kπ，k∈Z，所以α＝π2＋φ＋2kπ，k∈Z，所以sinα＝sin（π2＋φ＋2kπ）＝cosφ＝31010，k∈Z.因?yàn)閟inβ＝3sinα－10＝－1010，所以cos2β＝（2）[江蘇高考]已知tanαtan（α＋π4）＝－2解析解法一tanαtan（α＋π4）＝tanα當(dāng)tanα＝2時(shí)，sin2α＝2sinαcosαsin2α＋cos2α＝2tanαtan2α+1＝45，cos2α＝cos2α－sin2αsin2α＋cos2α＝1－tan2αtan2α＋1＝－35，此時(shí)sin2α＋cos2α＝15.同理當(dāng)tanα解法二tanαtan（α＋π4）＝sinαcos（α＋π4）cosαsin（α＋π4）＝－23，則sinαcos（α＋π4）＝－23cosαsin（α＋π4），又22＝sin[（α＋π4）－α]＝sin（α＋π4）cosα－cos（α＋π4）·sinα＝53sin（α＋π4）cosα，則sin（α＋π4）cosα＝3210，則sin（2α＋π4）＝方法技巧給值求值問題的解題策略1.將待求式子化簡(jiǎn)整理，看需要求相關(guān)角的哪些三角函數(shù)值，然后根據(jù)已知條件和角的范圍求出相應(yīng)角的三角函數(shù)值，代入即可.2.把已知角與未知角建立聯(lián)系求解.求解時(shí)要注意，角的范圍不確定時(shí)應(yīng)分類討論.角度3給值求角例4（1）若sin2α＝55，sin（β－α）＝1010，且α∈[π4，π]，β∈[π，3π2]，則α＋βA.7π4 C.5π4或7π4 解析因?yàn)棣痢蔥π4，π]，所以2α∈[π2，2π].又sin2α＝55，所以2α∈（π2，π），α∈（π4，π2），所以cos2α＝－1－sin22α＝－255.因?yàn)棣隆蔥π，3π2]，所以α＋β∈（54π，2π），β－α∈（π2，5π4），所以cos（β－α）＝－1－sin2（β－α）＝－31010，所以cos（α＋β）＝cos[2α＋（β－α）]＝cos2αcos（β－α）－sin2α·sin（β－α）＝－（2）已知α，β為銳角，且（1－3tanα）（1－3tanβ）＝4，則α＋β＝2π3解析將（1－3tanα）（1－3tanβ）＝4展開，得－3（tanα＋tanβ）＝3（1－tanα·tanβ），即tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝tan（α＋β）＝－3，由于α，β為銳角，所以0＜α＋方法技巧給值求角問題的解題策略1.給值求角問題可轉(zhuǎn)化為給值求值問題，通過求角的某個(gè)三角函數(shù)值來(lái)求角（注意角的范圍），在選取函數(shù)時(shí)，遵循以下原則.（1）已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù).（2）已知正、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù).若角的范圍是（0，π2），選正、余弦函數(shù)皆可；若角的范圍是（0，π），選余弦函數(shù)較好；若角的范圍為（－π2，π注意所選函數(shù)盡量在確定的角的范圍內(nèi)單調(diào)，即一個(gè)函數(shù)值只對(duì)應(yīng)一個(gè)角，避免產(chǎn)生多解.2.準(zhǔn)確縮小角的范圍也是求解的關(guān)鍵.常見的縮小角范圍的方法：一是靈活運(yùn)用條件中角的取值范圍，運(yùn)用不等式的性質(zhì)（如“同向可加性”）求解；二是可以根據(jù)三角函數(shù)值的符號(hào)縮小角的范圍；三是可以把已知三角函數(shù)值與特殊角的三角函數(shù)值比較，縮到更小的范圍.訓(xùn)練2（1）[2024湖南省長(zhǎng)沙市第一中學(xué)模擬]已知0＜β＜α＜π2，且cos（α－β）＝1213，cos2β＝35，則cos（α＋β）＝（A.1665 B.3365 C.5665 解析由0＜β＜α＜π2，得0＜α－β＜π2，又cos（α－β）＝1213，所以sin（α－β）＝1－（1213）2＝513，因?yàn)?＜2β＜π，cos2β＝cos（α＋β）＝cos[（α－β）＋2β]＝cos（α－β）cos2β－sin（α－β）sin2β＝1213×35－513×45＝（2）[2024河南省南陽(yáng)市第一中學(xué)質(zhì)量評(píng)估]已知tanα＝17，sinβ＝1010，α，β∈（0，π2），則α＋2β＝解析因?yàn)閠anα＝17，α是銳角，所以0＜α＜π4，因?yàn)閟inβ＝1010，β為銳角，所以0＜β＜π4，0＜α＋2β＜3π4，因?yàn)閟inβ＝1010，所以cosβ＝31010，tanβ＝13，則tan2β＝2tanβ1－tan2β＝2×131－（13（3）（1＋tan20°）（1＋tan25°）＝2.解析由題意知，（1＋ta