7.6 用銳角三角函數(shù)解決問題 蘇科版數(shù)學九年級下冊導學課件

7.6用銳角三角函數(shù)解決問題第7章銳角三角函數(shù)逐點學練本節(jié)小結(jié)作業(yè)提升本節(jié)要點1學習流程2解坡角、坡度的應(yīng)用有關(guān)摩天輪旋轉(zhuǎn)高度的應(yīng)用有關(guān)仰角和俯角的應(yīng)用方向角的應(yīng)用知識點解坡角、坡度的應(yīng)用11.坡角與坡度(坡比)的定義(1)坡角：坡面與水平面所成的夾角，如圖7.6-1中的α.(2)坡度(坡比)：我們通常把坡面的垂直高度h

和水平寬度l

的比叫做坡度(坡比)(如圖7.6-1所示)，坡度(坡比)也可寫成i=h∶l的形式，在實際應(yīng)用中常表示成1∶x

的形式.特別提醒:①坡度是兩條線段的比值，不是度數(shù).②表示坡度時，通常把比的前項取作1，后項可以是小數(shù).③物體的傾斜程度通?？捎梦矬w的坡度表示，坡度越大，坡角越大，坡面越陡；反之，坡度越小，坡角越小，坡面越緩.2.坡度與坡角的關(guān)系i==tanα，即坡度是坡角的正切值，坡角越大，坡度也就越大.3.基本圖形及關(guān)系式4.解決實際問題的一般步驟(1)畫出平面圖形，將實際問題抽象為數(shù)學問題，轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題；(2)根據(jù)已知條件的特點，靈活選用銳角三角函數(shù)等知識解直角三角形；(3)得到數(shù)學問題的答案；(4)得到實際問題的答案.特別提醒:當實際問題中涉及的圖形可以直接轉(zhuǎn)化為直角三角形時，可利用解直角三角形的知識直接求解.例1某工程隊承包了一段鐵路的施工，該鐵路要經(jīng)過某一隧道，如圖7.6-2，已知隧道口分別為D，E，為了如期完工，需測量出DE

的長度，為此，該工程隊在山的一側(cè)選取適當?shù)狞cC，測得BC=200m，∠ABC=105°，∠C=45°，AD=18m，BE=32m，且A，D，E，B在同一條直線上，已知該工程限定時間為10天，該工程隊平均每天至少需要施工多少米？解題秘方：在建立的非直角三角形模型中，用“化斜為直法”解含公共直角邊的直角三角形.教你一招：解直角三角形的實際應(yīng)用問題的求解方法：①根據(jù)題目中的已知條件，將實際問題抽象為解直角三角形的數(shù)學問題，畫出平面幾何圖形，弄清已知條件中各量之間的關(guān)系；②若條件中有直角三角形，則直接選擇合適的三角函數(shù)關(guān)系求解即可；若條件中沒有直角三角形，一般需添加輔助線構(gòu)造直角三角形，再選用合適的三角函數(shù)關(guān)系求解.解：如圖7.6-2，過點B

作BF⊥AC

于點F，∵∠ABC=105°，∠C=45°，∴∠A=30°.在Rt△BFC中，∵sinC=，∴BF=BC·sinC=200×=100(m).在Rt△AFB

中，∵∠A=30°，∴AB=2BF=200m.又∵AD=18m，BE=3m，∴DE=AB－AD－BE=200－18－32=1502(m).∵150÷10=15(m)，∴該工程隊平均每天至少需要施工15m.知識點有關(guān)摩天輪旋轉(zhuǎn)高度的應(yīng)用2隨著摩天輪的旋轉(zhuǎn)，游客相對于地面的高度也發(fā)生著變化.如圖7.6-3所示，點C距離地面的高度CH

＝DA＝OA－OD＝OB＋AB－OD＝OB

＋AB

－OC?cos∠COD＝R＋AB

－

R?cos∠COD.特別提醒：類似問題很多，如蕩秋千問題、蹺蹺板問題、大風車問題等.如圖7.6-4，是一個勻速旋轉(zhuǎn)(指每分鐘旋轉(zhuǎn)的弧長或圓心角相同)的摩天輪的示意圖，O

為圓心，AB

為水平地面，假設(shè)摩天輪的直徑為80米，最低點C離地面的高度為6米，旋轉(zhuǎn)一周所用的時間為6分鐘，小明從點C

乘坐摩天輪，請問：解題秘方：緊扣“構(gòu)造法”構(gòu)造直角三角形求解.例2解法提醒:(1)設(shè)小明從點C乘坐摩天輪，經(jīng)過2分鐘后到達點E，延長CO與⊙O交于點F，過點E作EG⊥OF于點G，如圖7.6-4.根據(jù)旋轉(zhuǎn)一周所用的時間為6分鐘，小明從點C乘坐摩天輪經(jīng)過2分鐘，可知∠COE=120°，根據(jù)平角的定義可知∠GOE=60°，根據(jù)三角函數(shù)可求出OG的長，進而求出小明離開地面的高度；(2)根據(jù)圓的面積公式可求.解：設(shè)小明從點C

乘坐摩天輪，經(jīng)過2分鐘后到達點E，延長CO

與⊙O

交于點F，過點E

作EG⊥OF于點G，如圖7.6-4，根據(jù)旋轉(zhuǎn)一周所用的時間為6分鐘，小明從點C乘坐摩天輪經(jīng)過2分鐘，可知∠COE=120°，∴∠GOE=60°.在Rt△EOG

中，OG=OE×cos∠GOE=×80×cos60°=20(米).∴DG=CD+CO+OG=6+×80+20=66(米).答：小明離開地面的高度是66米.(1)經(jīng)過2分鐘后，小明離開地面的高度是多少米？解：∵80+6=86(米)，86米=0.086千米，∴π≈28(平方千米).答：他看到的地面景物大約有28平方千米.(2)若小明到了最高點，在視線沒有阻擋的情況下能看到周圍3千米遠的景物，則他看到的地面景物有多大面積？(精確到1平方千米)知識點有關(guān)仰角和俯角的應(yīng)用31.仰角和俯角的定義在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角，視線在水平線下方的角叫做俯角.2.示圖(如圖7.6-5)3.基本圖形及關(guān)系式特別提醒:●仰角和俯角是視線相對于水平線而言的，不同位置的仰角和俯角是不同的，可巧記為“上仰下俯”.●實際問題中遇到仰角或俯角時，要放在直角三角形中或轉(zhuǎn)化到直角三角形中，注意確定水平線.問題中有兩個或兩個以上的直角三角形，當其中一個直角三角形不能求解時，可考慮分別由兩個直角三角形找出含有相同未知元素的關(guān)系式，運用方程求解.如圖7.6-6，在數(shù)學活動課中，小敏為了測量校園內(nèi)旗桿CD

的高度，先在教學樓的底端A

處，觀測到旗桿頂端C的仰角∠CAD=60°，然后爬到教學樓上的B處，觀測到旗桿底端D

的俯角是30°，已知AB

高4米.例3解題秘方：將實際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題求解.方法點撥：求解有關(guān)仰角與俯角的問題，關(guān)鍵是根據(jù)仰角、俯角的定義畫出水平線，找準視角，建立數(shù)學模型后構(gòu)造直角三角形，并結(jié)合圖形利用銳角三角函數(shù)解直角三角形.解：∵在教學樓上的B

處觀測旗桿底端D的俯角是30°，∴∠ADB=30°.在Rt△ABD

中，∵∠BAD=90°，∠ADB=30°，AB=4米，因此，教學樓與旗桿的水平距離AD

是4米.(1)求教學樓與旗桿的水平距離AD；(結(jié)果保留根號)解：在Rt△ACD

中，∵∠ADC=90°，∠CAD=60°，AD=4米，∴CD=AD·tan60°=4×=12(米).因此，旗桿CD的高度是12米.(2)求旗桿CD的高度.知識點方向角的應(yīng)用41.方向角的定義指北或指南的方向線與目標方向線所成的小于90°的角叫做方向角.特別警示：方向角和方位角不同，方位角是指從某點的指北方向線起，按順時針方向到目標方向線之間的水平夾角，變化范圍為0°~360°，而方向角的變化范圍是0°~90°2.示圖如圖7.6-7所示，目標方向線OA，OB，OC

的方向角分別可以表示為北偏東30°、南偏東45°、北偏西30°，其中南偏東45°習慣上又叫做東南方向，北偏東45°習慣上又叫做東北方向，北偏西45°習慣上又叫做西北方向，南偏西45°習慣上又叫做西南方向.特別提醒：①因為方向角是指北或指南方向線與目標方向線所成的角，所以方向角通常都寫成“北偏……”“南偏……”的形式.②解決實際問題時，可利用正南、正北、正西、正東方向線構(gòu)造直角三角形來求解.③觀測點不同，所得的方向角也不同，但各個觀測點的南北方向線是互相平行的，通常借助于此性質(zhì)進行角度轉(zhuǎn)換.為了維護海洋權(quán)益，新組建的國家海洋局加大了在南海的巡邏力度，一天，我國兩艘海監(jiān)船剛好在我國某島東西海岸線上的A，B兩處巡邏，同時發(fā)現(xiàn)一艘不明國籍的船只停在C

處海域，如圖7.6-8所示，AB=60海里，在B

處測得C

在北偏東45°的方向上，在A

處測得C

在北偏西30°的方向上，在海岸線AB

上有一燈塔D，測得AD=120海里.例4解題秘方：建立數(shù)學模型后，用“化斜為直”法，將斜三角形問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題求解.解：如圖7.6-8，過點C作CE⊥AB于點E，可得∠ACE=30°，∠BCE=45°，設(shè)AE=x

海里，則在Rt△ACE中，CE=x海里，AC=2x海里，在Rt△BCE中，BE=CE=x海里，BC=x海里.∵AB=AE+BE，∴x+x=60()，解得x=60.∴AC=120海里，BC=120海里(1)分別求出A與C

及B與C

的距離AC，BC；(結(jié)果保留根號)(2)已知在燈塔D

周圍100海里范圍內(nèi)有暗礁群，在A

處的海監(jiān)船沿AC前往C

處盤查，途中有無觸礁的危險？(參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73，≈2.45)解：如圖7.6-8，過點D

作DF⊥AC

于點F.易知∠DAF=60°.在Rt△AFD中，∵DF=DA·sin60°=×120()=60(3)≈106.8(海里)>100海里，∴途中無觸礁的危險.解法提醒：求解是否觸礁或是否受臺風或噪聲影響等問題的方法：一般都是求出暗