常微分方程的常見解法課件

一、向量場設(shè)一階微分方程

滿足解的存在唯一性定理的條件。平面的一個區(qū)域的右端函數(shù)在中有定義,中任一點(diǎn)的一個解，滿足從幾何方面看，解就是通過點(diǎn)的一條常微分方程的解法介紹常微分方程的常見解法曲線（稱為積分曲線），且就是該曲線上的點(diǎn)處的切線斜率，特別在切線斜率解，但我們知道它的解曲線在區(qū)域D中任意點(diǎn)的切線斜率是。就是盡管我們不一定能求出方程的如果我們在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)處，都畫上一個就得到一個方向場，將這個方向場稱為由微分方程所確定的向量場。的值為斜率中心在以點(diǎn)的線段，我們常微分方程的常見解法它所確定的向量場中的一條曲線，該曲線所經(jīng)過的從幾何上看，方程的一個解就是位于每一點(diǎn)都與向量場在這一點(diǎn)的方向相切。行進(jìn)的曲線，因此，求方程滿足初始值的這樣的一條曲線。的解，就是求通過點(diǎn)形象的說，解就是始終沿著向量場中的方向

向量場對于求解微分方程的近似解和研究微分方程的幾何性質(zhì)極為重要，因?yàn)椋筛鶕?jù)向量場的走向來近似求積分曲線，同時(shí)也可根據(jù)向量場本身的性質(zhì)來研究解的性質(zhì)。常微分方程的常見解法例1.3.1

在區(qū)域

內(nèi)畫出方程的向量場和幾條積分曲線。解：用計(jì)算各點(diǎn)的斜率的方法手工在網(wǎng)格點(diǎn)上畫出向量場的方向可以得到向量場，但手工繪圖誤差較大。我們可以用Maple軟件包來完成。點(diǎn)的向量相重合。L在每點(diǎn)均與向量場的向量相切。在L上任一點(diǎn)，L的切線與所確定的向量場在該

定理1.3L為的積分曲線的充要條件是：曲線常微分方程的常見解法Maple指令：DEtools[phaseportrait]#畫向量場及積分曲線([diff(y(x),x)=-y(x)],y(x),#定義微分方程x=-2..2,#指定x范圍[[y(-2)=2],[y(-2)=1],[y(-2)=-2]],#給出3個初始值dirgrid=[17,17],#定義網(wǎng)格密度arrows=LINE,#定義線段類型axes=NORMAL);#定義坐標(biāo)系類型在MATLAB的向量場命令為quiver(x,y,px,py)常微分方程的常見解法回車后Maple就在條積分曲線，見下圖的圖形，并給出了過點(diǎn)的網(wǎng)格點(diǎn)上畫出了向量場的三常微分方程的常見解法所謂圖解法就是不用微分方程解的具體表達(dá)式，直接根據(jù)右端函數(shù)的結(jié)構(gòu)和向量場作出積分曲線的大致圖形。圖解法只是定性的，只反映積分曲線的一部分主要特征。該方法的思想?yún)s十分重要。因?yàn)槟軌蛴贸醯确椒ㄇ蠼獾姆匠虡O少，用圖解法來分析積分曲線的性態(tài)對了解該方程所反映的實(shí)際現(xiàn)象的變化規(guī)律就有很重要的指導(dǎo)意義。二、積分曲線的圖解法常微分方程的常見解法三、一階常微分方程的解法1線性方程2變量可分離方程3全微分方程4變量替換法5一階隱式方程6近似解法7一階微分方程的應(yīng)用常微分方程的常見解法初值問題的解為

初值問題

的解為

常微分方程的常見解法Bernoulli方程求出此方程通解后,令解法:伯努利方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:除方程兩邊,得換回原變量即得伯努利方程的通解。常微分方程的常見解法例湖泊的污染設(shè)一個化工廠每立方米的廢水中含有3.08kg鹽酸，這些廢水流入一個湖泊中，廢水流入的速率20立方米每小時(shí).開始湖中有水400000立方米.河水中流入不含鹽酸的水是1000立方米每小時(shí),湖泊中混合均勻的水的流出的速率是1000立方米每小時(shí),求該廠排污1年時(shí),湖泊水中鹽酸的含量。解:設(shè)t時(shí)刻湖泊中所含鹽酸的數(shù)量為考慮內(nèi)湖泊中鹽酸的變化。常微分方程的常見解法因此有該方程有積分因子兩邊同乘以后,整理得常微分方程的常見解法積分得利用初始條件得常微分方程的常見解法當(dāng)

,得

變量可分離方程的求解方程（2.2.1）兩邊同除以

這樣對上式兩邊積分得到常微分方程的常見解法齊次函數(shù):函數(shù)稱為m次齊次函數(shù),如果齊次方程:形如的方程稱為齊次方程。引入一個新變量化為變量可分離方程求解思想:求解。齊次方程常微分方程的常見解法可化為齊次方程的方程形如的方程可化為齊次方程.其中都是常數(shù).1.當(dāng)時(shí),此方程就是齊次方程.2.當(dāng)時(shí),并且(1)常微分方程的常見解法此時(shí)二元方程組有惟一解引入新變量此時(shí),方程可化為齊次方程:常微分方程的常見解法(2)若則存在實(shí)數(shù)使得:或者有不妨是前者,則方程可變?yōu)榱顒t常微分方程的常見解法4.對特殊方程令則常微分方程的常見解法例求方程

的通解。解：解方程組得令代入原方程可得到齊次方程令得常微分方程的常見解法還原后得原方程通解為變量分離后積分常微分方程的常見解法例:雪球融化問題設(shè)雪球在融化時(shí)體積的變化率與表面積成比例，且融化過程中它始終為球體，該雪球在開始時(shí)的半徑為6cm，經(jīng)過2小時(shí)后，其半徑縮小為3cm。求雪球的體積隨時(shí)間變化的關(guān)系。解:設(shè)t時(shí)刻雪球的體積為

，表面積為

，球體與表面積的關(guān)系為

變量可分離方程的應(yīng)用由題得常微分方程的常見解法引入新常數(shù)再利用題中的條件得分離變量積分得方程得通解為再利用條件確定出常數(shù)C和r代入關(guān)系式得t的取值在之間。常微分方程的常見解法中連續(xù)且有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則定理2.1

設(shè)函數(shù)和在一個矩形區(qū)域是全微分方程的充要條件為:（2.3.3)方程為全微分方程的充要條件常微分方程的常見解法例：驗(yàn)證方程是全微分方程，并求它的通解。由于3.全微分方程的積分解：當(dāng)一個方程是全微分方程時(shí),我們有三種解法.(1)線積分法:或常微分方程的常見解法由公式(2.3.4)得:故通解為其中為任意常數(shù)所以方程為全微分方程。常微分方程的常見解法(2)偏積分法的通解.例：求方程由于解：假設(shè)所求全微分函數(shù)為,則有求常微分方程的常見解法而即從而即常微分方程的常見解法例：驗(yàn)證方程是全微分方程，并求它滿足初始條件：的解。解：所以方程為全微分方程。由于由于(3)湊微分法常微分方程的常見解法方程的通解為：利用條件得最后得所求初值問題得解為：根據(jù)二元函數(shù)微分的經(jīng)驗(yàn),原方程可寫為常微分方程的常見解法四、微分方程的近似解法用一些函數(shù)去近似微分方程的解在一些點(diǎn)上計(jì)算方程解的近似值逐次迭代法Taylor級數(shù)法Euler折線法Runge-Kutta法常微分方程的常見解法能得到解析解的方程：

線性方程、變量可分離的方程、全微分方程以及能通過各種方法化為這些類型的方程.絕大部分方程無法求得解析解，一些近似解法也對實(shí)際問題的解決有很大幫助，我們需要討論在得不到解析解時(shí)尋求近似解的方法。常微分方程的常見解法對初始值問題構(gòu)造迭代序列該序列一致收斂到解，故迭代一定次數(shù)后就可以作為一個近似1、逐次迭代法常微分方程的常見解法……

解：該初值問題近似解的迭代序列如下例求初值問題的近似解常微分方程的常見解法迭代的誤差(|x|<n)常微分方程的常見解法例：求初始值問題解的迭代序列的前三項(xiàng)

解：該初始值問題等價(jià)的積分方程為其迭代序列的前三項(xiàng)為常微分方程的常見解法

利用Maple軟件可以求出更多的項(xiàng)

y[0]:=1;forjfrom1to4doy[j]:=1+int(x^2+y[j-1]^2,x=0..x);enddo;常微分方程的常見解法近似程度的顯示

y[0]:=1;forjfrom1to7doy[j]:=1+int(x^2+y[j-1]^2,x=0..x):enddo:plot({y[0],y[1],y[2],y[3],y[4],y[5],y[6],y[7]},x=-0.9..0.9);

常微分方程的常見解法Taylor級數(shù)法

設(shè)初始值問題的解可以在的鄰域內(nèi)展開為收斂冪級數(shù)則就是解的一個近似值解函數(shù)在點(diǎn)的值及各階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算：常微分方程的常見解法例：用Tailor級數(shù)法求初始值

問題的近似解。

解：計(jì)算解函數(shù)在x=0點(diǎn)的函數(shù)值和各階導(dǎo)數(shù)值得所以，該初始值問題的近似解為常微分方程的常見解法用Maple處理restart:ode1:=diff(y(x),x)-x^2-y(x)^2=0;forjfrom1to7doOrder:=j*2:dsolve({ode1,y(0)=1},y(x),type=series);sol[j]:=rhs(%):enddo:forjfrom1to7doy[j]:=sol[j];enddo;常微分方程的常見解法運(yùn)行后的結(jié)果常微分方程的常見解法用Maple處理并用圖形顯示restart:ode1:=diff(y(x),x)-x^2-y(x)^2=0;forjfrom1to7doOrder:=j*2;convert(dsolve({ode1,y(0)=1},y(x),type=series),polynom):sol[j]:=rhs(%):enddo:plot({sol[1],sol[2],sol[3],sol[4],sol[5],sol[6],sol[7]},x=-1..1);常微分方程的常見解法在區(qū)間[-1,1]

的近似情況常微分方程的常見解法在區(qū)間[-0.5,0.5]

內(nèi)的近似情況常微分方程的常見解法設(shè)初始值問題的解在可以展開為冪級數(shù)代入初始條件方程后得展開后比較兩端同次冪的系數(shù)確定待定系數(shù)法常微分方程的常見解法例：用待定系數(shù)法求解：令由由得得于是的近似解。常微分方程的常見解法

計(jì)算出解函數(shù)在一系列節(jié)點(diǎn)處的近似值,節(jié)點(diǎn)間距

在這些節(jié)點(diǎn)上采用離散化方法，（通常用數(shù)值積分、微分、泰勒展開等）將上述初值問題化成關(guān)于離散變量的相應(yīng)問題。把這個相應(yīng)問題的解yn作為y(xn)的近似值。這樣求得的yn就是上述初值問題在節(jié)點(diǎn)xn上的數(shù)值解。Euler折線法為步長，通常采用等距節(jié)點(diǎn).常微分方程的常見解法Euler折線法記為近似導(dǎo)數(shù)常微分方程的常見解法常微分方程的常見解法利用Taylor公式這樣計(jì)算的誤差是h的二階無窮小量常微分方程的常見解法改進(jìn)的Euler折線法常微分方程的常見解法

利用計(jì)算機(jī)編程給出步長和初始值循環(huán)計(jì)算各點(diǎn)上函數(shù)的近似值顯示結(jié)果例求初始值問題的數(shù)值解具體實(shí)現(xiàn)常微分方程的常見解法printlev1:=0:h:=0.1:x[0]:=0:y[0]:=0.5:z[0]:=0.5:f1:=(x,y)->1+(y-x)^2;f2:=(x,y)->2*(x-y)+2*(y-x)*(1+(y-x)^2);fornfrom0to9dox[n+1]:=h*(n+1);y[n+1]:=y[n]+h*f1(x[n],y[n]);z[n+1]:=z[n]+h*f1(x[n],z[n])+h^2*f2(x[n],z[n])/2;u[n+1]:=x[n+1]+1/(2-x[n+1]);print(x[n+1],y[n+1],z[n+1],u[n+1]);od:可以改變步長和增加分點(diǎn)來觀察計(jì)算精度的變化情況常微分方程的常見解法常微分方程的常見解法對于常微分方程的邊值問題的解即----------(1)

Runge-Kutta(龍格-庫塔)法Runge-Kutta方法的導(dǎo)出有上使用微分中值定理,在區(qū)間常微分方程的常見解法----------(2)引入記號的近似值K。就可得到相應(yīng)的----------(3)Runge-Kutta方法即(3)式只要使用適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蟪鰕(x)上平均斜率在區(qū)間K可以認(rèn)為是在區(qū)間上的平均斜率。常微分方程的常見解法低階Runge-Kutta方法如下圖即則(4)式化為即Euler方法Euler方法也稱為一階Runge-Kutta方法由于----(4)常微分方程的常見解法(由(4)式)令則(3)式化為常微分方程的常見解法-----------(5)稱為二階Runge-Kutta法常微分方程的常見解法高階Runge-Kutta方法未知常微分方程的常見解法令令)(2111--nnxyKx預(yù)測處的斜率如果以常微分方程的常見解法取則-----------(6)(6)式稱為三階Runge-Kutta方法常微分方程的常見解法還可構(gòu)造四階(經(jīng)典)Runge-Kutta方法四階(經(jīng)典)Runge=Kutta方法有4階精度常微分方程的常見解法例求初始值問題的數(shù)值解

利用四階Runge=Kutta方法計(jì)算機(jī)編程給出步長和初始值循環(huán)計(jì)算各點(diǎn)上函數(shù)的近似值顯示結(jié)果常微分方程的常見解法printlev1:=0:h:=0.1:x[0]:=0:y[0]:=0.5:f:=(x,y)->1+(y-x)^2;fornfrom1to10dox[n]:=h*n;k1:=f(x[n-1],y[n-1]);k2:=f(x[n-1]+h/2,y[n-1]+k1*h/2);k3:=f(x[n-1]+h/2,y[n-1]+k2*h/2);k4:=f(x[n-1]+h,y[n-1]+k3*h);y[n]:=y[n-1]+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;u[n]:=x[n]+1/(2-x[n]);print(x[n],y[n],u[n]);od:常微分方程的常見解法運(yùn)行結(jié)果常微分方程的常見解法適應(yīng)范圍與變化率有關(guān)的各種實(shí)際問題應(yīng)用三步曲

(1)建模即根據(jù)實(shí)際問題建立起適當(dāng)?shù)奈⒎址匠?，給出其定解條件.(2)求解求出所建立的微分方程的解

(3)翻譯用所得結(jié)果來解釋一些現(xiàn)象，或?qū)栴}的解決提出建議或方法常微分方程的常見解法建議:模型要詳略得當(dāng)

在用微分方程解決實(shí)際問題的過程中一定要意識到實(shí)際問題是十分復(fù)雜的，微分方程只能是在一定程度上對問題的一種近似描述，只要結(jié)果的誤差在一定范圍內(nèi)即可.任何模型都不可能把影響問題的所有因素都反映在微分方程中，或者要求所得結(jié)果十分精確.一個好的微分方程模型是在實(shí)際問題的精確性和數(shù)學(xué)處理的可能性之間的一個平衡.常微分方程的常見解法

有一段時(shí)間,美國原子能委員會(現(xiàn)為核管理委員會)是這樣處理濃縮放射性廢物的,他們把這些廢物裝入密封性能很好的圓桶中,然后扔到水深300英尺的海里。這種做法是否會造成放射性污染,很自然地引起了生態(tài)學(xué)家及社會各界的關(guān)注。原子能委員會一再保證,圓桶非常堅(jiān)固,決不會破漏,這種做法是絕對安全的。然而一些工程師們卻對此表示懷疑,他們認(rèn)為圓桶在和海底相撞時(shí)有可能發(fā)生破裂。而原子能委員會有專家們則仍然堅(jiān)持自己的看法。于是,雙方展開了一場筆墨官司。究竟誰的意見正確呢?看來只能讓事實(shí)說話了。問題的關(guān)鍵在于圓桶到底能承受多大速度的碰撞,圓桶和海底碰撞時(shí)的速度有多大?放射性廢物的處理

常微分方程的常見解法

大量破壞性實(shí)驗(yàn),發(fā)現(xiàn)圓桶在40英尺／秒的沖撞下會發(fā)生破裂,剩下的問題就是計(jì)算圓桶沉入300英尺深的海底時(shí),其末速度究竟有多大了。美國原子能委員會使用的是55加侖的圓桶,裝滿放射性廢物時(shí)的圓桶重量為W＝527.436磅,而在海水中受到的浮力B＝470.327磅。此外,下沉?xí)r圓桶還要受到海水的阻力,阻力D＝Ｃv,其中C為常數(shù)。工程師們做了大量實(shí)驗(yàn),測得C＝0.08?，F(xiàn)在,取一個垂直向下的坐標(biāo),并以海平面為坐標(biāo)原點(diǎn)(ｙ＝0)。于是,根據(jù)牛頓第二定律建立圓桶下沉?xí)r應(yīng)滿足方程

質(zhì)量·加速度=重力-浮力-摩擦阻力

常微分方程的常見解法模型及其解oymgBD常微分方程的常見解法困難：無法知道下沉到海底的時(shí)間常微分方程的常見解法積分和代入初始條件得：最后再用數(shù)值計(jì)算可以得到水深300時(shí)的速度大小。常微分方程的常見解法

借助數(shù)值方法求出v(300)的近似值。計(jì)算結(jié)果表明,

v(300)≈45.1英尺／秒＞40英尺／秒。

工程師們的猜測是正確的,他們打贏了這場官司?，F(xiàn)在,美國原子能委員會已改變了他們處理放射性廢物的方法,并明確規(guī)定禁止將放射性廢物拋入海中。

常微分方程的常見解法

一橫截面積為常數(shù)A,高為H的水池內(nèi)盛滿了水,由池底一橫截面積為B的小孔放水.求在任意時(shí)刻的水面高度和將水放空所需的時(shí)間.例：水的流出時(shí)間常微分方程的常見解法

：有高為1米的半球形容器,水從它的底部小孔流出,小孔橫截面積為1平方厘米(如圖).開始時(shí)容器內(nèi)盛滿了水,求水從小孔流出過程中容器里水面的高度h(水面與孔口中心間的距離)隨時(shí)間t的變化規(guī)律.例解：由力學(xué)知識得,水從孔口流出的流量為流量系數(shù)孔口截面面積重力加速度值得進(jìn)一步探討的問題:不同的形狀常微分方程的常見解法設(shè)在微小的時(shí)間間隔水面的高度由h降至,比較(1)和(2)得:常微分方程的常見解法即為未知函數(shù)的微分方程.可分離變量所求規(guī)律為常微分方程的常見解法值得進(jìn)一步探討的問題:漏斗型的容器

由于水的張力的原因，每次水都無法全部留盡，總會剩一小部分在容器中。如何才能讓水盡可能少的留在容器中？我們知道，水與容器接觸的面積越大，留在容器中的水就越多先討論一下漏斗的模型。y

常微分方程的常見解法容器的位置

可否將容器傾斜，使上部的面積大于下部的面積，使水流的速度更快？傾斜角度？常微分方程的常見解法容器的運(yùn)動狀態(tài)

容器的運(yùn)動狀態(tài)對流水的速度是肯定會造成影響的，考慮極限的狀態(tài)，如果容器以大于等于當(dāng)?shù)刂亓铀俣鹊募铀俣蓉Q直向下運(yùn)動，那么，容器里的水就不會流出。容器以不同的方式運(yùn)動時(shí)對水的流出時(shí)間有多少影響？有沒有一種運(yùn)動狀態(tài)能加快水流的速度呢？常微分方程的常見解法渦流的影響

渦流對水流的速度是有一定影響的。拿一個水桶反復(fù)做這樣的試驗(yàn)：首先將桶裝滿水，記錄水面的高度，然后拔出塞住孔口的塞子，讓水自然從桶破了的孔中流出，測量流出的時(shí)間，然后反復(fù)從同一高度作相同的試驗(yàn)，最后求出水自然流盡所需時(shí)間的平均值；然后從同一高度作相同的試驗(yàn)，不同的是用一根棍子繞同一方向在水中攪動，使其產(chǎn)生渦流，然后重復(fù)上面的步驟。最后發(fā)現(xiàn)通過兩種方法測得的水流盡所需時(shí)間的平均值有較大的差距，于是猜想有無渦流或許對水流的速度也是有一定影響的。常微分方程的常見解法五、高階常系數(shù)齊次線性方程

（3.3.5）(其中為常數(shù))為n階常系數(shù)齊次線性方程.常微分方程的常見解法的根。方程（3.3.7）稱為方程（3.3.5）的特征方程，它的根稱為方程（3.3.5）的特征根.（3.3.7）1.特征根為單根

設(shè)是（3.3.7）的n個不相同根，則對應(yīng)方程（3.3.5）有n個解（3.3.8）常微分方程的常見解法求方程（3.3.5）的通解的一般步驟：第一步求方程的特征方程及特征根

第二步計(jì)算方程相應(yīng)的解

a)對每一個單實(shí)根有解b)對每一個m>1重實(shí)根方程有m個解常微分方程的常見解法c)對每一個重?cái)?shù)為1的共軛復(fù)根

方程有兩個如下形