北師大版九年級數(shù)學上冊基礎知識專項講練 專題1.5 矩形的性質(zhì)與判定（知識講解）

專題1.5矩形的性質(zhì)與判定（知識講解）【學習目標】1.理解矩形的概念；2.掌握矩形的性質(zhì)定理與判定定理；3.掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半；4.能力要求：利用矩形的性質(zhì)解決折疊問題、最值問題、坐標系下的矩形問題?！疽c梳理】要點一、矩形的定義有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.特別說明：矩形定義的兩個要素：①是平行四邊形；②有一個角是直角.即矩形首先是一個平行四邊形，然后增加一個角是直角這個特殊條件.要點二、矩形的性質(zhì)矩形的性質(zhì)包括四個方面：1.矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)；2.矩形的對角線相等；3.矩形的四個角都是直角；4.矩形是軸對稱圖形，它有兩條對稱軸.特別說明：（1）矩形是特殊的平行四邊形，因而也是中心對稱圖形.過中心的任意直線可將矩形分成完全全等的兩部分.（2）矩形也是軸對稱圖形，有兩條對稱軸（分別通過對邊中點的直線）.對稱軸的交點就是對角線的交點（即對稱中心）.（3）矩形是特殊的平行四邊形，矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)，從而矩形的性質(zhì)可以歸結為從三個方面看：從邊看，矩形對邊平行且相等；從角看，矩形四個角都是直角；從對角線看，矩形的對角線互相平分且相等.要點三、矩形的判定矩形的判定有三種方法：1.定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.2.對角線相等的平行四邊形是矩形.3.有三個角是直角的四邊形是矩形.特別說明：在平行四邊形的前提下，加上“一個角是直角”或“對角線相等”都能判定平行四邊形是矩形.要點四、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.特別說明：（1）直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)是矩形性質(zhì)的推論.性質(zhì)的前提是直角三角形，對一般三角形不可使用.（2）學過的直角三角形主要性質(zhì)有：①直角三角形兩銳角互余；②直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；③直角三角形中30°所對的直角邊等于斜邊的一半.（3）性質(zhì)可以用來解決有關線段倍分的問題.【典型例題】類型一、矩形性質(zhì)的理解1．已知，如圖，四邊形ABCD是矩形，AD＞AB．(1)請用無刻度的直尺和圓規(guī)在AD上找一點E，使得EC平分∠BED；（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，若AB＝3，DE＝1，求△BEC的面積．【答案】(1)見分析(2)△BEC的面積為7.5．【分析】（1）以B為圓心，BC長為半徑畫弧交AD于點E即可；（2）由（1）可得BC=BE，設BC=x，則AE=x-1，根據(jù)勾股定理即可求出x，進而求出△BEC的面積．(1)解：如圖，以B為圓心，BC長為半徑畫弧交AD于點E；(2)解：由（1）可知BC=BE，設BC=x，則AE=x-1，在△ABE中，∠A=90°，∴AB2+AE2=BE2，故32+（x-1）2=x2，解得x=5，∴△BEC的面積為×5×3=7.5．【點撥】本題考查了作圖-復雜作圖、矩形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，解決本題的關鍵是掌握矩形的性質(zhì)．【變式1】矩形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是（

）A．兩組對邊分別平行 B．對角線相等C．對角線互相垂直 D．對角線平分一組對角【答案】B【分析】根據(jù)矩形和菱形的性質(zhì)得出即可．解：A．因為矩形與菱形都是特殊的平行四邊形，所以矩形與菱形的兩組對邊分別平行，故A不符合題意；B．矩形的對角線相等，而菱形不是，故B符合題意；C．菱形的對角線對角線互相垂直，而矩形不是，故C不符合題意；D．菱形的對角線平分對角，而矩形不是，故D不符合題意；故選：B．【點撥】本題考查了矩形與菱形的性質(zhì)，解題的關鍵是熟練掌握矩形與菱形的性質(zhì)．【變式2】如圖，在五邊形ABCDE中，，，，連接CE，BD．若且，則的面積為______．【答案】【分析】作出BC邊上的垂線DF和EG，DF無法直接計算，DF是△CDF的一條邊，而△EGC和△CDF已有邊CE=CD，∠EGC=∠CFD=90°，若兩三角形全等便可求出DF的長．解：如下圖過E作EG⊥BC于G，過D作DF⊥BC延長線于F，∵∠A=∠ABC=90°，EG⊥BC，∴ABGE是矩形，BG=AE=，∴CG=BC－BG=6－=，∵CE⊥CD，∴∠ECG＋∠DCF=90°，∵∠ECG＋∠CEG=90°，∴∠CEG=∠DCF，∵CE=DC，∠EGC=∠CFD，∴△EGC≌△CFD（AAS），∴DF=CG=，S△BCD=×6×=，故答案為：．【點撥】本題考查全等三角形的判定，矩形的性質(zhì)和判定，三角形的面積計算，正確作出輔助線找出高與已知條件的關系是解題的關鍵．類型二、利用矩形的性質(zhì)求角2．如圖，四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，，，且∠ABC=90°．（1）求證：四邊形ABCD是矩形．（2）若∠ACB=30°，AB=1，求①∠AOB的度數(shù)；②四邊形ABCD的面積．【答案】（1）見分析；（2）①60°，②.【分析】（1）根據(jù)AO=CO，BO=DO可知四邊形ABCD是平行四邊形，又∠ABC=90°，可證四邊形ABCD是矩形（2）利用直角△ABC中∠ABC=90°，∠ACB=300，可得∠BAC=60°，AC=2，BC=，即可求得四邊形ABCD的面積，同時利用矩形的性質(zhì)，對角線相等且互相平分，可得∠AOB=180°-2∠BAC解：（1）∵AO=CO，BO=DO∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠ABC=∠ADC，∵∠ABC=90°，∴四邊形ABCD是矩形；（2）∵∠ABC=90°，∠ACB=300，AB=1∴∠BAC=60°，AC=2，BC=又∵矩形ABCD中，OA=OB∴∠AOB=180°-2∠BAC=60°S□ABCD=1×=【點撥】本題考查了矩形的判定及性質(zhì)定理的應用，會靈活運用是解題的關鍵.【變式1】如圖，在矩形中，對角線與相交于點，若，那么的度數(shù)是(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意只要證明OA=OD，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可解決問題.解：∵矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，∴DB＝AC，OD＝OB，OA＝OC，∴OA＝OD，∴∠CAD＝∠ADO，∵∠COD＝50°＝∠CAD+∠ADO，∴∠CAD＝25°，故選D．【點撥】本題考查了矩形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．【變式2】如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，過點A作AE⊥BD，垂足為點E，若∠EAC=2∠CAD，則∠BAE=__________度．【答案】22.5°解：四邊形ABCD是矩形，AC=BD，OA=OC，OB=OD，OA=OB═OC，∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA，∠AOE=∠OAD+∠ODA=2∠OAD，∠EAC=2∠CAD，∠EAO=∠AOE，AE⊥BD，∠AEO=90°，∠AOE=45°，∠OAB=∠OBA=67.5°，即∠BAE=∠OAB﹣∠OAE=22.5°．類型三、利用矩形的性質(zhì)求線段3．如圖，在矩形中，點在上，，且，垂足為．（1）求證：；（2）若，求四邊形的面積．【答案】（1）見詳解；（2）4-8【分析】（1）由矩形的性質(zhì)可得∠D=90°，AB∥CD，從而得∠D=∠ANB，∠BAN=∠AMD，進而即可得到結論；（2）由以及勾股定理得AN=DM=4，AB=，進而即可求解．解：（1）∵在矩形中，∴∠D=90°，AB∥CD，∴∠BAN=∠AMD，∵，∴∠ANB=90°，即：∠D=∠ANB，又∵，∴（AAS），（2）∵，∴AN=DM=4，∵，∴，∴AB=，∴矩形的面積=×2=4，又∵，∴四邊形的面積=4-4-4=4-8．【點撥】本題主要考查矩形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握AAS證明三角形全等，是解題的關鍵．【變式1】如圖，點O是矩形ABCD的對角線AC的中點，OM//AB交AD于點M，若OM=3，BC=10，則OB的長為（

）A．5 B．4 C． D．【答案】D【分析】如圖所示，連接OD，先求出，然后利用勾股定理求解即可．解：如圖所示，連接OD，∵四邊形ABCD是矩形，∴OA=OD，∠BAD=90°，∵OM∥AB，∴∠OMD=90°，∴，∴故選D．【點撥】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，正確作出輔助線是解題的關鍵．【變式2】如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，矩形內(nèi)部有一動點P滿足S△PAB=S矩形ABCD，則點P到A、B兩點的距離之和PA+PB的最小值為______．【答案】【分析】首先由S△PAB=S矩形ABCD，得出動點P在與AB平行且與AB的距離是2的直線l上，作A關于直線l的對稱點E，連接AE，連接BE，則BE的長就是所求的最短距離．然后在直角三角形ABE中，由勾股定理求得BE的值，即PA+PB的最小值．解：設△ABP中AB邊上的高是h．∵S△PAB=S矩形ABCD，∴AB?h=AB?AD，∴h=AD=2，∴動點P在與AB平行且與AB的距離是2的直線l上，如圖，作A關于直線l的對稱點E，連接AE，連接BE，則BE的長就是所求的最短距離．在Rt△ABE中，∵AB=4，AE=2+2=4，∴BE=，即PA+PB的最小值為．故答案為：．【點撥】本題考查了軸對稱——最短路線問題、三角形的面積、矩形的性質(zhì)、勾股定理和兩點之間線段最短的性質(zhì)，其中得出動點P所在的位置是解題的關鍵．類型四、利用矩形的性質(zhì)求面積4．如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)在BD上，BE=DF（1）求證：AE=CF；（2）若AB=6，∠COD=60°，求矩形ABCD的面積．【答案】（1）證明見分析；（2）矩形ABCD的面積為【分析】（1）由矩形的性質(zhì)得出OA=OC，OB=OD，AC=BD，∠ABC=90°，證出OE=OF，由SAS證明△AOE≌△COF，即可得出AE=CF；（2）證出△AOB是等邊三角形，得出OA=AB=6，AC=2OA=12，在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC的長，即可得出矩形ABCD的面積．解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，∠ABC=90°，∵BE=DF，∴OE=OF，在△AOE和△COF中，∵OA=OC，∠AOE=∠COF，OE=OF，∴△AOE≌△COF（SAS），∴AE=CF；（2）解：∵OA=OC，OB=OD，AC=BD，∴OA=OB，∵∠AOB=∠COD=60°，∴△AOB是等邊三角形，∴OA=AB=6，∴AC=2OA=12，在Rt△ABC中，BC==6，∴矩形ABCD的面積=AB?BC=6×6=36．【點撥】此題考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握矩形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的運用．【變式1】如圖，點P是矩形ABCD的對角線AC上一點，過點P作EF∥BC，分別交AB，CD于E、F，連接PB、PD．若AE=2，PF=8．則圖中陰影部分的面積為（）A．10 B．12 C．16 D．18【答案】C【分析】首先根據(jù)矩形的特點，作PM⊥AD于M，交BC于N，可以得到S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PFC=S△PCN，最終得到S矩形EBNP=S矩形MPFD,即可得S△PEB=S△PFD，從而得到陰影的面積．解：作PM⊥AD于M，交BC于N．則有四邊形AEPM，四邊形DFPM，四邊形CFPN，四邊形BEPN都是矩形，∴S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PFC=S△PCN∴S矩形EBNP=S矩形MPFD,又∵S△PBE=S矩形EBNP，S△PFD=S矩形MPFD，∴S△DFP=S△PBE=×2×8=8，∴S陰=8+8=16，故選：C．【點撥】本題考查矩形的性質(zhì)、三角形的面積等知識，解題的關鍵是證明S△PEB=S△PFD．【變式2】如圖,矩形ABCD中,E、F分別為AD、AB上一點,且EF=EC,EF⊥EC,若DE=2,矩形周長為16,則矩形ABCD的面積為_________【答案】15解：因為EF⊥EC，所以∠FEC=90°，所以∠AEF+∠DEC=90°，因為∠AEF+∠AFE=90°，所以∠AFE=∠DEC，因為∠A=∠D，EF=CE，所以△AEF≌△DCE，所以AE=CD，AF=DE，設AB=CD=x，則AD=AE+DE=CD+DE=x+2，所以2（x+x+2）=16,解得x=3，所以AB×BC=3×（3+2）=15，故答案為15.類型五、利用矩形的性質(zhì)和判定證明5．如圖，矩形ABCD的對角線相交于點O，DE//AC，CE//BD，求證：四邊形OCED是菱形．【分析】首先根據(jù)兩對邊互相平行的四邊形是平行四邊形證明四邊形OCED是平行四邊形，再根據(jù)矩形的性質(zhì)可得OC=OD，即可利用一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形判定出結論．解：∵DE//AC，CE//BD，∴四邊形OCED是平行四邊形．∵四邊形ABCD是矩形，∴OC=OD=AC=BD∴四邊形OCED是菱形．【變式1】如圖，矩形的對角線與交于點，過點作的垂線分別交、于、兩點，若，，則的長度為（

）A．1 B．2 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形外角性質(zhì)可求出∠EDO=30°，從而可求出∠DEO=60°，再根據(jù)矩形的性質(zhì)，推理得到OF=CF，最后在Rt△BOF中利用勾股定理求得OF的長，即可得到CF的長．解：∵EF⊥BD，∠AEO=120°，∴∠EDO=30°，∠DEO=60°，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠OBF=∠OCF=30°，∠BFO=60°，∴∠FOC=60°-30°=30°，BF=2OF，∴OF=CF，又∵BO=BD=AC=2，∴在Rt△BOF中，BO2+OF2=(2OF)2，∴(2)2+OF2=4OF2，∴OF=2，∴CF=2，故選：B．【點撥】本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理的運用，解決問題的關鍵是掌握矩形的對角線相等且互相平分．【變式2】如圖，矩形ABCD中，，點Q在對角線AC上，且，連接DQ并延長，與邊BC交于點P，則線段AP=_________．【答案】解：∵矩形ABCD中，AB=4，AD=3=BC，∴AC=5，又∵AQ=AD=3，ADCP，∴CQ=5-3=2，∠CQP=∠AQD=∠ADQ=∠CPQ，∴CP=CQ=2，∴BP=3-2=1，∴Rt△ABP中，AP=故答案為：類型六直角三角形斜邊上中線問題6．如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分別為AC，CD的中點，連接BM，MN，BN．（1）求證：BM=MN；（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的長．【答案】（1）證明見分析；（2）【分析】（1）在△CAD中，由中位線定理得到MN∥AD，且MN=AD，在Rt△ABC中，因為M是AC的中點，故BM=AC，即可得到結論；（2）由∠BAD=60°且AC平分∠BAD，得到∠BAC=∠DAC=30°，由（1）知，BM=AC=AM=MC，得到∠BMC=60°．由平行線性質(zhì)得到∠NMC=∠DAC=30°，故∠BMN=90°，得到，再由MN=BM=1，得到BN的長．解：（1）在△CAD中，∵M、N分別是AC、CD的中點，∴MN∥AD，且MN=AD，在Rt△ABC中，∵M是AC的中點，∴BM=AC，又∵AC=AD，∴MN=BM；（2）∵∠BAD=60°且AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC=30°，由（1）知，BM=AC=AM=MC，∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°．∵MN∥AD，∴∠NMC=∠DAC=30°，∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°，∴，而由（1）知，MN=BM=AC=×2=1，∴BN=．【變式1】如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC，BD相交于點O，DH⊥AB于點H，連接OH，∠CAD＝20°，則∠DHO的度數(shù)是（）A．20° B．25° C．30° D．40°【答案】A【分析】先根據(jù)菱形的性質(zhì)得OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC，則利用DH⊥AB得到DH⊥CD，∠DHB＝90°，所以OH為Rt△DHB的斜邊DB上的中線，得到OH＝OD＝OB，利用等腰三角形的性質(zhì)得∠1＝∠DHO，然后利用等角的余角相等即可求出∠DHO的度數(shù).解：∵四邊形ABCD是菱形，∴OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC，∵DH⊥AB，∴DH⊥CD，∠DHB＝90°，∴OH為Rt△DHB的斜邊DB上的中線，∴OH＝OD＝OB，∴∠1＝∠DHO，∵DH⊥CD，∴∠1+∠2＝90°，∵BD⊥AC，∴∠2+∠DCO＝90°，∴∠1＝∠DCO，∴∠DHO＝∠DCA，∵四邊形ABCD是菱形，∴DA＝DC，∴∠CAD＝∠DCA＝20°，∴∠DHO＝20°，故選A．【點撥】本題考查菱形的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．【變式2】如圖，平行四邊形中，于，點為邊中點，，，則_________【答案】【分析】延長、交于點，連接FC，先依據(jù)全等的判定和性質(zhì)得到，依據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到，依據(jù)平行四邊形的對邊相等及等量代換得到，依據(jù)三角形等邊對等角得到、，依據(jù)三角形內(nèi)角和得到，通過作差即得所求.解：延長、交于點，連接FC，∵平行四邊形中，∴，,,∴，，,又∵點為邊中點，得,∴≌(ASA)，，∴，∴，∴,∴,∵,,,,∴,∴,∴,∴,故答案為：.【點撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等的判定和性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、三角形等邊對等角、三角形內(nèi)角和，解題的關鍵是構造直角三角形.類型七、矩形性質(zhì)與判定定理的理解7．如圖，，且，是的中點.（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）連接、，寫出添加一個什么條件時，四邊形是矩形.并說明理由.【答案】（1）證明見分析；（2）添加，理由見分析.【分析】（1）證明，結合已知條件，利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，即可得到結論；（2）由矩形的性質(zhì)逆推出要添加的條件，再根據(jù)添加的條件證明四邊形是矩形即可得到答案．解：（1）∵是中點，∴．∵，∴．又∵，∴四邊形是平行四邊形．（2）解：添加，理由如下：連接、，如圖，∵，，∴四邊形是平行四邊形．∵，，∴．∴四邊形是矩形．【點撥】本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定，掌握以上知識是解題的關鍵．【變式1】下列命題正確的是（

）A．有一個角是直角的平行四邊形是矩形 B．四條邊相等的四邊形是矩形C．有一組鄰邊相等的平行四邊形是矩形 D．對角線相等的四邊形是矩形【答案】A【分析】運用矩形的判定定理，即可快速確定答案.解：A.有一個角為直角的平行四邊形是矩形滿足判定條件；B四條邊都相等的四邊形是菱形，故B錯誤；C有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，故C錯誤;對角線相等且相互平分的四邊形是矩形，則D錯誤；因此答案為A.【點撥】本題考查了矩形的判定，矩形的判定方法有：1.有三個角是直角的四邊形是矩形；2.對角線互相平分且相等的四邊形是矩形；3.有一個角為直角的平行四邊形是矩形；4.對角線相等的平行四邊形是矩形.【變式2】如圖，在矩形ABCD中，BC=20cm，點P和點Q分別從點B和點D出發(fā)，按逆時針方向沿矩形ABCD的邊運動，點P和點Q的速度分別為3cm/s和2cm/s，則最快___s后，四邊形ABPQ成為矩形．【答案】4【分析】設最快x秒，當BP=AQ時，四邊形ABPQ成為矩形，設最快x秒，則4x=20﹣2x．解方程可得.解：設最快x秒，四邊形ABPQ成為矩形，由BP=AQ得3x=20﹣2x．解得x=4．故答案為4【點撥】本題考核知識點：平行四邊形性質(zhì),矩形判定.解題關鍵點：熟記平行四邊形性質(zhì),矩形判定.類型八、添加一個條件構成矩形8．如圖，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，點E是AD邊的中點，點M是AB邊上一動點（不與點A重合），延長ME交射線CD于點N，連接MD，AN．（1）求證：四邊形AMDN是平行四邊形；（2）填空：①當AM的值為時，四邊形AMDN是矩形；②當AM的值為時，四邊形AMDN是菱形．【答案】（1）見分析（2）①1；②2【分析】（1）利用菱形的性質(zhì)和已知條件可證明四邊形AMDN的對邊平行且相等即可；（2）①有（1）可知四邊形AMDN是平行四邊形，利用有一個角為直角的平行四邊形為矩形即∠DMA=90°，所以AM=AD=1時即可；②當平行四邊形AMND的鄰邊AM=DM時，四邊形為菱形，利用已知條件再證明三角形AMD是等邊三角形即可．解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴ND∥AM，∴∠NDE=∠MAE，∠DNE=∠AME，又∵點E是AD邊的中點，∴DE=AE，∴△NDE≌△MAE，∴ND=MA，∴四邊形AMDN是平行四邊形；（2）解：①當AM的值為1時，四邊形AMDN是矩形．理由如下：∵AM=1=AD，∵點E是AD邊的中點，∴DE=AE=AM=1，∵∠DAM=60°，∴ME=DE=AM，∴∠ADM=∠EMD,∠AEM=60°，∴∠ADM=30°∵∠DAM=60°，∴∠AMD=90°，∴平行四邊形AMDN是矩形；②當AM的值為2時，四邊形AMDN是菱形．理由如下：∵AM=2，∴AM=AD=2，∠DAM=60°，∴△AMD是等邊三角形，∴AM=DM，∴平行四邊形AMDN是菱形．【變式1】已知中，下列條件：①；②；③；④平分，其中能說明是矩形的是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】B【分析】根據(jù)矩形的判定進行分析即可．解：A.，鄰邊相等的平行四邊形是菱形，故A錯誤；B.，對角線相等的平行四邊形是矩形，故B正確；C.，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故C錯誤；D.平分，對角線平分其每一組對角的平行四邊形是菱形，故D錯誤．故選：B．【點撥】本題考查了矩形的判定，熟知矩形從邊，角，對角線三個方向的判定是解題的關鍵．【變式2】如圖所示，將△ABC繞AC的中點O順時針旋轉(zhuǎn)180°得到△CDA，添加一個條件_____，使四邊形ABCD為矩形．【答案】∠B=90°【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AB=CD，∠BAC=∠DCA，則AB∥CD，得到四邊形ABCD為平行四邊形，根據(jù)有一個直角的平行四邊形為矩形可添加的條件為∠B=90°．解：∵△ABC繞AC的中點O順時針旋轉(zhuǎn)180°得到△CDA，∴AB=CD，∠BAC=∠DCA，∴AB∥CD，∴四邊形ABCD為平行四邊形，當∠B=90°時，平行四邊形ABCD為矩形，∴添加的條件為∠B=90°．故答案為∠B=90°．【點撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了矩形的判定．類型九、證明四邊形是矩形9．如圖，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，過對角線BD中點O的直線分別交AB，CD邊于點E，F(xiàn)．（1）求證：四邊形BEDF是平行四邊形；（2）當四邊形BEDF是菱形時，求EF的長．【答案】（1）證明見分析；（2）．【分析】（1）根據(jù)矩形ABCD的性質(zhì)，判定△BOE≌△DOF（ASA），進而得出結論；（2）在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，由勾股定理求出BD，得出OB，再由勾股定理求出EO，即可得出EF的長.解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，O是BD的中點，∴∠A=90°，AD=BC=4，AB∥DC，OB=OD，∴∠OBE=∠ODF，在△BOE和△DOF中，∴△BOE≌△DOF（ASA），∴EO=FO，∴四邊形BEDF是平行四邊形；（2）當四邊形BEDF是菱形時，BD⊥EF，設BE=x，則

DE=x，AE=6-x，在Rt△ADE中，DE2=AD2+AE2，∴x2=42+（6-x）2，解得：x=，∵BD==2，∴OB=BD=，∵BD⊥EF，∴EO==，∴EF=2EO=．【點撥】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)和勾股定理，證明三角形全等是解決問的關鍵【變式1】如圖，在△ABC中，點D在BC上，，下列四個判斷中不正確的是(

)A．四邊形AEDF是平行四邊形B．若∠BAC＝90°，則四邊形AEDF是矩形C．若AD平分∠BAC，則四邊形AEDF是矩形D．若AD⊥BC且AB＝AC，則四邊形AEDF是菱形【答案】C【分析】根據(jù)題意，分別利用平行四邊形及矩形，菱形的判定定理依次判斷即可得．解：A選項，∵在△ABC中，點D在BC上，，∴，∴四邊形AEDF是平行四邊形；即A正確；B選項，∵四邊形AEDF是平行四邊形，∠BAC=90°，∴四邊形AEDF是矩形；即B正確；C選項，∵添加條件“AD平分∠BAC”結合四邊形AEDF是平行四邊形只能證明四邊形AEDF是菱形，而不能證明四邊形AEDF是矩形；所以C錯誤；D選項，∵由添加的條件“AB=AC，AD⊥BC”，∴AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠CAD=∠EDA，∴AE=DE，∴四邊形AEDF是菱形，所以D正確．故選C．【點撥】題目主要考查平行四邊形及矩形，菱形的判定定理，熟練掌握各個判定定理是解題關鍵．【變式2】如圖，將平行四邊形ABCD折疊，使頂點D恰好落在AB邊上的點M處，折痕為AN，有以下四個結論①MN∥BC；②MN=AM；③四邊形MNCB是矩形；④四邊形MADN是菱形，以上結論中，你認為正確的有_____________（填序號）．【答案】①②④【分析】根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，可得∠B=∠D，再根據(jù)折疊可得∠D=∠NMA，再利用等量代換可得∠B=∠NMA，然后根據(jù)平行線的判定方法可得MN∥BC；證明四邊形AMND是平行四邊形，再根據(jù)折疊可得AM=DA，進而可證出四邊形AMND為菱形，再根據(jù)菱形的性質(zhì)可得MN=AM，不能得出∠B=90°；即可得出結論．解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠B=∠D，∵根據(jù)折疊可得∠D=∠NMA，∴∠B=∠NMA，∴MN∥BC；①正確；∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DN∥AM，AD∥BC，∵MN∥BC，∴AD∥MN，∴四邊形AMND是平行四邊形，根據(jù)折疊可得AM=DA，∴四邊形AMND為菱形，∴MN=AM；②④正確；沒有條件證出∠B=90°，④錯誤；故答案為①②④．【點撥】本題主要考查了翻折變換的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、矩形的判定等知識，熟練掌握翻折變換的性質(zhì)、平行四邊形和菱形以及矩形的判定是解題的關鍵．類型十、利用矩形的性質(zhì)與判定求角度10．如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC+∠ADC＝180°．（1）求證：四邊形ABCD是矩形；（2）若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC，求∠BDF的度數(shù)．【答案】（1）見分析；（2）∠BDF＝18°．【分析】（1）先證明四邊形ABCD是平行四邊形，求出∠ABC=90°，然后根據(jù)矩形的判定定理，即可得到結論；（2）求出∠FDC的度數(shù)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和，求出∠DCO，然后得到OD=OC，得到∠CDO，即可求出∠BDF的度數(shù)．解：（1）∵AO＝CO，BO＝DO，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠ABC＝∠ADC，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，∴四邊形ABCD是矩形；（2）解：∵∠ADC＝90°，∠ADF：∠FDC＝3：2，∴∠FDC＝36°，∵DF⊥AC，∴∠DCO＝90°﹣36°＝54°，∵四邊形ABCD是矩形，∴CO＝OD，∴∠ODC＝∠DCO＝54°，∴∠BDF＝∠ODC﹣∠FDC＝18°．【點撥】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，能靈活運用定理進行推理是解題的關鍵．注意：矩形的對角線相等，有一個角是直角的平行四邊形是矩形．【變式1】如圖，將矩形ABCD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)到矩形AB′C′D′的位置，旋轉(zhuǎn)角為α(0°＜α＜90°)．若∠1＝112°，則∠α的大小是(

)A．68° B．20° C．28° D．22°【答案】D解：∵四邊形ABCD為矩形，∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，∵矩形ABCD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)到矩形AB′C′D′的位置，旋轉(zhuǎn)角為α，∴∠BAB′=α，∠B′AD′=∠BAD=90°，∠D′=∠D=90°，∵∠2=∠1=112°，而∠ABC=∠D′=90°，∴∠3=180°-∠2=68°，∴∠BAB′=90°-68°=22°，即∠α=22°．故選D．【變式2】如圖，在矩形ABCD中，AE⊥BD．若DE：BE=3：1，則∠EAO=__________．【答案】30°解：根據(jù)∠DAE：∠BAE=3：1以及∠DAE+∠BAE=90°可得：∠DAE=67.5°，根據(jù)AE⊥BD可得：∠ADE=22.5°，根據(jù)OA=OD可得：∠OAD=∠ADO=22.5°，則∠EAO=∠DAE-∠DAO=67.5°-22.5°=45°.類型十一、利用矩形的性質(zhì)與判定求線段11．如圖，在中，于點E點，延長BC至F點使，連接AF，DE，DF.（1）求證：四邊形AEFD是矩形；（2）若，，，求AE的長.【答案】（1）見分析；（2）【分析】（1）先證明四邊形AEFD是平行四邊形，再證明∠AEF=90°即可．（2）證明△ABF是直角三角形，由三角形的面積即可得出AE的長．解：（1）∵CF=BE，∴CF+EC=BE+EC．即

EF=BC．∵在?ABCD中，AD∥BC且AD=BC，∴AD∥EF且AD=EF．∴四邊形AEFD是平行四邊形．∵AE⊥BC，∴∠AEF=90°．∴四邊形AEFD是矩形；（2）∵四邊形AEFD是矩形，DE=8，∴AF=DE=8．∵AB=6，BF=10，∴AB2+AF2=62+82=100=BF2．∴∠BAF=90°．∵AE⊥BF，∴△ABF的面積=AB?AF=BF?AE．∴AE=．【變式1】如圖，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AB，CD上的點，AE=CF，連接EF，BF，EF與對角線AC交于點O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC，F(xiàn)C=2，則AB的長為（）A．8 B．8 C．4 D．6【答案】D【分析】連接OB，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得BO⊥EF，再根據(jù)矩形的性質(zhì)可得OA=OB，根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)可得∠BAC=∠ABO，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式求出∠ABO=30°，即∠BAC=30°，根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AC，再利用勾股定理列式計算即可求出AB．解：如圖，連接OB，∵BE=BF，OE=OF，∴BO⊥EF，∴在Rt△BEO中，∠BEF+∠ABO=90°，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半可知：OA=OB=OC，∴∠BAC=∠ABO，又∵∠BEF=2∠BAC，即2∠BAC+∠BAC=90°，解得∠BAC=30°，∴∠FCA=30°，∴∠FBC=30°，∵FC=2，∴BC=2，∴AC=2BC=4，∴AB=＝＝6，故選D．【點撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，綜合題，但難度不大，（2）作輔助線并求出∠BAC=30°是解題的關鍵．【變式2】如圖，在矩形中，，對角線與相交于點，，垂足為點，且平分，則的長為_____.【答案】．【分析】由矩形的性質(zhì)可得AO=CO=BO=DO，可證△ABE≌△AOE，可得AO=AB=BO=DO，由勾股定理可求AB的長．解：∵四邊形是矩形∴，∵平分∴，且，，∴≌（）∴，且∴，∴，∵，∴，∴故答案為．【點撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練運用矩形的性質(zhì)是本題的關鍵．類型十二、利用矩形的性質(zhì)與判定求面積12．如圖，在