新教材2024高考數(shù)學(xué)二輪專(zhuān)題復(fù)習(xí)強(qiáng)化訓(xùn)練13空間位置關(guān)系空間角與空間距離-小題備考

強(qiáng)化訓(xùn)練13空間位置關(guān)系、空間角與空間距離——小題備考一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的)1．[2023·湖北武漢三模]已知不重合的平面α，β及不重合的直線m，n，則()A．若m∥α，α∥β，則m∥βB．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，則α⊥βC．若m∥n，m∥α，n∥β，則α∥βD．若m∥α，α∥β，n?β，則m∥n2．[2023·浙江杭州二模]已知直線l，平面α，滿足l?α，則下列命題一定正確的是()A．存在直線m?α，使l∥mB．存在直線m?α，使l⊥mC．存在直線m?α，使l，m相交D．存在直線m?α，使l，m所成角為eq\f(π,6)3．在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AB＝1，BC＝2，AA1＝5，則A1C與平面ABCD所成角的正切值為()A．eq\f(1,2)B．2C．eq\f(\r(5),5)D．eq\r(5)4．在正方體ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分別是棱DD1，D1C1的中點(diǎn)，則直線OM()A．和AC，MN都垂直B．垂直于AC，但不垂直于MNC．垂直于MN，但不垂直于ACD．與AC，MN都不垂直5.[2023·黑龍江哈師大附中模擬]如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD為正方形，△PAD是正三角形，AB＝2，平面PAD⊥平面ABCD，則PC與BD所成角的余弦值為()A．eq\f(1,4)B．eq\f(\r(2),4)C．eq\f(1,3)D．eq\f(\r(3),3)6.[2023·山東菏澤一模]如圖，八面體的每一個(gè)面都是正三角形，并且A，B，C，D四個(gè)頂點(diǎn)在同一平面內(nèi)，下列結(jié)論：①AE∥平面CDF；②平面ABE∥平面CDF；③AB⊥AD；④平面ACE⊥平面BDF，正確命題的個(gè)數(shù)為()A．1B．2C．3D．47．[2023·河北滄州二模]《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽之作，其第十一卷中稱(chēng)軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐．如圖，若AB，CD都是直角圓錐SO底面圓的直徑，且∠AOD＝eq\f(π,3)，則異面直線SA與BD所成角的余弦值為()A．eq\f(1,3)B．eq\f(\r(2),4)C．eq\f(\r(6),4)D．eq\f(\r(6),3)8．如圖，已知ABCA1B1C1是側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)均等于a的直三棱柱，D是側(cè)棱CC1的中點(diǎn)．則點(diǎn)C到平面AB1D的距離為()A．eq\f(\r(2),4)aB．eq\f(\r(2),8)aC．eq\f(3\r(2),4)aD．eq\f(\r(2),2)a二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)符合題目要求，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，選錯(cuò)或多選得0分)9．[2023·河北唐山模擬]已知a，b，c是三條不同的直線，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，下列命題正確的有()A．若a⊥b，a⊥c，則b∥cB．若a∥b，a∥c，則b∥cC．若α⊥β，α⊥γ，則β∥γD．若α∥β，α∥γ，則β∥γ10．[2023·浙江杭州一模]已知三棱柱ABCDEF的棱長(zhǎng)均相等，則()A．AB⊥CFB．AE⊥BDC．∠ABC＝60°D．∠ADE＝60°11．[2023·河北開(kāi)灤二中一模]已知正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H，I分別是線段CC1，A1B1，B1C1，AB，DD1的中點(diǎn)，則()A．AF⊥A1EB．BG⊥A1EC．DH⊥A1ED．CI⊥A1E12.[2023·河北衡水模擬]如圖，已知圓錐的頂點(diǎn)為S，底面ACBD的兩條對(duì)角線恰好為圓O的兩條直徑，E，F(xiàn)分別為SA，SC的中點(diǎn)，且SA＝AC＝AD，則下列說(shuō)法中正確的有()A．SD∥平面OEFB．平面OEF∥平面SBDC．OE⊥SAD．直線EF與SD所成的角為45°題號(hào)12345678910答案題號(hào)1112答案三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)13．已知正三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)相等，則AB1與側(cè)面BCC1B1所成角的正弦值是________．14．在正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)E是棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱CD上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)eq\f(CF,CD)＝________時(shí)，D1E⊥平面AB1F.15．如圖，在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCDA1B1C1D1中，M是棱A1A上的動(dòng)點(diǎn)，N是棱BC的中點(diǎn)．當(dāng)平面D1MN與底面ABCD所成的銳二面角最小時(shí)，A1M＝________．16．[2023·廣東茂名二模]已知球O與正四面體ABCD各棱相切，且與平面α相切，若AB＝1，則正四面體ABCD表面上的點(diǎn)到平面α距離的最大值為_(kāi)_______．強(qiáng)化訓(xùn)練13空間位置關(guān)系、空間角與空間距離1．解析：若m∥α，α∥β，則m∥β或m?β，故A錯(cuò)誤；若m⊥n，m⊥α，則n∥α或n?α，當(dāng)n∥α?xí)r，若n⊥β，則α⊥β，當(dāng)n?α?xí)r，若n⊥β，則α⊥β也成立，綜上，故B正確；若m∥n，m∥α，n∥β，則α∥β或α反例如圖所示，可以說(shuō)明符合條件時(shí)，兩個(gè)平面有相交的可能．故C錯(cuò)誤；如圖所示，m、n可能異面，故D錯(cuò)誤．故選B.答案：B2．解析：若直線l與α相交，則α內(nèi)的直線與l要么相交要么異面，故不存在直線m?α，使l∥m，A錯(cuò)誤；由于l?α，所以l與α相交或者平行，不論是相交還是平行，均可在α上找到與l垂直的直線m，故B正確；當(dāng)l∥α?xí)r，則α內(nèi)的直線要么與l平行，要么與l異面，所以不存在m?α，使l，m相交，故C錯(cuò)誤；當(dāng)直線l⊥α?xí)r，此時(shí)直線l與α內(nèi)的所有直線均垂直，故不存在直線m?α，使l，m所成角為，故D錯(cuò)誤．故選B.答案：B3．解析：在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD,∴∠A1CA是A1C與平面ABCD所成的角．連接AC，AC?平面ABCD，AA1⊥AC，又AB＝1，BC＝2，AA1＝5，所以AC＝＝，在直角△A1CA中，tan∠A1CA＝＝＝，即A1C與平面ABCD所成角的正切值為.故選D.答案：D4．解析：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)正方向?yàn)閤，y，z軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則A(2，0，0)，C(0，2，0)，O(1，1，0)，M(0，0，1)，N(0，1，2)，∴＝(－2，2，0)，＝(－1，－1，1)，＝(0，1，1)，∴·＝2－2＋0＝0，·＝0－1＋1＝0，∴OM⊥AC，OM⊥MN.故選A.答案：A5．解析：取AD的中點(diǎn)O，BC的中點(diǎn)E，連接PO、OE，因?yàn)椤鱌AD是正三角形，所以PO⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO?平面PAD，所以PO⊥平面ABCD，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則P(0，0，)，C(2，1，0)，D(0，1，0)，B(2，－1，0)，所以＝(2，1，－)，＝(2，－2，0)，所以cos〈〉＝＝，所以PC與BD所成角的余弦值為.故選A.答案：A6．解析：以正八面體的中心O為原點(diǎn)，OB，OC，OE分別為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正八面體的邊長(zhǎng)為2，則A(0，－，0)，E(0，0，)，C(0，，0)，D(－，0，0)，F(xiàn)(0，0，－)所以，＝(0，)，＝(－，－，0)，＝(0，－，－)，設(shè)平面CDF的法向量為n＝(x，y，z)，則，解得，取x＝1，即n＝(1，－1，1)又·n＝－＝0，所以⊥n，AE?平面CDF，即AE∥平面CDF，①正確；因?yàn)椋剑訟E∥CF，又AB∥CD，AB?平面CDF，CD?平面CDF，則AB∥平面CDF，由AB＝A，AE，AB?平面ABE，所以平面AEB∥平面CDF，②正確；因?yàn)锽(，0，0)，＝(，0)，＝(－，0)，則·＝0，所以AB⊥AD，③正確；易知平面ACE的一個(gè)法向量為n1＝(1，0，0)，平面BDF的一個(gè)法向量為n2＝(0，1，0)，因?yàn)閚1·n2＝0，所以平面ACE⊥平面BDF，④正確．故選D.答案：D7．解析：如圖，連接AD，BC，AC，SC.因?yàn)镺為AB，CD中點(diǎn)，且AB＝CD，所以四邊形ADBC為矩形，所以DB∥AC，所以∠SAC或其補(bǔ)角為異面直線SA與BD所成的角．設(shè)圓O的半徑為1，則SA＝SC＝.因?yàn)椤螦OD＝，所以∠ADO＝.在直角△DAC中，CD＝2，得AC＝.所以cos∠SAC＝＝，所以異面直線SA與BD所成角的余弦值為.故選C.答案：C8．解析：取AB的中點(diǎn)O，連接CO，因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形，O為AB的中點(diǎn)，則CO⊥AB，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為x、y、z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則C(0，a，0)，A(－，0，0)，B1(，0，a)，D(0，a，)，設(shè)平面AB1D的法向量為n＝＝(a，0，a)，＝(a，)，由，取x＝1，可得n＝(1，0，－1)，＝(a，0)，所以點(diǎn)C到平面AB1D的距離為d＝＝＝.故選A.答案：A9．解析：若a⊥b，a⊥c，則b，c可能異面，A選項(xiàng)錯(cuò)誤．若a∥b，a∥c，則b∥c，B選項(xiàng)正確．若α⊥β，α⊥γ，則β，γ可能相交，C選項(xiàng)錯(cuò)誤．若α∥β，α∥γ，則β∥γ，D選項(xiàng)正確．故選BD.答案：BD10.解析：∵AD∥CF，則AB與CF的夾角為∠BAD，不一定是直角，A錯(cuò)誤；由題意：?ABED為菱形，則AE⊥BD，B正確；由題意：AB＝BC＝CA，則∠ABC＝60°，C正確；由題意：?ABED為菱形，則∠ADE∈(0，π)，即∠ADE大小無(wú)法確定，D錯(cuò)誤．故選BC.答案：BC11．解析：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)正方體ABCDA1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為2，則A(2，0，0)，F(xiàn)(2，1，2)，A1(2，0，2)，E(0，2，1)，B(2，2，0)，G(1，2，2)，D(0，0，0)，H(2，1，0)，C(0，2，0)，I(0，0，1)，＝(0，1，2)，＝(－2，2，－1)，·＝0，∴AF⊥A1E，故A正確；＝(－1，0，2)，·＝0，∴BG⊥A1E，故B正確；＝(2，1，0)，·＝－2，故C錯(cuò)誤；＝(0，－2，1)，·＝－5，故D錯(cuò)誤．故選AB.答案：AB12．解析：由已知可得四邊形ACBD為正方形，且四棱錐SACBD各棱長(zhǎng)均相等，由O，F(xiàn)分別為CD，SC的中點(diǎn)，可得OF∥SD.又OF?平面OEF，SD?平面OEF，所以SD∥平面OEF，故A選項(xiàng)正確；又O，E分別為AB，SA的中點(diǎn)，所以O(shè)E∥SB，又OE?平面OEF，SB?平面OEF，故SB∥平面OEF，而SD＝S，且SB?平面SBD，SD?平面SBD，所以平面OEF∥平面SBD，故B選項(xiàng)正確；設(shè)SA＝1，則SB＝AD＝BD＝1，AB＝AD＝，所以SA2＋SB2＝AB2，即SA⊥SB，由B選項(xiàng)可知OE∥SB，所以O(shè)E⊥SA，故C選項(xiàng)正確；EF∥AC∥BD，故∠SDB(或其補(bǔ)角)即為異面直線EF與SD所成的角，而∠SDB＝60°，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選ABC.答案：ABC13．解析：若E為BC中點(diǎn)，連接AE，B1E，由正三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)相等，故AE⊥BC，且B1B⊥平面ABC，AE?平面ABC，則B1B⊥AE，B1B＝B，B1B，BC?平面BCC1B1，所以AE⊥平面BCC1B1，故∠EAB1為AB1與平面BCC1B1所成的平面角，所以sin∠EAB1＝＝＝.答案：14．解析：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)棱長(zhǎng)為2，A(2，0，0)，F(xiàn)(0，t，0)，B1(2，2，2)，D1(0，0，2)，E(1，2，0)，＝(1，2，－2)，＝＝(0，2，2)，若D1E⊥平面AB1F，則.即.解得：t＝1，所以＝.答案：15．解析：如圖，設(shè)M(4，0，a)(0≤a≤4)，N(2，4，0)，D1(0，0，4)，＝(－2，4，－a)，＝(2，4，－4)，設(shè)平面D1MN的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)，??，令z＝8，x＝8－2a，y＝a＋4，則n＝(8－2a，a＋4，8)，平面ABCD的一個(gè)法向量為n1＝(0，0，1)，設(shè)平面D1MN與底面ABCD所成的銳二