專題04軌跡方程的求法（講義）教師版

專題04軌跡方程的求法1.動點軌跡問題解題策略一般有以下幾種：直譯法：一般步驟為：①建系,建立適當?shù)淖鴺讼担虎谠O點,設軌跡上的任一點P(x，y)；③列式,列出動點P所滿足的關系式；④代換,依條件式的特點，選用距離公式、斜率公式等將其轉化為x，y的方程式，并化簡；⑤證明,證明所求方程即為符合條件的動點軌跡方程.(2)定義法：先根據(jù)條件得出動點的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動點的軌跡方程；(3)代入法(相關點法)：動點P(x，y)依賴于另一動點Q(x0，y0)的變化而變化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲線上，則可先用x，y的代數(shù)式表示x0，y0，再將x0，y0代入已知曲線得要求的軌跡方程；(4)參數(shù)法：當動點P(x，y)坐標之間的關系不易直接找到，也沒有相關動點可用時，可考慮將x，y均用一中間變量(參數(shù))表示，得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得普通方程．2.解軌跡問題注意：（1）求點的軌跡與求軌跡方程是不同的要求，求軌跡時，應先求軌跡方程，然后根據(jù)方程說明軌跡的形狀、位置、大小等.（2）要驗證曲線上的點是否都滿足方程，以方程解為坐標點是否都在曲線上，補上在曲線上而不滿足方程解得點，去掉滿足方程的解而不再曲線上的點.題型【一】、定義法求曲線的軌跡方程定義法：定義法：如果動點P的運動規(guī)律合乎我們已知的某種曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的定義，則可先設出軌跡方程，再根據(jù)已知條件，待定方程中的常數(shù)，即可得到軌跡方程。例1、（2022上·安徽蕪湖·高二校考期末）已知、，若，則點的軌跡方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)橢圓的定義求出、，即可求出，從而得到橢圓方程.【詳解】因為、且，由橢圓的定義可知點的軌跡是以、為焦點的橢圓，且、，解得，，所以點的軌跡方程是.故選：B例2、（2023上·江西南昌·高三南昌市第三中學?？茧A段練習）一動圓與圓外切，與圓內切，則動圓圓心點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)兩圓位置關系分析可得，結合橢圓的定義分析求解.【詳解】由題意可知：圓的圓心，半徑；圓的圓心，半徑；因為，可知圓與圓內切于點，顯然圓心不能與點重合，設圓的半徑為，由題意可知：，則，可知點M的軌跡是以為焦點的橢圓（點除外），且，可得，所以點的軌跡方程為.故選：D.1．（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預測）已知動點的坐標滿足方程，則動點的軌跡是（

）A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．圓【答案】C【分析】根據(jù)方程表示的幾何意義結合拋物線定義，即可判斷出答案.【詳解】方程變形為，表示動點到點和直線的距離相等，所以動點的軌跡是以為焦點的拋物線，故選：C.2．（2023上·山東聊城·高二統(tǒng)考期中）已知圓，為圓內一點，將圓折起使得圓周過點（如圖），然后將紙片展開，得到一條折痕，這樣繼續(xù)下去將會得到若干折痕，觀察這些折痕圍成的輪廓是一條圓錐曲線，則該圓錐曲線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】記點關于折痕的對稱點為A，折痕相交于點，分析的值，結合橢圓定義可解.【詳解】由題知，，記點關于折痕的對稱點為A，折痕相交于點，則點A在圓周上，折痕為線段的垂直平分線，如圖所示：則有，可知，所以點的軌跡是以為左、右焦點的橢圓，其中長軸，焦距，所以，所以點的軌跡方程，即折痕圍成輪廊的圓錐曲線的方程為.故選：.3．（2023上·四川成都·高二校聯(lián)考期末）已知圓，圓，若動圓M與圓F1外切，與圓F2內切．(1)求動圓圓心M的軌跡C的方程；(2)直線l與（1）中軌跡C相交于A，B兩點，若Q為線段AB的中點，求直線l的方程．【答案】(1)(2).【分析】（1）利用兩圓內外切的充要條件可求出動點到兩定點的距離，再運用橢圓的定義判斷動點的軌跡，最后對軌跡上的特殊點進行檢測，去除不符題意的點即得；（2）利用橢圓的中點弦問題運用“點差法”即可求出弦的斜率即得直線方程.【詳解】（1）設動圓M的半徑為r，動圓M與圓F1外切，與圓F2內切，，且，于是，

動圓圓心M的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點，長軸長為8的橢圓，故，，橢圓方程為

又因當M點為橢圓左頂點時，動圓M不存在，故不合題意舍去，故動圓圓心M的軌跡C的方程為；（2）設，由題意，顯然，則有，，兩式作差可得，即有，又Q為線段AB的中點，則有，代入即得直線l的斜率為，

直線l的方程為，整理可得直線l的方程為.4．（2023上·重慶黔江·高二重慶市黔江中學校?？茧A段練習）已知圓，圓，動圓P以點P為圓心，且與圓外切，與圓內切.(1)求點P的軌跡C的方程；(2)已知點為軌跡C上任意一點，求的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用動圓與圓外切，與圓內切可得動圓圓心滿足的幾何性質，再根據(jù)橢圓的定義可得的軌跡方程.（2）根據(jù)點中x,y的關系，代入消去x，轉化為關于y的二次函數(shù)求最值.【詳解】（1）設動圓圓心，設動圓的半徑為r，由題意有，，消r得到：，動圓圓心P的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點，長軸長為4的橢圓，故，，故軌跡的方程為：.（2）因為點為（1）所求軌跡上任意一點，則，且，所以，當時，取最大值為.題型【二】、直接法求曲線的軌跡方程直直接法：如果動點P的運動規(guī)律是否合乎我們熟知的某些曲線的定義難以判斷，但點P滿足的等量關系易于建立，則可以先表示出點P所滿足的幾何上的等量關系，再用點P的坐標（x，y）表示該等量關系式，即可得到軌跡方程。例3、（2023上·寧夏石嘴山·高三平羅中學校考階段練習）在平面直角坐標系中，O是坐標原點，點，動點P滿足．(1)求動點P的軌跡C的方程；(2)直線與軌跡C交于E，F(xiàn)兩點，若的長為，求直線的方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）設動點P的坐標為，根據(jù)題意列出方程，化簡，即得答案；（2）利用點到直線的距離公式，結合圓的幾何性質，求出弦長的表達式，結合題意列式計算，求得k的值，即可得答案.【詳解】（1）設動點P的坐標為，則由點，動點P滿足，得，化簡得，即動點P的軌跡C的方程；（2）軌跡C為圓心為，半徑為2的圓，由于直線與軌跡C交于E，F(xiàn)兩點，故到的距離為，則，解得，此時，滿足直線與軌跡C交于E，F(xiàn)兩點，故直線的方程為或，即或.例4、（2021上·四川成都·高三石室中學?？计谀┮阎cS是圓上任意一點，過S作x軸的垂線，垂足為H，點T滿足，記點T的軌跡為C．(1)求軌跡C的方程；(2)設軌跡C與x軸的交點分別為，，與y軸正半軸的交點為B，M是軌跡C上任意一點，且M不在坐標軸上．若直線與直線交于點P，直線與直線交于點Q．試判斷的形狀，并說明理由．【答案】(1)(2)為等腰三角形，理由見解析【分析】（1）設，根據(jù)向量關系得到，代入中，求出軌跡方程；（2）先得到，設直線方程為，聯(lián)立求出，設直線的方程為，聯(lián)立求出，根據(jù)點坐標特點得到，并求出，得出的形狀.【詳解】（1）設，則，設，因為，則，故，，將代入中，得，軌跡C的方程為；（2）為等腰三角形，理由如下：由（1）可知，，設，則，則，，故，設直線方程為，直線方程為，聯(lián)立與，可得，，故，直線方程為，直線的方程為，聯(lián)立與，可得，，故，可以得到，且，則，又因為，故，其中，故，故，綜上，為等腰三角形.【點睛】結論點睛：圓錐曲線中點弦相關結論及其推廣：橢圓與直線相交于兩點，弦的中點為，其中原點為，則，推廣：已知橢圓的兩頂點分別為，則橢圓上一點（除兩點），滿足；雙曲線與直線相交于兩點，弦的中點為，其中原點為，則，推廣：已知雙曲線的兩頂點分別為，則雙曲線上一點（除兩點），滿足.1．（2023上·福建泉州·高二統(tǒng)考階段練習）已知直線，，動點滿足，且到和的距離之積為.(1)求的軌跡的方程；(2)已知，過的動直線與交于不同兩點，，若線段上有一點滿足，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意得到方程，化簡后得到軌跡方程；（2）直線斜率不存在時，不合要求，設出的方程為，聯(lián)立，根據(jù)根的判別式得到的取值范圍，并設，得到兩根之和，兩根之積，根據(jù)得到方程，分三種情況考慮，表達出，求出三種情況下的取值范圍或最值，得到答案.【詳解】（1）到的距離為，又，化簡得，即；（2）當過的直線斜率不存在時，直線與雙曲線無交點，舍去，故直線的斜率存在，設直線的方程為，聯(lián)立得，，則，解得，設，，，則，由得，，當，即，解得，此時分別位于雙曲線兩支上，故，故，即，因為，所以，此時，即兩點重合，因為，所以為定值；當，即時，如圖所示，此時分別位于雙曲線右支上，故，故，即，因為，所以，解得，，故，令，因為，所以，，則，令，，則，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，故當時，取得最小值，最小值為，當，即時，此時分別位于雙曲線左支上，故，故，即，同理可得，令，因為，所以，，則，令，，則在恒成立，故在單調遞增，，因為，所以，綜上，因為且，所以的最小值為.【點睛】圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：（1）幾何法，若題目的條件和結論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件和結論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關系，則可首先建立目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值或范圍．題型【三】、參數(shù)法求曲線的軌跡方程參數(shù)法：參數(shù)法：如果采用直譯法求軌跡方程難以奏效，則可尋求引發(fā)動點P運動的某個幾何量t，以此量作為參變數(shù)，分別建立P點坐標x，y與該參數(shù)t的函數(shù)關系x＝f（t），y＝g（t），進而通過消參化為軌跡的普通方程F（x，y）＝0。例5、（2023上·湖南長沙·高二雅禮中學校考期中）如圖，設P是上的動點，點D是點P在x軸上的投影，Q點滿足（）．(1)當點P在圓上運動時，求點Q的軌跡C的方程；(2)若，設點，A關于原點的對稱點為B，直線l過點且與曲線C交于點M和點N，設直線AM與直線BN交于點T，設直線AM的斜率為，直線BN的斜率為．（i）求證：為定值；（ii）求證：存在兩條定直線、，使得點T到直線、的距離之積為定值．【答案】(1)；(2)（i）證明見解析；（ii）證明見解析.【分析】（1）設出點的坐標，利用給定的向量關系，借助坐標代換法求出軌跡方程.（2）（i）求出曲線C的方程，并分別與直線方程聯(lián)立，求出點的坐標，利用向量共線計算即得；（ii）由（i）的結論求出點的軌跡方程，借助反比例函數(shù)圖象確定直線、即可計算得解.【詳解】（1）設點，則，，由，得，，由P是上的動點，得，即有，整理得，所以點Q的軌跡C的方程為.（2）（i）當時，由（1）知，曲線C的方程為，顯然點，在曲線C上，設，直線方程為，直線方程為，由，消去y得，則，，由，消去y得，則，，令點為，，而點共線，即有，，整理得，，化簡得，即，觀察圖形知，直線的斜率同號，即，于是，即，所以為定值為定值3.（ii）設，則，由（i）知，即，整理得，顯然函數(shù)的圖象是函數(shù)的圖象向右平移2個單位，再向下平移4個單位而得，函數(shù)的圖象是以x軸、y軸為漸近線的雙曲線，因此函數(shù)的圖象，即點的軌跡是以直線為漸近線的雙曲線，此雙曲線上任意點到直線的距離分別為，顯然，令直線分別為，所以存在兩條定直線、，使得點T到直線、的距離之積為定值.【點睛】方法點睛：（1）引出變量法，解題步驟為先選擇適當?shù)牧繛樽兞?，再把要證明為定值的量用上述變量表示，最后把得到的式子化簡，得到定值；（2）特例法，從特殊情況入手，求出定值，再證明這個值與變量無關．例6、（2024·全國·模擬預測）在直角坐標系xOy中，y軸同側的兩點P和Q分別在直線和上，且，記PQ的中點M的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)若直線與曲線C有兩個不同的交點A，B，求面積的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)，結合中點坐標公式即可求解曲線C的方程為（2）將代入雙曲線方程得韋達定理，即可根據(jù)弦長公式以及點到直線的距離公式求解面積的表達式，利用換元法，結合二次函數(shù)的性質即可求解最值.【詳解】（1）由于點P和Q分別在直線和上，所以可設，，由，得，所以，根據(jù)點P，Q在y軸同側，得，所以．設，則于是得，即，故曲線C的方程為．（2）設，，把代入，得，故，，，所以，又點O到直線的距離，所以的面積令，則，令，則，因為，所以，由，得，由，得，由，得，當且僅當，即，即，即時等號成立，故面積的最小值為．【點睛】方法點睛：解決解析幾何中與面積有關的最值或范圍問題的一般步驟：一是求出面積的表達式（常用直接法或分割法）；二是明確自變量及自變量的限制條件（如方程根的判別式大于0等）；三是利用配方法、基本不等式、函數(shù)單調性等求出面積的最值或取值范圍．1．（2023上·云南昆明·高三?？茧A段練習）已知實數(shù)m，n滿足.令，，記動點的軌跡為E.(1)求E的方程，并說明E是什么曲線；(2)過點作相互垂直的兩條直線和，和與E分別交于A、B和C、D，證明：.【答案】(1)，雙曲線(2)證明見解析【分析】（1）由題意消去后求解，（2）由條件設出和方程，與雙曲線方程聯(lián)立后由弦長公式求解后證明．【詳解】（1）由題意知，故，所以E的方程為.由方程得，，所以E是以，為焦點，實軸長為的等軸雙曲線.（2）證明：當直線垂直于x軸時，則AB為通徑，故；為x軸，此時為實軸長，故，所以.當直線不垂直x軸，設：，：，，與E聯(lián)立方程，消去x并整理得，因為與E交于兩點，故，此時，所以，同理，所以.2．（2024上·貴州貴陽·高三統(tǒng)考期中）圓：與軸的負半軸和正半軸分別交于兩點，是圓與軸垂直非直徑的弦，直線與直線交于點，記動點的軌跡為．(1)求軌跡的方程；(2)在平面直角坐標系中，傾斜角確定的直線稱為定向直線．是否存在不過點的定向直線，當直線與軌跡交于時，；若存在，求直線的一個方向向量；若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）設出后，表示出直線、的方程即可（2）先討論傾斜角為90°的情況，傾斜角不為90°時先設出直線方程，聯(lián)立后結合韋達定理和，運用坐標運算即可得解【詳解】（1）由題意得，設，則直線的方程為，直線的方程為所以軌跡的方程為題型【四】代入法（相關點法）代入法（相關點法）：如果動點P的運動是由另外某一點P'的運動引發(fā)的，而該點的運動規(guī)律已知，（該點坐標滿足某已知曲線方程），則可以設出P（代入法（相關點法）：如果動點P的運動是由另外某一點P'的運動引發(fā)的，而該點的運動規(guī)律已知，（該點坐標滿足某已知曲線方程），則可以設出P（x，y），用（x，y）表示出相關點P'的坐標，然后把P'的坐標代入已知曲線方程，即可得到動點P的軌跡方程。例7、（2022上·甘肅隴南·高二?？计谀┮阎谄矫嬷苯亲鴺讼抵械囊粋€橢圓，它的中心在原點，左焦點為，上頂點為，設點.(1)若是橢圓上的動點，求線段中點的軌跡方程；(2)過原點的直線交橢圓于點、，若的面積為，求直線的斜率.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)焦點與頂點坐標可得橢圓方程，再利用相關點法可求得點的軌跡方程；（2）當直線斜率不存在時，不成立，當斜率存在時，設直線方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，結合韋達定理可得，進而可表示面積，列方程即可解得.【詳解】（1）由已知得橢圓的短半軸，焦半距，則長半軸，又橢圓的焦點軸上，則橢圓的標準方程為，設線段的中點為，點的坐標是，由，得，由點在橢圓上，即得，線段中點的軌跡方程是；（2）當直線斜率不存在時，的方程為，此時，因此的面積，不成立；當直線斜率存在時，設該直線方程為，聯(lián)立方程組，得，，則，，所以，又點到直線的距離，的面積，即，解得.【點睛】解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：(1)注意觀察應用題設中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強化有關直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．例8、（2023上·河南·高三統(tǒng)考階段練習）已知拋物線，直線垂直于軸，與交于兩點，為坐標原點，過點且平行于軸的直線與直線交于點，記動點的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)點在直線上運動，過點作曲線的兩條切線，切點分別為，在平面內是否存在定點，使得？若存在，請求出定點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在定點【分析】（1）由相關點代入法求軌跡方程即可；（2）先由特殊位置確定定點在軸上，設定點，由相切求出切點滿足的關系式，再由垂直的坐標條件求解.【詳解】（1）設，則，由題意線垂直于軸，與交于兩點，知，過點且平行于軸的直線方程為：，直線的方程為：，令，得，即，由得，因為在拋物線上，即，則，化簡得，由題意知不重合，故，所以曲線的方程為（2）由（1）知曲線的方程為，點在直線上運動，當點在特殊位置時，兩個切點關于軸對稱，故要使得，則點在軸上．故設，曲線的方程為，求導得，所以切線的斜率，直線的方程為，又點在直線上，所以，整理得，同理可得，故和是一元二次方程的根，由韋達定理得，，當時，恒成立，所以存在定點，使得恒成立．1、雙曲線有動點，是曲線的兩個焦點，求的重心的軌跡方程。【解析】設點坐標各為，∴在已知雙曲線方程中，∴∴已知雙曲線兩焦點為，∵存在，∴由三角形重心坐標公式有，即?！撸?。已知點在雙曲線上，將上面結果代入已知曲線方程，有即所求重心的軌跡方程為：。題型【五】、交軌法交軌法：交軌法：在求動點軌跡時，有時會出現(xiàn)要求兩動曲線交點的軌跡問題，這種問題通常通過解方程組得出交點（含參數(shù)）的坐標，再消去參數(shù)求得所求的軌跡方程（若能直接消去兩方程的參數(shù)，也可直接消去參數(shù)得到軌跡方程），該法經常與參數(shù)法并用。例9、（2023上·北京·高二校考期中）在平面直角坐標系中，已知點，過動點向軸作垂線，垂足為，.(1)求動點的軌跡方程；(2)若直線的傾斜角為，求直線的方程；【答案】(1)(2)【分析】（1）由過動點向軸作垂線，垂足為，可得，繼而由可得，列式化簡即可得到動點的