抽象函數(shù)(教師)(難)

課題抽象函數(shù)教學(xué)目標(biāo)教學(xué)內(nèi)容：y=f(x)(x∈R，x≠0)對任意的非零實數(shù)，，恒有f()=f()+f(),試判斷f(x)的奇偶性。解：令=-1，=x，得f(-x)=f(-1)+f(x)……①為了求f(-1)的值，令=1，=-1，那么f(-1)=f(1)+f(-1),即f(1)=0,再令==-1得f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1)∴f(-1)=0代入①式得f(-x)=f(x),可得f(x)是一個偶函數(shù)。2定義在[-2，2]上的偶函數(shù)，f(x)在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞減，假設(shè)f(1-m)<f(m),求實數(shù)m取值范圍分析：根據(jù)函數(shù)的定義域，-m，m∈[-2,2]，但是1-m和m分別在[-2，0]和[0，2]的哪個區(qū)間內(nèi)呢？如果就此討論，將十分復(fù)雜，如果注意到偶函數(shù)，那么f(x)有性質(zhì)f〔-x)=f(x)=f(|x|)，就可防止一場大規(guī)模討論。解：∵f(x)是偶函數(shù)，f(1-m)<f(m)可得，∴f(x)在[0，2]上是單調(diào)遞減的，于是，即化簡得-1≤m<。3.設(shè)f(x)是R上的奇函數(shù)，且f(x+3)=-f(x)，求f(1998)的值。解：因為f(x+3)=-f(x)，所以f(x+6)=f((x+3)+3)=-f(x+3)=f(x)，故6是函數(shù)f(x)的一個周期。又f(x)是奇函數(shù)，且在x＝0處有定義，所以f(x)=0從而f(1998)=f(6×333)=f(0)=0。對任意,都有,，，求,的值.解：由f〔=f〔，知f〔x〕=f〔≥0，x，f〔1〕=2，同理可得5f〔x〕是定義在R上的函數(shù)，且滿足：f〔x+2〕[1－f〔x〕]=1+f〔x〕，f〔1〕=1997，求f〔2001〕的值。解：從自變量值2001和1進(jìn)行比擬及根據(jù)條件來看，易聯(lián)想到函數(shù)f〔x〕是周期函數(shù)。由條件得f〔x〕≠1，故f〔x+2〕=f〔x+4〕=.所以f〔x+8〕=.所以f〔x〕是以8為周期的周期函數(shù)，從而f〔2001〕=f〔1〕=1997說明：這類問題出現(xiàn)應(yīng)緊扣條件，需用數(shù)值或變量來迭代變換，經(jīng)過有限次迭代可直接求出結(jié)果，或者在迭代過程中發(fā)現(xiàn)函數(shù)具有周期性，利用周期性使問題巧妙獲解。6.設(shè)f〔x〕是定義R在上的函數(shù)，對任意x，y∈R，有f〔x+y〕+f〔x-y〕=2f〔x〕f〔y〕且f〔0〕≠0.〔1〕求證f〔0〕=1；〔2〕求證：y=f〔x〕為偶函數(shù).證明：〔1〕問題為求函數(shù)值，只需令x=y=0即可得?！?〕問題中令x=0即得f〔y〕+f〔-y〕=2f〔0〕f〔y〕，且f〔0〕=1.所以f〔y〕+f〔-y〕=2f〔y〕，因此y=f〔x〕為偶函數(shù).7.定義在R上的偶函數(shù)y=f(x)的一個遞增區(qū)間為〔2，6〕，試判斷〔4，8〕是y=f(2-x)的遞增區(qū)間還是遞減區(qū)間？解：由y=f(x)是偶函數(shù)且在〔2，6〕上遞增可知，y=f(x)在〔－6，－2〕上遞減。令u=2-x，那么當(dāng)x∈(4,8)時，u是減函數(shù)且u∈(-6,-2)，而f(u)在〔－6，－2〕上遞減，故y=f(2-x)在〔4，8〕上遞增。所以〔4，8〕是y=f(2-x)的單調(diào)遞增區(qū)間。8.設(shè)f〔x〕是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意a，b，當(dāng)a+b≠0，都有＞0〔1〕假設(shè)a＞b，試比擬f〔a〕與f〔b〕的大小；〔2〕假設(shè)f〔k＜0對x∈[－1，1]恒成立，求實數(shù)k的取值范圍。解：〔1〕.因為a＞b，所以a-b＞0，由題意得＞0，所以f〔a〕+f〔－b〕＞0，又f〔x〕是定義在R上的奇函數(shù)，所以f〔－b〕=－f〔b〕，f〔a〕－f〔b〕＞0，即f〔a〕＞f〔b〕〔2〕.由〔1〕知f〔x〕在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，又f＋f＜0，得f＜f，故＜，所以k＜令t＝,所以k＜t+，而t+≥2，即k＜2－1是定義在〔-∞，3]上的減函數(shù)，對恒成立，求實數(shù)的取值范圍。解：等價于10．函數(shù)當(dāng)時，恒有.〔1〕求證:是奇函數(shù);〔2〕假設(shè).(1〕證明：令，得令，那么∴∴是奇函數(shù)?！?〕∵又∵11．是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對于任意的，都滿足:.〔1〕求的值;〔2〕判斷的奇偶性，并證明你的結(jié)論;〔3〕假設(shè),，求數(shù)列{}的前項和.〔1〕解：令，那么令，那么〔2〕證明：令，那么，∵，∴令，那么∴是奇函數(shù)?！?〕當(dāng)時，，令，那么故，所以∴∵∴，故∴12．定義域為R的函數(shù)滿足.〔1〕假設(shè)〔2〕設(shè)有且僅有一個實數(shù)，使得，求函數(shù)的解析表達(dá)式.解：(1)∵對任意，函數(shù)滿足，且∴∵，∴=f(a)=a(2)∵對任意，函數(shù)滿足,有且僅有一個實數(shù),使得∴對任意，有上式中，令，那么∵，故假設(shè)，那么，那么，但方程有兩個不相同的實根與題設(shè)茅盾，故假設(shè)，那么，那么，此時方程有兩個相等的實根，即有且僅有一個實數(shù),使得∴13．函數(shù)的定義域為R，對任意實數(shù)都有，且，當(dāng)時,>0.〔1〕求;〔2〕求和;〔3〕判斷函數(shù)的單調(diào)性，并證明.(1〕解：令，那么〔2〕∵∴∴數(shù)列是以為首項,1為公差的等差數(shù)列,故==(3)任取,那么=∴∴函數(shù)是R上的單調(diào)增函數(shù).14．函數(shù)的定義域為R，并滿足以下條件：①對任意,有>0；②對任意,有；③.〔1〕求的值;〔2〕求證:在R上是單調(diào)減函數(shù);〔3〕假設(shè)且，求證：.(1)解:∵對任意,有>0,∴令得,(2)任取任取,那么令,故∵函數(shù)的定義域為R,并滿足以下條件:①對任意,有>0;②對任意,有;③∴∴∴函數(shù)是R上的單調(diào)減函數(shù).(3)由〔1〕〔2〕知，，∴∵∴，而∴∴15．函數(shù)的定義域為R,對任意實數(shù)都有,且當(dāng)時,.〔1〕證明:;〔2〕證明:在R上單調(diào)遞減;〔3〕設(shè)A=,B={},假設(shè)=,試確定的取值范圍.(1)證明:令,那么∵當(dāng)時,,故,∴,∵當(dāng)時,∴當(dāng)時,,那么(2)證明:任取,那么∵,∴0<,故<0,又∵∴,故∴函數(shù)是R上的單調(diào)減函數(shù).(3)∵由〔2〕知，是R上的減函數(shù)，∴∵B={}=又∵，∴方程組無解，即直線的內(nèi)部無公共點∴，故的取值范圍是-16．函數(shù)是定義在R上的增函數(shù),設(shè)F.〔1〕用函數(shù)單調(diào)性的定義證明:是R上的增函數(shù);〔2〕證明:函數(shù)=的圖象關(guān)于點(成中心對稱圖形..(1)任取,那么F=[∵,∴∴又∵函數(shù)是定義在R上的增函數(shù),∴,故∴>0∴是R上的增函數(shù);(2)設(shè)為函數(shù)=的圖象上任一點,那么點關(guān)于點(的對稱點為N(),那么,故∵把代入F得,=-∴函數(shù)=的圖象關(guān)于點(成中心對稱圖形.17．函數(shù)對于x>0有意義，且滿足條件減函數(shù)?！?〕證明：；〔2〕假設(shè)成立，求x的取值范圍。(1)證明：令，那么，故〔2〕∵，令，那么，∴∴成立的x的取值范圍是。18．設(shè)函數(shù)在上滿足，，且在閉區(qū)間［0，7］上，只有．〔1〕試判斷函數(shù)的奇偶性； 〔2〕試求方程=0在閉區(qū)間［-2005，2005］上的根的個數(shù)，并證明你的結(jié)論．解:〔1〕由f(2-x)=f(2+x),f(