(完整版)高中數(shù)學(xué)解三角形方法大全

PAGE4解三角形1．解三角形：一般地，把三角形的三個(gè)角和它們的對(duì)邊叫做三角形的元素。已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過(guò)程叫作解三角形。以下若無(wú)特殊說(shuō)明，均設(shè)的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊分別為，則有以下關(guān)系成立：（1）邊的關(guān)系：，，（或滿足：兩條較短的邊長(zhǎng)之和大于較長(zhǎng)邊）（2）角的關(guān)系：，，，，，，，（3）邊角關(guān)系：正弦定理、余弦定理以及它們的變形板塊一：正弦定理及其應(yīng)用1．正弦定理：，其中為的外接圓半徑2．正弦定理適用于兩類解三角形問(wèn)題：（1）已知三角形的任意兩角和一邊，先求第三個(gè)角，再根據(jù)正弦定理求出另外兩邊；（2）已知三角形的兩邊與其中一邊所對(duì)的角，先求另一邊所對(duì)的角（注意此角有兩解、一解、無(wú)解的可能），再計(jì)算第三角，最后根據(jù)正弦定理求出第三邊【例1】考查正弦定理的應(yīng)用（1）中，若，，，則_____；（2）中，若，，，則____；（3）中，若，，，則____；（4）中，若，則的最大值為_(kāi)____?？偨Y(jié)：若已知三角形的兩邊和其中一邊所對(duì)的角，解這類三角形時(shí)，要注意有兩解、一解和無(wú)解的可能如圖，在中，已知、、（1）若為鈍角或直角，則當(dāng)時(shí)，有唯一解；否則無(wú)解。（2）若為銳角，則當(dāng)時(shí)，三角形無(wú)解；當(dāng)時(shí)，三角形有唯一解；當(dāng)時(shí)，三角形有兩解；當(dāng)時(shí)，三角形有唯一解實(shí)際上在解這類三角形時(shí)，我們一般根據(jù)三角形中“大角對(duì)大邊”理論判定三角形是否有兩解的可能。板塊二：余弦定理及面積公式1．余弦定理：在中，角的對(duì)邊分別為，則有余弦定理：，其變式為：2．余弦定理及其變式可用來(lái)解決以下兩類三角形問(wèn)題：（1）已知三角形的兩邊及其夾角，先由余弦定理求出第三邊，再由正弦定理求較短邊所對(duì)的角（或由余弦定理求第二個(gè)角），最后根據(jù)“內(nèi)角和定理”求得第三個(gè)角；（2）已知三角形的三條邊，先由余弦定理求出一個(gè)角，再由正弦定理求較短邊所對(duì)的角（或由余弦定理求第二個(gè)角），最后根據(jù)“內(nèi)角和定理”求得第三個(gè)角；說(shuō)明：為了減少運(yùn)算量，能用正弦定理就盡量用正弦定理解決3．三角形的面積公式（1）（、、分別表示、、上的高）；（2）（3）（為外接圓半徑）（4）；（5）其中（6）（是內(nèi)切圓的半徑，是三角形的周長(zhǎng)）【例】考查余弦定理的基本應(yīng)用（1）在中，若，，，求；（2）在中，若，，，求邊上的高；（3）在中，若，，，求【例】（1）在中，若，，，則中最大角的余弦值為_(kāi)_______（2）（10上海理）某人要制作一個(gè)三角形，要求它的三條高的長(zhǎng)度分別為，則（）A．不能作出這樣的三角形B．作出一個(gè)銳角三角形C．作出一個(gè)直角三角形D．作出一個(gè)鈍角三角形（3）以為三邊組成一個(gè)銳角三角形，則的取值范圍為_(kāi)_________【例】考查正余弦定理的靈活使用（1）在中，若，其面積，則_____（2）在中，若，則_____（3）（07天津理）在中，若，，則_____（4）（10江蘇）在銳角中，若，則_________【例】判斷滿足下列條件的三角形形狀（1）；（2）；（3）；（4）；（5），板塊三：解三角形綜合問(wèn)題【例】（09全國(guó)2）在中，角的對(duì)邊分別為、、，，，求【例】（11西城一模）在中，角的對(duì)邊分別為，且，（1）當(dāng)時(shí)，求角的度數(shù)；（2）求面積的最大值【例】在中，，，，求的值和的面積【例】在中，角的對(duì)邊分別為，已知，（1）若的面積等于，求；（2）若，求的面積【例5】（09江西理）在中，角的對(duì)邊分別為，且，（1）求（2）若，求【例】（09安徽理）在中，,（1）求的值；（2）設(shè)，求的面積【例】（10遼寧理）在中，角的對(duì)邊分別為，且（1）求的大?。唬?）求的最大值【例】在中，角的對(duì)邊分別為，，（1）求的大??；（2）求的范圍【例】（11全國(guó)2）設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，，求【江西理】在中，角的對(duì)邊分別是，已知（1）求的值；（2）若，求邊的值【11江西文】在中，角的對(duì)邊分別是，已知（1）求的值；（2）若，，求邊的值正弦定理專題：公式的直接應(yīng)用1、已知中，，，，那么角等于（）A． B． C． D．2、在△ABC中，a＝，b＝，B＝45°，則A等于（ C ）A．30° B．60° C．60°或120° D．30°或150°3、的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則等于（）A． B．2 C． D．4、已知△ABC中，，，，則a等于（B）A．B.C.D.5、在△ABC中，＝10，B=60°,C=45°,則等于（ B）A． B． C． D．6、已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，，則等于．（）7、△ABC中，，，，則最短邊的邊長(zhǎng)等于（A）A.B.C.D.8、△ABC中，，的平分線把三角形面積分成兩部分，則（C）A.B.C. D.9、在△ABC中，證明：。證明：由正弦定理得：專題：兩邊之和1、在△ABC中，A＝60°，B＝45°，，則a＝；b＝.（,）2、已知的周長(zhǎng)為，且．（1）求邊的長(zhǎng)；（2）若的面積為，求角的度數(shù)．專題：三角形個(gè)數(shù)1、△ABC中，∠A=60°,a=EQ\r(,6),b=4,那么滿足條件的△ABC(C)A.有一個(gè)解B.有兩個(gè)解C.無(wú)解D.不能確定2、ΔABC中,a=1,b=,∠A=30°,則∠B等于 （B） A．60° B．60°或120° C．30°或150° D．120°3、在△ABC中，根據(jù)下列條件解三角形，則其中有兩個(gè)解的是 （D）A．b=10，A=45°，B=70°B．a(chǎn)=60，c=48，B=100° C．a(chǎn)=7，b=5，A=80°D．a(chǎn)=14，b=16，A=45°4、符合下列條件的三角形有且只有一個(gè)的是 （D） A．a(chǎn)=1,b=2,c=3 B．a(chǎn)=1,b=,∠A=30° C．a(chǎn)=1,b=2,∠A=100° C．b=c=1,∠B=45°5、在△ABC中，a＝12，b＝13，C＝60°，此三角形的解的情況是（B ）A．無(wú)解 B．一解 C． 二解 D．不能確定6、滿足A=45°,c=,a=2的△ABC的個(gè)數(shù)記為m,則am的值為（A）A．4 B．2 C．1 D．不定7、已知△ABC中，121°，則此三角形解的情況是無(wú)解8、在△ABC中，已知，，，則邊長(zhǎng)。或?qū)ｎ}：等比疊加1、△ABC中，若，，則等于（A）A.2B.C.D.2、在△ABC中，A=60°,b=1,面積為，則=.專題：變式應(yīng)用1、在△ABC中，若∠A:∠B:∠C=1:2:3,則2、已知△ABC中，a∶b∶c＝1∶∶2，則A∶B∶C等于(A)A．1∶2∶3 B．2∶3∶1C．1：3：2 D．3：1：23、在△ABC中，周長(zhǎng)為7.5cm，且sinA：sinB：sinC＝4：5：6,下列結(jié)論：①②③④其中成立的個(gè)數(shù)是( C)A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)4、在△ABC中，已知邊,，求邊a、b的長(zhǎng)。解：由，EQ\F(sinB,sinA),可得，變形為sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B,又∵a≠b,∴2A=π－2B,∴A+B=.∴△ABC為直角三角形.由a2+b2=102和，解得a=6,b=8。5、在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為、b、c，若，則_________________。6、設(shè)銳角三角形的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，．（1）求的大??；（2）求的取值范圍．專題：求取值范圍1、△ABC中，已知60°，如果△ABC兩組解，則x的取值范圍(C)A． B． C． D．2、已知銳角三角形的邊長(zhǎng)分別為2、3、x，則x的取值范圍是（B）A． B．C． D．3、在銳角中，則的值等于，的取值范圍為.2答案

：設(shè)由正弦定理得由銳角得，又，故，所以余弦定理專題：公式應(yīng)用1、在△ABC中，a＝3，b＝，c＝2，那么B等于（ C ）A． 30° B．45° C．60° D．120°2、在三角形中，，則的大小為（）A． B． C． D．3、長(zhǎng)為5、7、8的三角形的最大角與最小角之和為(B)A.90°B.120°C.135°D.150°4、在△ABC中，150°，則b＝75、在△ABC中，若，則（C）A.B.C.D.6、在△中，三邊長(zhǎng)分別為,則的值為（D）A．38B．37C．36D．357、在△ABC中，已知，則角A為（C ）A． B． C． D．或8、在鈍角△ABC中，已知，，則最大邊的取值范圍是。9、設(shè)a、b、c是的三邊長(zhǎng)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有（B）A.B.C.D.9、三角形的兩邊分別為5和3，它們夾角的余弦是方程的根，則三角形的另一邊長(zhǎng)為（B）A．52 B． C．16 D．410、在△ABC中，已知AB=4，AC=7，BC邊的中線，那么BC=911、設(shè)A、B、C為三角形的三內(nèi)角,且方程(sinB－sinA)x2+(sinA－sinC)x+(sinC－sinB)=0有等根，那么角B （D） A．B>60° B．B≥60°C．B<60° D．B≤60°(sinA-sinC)2-4（sinB-sinA)(sinC-sinB)=sin2A-2sinAsinC+sin2C-4(sinBsinC-sinAsinC-sin2B+sinAsinB)=(sinA+sinC)2-4sinB(sinA+sinC)+4sin2B=(sinA+sinC-2sinB)2專題：判斷三角形1、若，則△（A）A.一定是銳角三角形 B.可能是鈍角三角形C.一定是等腰三角形 D.可能是直角三角形2、在△ABC中，角均為銳角，且則△ABC的形狀是（C）A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形3、△ABC中，，，則△ABC一定是（D）A.銳角三角形B.鈍角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形4、如果把直角三角形的三邊都增加同樣的長(zhǎng)度，則這個(gè)新的三角形的形狀為（A）A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.由增加的長(zhǎng)度決定5、△ABC中，，則△ABC一定是（D）A.直角三角形B.鈍角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形6、在△ABC中，若，則△ABC是（B）A．有一內(nèi)角為30°的直角三角形 B．等腰直角三角形 C．有一內(nèi)角為30°的等腰三角形 D．等邊三角形7、若的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且則（）A．為等腰三角形 B．為直角三角形C．為等腰直角三角形 D．為等腰三角形或直角三角形8、的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，根據(jù)下列條件判斷三角形形狀：9、若(a+b+c)(b+c－a)=3abc,且sinA=2sinBcosC,那么ΔABC是 （B） A．直角三角形 B．等邊三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形10、在△ABC中，已知,那么△ABC一定是( B )A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形11、在△ABC中，若，則△ABC的形狀是（D ）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形12在中，，，分別為角，，所對(duì)邊，若，則此三角形一定是（C）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰或直角三角形13、在△ABC中，若，則△ABC的形狀是（B）A.直角三角形B.等腰或直角三角形C.不能確定D.等腰三角形14、已知銳角三角形的邊長(zhǎng)分別為1，3，a，則a的范圍是（ B）A． B． C． D．15、A為ΔABC的一個(gè)內(nèi)角,且sinA+cosA=,則ΔABC是______三角形.鈍角16、在△ABC中，已知，，試判斷△ABC的形狀。解：由正弦定理得：，，。所以由可得：，即：。又已知，所以，所以，即，因而。故由得：，。所以，△ABC為等邊三角形。17、已知的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為,向量，且.（1）求角A的大小；（2）若，試求當(dāng)取得最大值時(shí)的形狀.9.解：（1）由又因?yàn)榻獾梅郑á颍┰?，．，?又由（Ⅰ）知所以，為正三角形18、在ΔABC中,求分別滿足下列條件的三角形形狀：①B=60°,b2=ac；①由余弦定理，.由a=c及B=60°可知△ABC為等邊三角形.②b2tanA=a2tanB；②由∴A=B或A+B=90°，∴△ABC為等腰△或Rt△.③sinC=③，由正弦定理：再由余弦定理：.④(a2－b2)sin(A+B)=(a2+b2)sin(A－B).④由條件變形為.∴△ABC是等腰△或Rt△.專題：1、在△ABC中，如果，那么等于。2、在中，已知，則___________3、在△ABC中，，則△ABC的最大內(nèi)角的度數(shù)是1204、在△ABC中，，cosC是方程的一個(gè)根，求△ABC周長(zhǎng)的最小值。解：又是方程的一個(gè)根由余弦定理可得：則：當(dāng)時(shí)，c最小且此時(shí)△ABC周長(zhǎng)的最小值為5、在中，角所對(duì)的邊分別為，且滿足，．（I）求的面積；（II）若，求的值．解（1）因?yàn)?，，又由得，?）對(duì)于，又，或，由余弦定理得，專題：已知面積1、已知△ABC的面積為，且，則∠A等于（D）A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120°2、在中，已知角、、所對(duì)的邊分別是、、，邊，且，又的面積為，則____________3、已知△中，，，，，，則（）A.B．C．D．或4、若△ABC的周長(zhǎng)等于20，面積是，A＝60°，則BC邊的長(zhǎng)是（C）A． 5 B．6 C．7 D．85、在ΔABC中，若SΔABC=(a2+b2－c2),那么角∠C=______.6、在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程的兩個(gè)根，且。求：(1)角C的度數(shù)；(2)AB的長(zhǎng)度。解：（1）C＝120°（2）由題設(shè)：7、在中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為、、，已知，且求b解法一：在中則由正弦定理及余弦定理有:化簡(jiǎn)并整理得：.又由已知.解得.解法二:由余弦定理得:.又,.所以 ①又，，即由正弦定理得，故 ②由①，②解得.專題：求三角形面積1、在△ABC中，,,∠A＝30°，則△ABC面積為（B）A． B． C．或 D． 或2、已知△ABC的三邊長(zhǎng)，則△ABC的面積為（B）ACB30米20米A． B． C． D．ACB30米20米3、三角形的一邊長(zhǎng)為14，這條邊所對(duì)的角為，另兩邊之比為8：5，則這個(gè)三角形的面積為。4、在△ABC中，°，°，∠C＝70°，那么△ABC的面積為（C）A． B． C． D．5、△ABC中，，，，則等于（C）ABC或D或6、在ABC中，,sinB=.（I）求sinA的值；(II)設(shè)AC=，求ABC的面積.7、、、為的三內(nèi)角，對(duì)邊分別為、、，若．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求的面積．解：（Ⅰ）又，，（Ⅱ）由余弦定理得即：，∴8、在銳角三角形中，邊a、b是方程x2－2EQ\r(,3)x+2=0的兩根，角A、B滿足：2sin(A+B)－EQ\r(,3)=0，求角C的度數(shù)，邊c的長(zhǎng)度及△ABC的面積。解：由2sin(A+B)－EQ\r(,3)=0，得sin(A+B)=EQ\F(\r(,3),2),∵△ABC為銳角三角形∴A+B=120°,C=60°,又∵a、b是方程x2－2EQ\r(,3)x+2=0的兩根，∴a+b=2EQ\r(,3),∴c=EQ\r(,6),=EQ\F(1,2)×2×EQ\F(\r(,3),2)=EQ\F(\r(,3),2)。a·b=2,∴c2=a2+b2－2a·bcosC=(a+b)2－3ab=12－6=6,∴c=EQ\r(,6),=EQ\F(1,2)×2×EQ\F(\r(,3),2)=EQ\F(\r(,3),2)。9、已知△的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，其中，又向量m，n，m·n=1．（1）若，求的值；（2）若，求△的面積．解：（1）∵mn∴∴由正弦定理得，，∴，（2）∵，，，∴，又∵，∴，∴，∴．10、在中，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）設(shè)，求的面積．10.解：（Ⅰ）由，得．2分∵，∴4分．6分（Ⅱ）由，得，8分由正弦定理得．10分所以的面積．12分11、在中，角所對(duì)的邊分別為，且滿足，．（I）求的面積；（II）若，求的值．解（Ⅰ）又，，而，所以，所以的面積為：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，而，所以所以定理應(yīng)用1、在200米高的山頂上，測(cè)得山下一塔頂與塔底的俯角分別為30°、60°，則塔高為（

）A.米B.米C.200米