一個(gè)公式的推導(dǎo)及妙用

一次函數(shù)中的一個(gè)公式的推導(dǎo)及妙用馬坪鎮(zhèn)中心中學(xué)王文國大家都知道兩直線y=k1x+b1,y=k2x+b2,當(dāng)k1=k2且b1=b2時(shí)，兩直線為同一條直線；當(dāng)k1=k2且b1≠b2時(shí)，兩直線平行。它們有共同特點(diǎn)就是k1=k2。但是若用待定系數(shù)法來求k值有時(shí)非常麻煩，而且有時(shí)也不必要求出直線解析式，下面介紹一種簡便方法。公式的推導(dǎo)直線y=kx+b經(jīng)過兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),則有y1=kx1+b……eq\o\ac(○,1),y2=kx2+b……eq\o\ac(○,2),eq\o\ac(○,1)-eq\o\ac(○,2)得y1-y2=k(x1-x2),∴k=即k值與直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)有關(guān)，這一公式不僅求k值簡單，而且在在判定兩直線平行、幾點(diǎn)共線，或兩直線平行求坐標(biāo)都比較方便。公式的運(yùn)用舉例下列四個(gè)點(diǎn)M(1,5),N(-1,1),P(3,7),Q(-3,-3)哪三個(gè)點(diǎn)在同一條直線上（）AM.N.PBM.N.QCN.P.QDM.P.Q解：設(shè)直線MN、MP、MQ、NQ、PQ的K值依次為K1、K2、K3、K4、K5.則很明顯K1=K3=K4∴選B點(diǎn)評：本題用描點(diǎn)法也很直觀、簡單，但說服力不強(qiáng)。若用待定系數(shù)法卻很麻煩，而用本公式就避免這兩個(gè)問題，學(xué)生也容易掌握。設(shè)拋物線y=ax2+bx-2與x軸交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A(-1,0)、B(m,0)，與軸交于點(diǎn)C.且∠ACB=90°.（1）求的值和拋物線的解析式；（2）已知點(diǎn)D(1,n)在拋物線上，過點(diǎn)A的直線y=x+1交拋物線于另一點(diǎn)E，若點(diǎn)P在x軸上，以點(diǎn)P、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△AEB相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo).解：（1）連結(jié)AC.∵∠ACB=90°AB⊥OC∴Rt△OBC∽R(shí)t△OCA∴OC2=AO·BO又∵OC=2,AO=1∴BO=4即B(4,0)∴m=4將A(-1,0)B(4,0)代入y=ax2+bx-2中得，解得即拋物線的解析式為y=x2-x-2（2）連結(jié)BE.設(shè)P(x1,0)由（1）可求D(1,-3)設(shè)直線DB的解析式為y=k1x+b1,可求k1==1，∴BD∥AE即∠DBP=∠BAE∵AB.BP在同一條直線上∴①當(dāng)DP1∥BE，即∠DP1B=∠ABE時(shí)，△AEB∽△BDP1由得E(6,7)∴∴x1=②當(dāng)∠BDP2=∠ABE時(shí)，△AEB∽△BP2D∽△BDP1∴∴BD=BP·BP∴(4-1)+[0-(-3)]=(4-x)(4-)∴x1=-綜合①②點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）或（-，0）點(diǎn)評：此題中運(yùn)用K值相等判定兩線平行，為判定兩角相等，進(jìn)而為判定三角形相似提供了理論依據(jù)。而且又由角相等，得到線