2023高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)-立體幾何綜合小題練習(xí)100題

2023高考數(shù)學(xué)——立體幾何綜合小題必刷100題

目錄

1.任務(wù)一:善良模式（基礎(chǔ)）1-30題................................................1

1.1.單選題..................................................................1

1.2.多選題.................................................................13

1.3.填空題................................................................21

2.任務(wù)二：中立模式（中檔）1-40題................................................27

2.1.單選題.................................................................27

2.2.多選題..................................................................51

2.3.填空題................................................................67

3.任務(wù)三:邪惡模式（困難）1-30題................................................78

3.1.單選題.................................................................78

3.2.多選題...............................................................106

3.3.填空題...............................................................123

1.任務(wù)一:善良模式（基礎(chǔ)）1-30題

1.1.單選題

1.已知正四棱錐的底面邊長和側(cè)棱長均為2,則該正四棱錐的體積為（）

A.—B.4√2C.逋D.4√3

33

【答案】A

【分析】

計算出正四棱錐的底面積，然后利用錐體的體積公式可求出該正四棱錐的體積.

【詳解】

正四棱錐的底面積為2x2=4,正四棱錐的高為巧彳可=忘

因此，該正四棱錐的體積為k√∑χ4=逑.

33

故選：A.

2.已知相，“為兩條不同的直線，a,力為兩個不同的平面，則下列說法正確

的是（）

第1頁共134頁

A.若〃ua,貝∣j"M∕aB.若，w∕∕a,〃ua,貝（j加〃〃

C.若WUa,nuβ,m∕∕n,貝（ja∕/D.若a〃夕，"?ua,貝（jm//2

【答案】D

【分析】

利用線面平行、面面平行的判定、性質(zhì)定理，依次分析即得解

【詳解】

選項A：有可能出現(xiàn)加Ua的情況；

選項B：加和〃有可能異面；

選項C:a和夕有可能相交；

選項D：由a〃夕，機(jī)ua,得直線相和平面尸沒有公共點，所以加〃夕，

故選：D

3.如圖，空間四邊形。"C中，點M在線段OZ上，且兩=2而，N為8。的中

點，MN=xOA+yOB+zOC,則x,V,Z的值分別為（）

._1__￡_i_?_21λTL_L_2n22_J_

99,,

A?-9--f-O.--9792C?22^3^D?73^^2

【答案】B

【分析】

利用空間向量的基本定理求解.

【詳解】

,_____:1__________O___,

因為麗=礪_兩=-(0B+0C)--O4,

-2-+l?+l-

322

第2頁共134頁

211

所以x=_§，y=--z=y.

故選：B.

4.己知α,β,，是三個不同的平面，相，〃是兩條不同的直線，下列命題為

真命題的是（）

A.若加〃a,m/1βt則α∕∕y?B.若〃?//ɑ,n/Ia,貝及//〃

C.若nLa,貝∣j相〃"D.若aU,βLy,貝!jα〃月

【答案】C

【分析】

利用空間中點線面之間的位置關(guān)系即可對每個選項做出判斷，從而選出正確選

項.

【詳解】

對于選項A：若m∕∕a,加//萬，則α與尸平行或相交，故選項A不正確;

對于選項B：若InHa,nila,則陽與〃可平行、異面、或相交，故選項B不正

確;

對于選項C：若〃?-La,?1?,則用〃〃，垂直于同一平面的兩個直線平行，故選

項C正確;

對于選項D：若α?Ly,βM，則α與夕平行或相交，故選項D不正確.

故選：C

5.已知四棱錐P-ZBC。的正視圖和側(cè)視圖均為邊長為2（單位：cm）的正三角

形，俯視圖為正方形，則該四棱錐的體積（單位：cπ?）是（）

84√34√24

B.C.

3亍~T^3

【答案】B

【分析】

根據(jù)四棱錐P-/8C。是正四棱錐求解.

【詳解】

如圖所示:

第3頁共134頁

由題意知：四棱錐尸-/8CZ）是正四棱錐，

因為四棱錐P-ZBC。的正視圖和側(cè)視圖均為邊長為2（單位：cm）的正三角形,

所以PE=2,BC=2,

則正四棱錐的高為：Po=JPE「EO。,

又因為俯視圖為正方形，

所以％的,=Jx2χ2x√i=士，，

故選：B

6.在正方體/8CQ-48CA中，則直線4。與直線/C所成角大小為（）

A.30'B.45"C.60D.90°

【答案】C

【分析】

設(shè)正方體的棱長為“，連接4G,證明4G///C可得/ZMG或其補角即為直線4。

與直線/c所成角，在AD4G中求/O4G即可求解.

【詳解】

設(shè)正方體ABCD-44CQ的棱長為α,連接AiCt,

因為4√∕CG且∕4=CG，所以四邊形MGC是平行四邊形，

可得4G///C,

所以404G或其補角即為直線4。與直線AC所成角，

在△￡>%G中，。4=4G=QG=缶，所以4?G=60°,

所以直線4。與直線ZC所成角大小為60°,

故選：C.

第4頁共134頁

7.正方體/8CZ)-M4GA的棱長為2,尸為側(cè)面/網(wǎng)4內(nèi)動點，且滿足I町|=6,

則APBC面積的最小值為()

A.1B.√2C.2D.2-√2

【答案】B

【分析】

建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)P(2∕,z)由IPAI=得出點P的軌跡方程,

由幾何性質(zhì)求得ImL,,再根據(jù)垂直關(guān)系求出APBC面積的最小值.

【詳解】

以點。為原點，',DC,O4分別為x，%z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

則R(0,0,2),8(2,2,0),設(shè)P(2∕,z)

所以陷I=J4+產(chǎn)+卜_2)2=6,得/+(z-2)2=2,

所以IPBlmM=√(2-0)2+(0-2)2-√2=√2

因為5C_L平面Z明4,^BCLPB

故AMC面積的最小值為S=18CHP/M=&

第5頁共134頁

故選：B

8.在直三棱柱/8C-4BC中，NACB=90°.R、E分別是/￡、&C；的中點,

CA=CB=CCit則/片與84所成角的余弦值為（）

r√15√30

?-fB.嚕LJ?-------D.

10To-

【答案】D

【分析】

以C為坐標(biāo)原點，以CB、CA.CG方向分別為x、六Z軸正方向，建立空間坐

標(biāo)系，如圖，設(shè)8C=8/=CG=I,分別求出西、布的坐標(biāo)，根據(jù)空間向量的數(shù)

量積求出8S（西,語）即可

【詳解】

以C為坐標(biāo)原點，以C8、CA.CG方向分別為x、y、Z軸正方向，建立空間坐

標(biāo)系,

如圖，設(shè)BC=ZC=CG=I,

8(1,0,0"(1,0,1)/(0,1,0),4(0,1,1),呢OG(O,o,ι),4[o1,ι

____11____1

則叫=(-展展I)Mg=(O,

/——?~BD,?AE√30

所以CM%,眼>=畫詞=而，

故選：D

第6頁共134頁

<1

9.如圖，在正方體/3CD-/由ICIDl中，則以下結(jié)論錯誤的是()

A.50〃平面CBtDxB./OJ_平面CBiDi

C.ACiLBDD.異面直線AD與CBl所成的角為45°

【答案】B

【分析】

利用直線與平面平移以及垂直的關(guān)系，結(jié)合異面直線所成角判斷命題的真假即

可.

【詳解】

解：A,在正方體力BS-NiBCbDi中，①BD〃BiDi,BQu平面C8。；

BDC平面CBbD|；所以80〃平面CBd;A正確；

B,；AD∕∕A?D?,且42_L平面。CG〃，所以4)_L平面。CCa,

又平面。CCQ號平面CBD不平行，所以AD與平面CSA不平行，；B不正確;

C,ZG在底面Z8C。上的射影NC,BDLAC；所以C正確；

D,根據(jù)正方體的性質(zhì)可得4)∕∕8C

第7頁共134頁

所以異面直線AD與CBl所成的角即為直線8C與CBl所成的角,

由4(2=45。，所以異面直線40與CBl所成的角為45。；D正確

故選：B.

10.已知向量)=(2w+l,3,/M-1),b=(2,m,-m),且出區(qū)，則實數(shù)用的

值等于()

3a

C.0D.5或一2

【答案】B

【分析】

利用空間向量平行的坐標(biāo)表示，即可求得結(jié)果.

【詳解】

=""=0時，5=(1,3,—1),b=(2,0,0),

G與B不平行，.?."7≠0,allb，

.2/n+I3m-?R陽,

??丁=Z=='A解i得”=-2.

故選：B

11.正方體/5Ca-4歷GDl中，E,廠分別是線段BC,Col的中點，則直線

/由與直線EF的位置關(guān)系是()

A.相交B.異面

C.平行D.垂直

【答案】A

【分析】

連接BR,皿,CR與CQ交于點F,易有,根據(jù)平面的基本性

質(zhì)即可判斷直線48與直線EF的位置關(guān)系.

【詳解】

如圖所示，連接BR,CA,C"與CQ交于點R

由題意，易得四邊形4嵐4是平行四邊形，

在平行四邊形48CA中，E,尸分別是線段8C,CR的中點，

：.EFHBD又4δc8Z)∣=8且4,8,E,F共面,則直線/田與直線E尸相交.

第8頁共134頁

故選：A.

5

12.已知直三棱柱∕8C-44G中，ZABC=6O0,AB=2,BC=Cg=I,則異面直

線/q與8G所成角的余弦值為（）

A.—B.OC.典D.在

253

【答案】B

【分析】

先用余弦定理求出/C=百，再由勾股定理可證可所以C4C8,CC∣兩兩

垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點坐標(biāo)以及福、南的坐標(biāo)，利用空

間向量夾角公式計算MS（福,南）|即可求解.

【詳解】

因為直三棱柱4BC-4B∣C∣中，ZABC=60°,AB=2,BC=I,

222,

在AN8C中，由余弦定理可得：AC=AB+BC-2ABBCcos60≈4+l-2×2×l×^≈3,

所以∕C=√L

BC2+AC2=AB1,所以8C_L/C,進(jìn)而可得C4C8,CC∣兩兩垂直，

所以以C為原點，CB為X軸，。1為＞軸，CG為Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則N(0,G,0),8(1,0,0),5l(1,0,1),C1(0,0,1),^^=(1,-√3,1),5∩=(-l,0,l),

?Bcl-1+0+1

所以COS（葩,西）=C

函H罔√5×√2

設(shè)異面直線/片與8C∣所成角的平面角為巴

則異面直線期與g所成角的余弦值為：cos。=∣cos^,5q）∣=0,

故選：B.

第9頁共134頁

13.把一個皮球放入如圖所示的由8根長均為20Cm的鐵絲接成的四棱錐形骨

架內(nèi)，使皮球的表面與8根鐵絲都有接觸點(皮球不變形)，則皮球的半徑為

()

A.10√3cmB.10cm

C.10Λ∕2cmD.30cm

【答案】B

【分析】

判斷出球心的位置，由此計算出球的半徑.

【詳解】

依題意可知該四棱錐是正四棱錐，且OS_L平面/38,則

OA=OB=OC=OD=-AC=i×√202+202=10√2,

22

22

OS=y∣AS-OA=y∣20r-(10旬,=10方，

所以0/=08=0C=OO=OS=I0√Σ,

。到N8,8C,CaZ1。的距離都是;/8=10,

第10頁共134頁

在等腰直角三角形CMS中，。到154的距離為gs∕=10,

同理可得。到SB,SC,S。的距離也是10.

所以。是皮球的球心，且皮球的半徑為IoCm.

故選：B

14.一種特殊的四面體叫做“鱉膈”，它的四個面均為直角三角形.如圖，在四面

體P-45C中，設(shè)E,尸分別是尸5,PC上的點，連接∕E,AF,E尸（此外不

再增加任何連線），則圖中直角三角形最多有（）

A.6個B.8個

C.10個D.12個

【答案】C

【分析】

由題設(shè)，若四面體P-NBC為“鱉膈”，應(yīng)用線面、面面垂直的判定、性質(zhì)只需

AELEF.AELPC.EFLPC,即PFE尸也是“鱉膈”，即可保證直角三角形最

多，進(jìn)而確定個數(shù)即可.

【詳解】

為使題圖中有盡可能多的直角三角形，設(shè)四面體尸一48C為“鱉膈”，

其中HL面/8C,BC^ABC,則RIJ_8C,

第11頁共134頁

又ABLBC,AB∏PA=A,

ΛCβ±≡PAB.

AELPB,EFLPCz

?CBL^PAB,5C?jf∏PBC,貝U面以6_1_面P8C,又AEU面R4B,面∕?gn

面PBC=PB,

PBC,EF、PC?≡PBC,則ZEJ_EF且4E，尸C,又EFJLPC,

.?.四面體P-ZE尸也是“鱉展”，則10個三角形全是直角三角形，

故選：C.

15.在四棱錐P-Z8CZ）中，底面是邊長為4的正方形，且P4=2,PB=PD=2下,

則四棱錐外接球的表面積為（）

A.4；TB.8〃C.36〃D,144;F

【答案】C

【分析】

利用勾股定理判斷PNJ?平面/88,過正方形z88的中心。，作垂線，再過尸/中

點作此垂線的垂線，交點。即為外接球的球心，求出外接球半徑，由表面積公

式即可求解.

【詳解】

由題意可知尸才+41二尸爐，PA2+AD2=Pb1,

所以PNJL/8,PALAD,

又ABCAD=A,

所以P/_L平面力BCD,

過正方形ABCD的中心O作垂線，

再過尸/中點作此垂線的垂線，交點為O,

此點即為外接球的球心,

第12頁共134頁

則外接球半徑R=OA=4+"『=3'

所以四棱錐外接球的表面積S=4乃斤=36乃.

故選：C

1.2.多選題

16.給出下列命題，其中正確的有()

A.空間任意三個向量都可以作為一組基底

B.已知向量;〃力，則入B與任何向量都不能構(gòu)成空間的一組基底

C.已知空間向量&=(1,0,1),6=(2,-1,2),則標(biāo)

D.已知空間向量G=(1,0,1),ft=(2,-1,2),則向量3在向量E上的投影向量的坐標(biāo)

是HW

【答案】BD

【分析】

對選項A,B,根據(jù)空間向量基底概念即可判斷A錯誤，B正確，對選項C,根

據(jù)空間向量平行的坐標(biāo)運算即可判斷C錯誤，對選項D,根據(jù)投影向量概念求

解即可.

【詳解】

對選項A,因為空間中只有不共面的三個向量可以作為一組基底，故A錯誤.

對選項B,因為"力，則］A與任何向量都是共面向量，故B正確.

對選項C,α=(1,0,1),?=(2,-1,2),

因為《二二，所以入書不平行，故C錯誤.

2—1

對選項D,75=2+0+2=4,W=J4+1+4=3,

a-bb4I??(848)

所以向量Z在向量讓的投影向量為WXM=差(M2，-11，2)=丘一歹句.故D正確.

故選：BD

17.如圖，正方體∕8CZ)-44C㈤的棱長為4,以下結(jié)論正確的是()

第13頁共134頁

B.直線4。與8G平行

C.直線片。與垂直

D.三棱錐CQ的體積為竽

r答案】AD

【分析】

A選項結(jié)合異面直線的定義即可判斷；B證得即可判斷；C由直線4。

與8。是矩形8。。聲的兩條對角線即可判斷；D用正方體的體積減去四個三棱錐

的體積即可求出結(jié)果判斷.

【詳解】

直線8Q在平面BCC圈內(nèi)與Bcl沒有交點，所以直線BQ與Ba是異面直線，故Z

項正確；

.4B“CPι,且AB=CR,所以四邊形48Ca為平行四邊,因此又

因為LzA，所以40J?5G,故8項錯誤；

直線與。與54是矩形出刈內(nèi)的兩條對角線，不垂直，故。項錯誤；

第14頁共134頁

A,-BCtD=匕IBCD-4B1CR~A1-ABD-^Cl-BCD-^D-AlClDl~^C1-A1B1B

=4?-JXLX4x4x4-LχLχ4x4x4-1χ1χ4x4x4-LX—×4×4×4=

323232323

故。項正確.

故選：AD.

18.如圖，正方體MCD-44CA的棱長為1,點P是棱cc,上的一個動點（包含

端點），則下列說法正確的是（）

A.存在點P,使OP//面Q

B.二面角P-四-。的平面角大小為60。

C.PB+段的最小值是有

D.「到平面/8Q的距離最大值是。

【答案】AC

【分析】

對于A,當(dāng)尸與G重合時可得結(jié)論，對于B,二面角P-即-。就是二面角

C-BBx-D,從而可求出結(jié)果，對于C,如圖沿棱CG展開面ABCG為面GCFE,

利用兩點之間線段最短判斷，對于D,當(dāng)尸與C重合時，點C到面/4。的距離

最大，從而可求得結(jié)果

【詳解】

對于A,當(dāng)P與G重合時,DPHABi,根據(jù)線面平行的判定,可得使Z)P〃面第A,

故正確；

對于B,二面角P-BB,-。就是二面角C-88∣-O,其平面角大小為45。.故錯；

對于C,如圖沿棱CG展開面8田Ca為面C,CFE,使點3，D,C,cι,E,尸共

面，則PB+尸A的最小值為DF=L+DF=后,故正確；

第15頁共134頁

對于D,當(dāng)P與C重合時，4C垂直平面此時點C到面相Q距離最大值

19.已知"?、〃是兩條不同的直線，a、B、7是三個不同的平面.下列說法中正

確的是（）

A.若"”/a,mu。，ac?β=n,貝fj/”//aB.若加〃"，mHa,則〃〃α

C.若ac0=n,?1∕?,βIy,貝（j"?L∕D.若，w_La,m工/3,allγ,貝（j力〃，

【答案】ACD

【分析】

對于A,利用線面平行的性質(zhì)定理判斷，對于B,利用線面平行的判定定理判

斷，對于C,利用線面垂直的判定定理判斷即可，對于D,利用面面平行的判

定方法判斷

【詳解】

由線面平行的性質(zhì)定理可知，A正確；

若小〃α,機(jī)〃〃，則"〃?；颉?即B錯誤；

設(shè)α,"的法向量分別為之范，若α∏6=M,則又α”,∕7”,則Z〃7,

b∕∕r,所以“J?y,即C正確；

若加_La則α〃夕，又?！?,則夕〃7,即D正確.

故選：ACD

20.在下列條件中，不能使M與4B,C一定共面的是（）

A.OM=IOA-OB-OCiB.OM=∣GU+?5+∣<9C-

UUUlUUlLUUU___________________

C.MA+MBMC=0↑D.OM+OA+OB+OC=0;

【答案】ABD

第16頁共134頁

【分析】

根據(jù)四點共面的條件對選項逐一分析，由此確定正確選項.

【詳解】

M與A,B,C一定共面的充要條件是麗=X刀+y08+z反,x+y+z=l,

對于A選項，由于27-1=0聲1,所以不能得出“，4民C共面，

對于B選項，由于g+；+所以不能得出M，43,C共面，

對于C選項，由于血=-麗-荻，則忘,礪,祝為共面向量，所以”,4民C共面,

對于D選項，^OM+OA+OB+OCOM^OA-OB-OC,而-1-1-1=-3≠l,

所以不能得出M,48,C共面.

故選：ABD

21.如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點，M,N為正方

體的頂點.則滿足MN_Lo尸的是（）

【答案】BC

【分析】

根據(jù)線面垂直的判定定理可得BC的正誤，平移直線MN構(gòu)造所考慮的線線角后

可判斷AD的正誤.

【詳解】

設(shè)正方體的棱長為2,

對于A,如圖（1）所示，連接4C,則MV∕∕∕C,

故乙PoC（或其補角）為異面直線8,MV所成的角，

第17頁共134頁

1_√2

故ZPOC=

在直角三角形OPC,0C=√2.CP=\,tanTrT

故歷V，OP不成立，故A錯誤.

對于B,如圖（2）所示，取Nr的中點為0,連接尸0,OQ,則O0LN7,PQLMN,

由正方體SBCM-NADT可得SNj_平面ANDT,而。。u平面月加7,

故SN_L。。，而SNrlMN=N,故。。J?平面SNTM,

又MNU平面SNTM,OQVMN,而OQ∏PQ=0,

所以MN，平面0P。，而PoU平面OPQ,故MNJ尸，故B正確.

對于C,如圖（3）,連接加，則83∕∕Λ∕N,由B的判斷可得OP_L8。,

故OPLMN,故C正確.

第18頁共134頁

對于D,如圖（4）,取NO的中點。，N8的中點K,連接“CP。,。。,PK,OK,

貝IJACHMN,

因為。P=PC,故PQ∕Λ4C,故PQ//MN,

所以N0尸?；蚱溲a角為異面直線POAW所成的角，

22

因為正方體的棱長為2,故P。=3C=7∑,OQ=y∣A0+AQ=√l+2=√3,

PO=yJPK2+OK2=√4+T=√5>QO2<PQ2+OP2,故』。尸。不是直角，

故尸O,ATN不垂直，故D錯誤.

故選：BC.

22.設(shè)一空心球是在一個大球（稱為外球）的內(nèi)部挖去一個有相同球心的小球（稱

為內(nèi)球），已知內(nèi)球面上的點與外球面上的點的最短距離為1,若某正方體的所

有頂點均在外球面上、所有面均與內(nèi)球相切，則（）

第19頁共134頁

A.該正方體的核長為2B.該正方體的體對角線長為3+g

C.空心球的內(nèi)球半徑為0-1D.空心球的外球表面積為（12+6√η兀

【答案】BD

【分析】

設(shè)內(nèi)外球半徑分別為r，R,利用正方體的對角線求得R=技，根據(jù)兩球上點的

距離最小值為R-r=ι,求解后得到r,R,進(jìn)而求得正方體的對角線和外接球的

表面積.

【詳解】

設(shè)內(nèi)外球半徑分別為，、R，則正方體的棱長為2廠，體對角線長為2R,.?.R=√^,

又由題知&-『=］，所以〃=&.,R=^

22

正方體棱長為6+1,體對角線長為3+石，

外接球表面積為兀（3+6）=（12+6>∕J卜,

故選：BD.

23.在正三棱柱NBC-48C中，AB=1,AAt=2,8g與交于點尸，點E是

線段4片上的動點，則下列結(jié)論正確的是（）

A.AF=-AB+-AC+-AA

2221

B.存在點E,使得,4F"L8E

C.三棱錐8-4EF的體積為由

12

D.直線4尸與平面8CC4所成角的余弦值為亨

【答案】AC

【分析】

A.利用空間向量運算求解判斷；B.利用空間向量運算求解判斷；C.利用等體積

法求解判斷；D.利用線面角的求解判斷.

【詳解】

由題意，畫出正三棱柱/8C-/0G如圖所示，

第20頁共134頁

向量/=方+/^方+；回+西)=∑β+i(7C-∑β)+?^Zξ=y∑5+y^C+yZζ,

故A正確；

假設(shè)存在點E,設(shè)4七=4/￡，owawi,所以

^=^-AB=AAi+AJE-AB=AAi+λJζBl-AB=AA]+(λ-l)ABAF±BE,所以

而而=（；荔+；衣+；麴）?[Zξ+（"l）布卜翔—1）方2+；麴2+；（九_]）衣而1

+-

2

?∕5=；(4-l)+；x2?+；(2T)XIXIx；=0.解得4=.故B錯誤;

因為正三棱柱Z8C-44G,所以4B//44,所以

r/_V_..1_11

〃三棱融-/8F="三棱網(wǎng)T8F=J校雄/f四=5/三梭惟CT88]=5'三梭怵鳥f8C=Q

x；XlXIXqX2x；=*,所以匕.3師=5斤,呼=。故C正確;

設(shè)BC中點為。，所以ZO_L8C,三棱柱/8C-44G是正三棱柱，所以“。，平面

BBGC,所以N4FO即AF與平面BBGC所成的角,2Fo="="迎故

AF√77

D錯誤.

故選：AC.

第口卷（非選擇題）

1.3.填空題

24.已知正方體/3CD-45ιGDι的棱長為2,M.N分別為331、5C的中點,

則三棱錐N-DMCl的體積為.

第21頁共134頁

【答案】1

【分析】

利用等體法以及三棱錐的體積公式即可求解.

【詳解】

「N-DMC、=VD-NMC、=gS.NMC、'DC

=JXf22—LX1×1——×Ix2——×1×2∣×2=I

3I222)

故答案為：1

25.已知正三棱錐的底面邊長是6,側(cè)棱與底面所成角為60。，則此三棱錐的體

積為一

【答案】18√3

【分析】

過。作OGL平面48C交于點G,延長ZG交8C于。，在"BC中，求得∕G=2√J,

根據(jù)。GL平面N8C,得到NOIG=60。，求得OG=6,結(jié)合體積公式，即可求解.

【詳解】

如圖所示，過。作。GL平面/8C交于點G,延長NG交5C于。，

所以點G是"8C的中心，所以49是等邊“8C的?條高，其中邊長為6,

所以AD=@BC=3后,可得NG=∣?NO=2√J,

23

因為。GL平面N8C,所以/O4G=60。，

在直角a0∕G中，可得OG=&G=&2拒=6,

2

由“BC的邊長為6,可得5ΔJSC=^×6=9√3,

所以三棱錐0-/8C的體積為V=；XSiUzic?OG=gx9√Jχ6=18√J.

故答案為：18√J.

第22頁共134頁

O

26.如圖，在直三棱柱NBC-44G中，N∕C5=90°,AA1=AC=BC=I,則異

面直線45與4C所成角的余弦值是.

【答案】5

【分析】

由ZC〃4G，知NC/8是異面直線48與ZC所成角（或所成角的補角），由此

能求出異面直線4B與AC所成角的余弦值.

【詳解】

解：連結(jié)SG,?.?∕C"4C,

.?.NG48是異面直線48與/C所成角（或所成角的補角），

?.?在直三棱柱力8C-44G中，NNcg=90°,AA1=AC=BC=\,

，∕8=√Σ,48=5BG=C,4G=ι,

：.CoSNCMB=專

異面直線48與/C所成角的余弦值為日?

故答案為：4

第23頁共134頁

27.已知圓臺上底半徑為L下底半徑為3,高為2,則此圓臺的外接球的表面

積為.

【答案】40;T

【分析】

先畫出圓臺的軸截面，利用圓心到上底圓周上一點等于外接球半徑，圓心到下

底圓周上一點等于外接球半徑，建立方程，解出外接球半徑，求出外接球表面

積.

【詳解】

如圖所示，

設(shè)外接球半徑為八球心到上底的距離為人則球心到下底的距離為1〃-2|

2

則有r=1+配，√=9+(2-?),解得力=3,廠=布.所以外接球的表面積為

4πr2=40萬.

故答案為：40萬

28.如圖，已知平行六面體43CD-40GR中，底面N8C/)是邊長為2的正方形,

側(cè)棱44長為3,且/4/8=4/0=120。，則/G=_.

第24頁共134頁

【答案】√5

【分析】

由空間向量的加法法則有離=而+屈+麴，然后平方，轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運算可

得.

【詳解】

平行六面體"8CZ)—48∣CQ∣中，AC1=AD+AB+AAx,

2

ACl^=(AD+AB+AAl)=AD+AB^+J+2AB?AD+2AD?AAx+?AA1

=4+4+9+0+2×2×3×(--^?)+2×2×3×(--?)=5

jc1=∣jq∣=√5.

故答案為：v?.

29.如圖，在空間四邊形046C中，OA=a,OB=KOC=c9點M在O力上，且

OM=2M4,JV為5C的中點，則用向量〃,標(biāo)表示向量麗=.

【答案】C

【分析】

根據(jù)麗=麗-兩=;(歷+反)-：刀，由此能求出結(jié)果.

【詳解】

???在空間四邊形048。中，?=Z歷=a反=工，點M在ON上，且OM=2M4,

第25頁共134頁

N為BC的中點，

/.MN=ON-OM=-(OB+0C]--OA=--a+-b+-c.

2、,3322

故答案為：-ga+；"；。.

30.已知四棱錐P-45CO的頂點都在球。的球面上，底面/6CZ）是邊長為2

的正方形，且RIJ_平面/6C0.若四棱錐P-/5C0的體積為當(dāng)，則球。的表

面積為.

【答案】24萬

【分析】

由題意，畫出示意圖，四棱錐P-ZBa）的體積∕=gs?P4=gx4xP/=果PA=4,

AC=y∕2AB=2y[2,PC?y∣AC2+AP2?2√6>球O的半徑尺=gPC=K,進(jìn)而求解.

【詳解】

解：由題意，畫出示意圖如圖：

則正方形ABCD面積S=4,

,/四棱錐P-ZBCO的體積P=gs?P4=gx4χP4=g,.?PA=4,

AC=SAB=2五,PC=y∣AC2+AP2?2√6

球0的半徑R=；PC=R

球0的表面積：S=4πR2=24萬.

故答案為：24乃

第26頁共134頁

2.任務(wù)二:中立模式(中檔)1-40題

2.1.單選題

1.在三棱錐產(chǎn)一/5C中，/APB=NBPC=ZCPA=KPAB,"AC,APBC

的面積分別記為邑，且珥=2$2=2邑=3白，則此三棱錐的內(nèi)切球的半徑為

()

2√6-VJ?2-?∕6—5/3

Aa.-------D.--------

37

r2√2+ln2√2+l

36

【答案】B

【分析】

根據(jù)二角形面積公式求出面積，聯(lián)立方程求出棱長，再求出棱錐高得出棱錐體

積，由等體積法求出內(nèi)切球的半徑即可.

【詳解】

VSI=^??PA?-?PB?sinZAPB=奈?評出8∣=√3,

,

S2=∣?∣∕4IPq?sinZAPC=(?∣P∕∣?∣PC∣=~,

S3="8HPCkinZSPC='僧倒卜?,

解得照I=IM=2,∣PC∣=3,

由余弦定理可得的=∣8C∣=√7,I麗=2,

第27頁共134頁

取川？的中點。，連接尸。，CD,如圖,

可得尸CDLAB,PD=y∕3,CD=E,IPD「+∣CD「=∣Pef,

所以PeC。，

所以PD_L平面ABC,

________3%<ac√6?√32√6-√3

內(nèi)切球半徑=f-----------~------------

SGP“B+SVC+SAPBC+SAABC4√3+√67

故選：B

2.在立體幾何探究課上，老師給每個小組分發(fā)了一個正四面體的實物模型，同

學(xué)們在探究的過程中得到了一些有趣的結(jié)論.已知直線平面α,直線8CV/平

面α,b是棱5C上一動點，現(xiàn)有下列三個結(jié)論：

①若M,N分別為棱/C,5。的中點，則直線MN//平面α；

②在棱BC上存在點R使4尸，平面a；

③當(dāng)尸為棱5C的中點時，平面/。尸，平面a.

其中所有正確結(jié)論的編號是（）

A.③B.①③C.①②D.②③

【答案】A

第28頁共134頁

【分析】

將正四面體放在正方體中，如圖，由正方體的性質(zhì)判斷各選項.

【詳解】

可將正四面體放在正方體中研究，如圖，

對于①，由直線〃平面α,直線BC〃平面α,知平面α是與左右兩個側(cè)面平行

的平面，

",N是前后兩個側(cè)面的中心（對角線交點），則直線MN//平面α或直線MNU平

面α,故①錯誤.

對于②，正方體的左、右兩個側(cè)面與平面。平行，因此，與平面α垂直的直線只

能是與其四條側(cè)棱平行或重合的直線，故②錯誤.

對于③，平面4。尸就是平面∕tf>PE,由。P與側(cè)面垂直，得面面垂直，故③正確，

故選：A.

3.已知圓臺上底面半徑為3,下底面半徑為4,高為7,若點/、B、C在下底

面圓的圓周上，且∕18?L8C,點P在上底面圓的圓周上，貝IjPT+PB'PC?的最小

值為（）

A.246B.226C.208D.198

【答案】D

【分析】

222

問題可轉(zhuǎn)化為三棱錐P-ABC且三棱錐有外接球，求PA+PS+PC轉(zhuǎn)化為求

0才+04+。。2的最值，再轉(zhuǎn)化為利用向量求解即可

【詳解】

如圖，

第29頁共134頁

A∕8C的外心是AC中點。i,點尸到底面/BC的距離為7,設(shè)P所在截面圓的圓

心為。2,此截面與平面/8C平行，球心。在。。2上，

2222

00,=y∣R-OC=√5-4=3,OO2=O1O2-OOt=7-3=4,

則r=Q尸=JE-。已=3,

設(shè)P在平面Z8C上的射影為0,則。在以Q為圓心，3為半徑的圓，因為尸Q_L

平面Z8C,所以P0與平面ZBC內(nèi)所有直線都垂直，PQ=I,

所以P/?+PB2+PC2=PQ2+QA2+PQ2+QB2+PQ2+QC2

=QA2+QB2+QC2+?41

222？

QA+QB+QC（QOi+9丫+（函+網(wǎng),+（函+砌

-2--------2--------2--------2------------------------?------------------------

=3。。］+0［√4+O'B+O1C+2。。［?。/+20。］?。田+20。］?。。

=27+16+16+16+2西?廂+*卜2西Oβ

=75+2西取，

當(dāng)函,。滴反向時，西?用取得最小值-12,

所以尸才+尸出+尸。）的最小值147+75-2x12=198.

故選：D

4,北京大興國際機(jī)場的顯著特點之一是各種彎曲空間的運用.刻畫空間的彎曲

性是幾何研究的重要內(nèi)容用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點的曲率等

于2π與多面體在該點的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，

角度用弧度制），多面體面上非頂點的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多

面體各頂點的曲率之和，例如：正四面體在每個頂點有3個面角，每個面角是爭

所以正四面體在各頂點的曲率為2兀-3x^=兀，故其總曲率為4π,則四棱錐的總

曲率為（）

第30頁共134頁

A.2萬B.41C.51D.6兀

【答案】B

【分析】

根據(jù)題中給出的定義，由多面體的總曲率計算求解即可.

【詳解】

解：由題意，四棱錐的總曲率等于四棱錐各頂點的曲率之和，

因為四棱錐有5個頂點，5個面，其中4個三角形，1個四邊形，

所以四棱錐的表面內(nèi)角和由4個三角形和1個四邊形組成，

所以面角和為4萬+24=6萬，

故總曲率為5X2萬-6乃=4萬.

故選：B.

5.如圖，正方體488-44G2的棱長為1,線段4。上有兩個動點E,F,且

EF當(dāng),則三棱錐G8E尸的體積為（）

第31頁共134頁

DA

A.?B.?C.D.不確定

12412

【答案】A

【分析】

根據(jù)題意可知平面/88,而E,尸在線段BQ上運動，則痔〃平面188,

從而得出點5到直線44的距離不變，求出A8E尸的面積，再根據(jù)線面垂直的判

定定理可證出ZO?L平面成尸，得出點A到平面BE尸的距離為/0=也，最后利

2

用棱錐的體積公式求出三棱錐N-BEF的體積.

【詳解】

解：由題可知，正方體/88-/fCR的棱長為1,

則40”平面力88,又￡,尸在線段SQ上運動，

EFH^^^ABCD,

二點8到直線的距離不變，

由正方體的性質(zhì)可知BB?1平面N/C,則BB11EF,

而EF=*,δβl=l,

故ABEF的面積為1χ2∕Σχl=yi,

224

又由正方體可知，ACLBD,ACIBB1,^BDr>BBt=B,

：.AC1平面BB1D1D,則AC，平面BEF,

設(shè)4C與8。交于點。，則/0J.平面8E尸，

第32頁共134頁

???點A到平面5E尸的距離為Z。=也,

2

.V_1√2√2_1

A-BEF34212

6.如圖已知正方體/BCDfgGA,點M是對角線"G上的一點且加=λACi,

六(0,1),則()

A.當(dāng)人；時，NG，平面4。MB.當(dāng)/.=；時，DM//平面CBQ

C.當(dāng)"QM為直角三角形時，A=ID.當(dāng)“QM的面積最小時，2=1

【答案】D

【分析】

建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法一一計算可得；

【詳解】

解：由題可知，如圖令正方體的棱長為1,建立空間直角坐標(biāo)系，則4(1,0,0),

/(l,0,l),C1(0,1,0),0(0,0,1),β1(0,0,0),B1(1,1,0),C(0,I,l),所以布=(TJT),

因為翔=2有，所以Λ∕(T+1,4,T+1),所以而=(-Z4T+l),

兩=(-2+1,九"),函=(1,0,-1),水=(OJl),設(shè)平面CBa的法向量為分=(XJ,z)

第33頁共134頁

，令X=1,則z=ι,y=τ,所以〃=(L-LI)

對于A：若4G，平面4。河，貝∣J%G,4M,則苑?麗=4+4+(-I)χ(->t+ι)=o,

解得義=；，故A錯誤；

對于B：若。M//平面C8Q,則麗一,B[JW-Jj=-A÷1-A-A=O,解得義=；,

故B錯誤；

當(dāng)UQM為直角三角形時，有M。，肪1-即

麗.兩=-"T+l)+儲+(T)(Y+1)=0,解得;1=|或4=0(舍去)，故C錯誤;

2222

設(shè)M到的距離為k,則k=OM-I=3Λ-22+1=3(Λ-^)

.?.當(dāng)“QM的面積最小時，Λ=∣,故。正確.

故選：D.

7.如圖所示，已知空間四邊形的每條邊和對角線長都等于“，點E、F、G分

別為4B、AD.OC的中點，則/等于()

C

第34頁共134頁

A.1BA?ACB.2AD?BDC.2FG?CAD.2EF?BC

【答案】B

【分析】

由條件利用兩個向量的數(shù)量積的定義，對各個選項中式子進(jìn)行運算，可得結(jié)論.

【詳解】

由題意可得，2跋.送