甘肅省定西市2023屆高三下學期高考模擬考試數(shù)學（理）試題（含答案與解析）

2023年定西市普通高考模擬考試

數(shù)學(理科)

考生注意：

1.本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.

2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚.

3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對

應(yīng)題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)

域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.

4.本卷命題范圍：高考范圍.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1,已知全集U=R,集合A={加"x"},8={x∣log2X<l},則A&5)=()

A.(0,1)B.(2,4]C.[1,4]D.(0,4]

2.若復數(shù)Z滿足(1—i)z=(2+i)、則W=()

17.17.-17.17.

A.----------1B.------1—1C.--------1D.—I—1

22222222

3.某年級組建了合唱、朗誦、脫口秀、舞蹈、太極拳五個社團，該年級共有600名同學，每名同學依據(jù)自

己的興趣愛好最多可參加其中一個，各個社團的人數(shù)比例的餅狀圖如圖所示，其中參加合唱社團的同學有

75名，參加脫口秀社團的有125名，則該年級()

/脫口秀/\

I/35%?

\15%/\朗誦/

V%Δ/

A.參加社團同學的總?cè)藬?shù)為600

B.參加舞蹈社團的人數(shù)占五個社團總?cè)藬?shù)的15%

C.參加朗誦社團的人數(shù)比參加太極拳社團的多120人

D.從參加社團的同學中任選一名，其參加舞蹈或者脫口秀社團的概率為0.35

4.已知角a的頂點為坐標原點，始邊與X軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過點P(2,T),則sin2α=()

5.某幾何體的三視圖如圖所示，若該幾何體的體積為2,則側(cè)(左)視圖中的。=()

正(主)視圖側(cè)(左)視圖

A.4B.3C.2D.1

6.己知“X)是定義在R上的奇函數(shù)，/(x+3)+∕(3-X)=0,且當一3<x<0時，/(x)=2-?v+2,則

/(2023)=()

A.8B.-2C.0D.-8

7.新能源汽車具有零排放、噪聲小、能源利用率高等特點，近年來備受青睞.某新能源汽車制造企業(yè)為調(diào)

查其旗下A型號新能源汽車的耗電量(單位：kW?h∕IOokm)情況，隨機調(diào)查得到了1500個樣本，據(jù)統(tǒng)

計該型號新能源汽車的耗電量J~N(15,b2Hb>0),若樣本中耗電量不小于16kW?h∕IOokm的汽車大

約有600輛，則尸(14<J<16)=()

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.6

22

8.已知橢圓C：]+?=1的左、右焦點分別為耳，鳥，A是C上一點，8(2,1),則IABl+恒制的最大

值為()

A7B.8C.9D.11

9.若三角形三邊長分別為α,b,c,則三角形的面積為S=Jp(〃一4)(〃一份(〃一c),其中

p=a+；c,這個公式被稱為海倫—秦九韶公式已知中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c

—：--------〃=6,則JLBC面積的最大值為()

sinB+sinC5

A.8B.12C.16D.20

10.將函數(shù)f(x)-sinxcosx+cos21的圖象向右平移。個單位長度，可得函數(shù)y-cosf2x+-^÷-

的圖象，則夕的最小正值為()

11.已知雙曲線C：三—馬=1(。>0,6>0)的漸近線方程為曠=±缶，左、右焦點分別為冗，F(xiàn)2,過

點K且斜率為指的直線/交雙曲線的右支于陽，N兩點，若AMNG的周長為36,則雙曲線C的方程為

()

2222222

A.工-匯=1B.工-二=1C.=1D.√-21=l

36510482

12.已知α=e°3,6=U,c=ln(θ.3e2),則a,b,C的大小關(guān)系為()

A.a>c>bB.c>b>aC.a>b>cb>a>c

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知函數(shù)/(x)=dInX的圖象在(1,f(1))處的切線與直線x+αy-l=0垂直，則實數(shù)4=.

14.若(√7+α)6(αw0)的展開式中X的系數(shù)與爐的系數(shù)相等，則實數(shù)“=.

15.已知向量α=(l,3),ZJ=(4,-1),若向量加〃0,且加與〃的夾角為鈍角，寫出一個滿足條件的m的

坐標為.

16.如圖，四棱錐P-ABC。中，F(xiàn)a，平面A8Cf>,底面ABC。是矩形，AB=3,AD=PA=A,E是棱BC

上一點，則當截面尸DE的周長最短時，PE與AB所成角的余弦值等于.

EC

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題,

每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

17.在數(shù)列｛α,,｝中，α∣=l,。,用一a“=2"eN*).

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)若bn=na”,求數(shù)列也｝的前"項和S”.

18.2023年春節(jié)期間，科幻電影《流浪地球2》上映，獲得較好的評價，也取得了很好的票房成績.某平臺

為了解觀眾對該影片的評價情況(評價結(jié)果僅有“好評”“差評”)，從平臺所有參與評價的觀眾中隨機抽取200

人進行調(diào)查，數(shù)據(jù)如下表所示（單位：人）:

好評差評合計

男性8030IlO

女性306090

合計IlO90200

（1）判斷是否有99.9%的把握認為對該部影片的評價與性別有關(guān)？

（2）若將頻率視為概率，從所有給出“差評”的觀眾中隨機抽取3人，用隨機變量X表示被抽到的男性觀眾

的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望.

n^ad-bc?

2

參考公式：K?其中“=α+A>+c+d.

(α+b)(c+d)(α+c)(b+d)

參考數(shù)據(jù):

（片滔）0.100.050.0250.0100.0050.001

ko2.7063.8415.0246.6357.87910.828

19.如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面ABCD是邊長為2的菱形，NBA￡）=60。，AC與8。交于點O,OP_L

底面A3CD,OP=B點、E,F分別是棱必，P8的中點，連接OE,OF,EF.

（1）求證：平面OEF〃平面PCA

（2）求二面角P—EB—0的正弦值.

20.已知點M到點F[θ,?∣）的距離比它到直線/：y=-2的距離小記動點M的軌跡為E

（1）求E的方程；

（2）若過點尸的直線交E于A（Apx）,BQ2,%）兩點，則在X軸的正半軸上是否存在點尸，使得雨,

PB分別交E于另外兩點C,D,且AJB=3CO?若存在，請求出P點坐標，若不存在，請說明理由.

21已知函數(shù)/(x)=αln(l+x)+gχ2-x(a∈R).

(1)若〃=1,求函數(shù)“X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)/(x)有兩個極值點不聲，且玉<々，求證：/(%2)>y.

(二)選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一

題計分.

［選修4-4：坐標系與參數(shù)方程］

X=2+cosα,

22.在平面直角坐標系XOy中，曲線C的參數(shù)方程為{C.(α為參數(shù)).以坐標原點為極點，X

y=2+sinα

TT

軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線/的極坐標方程為。=—(夕eR).

3

(1)求曲線C極坐標方程；

11

(2)若直線/與曲線C交于M,N兩點，求而［+網(wǎng).

［選修4一5：不等式選講］

23已知/(x)=∣x-2∣+∣x+4∣.

(I)求不等式*x)≥8的解集；

(2)若/(x)的最小值為f,且實數(shù)α,b,C滿足“(6+c)=f,求證：2a'+/?2+c2≥12.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1,已知全集U=R,集合4={即"利，B=WIog2%≤1},則A(”)=()

A.(0,1)B.(2,4］C.［1,4］D.(0,4］

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可化簡8,根據(jù)集合的交兵補運算即可求解.

【詳解】由log2?x<lnO<xW2,所以A={x∣l≤x≤4},B={Λ∣0<Λ≤2∣,=或

x>2},所以A（?,B）={x∣2<x≤4},

故選：B

2.若復數(shù)Z滿足（l-i）z=（2+i）2,則W=（）

17.17,八17.17.

A.--------1B.1—1C.-------1D.—I—1

22222222

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算化簡復數(shù)，即可由共聊復數(shù)的概念求解.

［詳解］由（IT）Z=（2+i）2得z=（2+i）=（；+42（1+；）=」+乙,所以三=_L_Zi

v7v71-i（l-i）（l+i）2222

故選：A

3.某年級組建了合唱、朗誦、脫口秀、舞蹈、太極拳五個社團，該年級共有600名同學，每名同學依據(jù)自

己的興趣愛好最多可參加其中一個，各個社團的人數(shù)比例的餅狀圖如圖所示，其中參加合唱社團的同學有

75名，參加脫口秀社團的有125名，則該年級（）

（脫口秀/\

I/35%\

\15%/\朗誦/

V?Δ/

×√??y×

A.參加社團的同學的總?cè)藬?shù)為600

B.參加舞蹈社團的人數(shù)占五個社團總?cè)藬?shù)的15%

C.參加朗誦社團的人數(shù)比參加太極拳社團的多120人

D.從參加社團的同學中任選一名，其參加舞蹈或者脫口秀社團的概率為0?35

【答案】D

【解析】

【分析】A選項，根據(jù)參加合唱社團的同學有75名求出參加社團總?cè)藬?shù)；B選項，先計算出參加脫口秀社

團的人數(shù)占比，進而得到舞蹈社團的人數(shù)占比；C選項，計算出參加兩個社團的人數(shù)，作差求出答案；D選

項，利用25%+10%=35%,求出答案.

【詳解】A選項，75÷15%=500,故參加社團的同學的總?cè)藬?shù)為500,A錯誤；

125

B選項，參加脫口秀社團的有125名，故參加脫口秀社團的人數(shù)占五個社團總?cè)藬?shù)的*=25%,

2）UvJ

所以參加舞蹈社團的人數(shù)占五個社團總?cè)藬?shù)的1一15%—15%-35%-25%=10%,B錯誤；

C選項，參加朗誦社團的人數(shù)為500x35%=175,參加太極拳社團的人數(shù)為500x15%=75,故參加朗

誦社團的人數(shù)比參加太極拳社團的多175—75=100人，C錯誤；

D選項，從參加社團的同學中任選一名，其參加舞蹈或者脫口秀社團的概率為25%+10%=35%,即

0.35,D正確.

故選：D

4.已知角ɑ的頂點為坐標原點，始邊與X軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過點P(2,T),貝IJSin2α=()

【答案】C

【解析】

-12

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義可得Sinacosa=-=,進而由二倍角公式即可求解.

√i5

-12-124

【詳解】由題意可知Sina所以Sin2a=2sincrcosσ=2×_____X______—______

忑,COS(7飛√5√5^5

故選：C

5.某幾何體的三視圖如圖所示，若該幾何體的體積為2,則側(cè)(左)視圖中的〃=()

正住)視圖側(cè)(左)視圖

俯視圖

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【解析】

【分析】由三視圖可得，該圖形為三棱錐，再根據(jù)棱錐的體積公式即可得解.

【詳解】由三視圖可得，該圖形為三棱錐，如圖所示，

其中三棱錐得高為1，底面積為,x2αχ2=2α,

2

所以該幾何體得體積為,x2aχl=2,解得α=3.

3

故選：B.

6.已知/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，/(x+3)+∕(3-X)=0,且當一3<x<0時，/(x)=2τ+2,則

/(2023)=()

A.8B.-2C.0D.-8

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意推得了(x+6)=∕(x),得到函數(shù)/(x)是周期為6的周期函數(shù)，結(jié)合題設(shè)條件和函數(shù)

的周期性，得到/(2023)=/(1)=—/(一1),代入即可求解.

【詳解】因為函數(shù)/(x)滿足“x+3)+∕(3-x)=0,可得"x)+∕(6-x)=0,

又因為函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，所以/(x)+/(—x)=0,

所以/(6-X)=-/(x)=∕(τ),即/(x+6)=∕(x),

所以函數(shù)/(x)是周期為6的周期函數(shù)，

因為當-3<x<0時，/(x)=2*2,且函數(shù)/(χ)為奇函數(shù)，

可得/(2023)=/(337×6+1)=/(1)=-/(-1)=-23=-8.

故選：D.

7.新能源汽車具有零排放、噪聲小、能源利用率高等特點，近年來備受青睞.某新能源汽車制造企業(yè)為調(diào)

查其旗下A型號新能源汽車的耗電量(單位：kW?h∕100km)情況，隨機調(diào)查得到了1500個樣本，據(jù)統(tǒng)

計該型號新能源汽車的耗電量J~N(15,bB(b>0),若樣本中耗電量不小于16kW?h∕l(X)km的汽車大

約有600輛，則P(14<J<16)=()

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.6

【答案】A

【解析】

分析】由正態(tài)分布知識得到14<J<16對應(yīng)車輛數(shù)，即可得答案.

【詳解】由題可得J=15時，對應(yīng)車輛數(shù)為750,又g216時，對應(yīng)車輛數(shù)為600,則0<4r<16

時，對應(yīng)車輛數(shù)為900,

則15<4<16時，對應(yīng)車輛數(shù)為150,又14<4<15對應(yīng)車輛數(shù)等于15<<16對應(yīng)車輛數(shù)，則

14<J<16時，對應(yīng)車輛數(shù)為300,則P(14<^<16)=尚蔣=0.2.

故選：A

22

8.已知橢圓C：3+方=1的左、右焦點分別為耳,F2,4是C上一點，3（2,1）,則|陰+|明|的最大

值為（）

A.7B.8C.9D.11

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)橢圓的定義可得IA即+恒周=|43"2。一|4閭，利用IABlTA可≤忸周可求IABI+|M|的

如圖，連接AF2,m?AB?+?AFl?=?AB?+2a-?AF2?=6+?AB?-?AF2?,

而IAHTA周〈忸段=1,當且僅當A乙,B共線且B在AI中間時等號成立，

故IAB∣+∣A耳I的最大值為7.

故選：A.

9.若三角形三邊長分別為a,h,c,則三角形的面積為S=JM〃_"）（〃_份（〃一c），其中

〃,+：+（、,這個公式被稱為海倫—秦九韶公式.已知一ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,h,c,

—：----------=3,。=6,則43C面積的最大值為（）

sinB+sιnC5

A.8B.12C.16D.20

【答案】B

【解析】

［分析］根據(jù)海倫-秦九韶公式化簡得S=J16（8-0）（8-c）,再利用基本不等式求最值.

【詳解】在JUJC中，因為.：nA=J所以J-=g,又。=6,所以人+c=10,

sinβ+sinC5b+C5

可得〃=g（q+b+c）=6；10=8,且p-α=8-6,

故_ABC的面積S=j8(8-6)(8叫(8—c)=J16(8->)(8-c)≤Wq8一￡)=口，

當且僅當8—人=8—。，即8=c=5時取等號，

故一ABC面積的最大值為12.

故選：B

10.將函數(shù)/(x)=SinXCoSX+JJcos2X的圖象向右平移。個單位長度，可得函數(shù)y=cos(2x+￡)+*

的圖象，則S的最小正值為()

5π2πππ

A.—B.—C.-D.一

6363

【答案】A

【解析】

【分析】先利用三角恒等變換得到/(x)=Sin+等，得到平移后的解析式，結(jié)合三角函數(shù)誘導公

π

式求出9=------kπ,keZ,得到最小正值.

6

(詳解】2√3

f(x)=sinxcosX+Λ∕3COSx=^sin2x++cos2x)=sinf2%+^1+

^2^,

故圖象向右平移夕個單位長度得到/(x)=Sinj2x+=π一20]+日,

3/

=sin2x+@+

又y=cos2x+-÷

2I3)2，

ATt-2兀f..Tr_

令---2(p=-----F2ATT,AeZ,解倚夕=----kit>kwZ,

336

5兀

當Z=T時，。取得最小正值，最小正值為夕=K

6

故選：A

X2?2

11.已知雙曲線C?=1(“>0,6>0)的漸近線方程為曠=±":，左、右焦點分別為耳，F(xiàn)2,過

a~

點工且斜率為6的直線/交雙曲線的右支于M,N兩點,若耳的周長為36,則雙曲線C的方程為

()

【答案】D

【解析】

【分析】由題意可得。=缶，則直線/為>=有(X-6。)，代入雙曲線方程中，利用弦長公式求出

IMNI,再由雙曲線的定義和aMNK的周長為36,可求出。，從而可求出雙曲線的方程.

22

【詳解】因為雙曲線C言-方=Im>0/>0)的漸近線方程為y=±√∑χ,

22

所以b=伍，則雙曲線方程為:?一??=l(a>O),耳(一氐,0),瑪(。,0),

a"2。

所以直線/為y=有(X-3)，設(shè)Ma,%)”(今，必)，

(22

工-工=1

2

由J/2a,得爐―6λ?+ikz2=0，

°=向》_島)

則xl+x2-6?∣3a,xix2-Wcr<

所以IMNl=√Γ+3?Ja+貨―4中2=2√108a2-W=164，

因為LI=IM用+2α,∣g∣=∣N閭+2α,

所以I峭∣+∣N6∣=∣M^∣+∣M^+4α=∣MV∣+4α=204,

因為AVNE的周長為36,所以IMl+∣NfJ+∣MV∣=36,

2

所以20α+16α=36,得α=l,所以雙曲線方程為f一匕=1,

2

故選：D

12.已知α=e03,6=得，c=ln(θ.3e2),則α,b,C的大小關(guān)系為()

A.a>c>bB.c>b>aC.a>b>cD.b>a>c

【答案】C

【解析】

【分析】化簡4=e°3,b=l+0.3,c=2+ln0.3,得到。―。=1+0.3—e°?3,c-Z?=l+lnO.3-O.3.構(gòu)造函

數(shù)/(x)=l+x-e',x>O和g(x)=l+lnx-x,x∈(0,l),利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性，即

可求解.

【詳解】由題意得α=e°?3,b=l+θ.3,c=ln(θ.3e2)=2+lnθ.3,

可得b-α=l+0.3-e°3，

設(shè)/(x)=l+x—e',x>O,可得/'(x)=l—e'<0,所以/(x)單調(diào)遞減，

則/(0.3)</(O)=O,即b—α<0,所以b<0;

又由c-Z?=2+In0.3-(1+0.3)=l+lnO.3-O.3,

11_r

設(shè)函數(shù)g(x)=l+lnx-x,x∈(O,l),可得/(%)=—一I=-

XX

當x∈(0,l)時,g'(x)>O,g(無)單調(diào)遞增，

所以g(0.3)<g⑴=0,即c-b<O,所以c<),

所以CvZ?VQ.

故選：C.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知函數(shù)/(x)=x2InX的圖象在(Ij(I))處的切線與直線1=0垂直，則實數(shù)α=.

【答案】1

【解析】

【分析】求導，得切線的斜率，根據(jù)兩直線垂直滿足斜率相乘為T即可求解.

【詳解】由,f(x)=χ2]nx得/'(x)=2xlnx+x,所以附1)=1,由于/(x)在(1,/(1))處的切線與直

線x+ay—1=0垂直，

所以—=-l?a1,

a

故答案為：1

14.若(J7+α)6(αχO)展開式中X的系數(shù)與/的系數(shù)相等，則實數(shù)〃=.

【答案】±1

【解析】

【分析】根據(jù)題意，寫出二項式展開式的通項公式，由條件列出方程，即可得到結(jié)果.

C??6^r6-r

rrrτ

【詳解】因為(J7+a)6的展開式的通項公式為/a=aCft^,

\/

且X的系數(shù)與χ2的系數(shù)相等，則/C：=/C：,即所以/卜2-1)=0,

且QH(),所以α=±l.

故答案為：±1?

15.已知向量α=(l,3),?=(4,-l),若向量〃2〃4,且加與人的夾角為鈍角，寫出一個滿足條件的小的

坐標為.

【答案】〃?=(-1,一3)(答案不唯一)

【解析】

【分析】根據(jù)向量的共線和向量乘法的坐標計算公式即可求解.

【詳解】設(shè)機=(x,y),

因為向量且與人的夾角為鈍角，

l?y=3?x

所以<4?x+(-l)?y<0,所以χ<O,

4?y≠(-l)?x

不妨令X=-1,則y=-3,故戊=(-1,-3),

故答案為：m=(-l,-3)(答案不唯一).

16.如圖，四棱錐尸一A8C。中，PA，平面ABCD底面ABCD是矩形，AB=3,AD=PA=A,E是棱BC

上一點，則當截面PoE的周長最短時，PE與AB所成角的余弦值等于.

【解析】

【分析】矩形ABCQ沿Be旋轉(zhuǎn)到與PBC在同一平面，PE+DE的最小值為PO,可得8E,過E作

EFllAB交AD+F,連接EDPF，Np￡戶為異面直線PE與AB所成的角，求解即可.

【詳解】四邊形ABC。是平行四邊形，NABC=90°,，四邊形ABCO是矩形，.：A314),

Q4，平面ABCD,A￡>u平面ABCZλ..QALAD,ABCPA=A,A8,PAu平面f?6,.?.AD,

平面Q43，故8。7,平面4鉆，

BCA.PA,將矩形ABC。沿BC旋轉(zhuǎn)到與PBC在同一平面，如圖1,連接PD',此時PD'交BC于點、

E，PE+OE的最小值為PD'，PB=^PA2+AB?=5,PD=,PA?+AD'?=「8?+4?=46,故

RFPR55

PE+DE的最小值為4百，此時怒=后』=????8E=s,

AU/￡>-VADO，

P

過E作EF//A8交AO于F,連接石/，PF，

由題意可得EFHAB,故NPEF為異面直線PE與AB所成的角,

又ABA.AD,Ar)CΛ4=4,",仞u平面APD,.：ABI平面AP￡),故EF，弘￡>,.?.￡7」PF,

又可得E77=AB=3,PF=JPA2+AF=J16+±與,PE=JPF2+EF2=乎,

,COSNPEF=空=3=處

PE5√525?

2

故答案為：還

25

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題,

每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

,,

17.在數(shù)列｛4｝中，％=1,all+l-a,,=2(n∈N*).

(1)求數(shù)列｛q｝的通項公式；

(2)若瓦=nan,求數(shù)列｛4｝的前〃項和S,,.

n

【答案】⑴an=2-l

(2)S,,=(n-l)?2"+l-^+^~4

【解析】

【分析】(1)由4+∣-α,,=2",結(jié)合％=q+(4-4)+(4-4)+(??-??-1)＞利用等比數(shù)列的求和

公式，即可求解；

(2)由(1)得到包=〃/=〃.2"-〃，結(jié)合等差、等比數(shù)的求和公式，以及乘公比錯位相減法求和，即

可求解.

【小問1詳解】

解：因為數(shù)列｛4｝滿足q=1且。用一生=2〃,

當〃≥2時，可得〃〃=q+(出—%)+(〃2-4)+(〃〃一?！╛])=1+(2+2~++2"∣)

1-2

當〃=1時，G=I適合上式，所以數(shù)列｛4｝的通項公式為凡=2"-1.

【小問2詳解】

解：由(1)知?！?2"-1,可得勿==〃-2”-"，

所以S,,=4+d++∕J,,=1×2'-1+2×22-2++n-2"-n

=(l×2'+2×22++n?2,,)-(l+2++?),

設(shè)(=1X2∣+2X22++n-2n,

則27；=1x22+2x2'++∏-2n+',

兩式相減得一方=2'+2?+2?++2,,-n?2n+l=2(^)-n-2n+'=(l-π)?2,,+l-2,

所以7；=(〃-l)?2"∣+2,

π(n÷l)

又由1+2++H=

2

所以S“=(〃_])?2>,+'+2-"(7)=(n-l)?2n+l-〃+；-4

18.2023年春節(jié)期間，科幻電影《流浪地球2》上映，獲得較好的評價，也取得了很好的票房成績.某平臺

為了解觀眾對該影片的評價情況(評價結(jié)果僅有“好評”“差評”)，從平臺所有參與評價的觀眾中隨機抽取200

人進行調(diào)查，數(shù)據(jù)如下表所示(單位：人)：

好評差評合計

男性8030110

女性306090

合計11090200

(1)判斷是否有99.9%的把握認為對該部影片的評價與性別有關(guān)？

(2)若將頻率視為概率，從所有給出“差評”的觀眾中隨機抽取3人，用隨機變量X表示被抽到的男性觀眾

的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望.

參考公式：K2=--------M(Id,,I------,其中〃=Q+6+c+d?

(α+b)(c+d)(α+c)(b+d)

參考數(shù)據(jù)：

2

(K≥k0)0.100.050.0250.0100.0050.001

AO2.7063.8415.0246.6357.87910.828

【答案】（I）有99.9%把握認為對該部影片的評價與性別有關(guān)

（2）分布列見解析，期望為1

【解析】

【分析】（1）根據(jù)卡方的計算公式計算，即可與臨界值比較求解，

（2）根據(jù)二項分布的概率公式計算概率，即可求解.

【小問1詳解】

由二聯(lián)表可得K=200*（80X60-30X30）°3]04〉]0828，所以有99.9%的把握認為對該部影片的

110×90×110×90

評價與性別有關(guān)

【小問2詳解】

所有給出“差評的觀眾中隨機抽取一名男觀眾的概率為微=；,隨機抽取一名女觀眾的概率為I，X表示

被抽到的男性觀眾的人數(shù)，則

XB9,g),P(X=幻=C,)(I)/=0,1,2,3

所以X的分布列為

X0123

8421

P

279927

數(shù)學期望為E（X）=3x；=l.

19.如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面A8CZ）是邊長為2的菱形，ZBAD=60o,4C與5。交于點O,OPL

底面4B8,OP=小，點、E,F分別是棱∕?,PB的中點，連接OE,OF,EF.

P

B

(1)求證：平面OEF//平面PCD；

(2)求二面角P—EF—O的正弦值.

4

【答案】(1)見解析(2)y

【解析】

【分析】(1)根據(jù)中位線可得線線平行，進而得線面平行，即可求證面面平行，

(2)建立空間直角坐標系，利用法向量的夾角即可求解.

【小問1詳解】

由于點E,尸分別是棱山，P8的中點，所以EF//AB,ABMCDqEFHCD,8U平面

PCD,"Z平面PCD故瓦7/平面PCD,

又O是的中點，所以，F(xiàn)O//PD,QDU平面PCD,廠。U平面PCZ),,故FO//平面「CD

由于%>c=E,FO,EFU平面OEF,所以平面OEF//平面PCD.

【小問2詳解】

由于。PL底面4BC。，底面為菱形，所以。氏。C,0P兩兩垂直，故建立如圖所示的空間直角坐標系,

則MO,O,@,A(O,—6,O),C(O,￡O),B(I,O,O),Eo,-?,?,F?0,^

C√3√3^f1npffn√3√3Kpf1n6)

所以。E=0,---,0F=—,0,—,PE=0,---,一-—?,PF=—,0,一--

22222222

設(shè)平面。后廠和平面PEr的法向量分別為機=(X,yz),〃=(4,4c),

m?OE=------y+——z=0,

所以《2.2取'=1,，〃=（一6,1,1）,

m-OF--x+^-z-O,

22

一旦一￡=0,

n-PE

22

同理，取C=1,〃=（后-1,1）,

1√3β

∏PF—a一于=0,

2

一3-1+13

設(shè)二面角P-EF-O的平面角為。，則ICoSq=∣cosm,n∣=

√5×√55

I-----------4

,所以Sine=Jl-cos?。="^,

20.已知點M到點F(O的距離比它到直線/：丁=-2的距離小記動點M的軌跡為E

(1)求E的方程；

(2)若過點F的直線交E于A(ApX),B(X2,%)兩點，則在X軸的正半軸上是否存在點尸，使得鞏，

PB分別交E于另外兩點CD,且AB=3CD?若存在，請求出P點坐標，若不存在，請說明理由.

【答案】(1)f=6y

(2)Pl述,0

I2J

【解析】

【分析】(1)根據(jù)點例到點F(O的距離等于它到直線/：y=-g的距離，結(jié)合拋物線的定義得出拋

物線E的標準方程；

(2)設(shè)Ca,必),P(%,0),由PA=3PC結(jié)合拋物線方程得出知馬是方程/一2々/-2H=O的兩根,

設(shè)直線AB的方程為y=丘+3,并與拋物線方程X2=6J聯(lián)立結(jié)合韋達定理得出點P坐標.

【小問1詳解】

因為點M到點R(O,?∣)的距離比它到直線/：y=-2的距離小g,

所以點"到點P(O,|)的距離等于它到直線/：y=~的距離，

則點M的軌跡為以尸(o,?∣)為焦點，以y=一?為準線的拋物線，

則曲線E的方程為∕=6y?

【小問2詳解】

設(shè)。(玉，%)，P(X0，°)(%>°)，

由A6=3C0得：ABHCD,且IABl=3∣CZ)∣,得尸A=3PC

即(西一毛，X)=3(?-?,?)>所以芻='丁。,必=y,

代入拋物線方程f=6y,得("12=6%=2χ=寺，

整理得2片=同理可得

xl-2?ΛI-2O,x；-2xυx2-2x^=O

故χ∣,??是方程x'—2x°x—2xj=0的兩根，Δ=12xθ>0,

由韋達定理可得%+々=一片①，

2?,XIΛ2=2

3

由題意，直線AB的斜率一定存在，故設(shè)直線AB的方程為y=a+萬,

與拋物線方程/=6y聯(lián)立可得d一6版一9=0，

易得A>0,由韋達定理可得%]+々=6NXlx2=-9②，

21.已知函數(shù)/(x)="ln(l+x)+gχ2-Ma∈R).

⑴若α=l,求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若函數(shù)/(x)有兩個極值點知馬，且玉<々，求證：/(?)>y.

【答案】⑴/(x)在(T”)上單調(diào)遞增;

(2)證明見解析.

【解析】

【分析】(1)由題可得/'(X)=壬，后結(jié)合/(X)定義域可得/(X)單調(diào)區(qū)間;

(2)結(jié)合函數(shù)/(X)有兩個極值點，可得O<α<l,又也=a-?,xi+X2=?},a=1—x；.則要證/(馬)>5，

等價于證明In(I+X2)>2(］：-)，后構(gòu)造相應(yīng)函數(shù)可證明結(jié)論.

【小問1詳解】

2

由題，f(χ)=↑n(↑+χ)+-χ-χ,則=-L-+X-I=工

因x>T,則r(x)≥0?則/(x)在(T,+∞)上單調(diào)遞增；

【小問2詳解】

當α≥l時，/'(χ)≥O,/(X)在(―1,+8)上單調(diào)遞增，不合題意；

當a<1時，令/'(x)=OnX2=↑-a.

當a?0時，/'(x)=0nX=√1-?,則/(x)只有一個極值點，與題意不合;

當OCaCl時，(x)=0=>X1=-y∣l-a,x2=Jl_α.

則X1X2=?—1,X1+X9=0,6Z=1-%2-

則/(“2)>〃In(1+X2)+ax?-0〉2〃IrI(I+&)+石-2x2-%>0.

<=>2(1-xf)In(1+x2)+Xj-Λ2>0.注意到x2=J-a∈(0,l),則

要證/(工2)>5，即證In(I+%)>