1.3.2-函數(shù)的奇偶性講義

PAGEPAGE21.3.2函數(shù)的奇偶性一、對(duì)稱區(qū)間(關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)[a，b]關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱區(qū)間為[－b，－a](－∞，0)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱區(qū)間為(0，＋∞)[－1，1]關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱區(qū)間為[－1，1]二、奇函數(shù)與偶函數(shù)〔一〕奇函數(shù)的定義：對(duì)于任意函數(shù)f(x)在其對(duì)稱區(qū)間〔關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱〕內(nèi)，對(duì)于x∈A，都有f(－x)＝－f(x)，那么f(x)為奇函數(shù)?！捕撑己瘮?shù)的定義：對(duì)于任意函數(shù)f(x)在其對(duì)稱區(qū)間〔關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱〕內(nèi)，對(duì)于x∈A，都有f(－x)＝f(x)，那么f(x)為偶函數(shù)。如果函數(shù)f(x)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)，那么我們就說(shuō)函數(shù)f(x)具有奇偶性。〔三〕判斷函數(shù)奇偶性的步驟：〔1〕求函數(shù)f(x)的定義域；〔2〕假設(shè)函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么該函數(shù)不具備奇偶性，此時(shí)函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不偶函數(shù)；假設(shè)函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再進(jìn)行下一步；〔3〕求f(－x)；〔4〕根據(jù)f(－x)與f(x)之間的關(guān)系，判斷函數(shù)f(x)的奇偶性；①假設(shè)f(－x)＝－f(x)，函數(shù)是奇函數(shù)；②假設(shè)f(－x)＝f(x)，函數(shù)f(x)是偶函數(shù)；③假設(shè)f(－x)≠±f(x)，那么f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)；④假設(shè)f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，那么f(x)既是奇函數(shù)，也是偶函數(shù)?！炯磃(x)＝0，即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的常數(shù)函數(shù)f(x)＝；當(dāng)≠0時(shí)，常數(shù)函數(shù)是偶函數(shù)；當(dāng)＝0時(shí)，常數(shù)函數(shù)既是奇函數(shù)，也是偶函數(shù)?！坷?：判斷以下函數(shù)奇偶性?！?〕f(x)＝〔2〕f(x)＝x3＋x〔3〕f(x)＝×〔4〕f(x)＝〔5〕f(x)＝x2＋cosx【解析】：〔1〕奇〔2〕奇〔3〕非〔4〕非〔5〕偶變式練習(xí)：判斷以下函數(shù)的奇偶性?！?〕f(x)＝x×tanx〔2〕f(x)＝〔3〕f(x)＝【解析】：〔1〕偶〔2〕奇〔3〕奇注意：1、判斷函數(shù)奇偶性的步驟〔1〕求定義域，判斷函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；〔2〕計(jì)算f(－x)；〔3〕判斷，假設(shè)f(－x)＝f(x)偶函數(shù)，假設(shè)f(－x)＝－f(x)奇函數(shù)，否那么為非奇非偶函數(shù)。2、直接判斷法：偶±偶＝偶；偶×偶＝偶；奇±奇＝奇；奇×偶＝奇。一些重要類(lèi)型的奇偶函數(shù)：〔1〕f(x)＝為偶函數(shù)，f(x)＝為奇函數(shù)；〔2〕f(x)＝〔＞0且≠1〕為奇函數(shù)；〔3〕f(x)＝〔＞0且≠1〕為奇函數(shù)；〔4〕f(x)＝〔＞0且≠1〕為奇函數(shù)。三、奇偶函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用〔一〕偶函數(shù)的性質(zhì)：①偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；②f(－x)＝f(x)＝f(︱x︱)；③偶函數(shù)的單調(diào)性在其對(duì)稱區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性相反；④二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函數(shù)，那么b＝0?！捕称婧瘮?shù)的性質(zhì)：①奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；②f(－x)＝－f(x)；③奇函數(shù)的單調(diào)性在其對(duì)稱區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性相同；④一次函數(shù)f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函數(shù)，那么b＝0；⑤假設(shè)x＝0在其定義域內(nèi)，那么有f(0)＝0。例2：函數(shù)f(x)＝x2＋x＋c(≠0)是偶函數(shù)，那么g(x)＝x4＋x3＋cx2是_______函數(shù)?！蔡钇婧瘮?shù)、偶函數(shù)、非奇非偶函數(shù)〕【解析】：偶函數(shù)變式練習(xí)1：函數(shù)f(x)＝x2＋x＋3＋(≠0)是偶函數(shù)，且定義域?yàn)閇－1，2]，那么＝_______，＝___________。【解析】：0變式練習(xí)2：以下函數(shù)是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是〔〕A：f(x)＝x＋1B：f(x)＝－x3C：f(x)＝D：f(x)＝x×｜x｜【解析】：D變式練習(xí)3：假設(shè)函數(shù)f(x)＝是奇函數(shù)，那么＝_______?！窘馕觥浚篺(－x)＝－f(x)，那么＝－，得＝－，故＝－1例4：f(x)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0，f(x)＝x2－2x，求f(x)的表達(dá)式?！窘馕觥浚篺(x)＝變式練習(xí)：f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，，當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝x2－2x－3，求f(x)的解析式?！窘馕觥浚篺(x)＝例5：函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(－1)＝2，那么f(1)＝_______。【解析】：f(1)＝－2變式練習(xí)1：假設(shè)f(x)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≤0，f(x)＝2x2－x，那么f(1)＝_________?！窘馕觥浚篺(1)＝－3變式練習(xí)2：函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝，那么f[f(2)]＝()A：－B：C：－2D：2【解析】：D變式練習(xí)3：f(x)是奇函數(shù)，假設(shè)g(x)＝f(x)＋4，且g(1)＝2，那么f(－1)＝_________?！窘馕觥浚篺(－1)＝－2變式練習(xí)4：假設(shè)f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，那么f(2)＝_________?！窘馕觥浚篺(2)＝－26變式練習(xí)5：函數(shù)f(x)＝，那么f()＋f()＝__________。【解析】：令f(x)＝，g(x)是奇函數(shù)，故f(－x)＝，f(－x)＝，故f(x)＋f(－x)＝6例6：f(x)是定義在(－1，1)上的奇函數(shù)且是減函數(shù)，滿足f(1－)＋f(1－2)＞0，求的取值范圍?！窘馕觥浚豪?：偶函數(shù)f(x)在區(qū)間單調(diào)遞增，那么滿足f(2x－1)＜f()的x取值范圍是〔〕A：(，)B：(，)C：[，〕D：(，＋∞)【解析】：︱2x－1︱＜，那么x∈(，)A變式練習(xí)2：設(shè)f(x)是R上的偶函數(shù)，在區(qū)間(－∞，0)上是增函數(shù)，且有f()＜f()，求的取值范圍。【解析】：法一：＝＞0，＝＞0＞，故0＜＜3法二：︱︱＞︱︱，那么()2＞()2，()2－()2＞0，()()＜0，0＜＜3。變式練習(xí)3：函數(shù)f(x)〔x≠0〕是奇函數(shù)，且當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)是增函數(shù)，假設(shè)f(1)＝0，求不等式f[x(x－)]＜0的解集。【解析】：由于函數(shù)是奇函數(shù)，在(0，＋∞)時(shí)是增函數(shù)，故在(－∞，0)上是增函數(shù)，∵f(1)＝0，那么f(－1)＝0，那么f[x(x－)]＜f(－1)或f[x(x－)]＜f(1)，得或或＜x＜0或＜x＜綜上所述：不等式的解集為(，0)∪(，)例8：f(x)是定義在R上的函數(shù)，對(duì)于任意的x∈R，都有f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，且f(x)≠0?！?〕求證：f(0)＝1；〔2〕求證：函數(shù)f(x)是偶函數(shù)?！窘馕觥浚骸?〕令x＝y(tǒng)＝0，那么f(0)＋f(0)＝2f(0)f(0)，f(x)≠0，故f(0)＝1；〔2〕令x＝0，那么f(0＋y)＋f(0－y)＝2f(0)f(y)，得f(y)＋f(－y)＝2f(y)，即f(－y)＝f(y)，即f(－x)＝f(x)，故函數(shù)f(x)是偶函數(shù)。變式練習(xí)1：假設(shè)f(x)的定義域?yàn)镽，且對(duì)任意x、y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)成立。〔1〕判斷函數(shù)f(x)的奇偶性；〔2〕假設(shè)當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＞0，判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性；〔3〕假設(shè)f(8)＝4，求f(－)的值?！窘馕觥浚骸?〕令x＝y(tǒng)＝0，那么f(0)＝f(0)＋f(0)，得f(0)＝0，令y＝－x，那么f(0)＝f(x)＋f(－x)，即f(－x)＝－f(x)，故函數(shù)是奇函數(shù)。〔2〕設(shè)＞，那么－＞0，那么f(－)＞0，那么f()＝f(＋(－))＝f()＋f(－)，即f()－f()＝f(－)＞0，即f()＞f()。故f(x)在R上是增函數(shù)。〔3〕∵f(8)＝f(4)＋f(4)＝2f(4)＝4f(2)＝8f(1)＝16f()，故f()＝，函數(shù)是奇函數(shù)，∴f(－)＝－例9：偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[－3，－1]上是減函數(shù)，那么f(－3)，f(1)，f(2)的大小關(guān)系是____?！窘馕觥浚篺(1)＜f(2)＜f(－3)變式練習(xí)1：設(shè)函數(shù)f(x)是定義在[－6，6]上的奇函數(shù)，假設(shè)當(dāng)x[0，6]時(shí)，f(x)的圖象如以下列圖，那么不等式f(x)＜0的解集為_(kāi)____________?！窘馕觥浚?－3，0)∪(3，6)變式練習(xí)2：設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≥0，時(shí)，f(x)＝x2－2x，那么不等式f(x)＜3的解集為_(kāi)___。【解析】：[－3，3]變式練習(xí)3：y＝f(x)是偶函數(shù)，y＝g(x)奇函數(shù)，它們的定義域都是[－3，3]，且它們?cè)趚∈[0，3]上的圖象如以下列圖，那么不等式＜0的解集是_______?！窘馕觥浚河善?、偶函數(shù)性質(zhì)作出整個(gè)定義域內(nèi)的圖象，＜0，即＜0故：(－2，－1)∪(0，1)∪(2，3)課后綜合練習(xí)1、假設(shè)是奇函數(shù)，那么其圖象關(guān)于〔〕A：軸對(duì)稱 B：軸對(duì)稱 C：原點(diǎn)對(duì)稱 D：直線對(duì)稱【解析】：C2、函數(shù)二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c〔a≠0〕是偶函數(shù)，那么b的值〔〕A：1B：2C：0D：不確定【解析】C3、以下函數(shù)中為偶函數(shù)的是〔〕A： B： C： D：【解析】：C4、函數(shù)是奇函數(shù)，那么的值為〔〕A：B：C：D：0【解析】：D5、偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，那么以下關(guān)系式成立的是()A： B：C： D：【解析】：C6、假設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)，，那么的值為_(kāi)___________?！窘馕觥浚海?7、是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的圖象如右圖所示，那么函數(shù)值y的取值范圍是____________?！窘馕觥浚?、如果奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[3，7]上是增函數(shù)且最小值為5，那么f(x)在區(qū)間[－7，－3]上是〔〕A：增函數(shù)且最小值為－5 B：增函數(shù)且最大值為－5C：減函數(shù)且最小值為－5 D：減函數(shù)且最大值為－5【解析】：B9、以下函數(shù)是奇函數(shù)是〔〕A：f(x)＝B：f(x)＝C：f(x)＝D：f(x)＝【解析】：D10、以下函數(shù)是偶函數(shù)是〔〕A：f(x)＝B：f(x)＝C：f(x)＝D：f(x)＝【解析】：B11、f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)，那么〔〕A：f()＜f()＜f()B：f()＜f()＜f()C：f()＜f()＜f()D：f()＜f()＜f()【解析】：＜2＜＜3A12、f(x)＝是定義在(－1，1)上的奇函數(shù)，且f()＝?！?〕求函