專題9.1向量概念（四個重難點突破）（原卷版）

專題9.1向量概念知識點1向量的概念及表示1.定義:既有大小又有方向的量叫做向量.2.表示:（1）有向線段:具有方向的線段叫做有向線段.它包含三個要素:起點、方向、長度.（2）向量的表示：①幾何表示:用有向線段表示,記作向量.有向線段的長度表示向量的大小,有向線段的方向表示向量的方向.向量的大小稱為向量的長度(或稱模),記作.②字母表示:書寫時用表示,還可用表示向量的有向線段的起點和終點字母表示,如以為起點,以為終點的向量記作.3.兩個特殊向量:（1）零向量與非零向量:長度為0的向量叫做零向量.印刷時用加粗的阿拉伯?dāng)?shù)字零表示,即0;書寫時,寫為，長度不為0的向量稱為非零向量.（2）單位向量:長度等于1個單位長度的向量,叫做單位向量.知識點2向量間的關(guān)系1.平行向量（共線向量）:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,向量平行,記作.規(guī)定:零向量與任意向量平行,即對于任意向量,都有.2.相等向量:長度相等且方向相同的向量叫做相等向量;向量與相等,記作.重難點1向量的有關(guān)概念【例1】下列量中是向量的為（

）A．頻率 B．拉力 C．體積 D．距離【例2】下列說法正確的是（

）A．單位向量都相等B．若，則C．若，則D．若，（），則與是平行向量【變式11】下列四個命題正確的是（

）A．兩個單位向量一定相等 B．若與不共線，則與都是非零向量C．共線的單位向量必相等 D．兩個相等的向量起點、方向、長度必須都相同【變式12】（多選）下列說法中正確的有（

）A．向量的長度與向量的長度相等B．有向線段就是向量，向量就是有向線段C．兩向量的大小與其方向有關(guān)D．向量的模可以比較大小【變式13】對下列命題：（1）若向量與同向，且，則；（2）若向量，則與的長度相等且方向相同或相反；（3）對于任意向量，若與的方向相同，則；（4）由于方向不確定，故不與任意向量平行；（5）向量與平行，則向量與方向相同或相反．其中正確的命題的個數(shù)為解決與向量概念有關(guān)題目的關(guān)鍵是突出向量的核心——方向和長度,只有緊緊抓住概念的核心才能順利解決與向量概念有關(guān)的問題.解決與向量概念有關(guān)題目的關(guān)鍵是突出向量的核心——方向和長度,只有緊緊抓住概念的核心才能順利解決與向量概念有關(guān)的問題.重難點2向量的表示【例3】已知向量如下圖所示，下列說法不正確的是（

）A．向量可以用表示 B．向量的方向由指向C．向量的起點是 D．向量的終點是【例4】在如圖的方格紙中，畫出下列向量．(1)，點在點的正西方向；(2)，點在點的北偏西方向；(3)求出的值．【變式21】在平面直角坐標(biāo)系中，已知，與x軸的正方向所成的角為30°，與y軸的正方向所成的角為120°，試作出.【變式22】如圖，某人從點A出發(fā)，向西走了200m后到達B點，然后改變方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到達C點，最后又改變方向，向東走了200m到達D點，發(fā)現(xiàn)D點在B點的正北方．(1)作出、、（圖中1個單位長度表示100m）；(2)求的模．【變式23】如圖，以方格紙中的格點為起點和終點的所有非零向量中，有多少種大小不同的模？有多少種不同的方向？向量的兩種表示方法向量的兩種表示方法：（1）幾何表示法:先確定向量的起點,再確定向量的方向,最后根據(jù)向量的長度確定向量的終點.（2）字母表示法:為了便于運算,可用字母表示,為了聯(lián)系平面幾何中的圖形性質(zhì),可用表示向量的有向線段的起點與終點表示向量,如等.重難點3相等向量與共線向量【例5】如圖，在正六邊形中，點為其中點，則下列判斷錯誤的是（

）A． B．C． D．【例6】在圖中的方格紙中有一個向量，分別以圖中的格點為起點和終點作向量，其中與相等的向量有多少個？與長度相等的共線向量有多少個（除外）？【變式31】設(shè)點O是正三角形ABC的中心，則向量，，是（

）A．相同的向量 B．模相等的向量C．共線向量 D．共起點的向量【變式32】如圖，已知向量，和點P，以點P為起點，分別畫有向線段表示下列向量：(1)的相等向量；(2)的相反向量．【變式33】已知O為正六邊形的中心，在圖所標(biāo)出的向量中：(1)試找出與共線的向量；(2)確定與相等的向量；(3)與相等嗎？（1）（1）尋找共線向量:先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段,再構(gòu)造同向或反向的向量,注意不要漏掉以表示已知向量的有向線段的終點為起點,起點為終點的向量.（2）尋找相等向量:先找與表示已知向量的有向線段長度相等的向量,再確定哪些是與已知向量方向相同的向量.重難點4相等（共線）向量的證明題【例7】如圖所示，在平行四邊形中，，分別是，的中點.(1)寫出與向量共線的向量；(2)求證：.【例8】在平行四邊形中，，分別為邊、的中點，如圖．(1)寫出與向量共線的向量；(2)求證：．【變式41】已知點，，，分別是平面四邊形的邊，，，的中點，求證：．【變式42】如圖，四邊形ABCD的對角線AC與BD交于點O，且，．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．【變式43】如圖，已知四邊形中，，分別是，的中點，且，求證：.1．設(shè)點是正三角形的中心，則向量，，是（

）A．共起點的向量 B．模相等的向量 C．共線向量 D．相等向量2．已知向量如圖所示，下列說法不正確的是（

）A．也可以用表示 B．方向是由M指向N C．起點是M D．終點是M3．下列命題正確的是（

）A．零向量沒有方向 B．若，則C．若，，則 D．若，，則4．下列命題：①方向不同的兩個向量不可能是共線向量；②長度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的兩個向量是相等向量；④若，則.其中正確命題的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．45．（多選）下列命題中正確的是（

）A．單位向量的模都相等B．長度不等且方向相反的兩個向量不一定是共線向量C．方向相同的兩個向量，向量的模越大，則向量越大D．兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同6．（多選）已知平面向量、、，下列四個命題不正確的是（

）A．若，則 B．單位向量都相等C．方向相反的兩個非零向量一定共線 D．若，滿足，且與同向，則7．已知，若，則.8．如圖，在中，點D?E?F分別是邊BC?CA?AB的中點，在以A?B?C?D?E?F為端點的向量中，與向量的模相等的向量的個數(shù)是.9．下列命題是真命題的是.(填序號)①若A，B，C，D在一條直線上，則與是共線向量；②若A，B，C，D不在一條直線上，則與不是共線向量；③向量與是共線向量，則A，B，C，D四點必在一條直線上；④向量與是共線向量，則A，B，C三點必在一條直線上.10．如圖，半圓的直徑，是半圓上的一點，、分