高二數(shù)學(xué)人教A版選修1-2作業(yè)學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)檢測2

第二章學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)檢測時間120分鐘，滿分150分．一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8個小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．命題“所有有理數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)，整數(shù)是有理數(shù)，所以整數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)”是假命題，推理錯誤的原因是(C)A．使用了歸納推理B．使用了類比推理C．使用了“三段論”，但大前提錯誤D．使用了“三段論”，但小前提錯誤[解析]大前提是錯誤的，故選C．2．三段論：①“所有的中國人都堅(jiān)強(qiáng)不屈”②“武漢人是中國人”③“武漢人一定堅(jiān)強(qiáng)不屈”中，其中“大前提”和“小前提”分別是(A)A．①② B．①③C．②③ D．②①[解析]大前提是“所有的中國人都堅(jiān)強(qiáng)不屈”，小前提是“武漢人是中國人”，故選A．3．用火柴棒擺“金魚”，如圖所示：按照上面的規(guī)律，第n個“金魚”圖形需要火柴棒的根數(shù)為(C)A．6n－2 B．8n－2C．6n＋2 D．8n＋2[解析]歸納“金魚”圖形的構(gòu)成規(guī)律知，后面“金魚”都比它前面的“金魚”多了去掉尾巴后6根火柴組成的魚頭部分，故各“金魚”圖形所用火柴棒的根數(shù)構(gòu)成一首項(xiàng)為8，公差是6的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為an＝6n＋2．4．觀察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，則a10＋b10＝(C)A．28 B．76C．123 D．199[解析]利用歸納法：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4＝3＋1，a4＋b4＝4＋3＝7，a5＋b5＝7＋4＝11，a6＋b6＝11＋7＝18，a7＋b7＝18＋11＝29，a8＋b8＝29＋18＝47，a9＋b9＝47＋29＝76，a10＋b10＝76＋47＝123．規(guī)律為從第三組開始，其結(jié)果為前兩組結(jié)果的和．5．若a，b，c是不全相等的正數(shù)，給出下列判斷：①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a>b與a＜b及a＝b中至少有一個成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同時成立．其中判斷正確的個數(shù)是(C)A．0 B．1C．2 D．3[解析]①②正確，③中，a≠c，b≠c，a≠b能同時成立，如a＝1，b＝2，c＝3，故選C．6．已知圓x2＋y2＝r2(r>0)的面積為S＝πr2，由此類比橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的面積最有可能是(C)A．πa2 B．πb2C．πab D．π(ab)2[解析]圓的方程可以看作是橢圓方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)中，a＝b時的情形，∵S圓＝πr2，∴類比出橢圓的面積為S＝πab．7．在一次調(diào)查中，甲、乙、丙、丁四名同學(xué)的閱讀量有如下關(guān)系：同學(xué)甲、丙的閱讀量之和與乙、丁的閱讀量之和相同，甲、乙的閱讀量之和大于丙、丁的閱讀量之和，丁的閱讀量大于乙、丙的閱讀量之和．那么這四名同學(xué)按閱讀量從大到小的順序排列為(A)A．甲、丁、乙、丙 B．丁、甲、乙、丙C．丁、乙、丙、甲 D．乙、甲、丁、丙[解析]因?yàn)榧?、丙的閱讀量之和等于乙、丁的閱讀量之和，甲、乙的閱讀量之和大于丙、丁的閱讀量之和，所以乙的閱讀量大于丙的閱讀量，甲的閱讀量大于丁的閱讀量，因?yàn)槎〉拈喿x量大于乙、丙的閱讀量之和，所以丁的閱讀量大于乙的閱讀量且大于丙的閱讀量，所以這四名同學(xué)按閱讀量從大到小的排序依次為甲、丁、乙、丙．故選A．8．某市為了緩解交通壓力實(shí)行機(jī)動車輛限行政策，每輛機(jī)動車每周一到周五都要限行一天，周末(周六和周日)不限行．某公司有A，B，C，D，E五輛車，保證每天至少有四輛車可以上路行駛．已知E車周四限行，B車昨天限行，從今天算起，A，C兩車連續(xù)四天都能上路行駛，E車明天可以上路，由此可知下列推測一定正確的是(B)A．今天是周六 B．今天是周四C．A車周三限行 D．C車周五限行[解析]因?yàn)槊刻熘辽儆兴妮v車可以上路行駛，E車明天可以上路，E車周四限行，所以今天不是周三；因?yàn)锽車昨天限行，所以今天不是周一，也不是周日；因?yàn)锳，C兩車連續(xù)四天都能上路行駛，所以今天不是周五，周二和周六，所以今天是周四，故選B．二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4個小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分)9．古希臘著名的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1,3,6,10，…這樣的數(shù)稱為“三角形數(shù)”，而把1,4,9,16，…這樣的數(shù)稱為“正方形數(shù)”．從圖中可以發(fā)現(xiàn)，任何一個大于1的“正方形數(shù)”都可以看作兩個相鄰“三角形數(shù)”之和，下列等式中，符合這一規(guī)律的是(BD)A．25＝9＋16 B．36＝15＋21C．49＝18＋31 D．64＝28＋36[解析]這些三角形數(shù)的規(guī)律是1,3,6,10,15,21,28,36,45，…，且正方形數(shù)是這串?dāng)?shù)中的相鄰兩數(shù)之和，很容易發(fā)現(xiàn)15＋21＝36,28＋36＝64，只有BD正確．10．下列函數(shù)f(x)中，滿足“對任意x1、x2∈(0，＋∞)，當(dāng)x1＜x2時，都有f(x1)>f(x2)”的是(AC)A．f(x)＝eq\f(1,x) B．f(x)＝(x－1)2C．f(x)＝e－x D．f(x)＝ln(x＋1)[解析]若滿足題目中的條件，則f(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)，在A、B、C、D四選項(xiàng)中，由函數(shù)基本性質(zhì)知，AC是減函數(shù)，故選AC．11．類比“兩角和與差的正弦公式”的形式，對于給定的兩個函數(shù)：S(x)＝ax－a－x，C(x)＝ax＋a－x，其中a＞0，且a≠1，下面正確的運(yùn)算公式是(CD)A．S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)B．S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)C．2S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)D．2S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)[解析]經(jīng)驗(yàn)證易知AB錯誤，依題意，注意到2S(x＋y)＝2(ax＋y－a－x－y)，又S(x)C(y)＋C(x)S(y)＝2(ax＋y－a－x－y)，因此有2S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；同理有2S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)，綜上所述，選CD．12．已知f(x)＝x3＋x，a、b、c∈R，且a＋b>0，a＋c>0，b＋c>0，則下列對于f(a)＋f(b)＋f(c)的取值說法不正確的是(BCD)A．一定大于零 B．一定等于零C．一定小于零 D．正負(fù)都有可能[解析]f(x)＝x3＋x是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)，由a＋b>0得a>－b，所以f(a)>f(－b)，即f(a)＋f(b)>0，同理f(a)＋f(c)>0，f(b)＋f(c)>0，所以f(a)＋f(b)＋f(c)>0，故選BCD．三、填空題(本大題共4個小題，每小題5分，共20分，將正確答案填在題中橫線上)13．甲、乙、丙、丁四人分別從一個裝有編號為1,2,3,4的四個完全相同的小球的袋中依次取出一個小球．現(xiàn)知道：①甲取出的小球編號為偶數(shù)；②乙取出的小球編號比甲大；③乙、丙取出的小球編號差的絕對值比甲大．則丁取出的小球編號是__3__．[解析]由①②可知，甲取出的小球編號為2，乙取出的小球編號可能是3或4.又|1－4|＝3＞2，|1－3|＝2，所以由③可知，乙取出的小球編號是4，丙取出的小球編號是1，故丁取出的小球編號是3．故答案為3．14．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(x,x＋2)(x>0)，觀察：f1(x)＝f(x)＝eq\f(x,x＋2)，f2(x)＝f(f1(x))＝eq\f(x,3x＋4)，f3(x)＝f(f2(x))＝eq\f(x,7x＋8)，f4(x)＝f(f3(x))＝eq\f(x,15x＋16)，…根據(jù)以上事實(shí)，由歸納推理可得：當(dāng)n∈N*且n≥2時，fn(x)＝f(fn－1(x))＝__eq\f(x,2n－1x＋2n)__．[解析]由已知可歸納如下：f1(x)＝eq\f(x,21－1x＋21)，f2(x)＝eq\f(x,22－1x＋22)，f3(x)＝eq\f(x,23－1x＋23)，f4(x)＝eq\f(x,24－1x＋24)，…，fn(x)＝eq\f(x,2n－1x＋2n)．15．甲、乙、丙三位同學(xué)中有一人申請了北京大學(xué)的自主招生考試，當(dāng)他們被問到誰申請了北京大學(xué)的自主招生考試時，甲說：丙沒有申請；乙說：甲申請了；丙說：甲說對了．如果這三位同學(xué)中只有一人說的是假話，那么申請了北京大學(xué)的自主招生考試的同學(xué)是__乙__．[解析]由題意得，甲、丙兩人說的話同真同假，又只有一人說的是假話，所以乙說的是假話，甲、丙說的是真話，則甲沒申請，丙沒申請，故申請人為乙．16．觀察下列等式：1＝113＝11＋2＝313＋23＝91＋2＋3＝613＋23＋33＝361＋2＋3＋4＝1013＋23＋33＋43＝1001＋2＋3＋4＋5＝1513＋23＋33＋43＋53＝225……可以推測：13＋23＋33＋…＋n3＝__eq\f(n2n＋12,4)__.(n∈N*，用含有n的代數(shù)式表示)[解析]由條件可知：13＝12,13＋23＝9＝32＝(1＋2)2,13＋23＋33＝36＝62＝(1＋2＋3)2，…，不難得出．13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2＝[eq\f(nn＋1,2)]2＝eq\f(n2n＋12,4)．四、解答題(本大題共6個小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17．(本題滿分10分)已知a、b、c∈R＋，求證：eq\r(\f(a2＋b2＋c2,3))≥eq\f(a＋b＋c,3)．[解析]分析法：要證eq\r(\f(a2＋b2＋c2,3))≥eq\f(a＋b＋c,3)，只需證：eq\f(a2＋b2＋c2,3)≥(eq\f(a＋b＋c,3))2，只需證：3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca，只需證：2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2bc＋2ca，只需證：(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0，而這是顯然成立的，所以eq\r(\f(a2＋b2＋c2,3))≥eq\f(a＋b＋c,3)成立．綜合法：∵a、b、c∈R＋，∴(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0，∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ac)，∴3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac，∴3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2，∴eq\r(\f(a2＋b2＋c2,3))≥eq\f(a＋b＋c,3)．18．(本題滿分12分)先解答(1)，再通過結(jié)構(gòu)類比解答(2)．(1)求證：tan(x＋eq\f(π,4))＝eq\f(1＋tanx,1－tanx)；(2)設(shè)x∈R，a為非零常數(shù)，且f(x＋a)＝eq\f(1＋fx,1－fx)，試問：f(x)是周期函數(shù)嗎？證明你的結(jié)論．[解析](1)證明：根據(jù)兩角和的正切公式得tan(x＋eq\f(π,4))＝eq\f(tanx＋tan\f(π,4),1－tanxtan\f(π,4))＝eq\f(tanx＋1,1－tanx)＝eq\f(1＋tanx,1－tanx)，即tan(x＋eq\f(π,4))＝eq\f(1＋tanx,1－tanx)，命題得證．(2)猜想f(x)是以4a為周期的周期函數(shù)．因?yàn)閒(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝eq\f(1＋fx＋a,1－fx＋a)＝eq\f(1＋\f(1＋fx,1－fx),1－\f(1＋fx,1－fx))＝－eq\f(1,fx)．所以f(x＋4a)＝f[(x＋2a)＋2a]＝－eq\f(1,fx＋2a)＝f(x)．所以f(x)是以4a為周期的周期函數(shù)．19．(本題滿分12分)我們知道，在△ABC中，若c2＝a2＋b2，則△ABC是直角三角形．現(xiàn)在請你研究：若cn＝an＋bn(n＞2)，問△ABC為何種三角形？為什么？[解析]銳角三角形∵cn＝an＋bn(n＞2)，∴c＞a,c＞b，由c是△ABC的最大邊，所以要證△ABC是銳角三角形，只需證角C為銳角，即證cosC＞0．∵cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)，∴要證cosC＞0，只要證a2＋b2＞c2， ①注意到條件：an＋bn＝cn，于是將①等價變形為：(a2＋b2)cn－2＞cn. ②∵c＞a，c＞b，n＞2，∴cn－2＞an－2，cn－2＞bn－2，即cn－2－an－2＞0，cn－2－bn－2＞0，從而(a2＋b2)cn－2－cn＝(a2＋b2)cn－2－an－bn＝a2(cn－2－an－2)＋b2(cn－2－bn－2)＞0，這說明②式成立，從而①式也成立．故cosC＞0，C是銳角，△ABC為銳角三角形．20．(本題滿分12分)求證：在銳角三角形ABC中，sinA＋sinB＋sinC>cosA＋cosB＋cosC．[解析]因?yàn)樵阡J角三角形中，A＋B>eq\f(π,2)，所以A>eq\f(π,2)－B，所以0＜eq\f(π,2)－B＜A＜eq\f(π,2)．又因?yàn)樵?0，eq\f(π,2))內(nèi)，正弦函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，所以sinA>sin(eq\f(π,2)－B)＝cosB，即sinA>cosB．同理可證sinB>cosC，sinC>cosA．把以上三式兩端分別相加，得sinA＋sinB＋sinC>cosA＋cosB＋cosC．21．(本題滿分12分)已知結(jié)論：在直角三角形中，若兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，則斜邊上的高h(yuǎn)＝eq\f(ab,c).若把該結(jié)論推廣到空間：在側(cè)棱互相垂直的四面體A－BCD中，若三個側(cè)面的面積分別為S1，S2，S3，底面面積為S，則該四面體的高H與S，S1，S2，S3之間的關(guān)系是什么？(用S，S1，S2，S3表示)[解析]記該四面體A－BCD的三條側(cè)棱長分別為a，b，c，不妨設(shè)S1＝eq\f(1,2)ab，S2＝eq\f(1,2)bc，S3＝eq\f(1,2)ac，由eq\f(1,3)SH＝eq\f(1,3)S1c，得H＝eq\f(S1c,S)，于是H＝eq\f(\r(S\o\al(2,1)c2),S)＝eq\f(\r(\f(1,4)a2b2c2),S)＝eq\f(\r(2\f(1,2)ab\f(1,2)bc\f(