高考數(shù)學(xué)人教B版一輪復(fù)習(xí)訓(xùn)練3-3利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值最值

核心考點·精準研析考點一用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值問題

命題精解讀考什么:(1)考查求值、解方程、解不等式等問題.(2)考查數(shù)學(xué)運算、直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng)及數(shù)形結(jié)合、分類與整合等數(shù)學(xué)思想.怎么考:與函數(shù)圖象、方程、不等式、函數(shù)單調(diào)性等知識結(jié)合考查求函數(shù)極值、知函數(shù)極值求參數(shù)等問題.新趨勢:函數(shù)極值、導(dǎo)數(shù)的幾何意義及函數(shù)圖象等知識交匯考查為主學(xué)霸好方法1.求函數(shù)f(x)極值的一般解題步驟(1)確定函數(shù)的定義域;(2)求導(dǎo)數(shù)f′(x);(3)解方程f′(x)=0,求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根;(4)列表檢驗f′(x)在f′(x)=0的根x0左右兩側(cè)值的符號.2.已知函數(shù)極值點或極值求參數(shù)的兩個要領(lǐng)(1)列式:根據(jù)極值點處導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個條件列方程組,利用待定系數(shù)法求解.(2)驗證:因為導(dǎo)數(shù)值等于零不是此點為極值點的充要條件,所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗證根的合理性.由圖象判斷函數(shù)的極值【典例】(2020·咸陽模擬)已知三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d的圖象如圖所示,則QUOTE=________.

【解析】f′(x)=3ax2+2bx+c;根據(jù)圖象知,x=1,2是f(x)的兩個極值點;所以x=1,2是方程3ax2+2bx+c=0的兩實數(shù)根;根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得,QUOTE所以2b=3a,c=6a,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=1.答案:1由函數(shù)f(x)的圖象確定極值點的主要依據(jù)是什么?提示:局部最高(低)點的橫坐標是極大(小)值點.求已知函數(shù)的極值【典例】已知函數(shù)f(x)=x1+QUOTE(a∈R,e為自然對數(shù)的底數(shù)). 導(dǎo)學(xué)號(1)若曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線平行于x軸,求a的值.(2)求函數(shù)f(x)的極值.【解析】(1)由f(x)=x1+QUOTE,得f′(x)=1QUOTE.又曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線平行于x軸,所以f′(1)=0,即1QUOTE=0,解得a=e.(2)f′(x)=1QUOTE,當(dāng)a≤0時,f′(x)>0,f(x)為(∞,+∞)上的增函數(shù),所以函數(shù)f(x)無極值.當(dāng)a>0時,令f′(x)=0,得ex=a,即x=lna,當(dāng)x∈(∞,lna)時,f′(x)<0;當(dāng)x∈(lna,+∞)時,f′(x)>0,所以f(x)在(∞,lna)上單調(diào)遞減,在(lna,+∞)上單調(diào)遞增,故f(x)在x=lna處取得極小值且極小值為f(lna)=lna,無極大值.綜上,當(dāng)a≤0時,函數(shù)f(x)無極值;當(dāng)a>0時,f(x)在lna處得極小值lna,無極大值.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)有極值,則極值點有可能是a或b嗎?f(x)在(a,b)內(nèi)可以是單調(diào)函數(shù)嗎?提示:若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)有極值,那么y=f(x)在(a,b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù),即在某區(qū)間上單調(diào)函數(shù)沒有極值,且極值點一定不是a和b.已知函數(shù)極值情況求參數(shù)值(范圍)【典例】設(shè)a∈R,若函數(shù)y=x+alnx在區(qū)間QUOTE上有極值點,則a的取值范圍為 導(dǎo)學(xué)號()A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTE∪(e,+∞)D.(∞,e)∪QUOTE【解析】選B.因為函數(shù)y=f(x)=x+alnx在區(qū)間QUOTE上有極值點,所以y′在區(qū)間QUOTE上有零點.f′(x)=1+QUOTE=QUOTE(x>0).所以f′QUOTE·f′(e)<0,所以(ea+1)QUOTE<0,解得e<a<QUOTE,所以a的取值范圍為QUOTE.已知函數(shù)極值求參數(shù),常轉(zhuǎn)化為什么問題?提示:常轉(zhuǎn)化為方程的根和函數(shù)零點的問題.1.設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo),其導(dǎo)函數(shù)為f′(x),且函數(shù)y=(1x)f′(x)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論中一定成立的是 ()A.函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)B.函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)C.函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(2)D.函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(2)【解析】選D.由題圖可知,當(dāng)x<2時,1x>3,此時f′(x)>0;當(dāng)2<x<1時,0<1x<3,此時f′(x)<0;當(dāng)1<x<2時,1<1x<0,此時f′(x)<0;當(dāng)x>2時,1x<1,此時f′(x)>0,由此可以得到函數(shù)f(x)在x=2處取得極大值,在x=2處取得極小值.2.設(shè)函數(shù)f(x)=lnx+ax2QUOTEx,若x=1是函數(shù)f(x)的極大值點,則函數(shù)f(x)的極小值為________.

【解析】函數(shù)f(x)=lnx+ax2QUOTEx,函數(shù)定義域為(0,+∞),f′(x)=QUOTE+2axQUOTE.若x=1是函數(shù)f(x)的極大值點,則f′(1)=0,解得a=QUOTE;所以f(x)=lnx+QUOTEx2QUOTEx,f′(x)=QUOTE+QUOTExQUOTE=QUOTE=QUOTE;當(dāng)f′(x)>0時,0<x<1或x>2;函數(shù)在(0,1)和(2,+∞)上單調(diào)遞增;當(dāng)f′(x)<0時,1<x<2,函數(shù)在(1,2)上單調(diào)遞減;所以函數(shù)在x=1時有極大值;函數(shù)在x=2時有極小值為f(2)=ln22.答案:ln223.(2019·荊門模擬)已知函數(shù)f(x)=x2+2x2xex.求函數(shù)f(x)的極值.【解析】因為函數(shù)f(x)=x2+2x2xex(x∈R),所以f′(x)=2x+22ex2xex=(2x+2)(1ex),由f′(x)=0,得x=1或x=0,列表討論,得:x(∞,1)1(1,0)0(0,+∞)f′(x)0+0f(x)↘極小值↗極大值↘所以當(dāng)x=1時,f(x)極小值=f(1)=12+2×QUOTE=QUOTE1,當(dāng)x=0時,f(x)極大值=f(0)=0.設(shè)函數(shù)f(x)=ex(sinxcosx)(0≤x≤2016π),則函數(shù)f(x)的各極大值之和為 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.因為函數(shù)f(x)=ex(sinxcosx),所以f′(x)=[ex(sinxcosx)]′=ex(sinxcosx)+ex(cosx+sinx)=2exsinx;令f′(x)=0,解得x=kπ(k∈Z);所以當(dāng)2kπ<x<2kπ+π時,f′(x)>0,原函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)2kπ+π<x<2kπ+2π時,f′(x)<0,原函數(shù)單調(diào)遞減;所以當(dāng)x=2kπ+π時,函數(shù)f(x)取得極大值,此時f(2kπ+π)=e2kπ+π[sin(2kπ+π)cos(2kπ+π)]=e2kπ+π;又因為0≤x≤2016π,所以0和2016π都不是極值點,所以函數(shù)f(x)的各極大值之和為:eπ+e3π+e5π+…+e2015π=QUOTE.考點二用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的最值問題

【典例】(2019·黃岡模擬)已知函數(shù)f(x)=QUOTEax,曲線y=f(x)在x=1處的切線經(jīng)過點(2,1).(1)求實數(shù)a的值;(2)設(shè)b>1,求f(x)在區(qū)間QUOTE上的最大值和最小值.【解題導(dǎo)思】序號題目拆解(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參數(shù)利用求導(dǎo)的方法求出函數(shù)在切點處的切線斜率,再利用切點坐標與切線的斜率之間的關(guān)系求出a的值(2)研究函數(shù)f(x)的單調(diào)性利用對x分類討論的方法,結(jié)合b的取值范圍,用求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)f(x)的最值從而求出函數(shù)的極值,進而求出函數(shù)的最值【解析】(1)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)=QUOTE?f′(1)=QUOTE=1a,依題意,有QUOTE=1a,即QUOTE=1a,解得a=1.(2)由(1)得f′(x)=QUOTE,當(dāng)0<x<1時,1x2>0,lnx>0,所以f′(x)>0,故f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增;當(dāng)x>1時,1x2<0,lnx<0,所以f′(x)<0,故f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,所以f(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞減.因為0<QUOTE<1<b,所以f(x)的最大值為f(1)=1.設(shè)h(b)=f(b)fQUOTE=QUOTElnbb+QUOTE,其中b>1則h′QUOTE=QUOTElnb>0,故h(b)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增.當(dāng)b→1時,h(b)→0?h(b)>0?f(b)>fQUOTE.故f(x)的最小值為fQUOTE=blnbQUOTE.求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]內(nèi)的最大值和最小值的思路(1)若所給的閉區(qū)間[a,b]不含參數(shù),則只需對函數(shù)f(x)求導(dǎo),并求f′(x)=0在區(qū)間[a,b]內(nèi)的根,再計算使導(dǎo)數(shù)等于零的根的函數(shù)值,把該函數(shù)值與f(a),f(b)比較,其中最大的一個是最大值,最小的一個是最小值.(2)若所給的閉區(qū)間[a,b]含參數(shù),則需對函數(shù)f(x)求導(dǎo),通過對參數(shù)分類討論,判斷函數(shù)的單調(diào)性,從而得到函數(shù)f(x)的最值.(2019·南昌模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=lnx2mx2n(m,n∈R).(1)討論f(x)的單調(diào)性.(2)若f(x)有最大值ln2,求m+n的最小值.【解析】(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),f′(x)=QUOTE4mx=QUOTE,當(dāng)m≤0時,f′(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;當(dāng)m>0時,令f′(x)>0,得0<x<QUOTE,令f′(x)<0得x>QUOTE,所以f(x)在QUOTE上單調(diào)遞增,在QUOTE上單調(diào)遞減.(2)由(1)知,當(dāng)m>0時,f(x)在QUOTE上單調(diào)遞增,在QUOTE上單調(diào)遞減.所以f(x)max=fQUOTE=lnQUOTE-2m·QUOTEn=ln2QUOTElnmQUOTEn=ln2,所以n=QUOTElnmQUOTE,所以m+n=mQUOTElnmQUOTE,令h(x)=xQUOTElnxQUOTE(x>0),則h′(x)=1QUOTE=QUOTE,所以h(x)在QUOTE上單調(diào)遞減,在QUOTE上單調(diào)遞增,所以h(x)min=hQUOTE=QUOTEln2,所以m+n的最小值為QUOTEln2.考點三用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題

【典例】某食品廠進行蘑菇的深加工,每千克蘑菇的成本為20元,并且每千克蘑菇的加工費為t元(t為常數(shù),且2≤t≤5).設(shè)該食品廠每千克蘑菇的出廠價為x元(25≤x≤40),根據(jù)市場調(diào)查,日銷售量q千克與ex成反比,當(dāng)每千克蘑菇的出廠價為30元時,日銷售量為100千克. 導(dǎo)學(xué)號(1)求該工廠的每日利潤y元與每千克蘑菇的出廠價x元的函數(shù)關(guān)系式.(2)若t=5,當(dāng)每千克蘑菇的出廠價x為多少時,該工廠的每日利潤y最大?并求最大值.【解題導(dǎo)思】序號聯(lián)想解題(1)待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系根據(jù)已知條件得出日銷量函數(shù)表達式q=QUOTE(k≠0),將x=30,q=100代入日銷量函數(shù)表達式中求出k的值,進而得到利潤y與出廠價x之間的函數(shù)關(guān)系式.(2)通過求函數(shù)最值,解答實際問題將t=5代入函數(shù)中,根據(jù)導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,進而得函數(shù)的最值.【解析】(1)設(shè)日銷量q=QUOTE(k≠0),則QUOTE=100,所以k=100e30,所以日銷量q=QUOTE,所以y=QUOTE(25≤x≤40).(2)當(dāng)t=5時,y=QUOTE,y′=QUOTE.由y′≥0得x≤26,由y′≤0,得x≥26,所以y在區(qū)間[25,26]上單調(diào)遞增,在區(qū)間[26,40]上單調(diào)遞減,所以當(dāng)x=26時,ymax=100e4,即當(dāng)每千克蘑菇的出廠價為26元時,該工廠的每日利潤最大,最大值為100e4元.利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的四個步驟(1)分析實際問題中各量之間的關(guān)系,建立實際問題的數(shù)學(xué)模型,寫出實際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x).(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x),解方程f′(x)=0.(3)比較函數(shù)在區(qū)間端點和f′(x)=0處的點的函數(shù)值的大小,最大(小)者為最大(小)值.(4)回歸實際問題作答.某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明,該商品每日的銷售量y(單位:千克)與銷售價格x(單位:元/千克)滿足關(guān)系式y(tǒng)=QUOTE+10(x5)2,其中2<x<5,a為常數(shù).已知銷售價格為4元/千克時,每日可售出該商品10.5千克.(1)求a的值;(2)若該商品的成本為2元/千克,試確定銷售價格x的值,使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.【解析】(1)因為x=4時,y=10.5,所以QUOTE+10=10.5,所以a=1.(2)由(1)可知