2023-2024屆新高考一輪復(fù)習(xí)人教A版 第十章 第六講　隨機事件的獨立性、條件概率與二項分布 學(xué)案

第六講隨機事件的獨立性、條件概率與二項分布

■雙基自測

知識梳理

知識點一條件概率及其性質(zhì)

條件概率的定義條件概率的性質(zhì)

設(shè)A、8為兩個事件,且P(A)>0,稱P(BH)(l)0≤P(B∣A)≤l

=S黑為在事件A發(fā)生的條件下，事件B

⑵若B、C是兩個互斥事件,則P((B

UC)IA)=P(EA)+P(CIA)

發(fā)生的條件概率

知識點二事件的相互獨立性

設(shè)A、8為兩個事件，如果尸(A為=P(A)P(B),則稱事件A與事件B相互

獨立.

若事件A、8相互獨立,則P(BlA)=P(B),P(AlB)=P(A);事件4與石,^A

與B,N與石都相互獨立.

知識點三二項分布

(1)獨立重復(fù)試驗:在相同條件下重復(fù)做的n次試驗稱為"次獨立重復(fù)試驗，

若用AM=1,2,…，〃)表示第z次試驗結(jié)果，則PUiA2A3-A,,)=

P(AI)P(A2)?P(A3)…尸(A”),

(2)二項分布：在〃次獨立重復(fù)試驗中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每

次試驗中事件A發(fā)生的概率為p,則。(乂=%)=@//(1一)"］以=0,1,2,一，〃),

此時稱隨機變量X服從二項分布，記為X?B(n,/?).

若X~B(mp),則E(若=〃D,D(X)=np(l-p).

歸納拓展

1.事件的表示

(1)4、B中至少有一個發(fā)生的事件為AU氏

(2)A、8都發(fā)生的事件為AR

(3)A、B都不發(fā)生的事件為了看.

(4)A、B恰有一個發(fā)生的事件為(A耳)U(∕^B)?

(5)A、8至多有一個發(fā)生的事件為(AB)U(A石)U(了豆).

2.一般結(jié)論

(1)若事件A，B,。兩兩相互獨立，則P(ABC)=P(A)?P(B)?P(C);

(2)P(豆IA)=I—P(BIA)；

(3)若P(A)>O,則P(AB)=P(A)?P(陰A)；

(4)若A、B相互獨立，則①A、B至少有一個發(fā)生的概率P(A+B)=P(A)+P(B)

-P(A)-P(B).

P(A+B)=↑-P(~A)P(B).

②A、B恰有一個發(fā)生的概率P(AB+AB)=P(A)+P(B)-2P(A)?P(B).

3.二項分布與超幾何分布的比較

摸球方式X的分布列E(X)D(X)

放回摸球二項分布次〃，P)np中(Lp)

不放回超幾何分布N一〃

np即(LpRry

摸球H(MM,ri)

雙基自測

題組一走出誤區(qū)

1.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“J”或“義”)

(1)若事件A,B相互獨立，則P(BIA)=P(B).(J)

(2)P(3∣A)表示在事件A發(fā)生的條件下，事件8發(fā)生的概率；P(B4)表示事件

A,B同時發(fā)生的概率，一定有P(AB)=P(A)?P(B).(X)

(3)二項分布是一個概率分布列，是一個用公式P(X=Z)=C?∕(l-p)"r,k=

0,1,2,…，〃表示的概率分布列，它表示了〃次獨立重復(fù)試驗中事件A發(fā)生的次

數(shù)的概率分布.(J)

(4)二項分布是一個概率分布，其公式相當(dāng)于(α+b)"二項展開式的通項公式,

其中a=p,0=l-p.(X)

(5)袋中有5個小球(3白2黑),現(xiàn)從袋中每次取一個球,不放回地抽取兩次，

則在第一次取到白球的條件下，第二次取到白球的概率是0.5.(√)

(6)小王通過英語聽力測試的概率是/他連續(xù)測試3次，那么其中恰好第3

次測試獲得通過的概率是P=C唱）11一；）3T=*（×）

題組二走進教材

2.（必修2P25θT4改編）（2022?云南曲靖一中質(zhì)檢）甲、乙、丙三人獨立破譯一

211

份密碼，分別譯出的概率為京今則密碼能被譯出的概率為（C）

?i11

B.12

題組三走向高考

3.（2021.新高考I卷）有6個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放

回的隨機取兩次，每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1"，

乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字

之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7"，則（B）

A.甲與丙相互獨立B.甲與丁相互獨立

C.乙與丙相互獨立D.丙與丁相互獨立

［解析］P（甲）=卷，P（乙）=卷，P（丙）=4，P（?。?,=：'P（甲丙）=

0≠P（甲）P（丙），P（甲丁）=石=P（甲）P（?。?P（乙丙）=表≠P（乙）P（丙），P（丙?。?/p>

=0≠P（丁）P（丙），故選B.

4.（2018.課標(biāo)川）某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為p,各成員

的支付方式相互獨立.設(shè)X為該群體的10位成員中使用移動支付的人數(shù)，D（X）

=2.4,P（X=4）＜P（X=6）,則P=（B）

A.0.7B.0.6

C.0.4D.0.3

［解析］由題知X?B(10,p),則D(X)=IOXP義(1-p)=2.4,解得P=O.4

或0.6.又??P(X=4)<P(X=6),即Cfop4(l-p)6<Cfop6(l-p)M(l-p)2<pMp>0.5,

Λp=0.6,故選B.

5.(2021.天津高考)甲、乙兩人在每次猜謎活動中各猜一個謎語，若一方猜

對且另一方猜錯，則猜對的一方獲勝，否則本次平局，已知每次活動中，甲、乙

猜對的概率分別為細(xì)4且每次活動中甲、乙猜對與否互不影響，每次活動也互

OJ

2

不影響，則一次活動中，甲獲勝的概率為*3次活動中，甲至少獲勝2次的

20

概率為

542

［解析］由題可得一次活動中，甲獲勝的概率為Kw=東則在3次活動中，

甲至少獲勝2次的概率為C5×(jj2×∣+(j?3=∣y.

?互動探究

考點一條件概率——自主練透

???例1(1)(2022.遼寧沈陽模擬)已知甲、乙、丙三名同學(xué)同時獨立地解答

一道導(dǎo)數(shù)試題，每人均有彳的概率解答正確，且三個人解答正確與否相互獨立，

在三人中至少有兩人解答正確的條件下，甲解答不正確的概率為(C)

c9

A'1—3R—

A?20d-20

C?D?

J520

(2)(2023?安徽十校質(zhì)檢)現(xiàn)有5名同學(xué)站成一排拍照畢業(yè)留念,在“甲不站最

3

左邊，乙不站最右邊”的前提下，丙站最左邊的概率為5?.

13—

［解析］(1)記“三人中至少有兩人解答正確”為事件A；“甲解答不正確”

為事件8,

則P(A)=C(D2×∣+C(D3=^;

1224

P(AB)=??十萬，

二.P(BlA)=故選C.

γ?λ)J

(2)設(shè)“甲不站最左邊，乙不站最右邊”為事件A,丙站最左邊為事件8,則

事件A發(fā)生的情況分兩種可能：第一種，當(dāng)甲站在最右邊時，有A2=24種；第

二種，當(dāng)甲不站在最左邊，也不站在最右邊時，有A!A4A3=54種，事件AB發(fā)

生的情況有：A4AT=18種，所以在“甲不站最左邊，乙不站最右邊”的前提下,

丙站最左邊的概率為P(BIA)=嗡=Il=春

名帥Λ披MINGSHIDIANBO

條件概率的求法

(1)利用定義，分別求P(A)和P(A3),得P(BIA)=錯1這是通用的求條件概

Γ?Λ)

率的方法.

(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)”(A),再在事件A

發(fā)生的條件下求事件B包含的基本事件數(shù)，即〃(AB),得P(陰A)=喂1

〔變式訓(xùn)練1J

(1)(2023?河南焦作定位考、濮陽階段測試)袋中裝有大小質(zhì)地完全相同的3

個小球，小球上分別標(biāo)有數(shù)字4、5、6.每次從袋中隨機摸出1個球，記下它的號

碼，放回袋中，這樣連續(xù)摸三次.設(shè)事件A為“三次記下的號碼之和是15”，

事件B為''三次記下的號碼不全相等”，則P(BIA)=(A)

(2)(2022?陜西交大附中聯(lián)考)甲、乙兩人同時向同一目標(biāo)射擊一次，已知甲命

中目標(biāo)概率為0.6,乙命中目標(biāo)概率為0.5,假設(shè)甲、乙兩人射擊命中率互不影

響.射擊完畢后，獲知目標(biāo)至少被命中一次，則甲命中目標(biāo)的概率為(B)

A.0.8B.0.75

C.0.6D.0.48

［解析］(1)事件A所包含的基本事件有(4,5,6),(4,6,5),(5,4,6),(5,6,4),(6,5,4),

(6,4,5),(5,5,5)共7個,事件AB所包含的基本事件有(4,5,6),(4,6,5),(5,4,6),(5,6,4),

(6,5,4),(6,4,5)共6個，所以P(3∣A)=嚕1=*故選A.

(2)設(shè)事件A為“目標(biāo)至少被命中一次”，事件B為“甲命中目標(biāo)”，

則P(A)=0.6×0.5+0.4×0.5+0.6×0.5=0.8或P(A)=I—04X0.5=0.8,

P(AB)=O.6X0.5+0.6X0.5=0.6,

ΛP(B∣A)=÷ττ2=0.75,故選B.

"(A)

考點二相互獨立事件——多維探究

角度1判斷事件的獨立性

??例2（2023.河北“五個一”名校聯(lián)盟聯(lián)考）先后拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰

子，甲表示事件“第一枚骰子擲出的點數(shù)是1”，乙表示事件“第二枚骰子擲出

的點數(shù)是2”，丙表示事件“兩枚骰子擲出的點數(shù)之和是8”，丁表示事件“兩

枚骰子擲出的點數(shù)之和是7"，則下列說法正確的有（C）

①甲與乙相互獨立

②乙與丁相互獨立

③乙與丙不互斥但相互獨立

④甲與丙互斥但不相互獨立

A.1個B.2個

C.3個D.4個

［解析］由題意得P（甲）=P（乙）=（,

同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子一共有36種結(jié)果，

事件“兩枚骰子擲出的點數(shù)之和是8”的基本事件有：

（2,6）,（3,5）,（4,4）,（5,3）,（6,2）,共5種，則P（丙）=］,事件"兩枚骰子擲

出的點數(shù)之和是7”的基本事件有：（1,6）,（2,5）,（3,4）,（4,3）,（5,2）,（6,1）,共6

種，則P（T）=H'

①P（甲乙）=表=P（甲）P（乙），故正確；

②P（乙丁）=4=P（乙）P（?。?，故正確；

③乙與丙不互斥，且尸（乙丙）=點WP（乙）?P（丙），故錯誤；

④甲與丙互斥，且P（甲丙）=0WP（甲）P（丙），故正確.故選C?

角度2相互獨立事件的概率

形?例3（1）（多選題）（2023.廣東佛山禪城區(qū)調(diào)研）九月伊始，佛山市某中學(xué)

社團招新活動開展得如火如荼，小王、小李、小張三位同學(xué)計劃從籃球社、足球

社、羽毛球社三個社團中各自任選一個，每人選擇各社團的概率均為主且每人

選擇相互獨立，則(ACD)

A.三人選擇社團一樣的概率為:

Q

B.三人選擇社團各不相同的概率為六

7

C.至少有兩人選擇籃球社的概率為方

D.在至少有兩人選擇羽毛球社的前提下，小王選擇羽毛球社的概率為5

(2)甲、乙兩隊進行籃球決賽，采取七場四勝制(當(dāng)一隊贏得四場勝利時，該

隊獲勝，決賽結(jié)束).根據(jù)前期比賽成績，甲隊的主客場安排依次為“主主客客

主客主”，設(shè)甲隊主場取勝的概率為0.6,客場取勝的概率為0.5,且各場比賽結(jié)

果相互獨立，則甲隊以41獲勝的概率是0.18.

［解析］(1)對于A,三人選擇社團一樣的事件是都選籃球社的事件、都選足

球社的事件、都選羽毛球社的事件的和，它們互斥，三人選擇社團一樣的概率為

3X鈔=/，A正確；

對于B,三人選擇社團各不相同的事件，是小王從3個社團中任選1個，小

李從余下兩個中任選1個，最后1個社團給小張的事件，共6個不同結(jié)果，因此

三人選擇社團各不相同的概率為6xg>=看B不正確；

對于C,至少有兩人選擇籃球社的事件是恰有2人選籃球社與3人都選籃球

社的事件和，其概率為C正確；

7

對于D,令至少有兩人選擇羽毛球社的事件為A,由選項C知，P(A)=近,

小王選擇羽毛球社的事件為B,則事件AB是含小王只有2人選擇羽毛球社的事

件和3人都選擇羽毛球社的事件和，其概率P(AB)=aax&+(?3=言所以

在至少有兩人選擇羽毛球社的前提下，小王選擇羽毛球社的概率為P(BH)=

個熄=*D正確.故選ACD.

(2)前四場中有一場客場輸，第五場贏時，甲隊以41獲勝的概率是

O.63×0.5×0.5×2=0.108,

前四場中有一場主場輸，第五場贏時，甲隊以41獲勝的概率是

0.4×0.62×0.52×2=0.072,

綜上所述，甲隊以41獲勝的概率是

P=0.108+0.072=0.18.

［引申］本例(2)中乙以40獲勝的概率為0.04,甲以42獲勝的概率為

0171.

［解析］Pl=O.42X0.52=0.04；

P2=(C‰42X0.6×0.52+0.63×0.52+C∣0.4X0.62×C10.52)×0.5=0.171.

角度3與相互獨立事件相關(guān)的數(shù)學(xué)期望

2?例4(2022.全國甲卷)甲、乙兩個學(xué)校進行體育比賽，比賽共設(shè)三個項

目，每個項目勝方得10分，負(fù)方得0分，沒有平局.三個項目比賽結(jié)束后，總

得分高的學(xué)校獲得冠軍.已知甲學(xué)校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5,0.4,0.8,

各項目的比賽結(jié)果相互獨立.

(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；

(2)用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望.

［解析］(1)設(shè)甲在三個項目中獲勝的事件依次記為A,B,C,所以甲學(xué)校獲

得冠軍的概率為P=P(ABC)+尸(了BC)+P(A石C)+P(AB~C)

=0.5X0.4×0.8+0.5×0.4X0.8+0.5×0.6×0.8+0.5X0.4×0.2

=0.16+0.16+0.24+0.04=0.6.

(2)依題可知，X的可能取值為0,10,20,30,所以，

P(X=O)=O.5X0.4X0.8=0.16,

P(X=10)=0.5×0.4×0.8+0.5×0.6×0.8+0.5X0.4×0.2=0.44,

P(X=20)=0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2+0.5X0.6×0.2=0.34,

P(X=30)=0.5X0.6X0.2=0.06.

即X的分布列為

X0102030

P0.160.440.340.06

期望E(X)=0×0.16+10×0.44+20×0.34+30×0.06=13.

名幃點撥MINGSHIDIANBO

判斷兩個事件是否相互獨立的方法

(1)直接法：直接判斷一個事件發(fā)生與否是否影響另一事件發(fā)生的概率.

(2)定義法：判斷P(AB)=P(A)P(B)是否成立.

(3)轉(zhuǎn)化法：由事件A與事件3相互獨立知，A與萬，~X與B,N與石也

相互獨立.

求相互獨立事件概率的主要方法

(1)利用相互獨立事件的概率乘法公式直接求解.

(2)正面計算較繁瑣(如求用“至少”“至多”等表述的事件的概率)或難以

入手時，可從其對立事件入手計算.

〔變式訓(xùn)練2〕

(1)(角度2)(2023.山東“山東學(xué)情”聯(lián)考)某考生回答一道四選一的考題，假

設(shè)他知道正確答案的概率為0.5,知道正確答案時，答對的概率為100%,而不知

道正確答案時猜對的概率為0.25,那么他答對題目的概率為(A)

A.0.625B.0.75

C.0.5D.0

⑵(角度3)(2022.廣東新高考適應(yīng)性測試)某電視臺“挑戰(zhàn)主持人”節(jié)目的挑

戰(zhàn)者闖第一關(guān)需要回答三個問題，其中前兩個問題回答正確各得10分，回答不

正確得0分，第三個問題回答正確得20分，回答不正確得一10分，如果一位挑

戰(zhàn)者回答前兩個問題正確的概率都是2昌回答第三個問題正確的概率為;1，且各題

回答正確與否相互之間沒有影響，若這位挑戰(zhàn)者回答這三個問題的總分不低于

10分就算闖關(guān)成功.

①求至少回答對一個問題的概率；

②求這位挑戰(zhàn)者回答這三個問題的總得分X的分布列；

③求這位挑戰(zhàn)者闖關(guān)成功的概率.

［解析］(1)所求概率為P=0.5X100%+0.5X0.25=0.625,故選A.

2

(2)記挑戰(zhàn)者三個問題回答正確分別為事件A、B、C,則P(A)=P(B)=?,P(C)

=2'

①設(shè)至少回答對一個問題為事件，

__________1I117

則弓

P(Z))=I-P(ABC)=I-P(A)P(B)P(C)=I-?X?^XZj=i/o.

②這位挑戰(zhàn)者回答這三個問題的總得分X的所有可能取值為一

10,0,10,20,30,40,

根據(jù)題意，P(X=—10)=P(1^C)=

---Illl

P(A)P(B)P(C)=§X§X]=同，

___——___——2112

P(X=O)=P(A3C+ABC)=P(ABC)+P(ABC)=^×^×^×2=^

--2212

可

P(X=10)=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)?=?X^Z=G7,

......——Illl

)尸(。二,

P(X=20)=P(ABC)=P(A)P(B=W?XW?X5Z=Io

——2112

P(X=30)=P(ΛBO+P(√1BO=3×3×2×2=O,

2212

P(X=40)=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=W*gX]=§.

這位挑戰(zhàn)者回答這三個問題的總得分X的分布列為

X-10010203040

~Γ22~Γ22

P

1899?899

③設(shè)這位挑戰(zhàn)者闖關(guān)成功為事件8,

212213

則ΛB)=9+l8+9+9=18?

考點三二項分布——師生共研

降?例5(1)(2022?“四省八?！甭?lián)考)已知隨機變量X服從二項分布3(〃，

p),若E(X)=I2,√D(X)=3,則■=48.

(2)(2023?湖北九師聯(lián)盟聯(lián)考)某校為了緩解高三學(xué)子復(fù)習(xí)壓力，舉行“趣味數(shù)

學(xué)”闖關(guān)活動，規(guī)定每人從10道題中隨機抽3道回答，至少答對2題即可闖過

第一關(guān)，某班有5位同學(xué)參加闖關(guān)活動，假設(shè)每位同學(xué)都能答對10道題中的6

道題，且每位同學(xué)能否闖過第一關(guān)相互獨立.

①求B同學(xué)闖過第一關(guān)的概率；

②求這5位同學(xué)闖過第一關(guān)的人數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

E(X)=叩=12,

［解析］(1)解得"=48.

D(X)=np(l—p)=9,

(2)①8同學(xué)闖過第一關(guān)的情況有答對2題和答對3題，故8同學(xué)闖過第一

Cg+CgCl2

關(guān)的概率P=-C?~=3-

②由題意可知X的所有可能取值為0,123,4,5,且X服從二項分布，即X?

B"1).

P(X=O)=

P(X=I)=CgXIX停}=翳’

P(X=2)=CgX(J)2X(j)=票

P(X=3)=cW∣>χ映=簫

P(X=4)=C?X鈔X#第

P(X=5)<∣}=/.

故X的分布列為

X012345

1104080802Σ

P

243243243243243243

所以E(X)=OX而+IX詔+2X詔+3X詔+4X而+5X案=?.

210

或E(X)=np=5×^j=^γ.

名帥點帔MINGSHIDIANBO

求解二項分布問題的“四關(guān)”

(1)一是“判斷關(guān)”，即判斷離散型隨機變量X是否服從二項分布；

二是“公式關(guān)”，若該隨機變量服從二項分布，還需要通過古典概型或相互

獨立事件的概率計算公式計算出概率P,然后利用P(X=Z)=C物Q—p)〃r伙=

0,1,2,…，ri),求出X取各個值時的概率；

三是“分布列關(guān)”，列出表格，得離散型隨機變量的分布列；

四是“結(jié)論關(guān)”，分別利用公式E(X)=叩，O(X)=即(1—p)求期望、方差.

注意：熟記二項分布的概率、期望與方差公式，可以避免煩瑣的運算過程.

(2)有些隨機變量雖不服從二項分布，但與之具有線性關(guān)系的另一隨機變量

服從二項分布，這時，可以應(yīng)用均值與方差的性質(zhì)求解，即利用戈依+與=αE(x)

+b,D(0x+b)=α2f)(χ)求解.

〔變式訓(xùn)I練3〕

3

(1)(2023?陜西寶雞陳倉中學(xué)質(zhì)檢)若隨機變量X?B(6,p),O(X)=5,則E(3X

—2)=7.

(2)(2022.山東新高考質(zhì)量測評聯(lián)盟聯(lián)考)甲、乙兩位同學(xué)參加詩詞大會,設(shè)甲、

乙兩人每道題答對的概率分別為2尋映3假定甲、乙兩位同學(xué)答題情況互不影響，

且每人各次答題情況相互獨立.

①用X表示甲同學(xué)連續(xù)三次答題中答對的次數(shù)，求隨機變量X的分布列和

數(shù)學(xué)期望；

②設(shè)M為事件“甲、乙兩人分別連續(xù)答題三次，甲同學(xué)答對的次數(shù)比乙同

學(xué)答對的次數(shù)恰好多2”，求事件M發(fā)生的概率.

31

［解析］(1)因為X?8(6,P),則D(X)=6P(I-P)=解得p=］,則E(X)=

6×∣=3,因此，E(3X—2)=3E(X)—2=7.

(2)①X的所有可能取值為0,1,2,3,

則P(X=O)=G>=*；

P(X=D=C4X∣x3=京

,⑵，

P(X=2)=C3X|JJ2XQ1=§4；

P(X=3)=停卜捺

.?.隨機變量X的分布列為

X0123

i248

P

279927

I2482

/.E(X)=O×^y÷lXg+2Xg+3X刃=2或E(X)=np=3×^=2.

②設(shè)y為乙連續(xù)3次答題中答對的次數(shù)，

由題意知丫—3(3,

PG=。)=*吉,

2

pcr=l)=Ci×∣×Q=?

所以P(M)=P(X=3且y=l)+P(X=2且K=0)

89417

X一X

-一

+■9-1

276464144

7

即事件M發(fā)生的概率為卡.

考點四均值、方差在決策問題中的應(yīng)用——師生共研

2■例6(2022.福建三明模擬)為弘揚中華傳統(tǒng)文化，吸收前人在修身、處

世、治國、理政等方面的智慧和經(jīng)驗，養(yǎng)浩然正氣，塑高尚人格，不斷提高學(xué)生

的人文素質(zhì)和精神境界，某校舉行傳統(tǒng)文化知識競賽活動.競賽共有“儒”和

“道”兩類題，每類各5題.其中每答對1題“儒”題得10分，答錯得。分；

每答對1題“道”題得20分，答錯扣5分.每位參加競賽的同學(xué)從這兩類題中

共抽出4題回答(每個題抽后不放回)，要求“道”題中至少抽2題作答.已知小

明同學(xué)“儒”題中有4題會作答，答對各個“道”題的概率均為爭

(1)若小明同學(xué)在“儒”題中只抽1題作答，求他在這次競賽中得分為35分

的概率；

(2)若小明同學(xué)第1題是從“儒”題中抽出并回答正確，根據(jù)得分期望給他

建議，應(yīng)從“道”題中抽取幾道題作答？

［解析］解法一：(1)記A="小明在競賽中得35分”，則A表示“儒”題

答錯,“道”題2對1錯，所以P(A)UXCMI)2XI=券

(2)當(dāng)小明選擇從“儒”題中抽取1題，“道”題中抽取2題作答時，設(shè)4

題總得分為X,此時設(shè)“道”題中答對的題數(shù)為S則、42,1),E(J=2X∣=

4

5,

①“儒”題中的第二題答對時總得分

Xi=20+20E?—5(2—E?)

=20+20×∣-5×(2-∣]=30.

②“儒”題中的第二題答錯時總得分

X2=10+20E(e)-5(2-￡O=10+20×∣-5×^2-^=20,此時小明的總得

分期望值

E(X)=30×∣+20×(l-y=27.5,

當(dāng)小明選擇從“道”題中抽取3題作答，設(shè)答對題數(shù)為〃，4題總得分為y,

則〃??,∣j,E(^)=3×∣=∣,

Y=10+20〃-5(3—〃)=25〃一5,

所以E(Y)=25E(〃)-5=25X5—5=25,

因為E(X)>E(Y),即小明應(yīng)從“道”題中抽取2道題作答.

解法二：(1)同解法一.

(2)當(dāng)小明選擇從“儒”題中抽取1題，“道”題中抽取2題作答時，設(shè)4

題總得分為X,則X的所有可能取值為：0,10,25,35,50,60.

因為P(X=O)=(x(l_|)2=篇，

r

P(X=Io)3TU(,寸2YF27,

13212

P(X=25)=4×Ci×5×5=-∏J5.

P(X=35)=∣×α×∣×∣=-^,

P(X=50)=R∣)=就，

P(X=6,0)3,χ⑵?，h而12

27?r)3641?

所以E(X)=IOX前+25X礪+35X而+50X面+60X面=27.5,

當(dāng)小明選擇從“道”題中抽取3題作答，設(shè)答對題數(shù)為〃，4題總得分為Y,

則〃?43,Ij,E(7)=3×∣=∣,

Y=10+20〃-5(3—〃)=25〃-5,

所以E(Y)=25E(彳)一5=25X,—5=25,

因為E(X)>E"即小明應(yīng)從“道”題中抽取2道題作答.

名帥點帔MINGSHIDIANBO

隨機變量的均值反映了隨機變量取值的平均水平，方差反映了隨機變量穩(wěn)定

于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機變量，是生產(chǎn)實際中用于方案取

舍的重要理論依據(jù).一般先比較均值，若均值相同，再用方差來決定.

〔變式訓(xùn)練4〕

(2021?新高考I卷)某學(xué)校組織“一帶一路”知識競賽,有A、8兩類問題，

每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若

回答錯誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題

回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中的每個問題回答正確得

20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分，已

知小明能正確回答A類問題的概率為0.8,能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6,

且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).

(1)若小明先回答A類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列；

(2)為使累計得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.

［解析］(1)由題可知，X的所有可能取值為0,20,100.

P(X=O)=I—08=0.2；

P(X=2O)=O.8×(1-0.6)=032；

P(X=100)=0.8×0.6=0.48.

所以X的分布列為

X020100

P0.20.320.48

(2)由(1)知，E(X)=O×0.2+20×0.32+1OO×0.48=54.4.

若小明先回答B(yǎng)問題，記Y為小明的累計得分，則Y的所有可能取值為

0,80,100.

p(y=0)=l-0.6=0.4;

p(y=80)=0.6×(1-0.8)=0.12;

P(X=Ioo)=O.8X0.6=0.48.

所以E(y)=0X0.4+80><0.12+100X0.48=57.6.

因為54.4<57?6,所以小明應(yīng)選擇先回答B(yǎng)類問題.

?素養(yǎng)提升

概率中的“停止型”問題

H?■例7(1)(2023.河南濟源、平頂山、許昌聯(lián)考)A、8兩位同學(xué)各有3張

卡片，現(xiàn)以投擲硬幣的形式進行游戲.當(dāng)硬幣正面向上時，A贏得B一張卡片,

否則，B贏得A一張卡片，如果某人已贏得所有卡片，則游戲終止，那么恰好擲

完5次硬幣時游戲終止的概率為(D)

a?b-8

C3「3

c?32D-16

(2)(2022.甘肅天水一中階段測試)甲、乙兩隊進行一場排球比賽，根據(jù)以往經(jīng)

驗，單局比賽甲隊勝乙隊的概率為爭2本場比賽采用五局三勝制，即先勝三局的隊

獲勝，比賽結(jié)束.設(shè)各局比賽相互間沒有影響且無平局.求：

①前三局比賽甲隊領(lǐng)先的概率；

②設(shè)本場比賽的局?jǐn)?shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.(用