大學(xué)物理練習(xí)冊含答案-運(yùn)動守恒定律

沖??和動??定理

3-1質(zhì)量m=10kg的物體在力￡尸30+今N的作用下沿X軸運(yùn)動，試求(1)在開始2s內(nèi)此力的沖量/；(2)

如沖量∕=300N?s,此力的作用時間是多少？(3)如物體的初速也=IOm∕s,在r=6.86s時，此物體的速

度也為多少？

,2f2

解：⑴Ix=IFχdt=[(30+4f)dr=68N?s

2

(2)I1=∫θFxdt=￡(30+4/)dr=30Z+2/=300,t=6.86s

(3)I--pi-mv,-mvt,f=6.86s,∕=300N?s,v,=?(/-mvx)=-?-(3(X)-10×10)=2()m∕s

m10

3-2質(zhì)量"?=Ikg的物體沿X軸運(yùn)動，所受的力如圖3-2所示。/=0時，質(zhì)點(diǎn)靜止在坐標(biāo)原點(diǎn)，試用牛頓定律

和動量定理分別求解t=7s時此質(zhì)點(diǎn)的速度。

2t0≤Z≤5

解：⑴F=\

—5,+355≤f≤7

0≤f≤5,叱=2,,25

dV=2(tdtv∣=—=25(π√s)

Jom

5≤∕≤7,m—=-5r+35,mfdv=[(-5r+35)dr,

dtJ5

v2=35(m∕s)

Z1

(2)I=Fd/=-(7×10)=35(N?s),/=mv-mv=mv,v=35(m∕s)

Jo22x22

動量守恒定律

3-3兩球質(zhì)量分別多如=3.0g,加2個。，產(chǎn)光滑的水平桌面上運(yùn)動，用直角坐標(biāo)Xo)，描述運(yùn)動，兩者速度

分另IJ為G=8：cπVs,V2=(8F+16j)cπVs,若碰撞后兩球合為一體，則碰撞后兩球速度日的大小為

多少？與X軸的夾角為多少？

解：系統(tǒng)動量守恒(“4+，")口=SG+浜％=詢，+80/，v=3i+IOJ

v=∣v∣=√82+102=12.8cπ√s,與X軸夾角a=arctan—=51.3°

3-4如圖3-4所示，質(zhì)量為M的1/4圓弧滑槽停在光滑的水平面上，一個質(zhì)量為根的小物體自圓弧頂點(diǎn)由

靜止下滑。求當(dāng)小物體滑到底時，圓弧滑槽在水平面上移動的距離。

解：系統(tǒng)在水平方向動量守恒mv+Λ∕(-V)=0,mv=MV

兩邊對整個下落過程積分m[vdt=M['vdt

令S和S分別為m和M在水平方向的移動距離，則

5=Γvdr,S=f,Vdr,ms=MS.又S=R—S,所以S=mR

JOJom+M

另解：m相對于M在水平方向的速度M=V+V='士”口。對整個下落過程積分

M

?'v'dt=m+MΓvdr,R=m+Ms,M在水平方向的移動距離S=R-s=mR

lθMJOMm-?-M

質(zhì)心質(zhì)心運(yùn)動定律

3-5求半徑為R的半圓形勻質(zhì)薄板的質(zhì)心（如圖3-3所示）。

解：設(shè)薄板質(zhì)量為加，面密度為b=由質(zhì)量分布對稱性知，質(zhì)心在X軸上。

7ΓR2

在距。點(diǎn)為X的地方取一寬度為dx細(xì)長條，對應(yīng)的質(zhì)量

dm=2σy∣R2-x2dx,由質(zhì)心定義

Z=5也=挺麻Md."圖3-5

mmJ03π

3-6—根長為3質(zhì)量均勻的軟繩，掛在一半徑很小的光滑釘子上，如圖3-6所示。開始時，BC='試用

質(zhì)心的方法證明當(dāng)BC=2L∕3時，繩的加速度為α=g∕3,速率為丫=+bL-b2）。

解：由軟繩在運(yùn)動方向的受力和牛頓定律

L?N

λg[y-（L-y）]=ΛLa,a=~^

一g，",3=尹b'

5I

2y-LdVdVdyd；"=k(2idyk上

a=-----g=——=-------=V—

Ldfdyd/d

T苓1-2必可

另解（用質(zhì)心）

GbMw■+嗚［｝-2Lb+2b?

當(dāng)BC=人時，鏈系的質(zhì)心為K=

m2L

?

當(dāng)=時，鏈系的質(zhì)心為?

18

又重力的功等于物體動能的增量

22r2

mg（y'c-yc）=-mv,v=2g（y'c-yc）,v={j1-gi3+bL-b

角動量（動量矩）及其守恒定律

3-7已知質(zhì)量為m的人造衛(wèi)星在半徑為r的圓軌道上運(yùn)行,其角動量大小為L求它的動能、勢能和總能

量。（引力勢能J=-G色也，G為萬有引力常數(shù)）

r

AJL?13

解2：L=πnv,V=——，E,=-tnv2=-----

mr2Imr

22

1VCtnMe2LLr

設(shè)地球質(zhì)量M,,Elt=-G辿,由牛頓定律G---m—,G-----=mv,E=----

rrrrmrt7^

???E=E-E=K------r=^τ~~r

Lmrrmr2mr

3-8質(zhì)量為根的質(zhì)點(diǎn)在xO.y平面內(nèi)運(yùn)動，其位置矢量為尸=0coswi+。Sin麗，其中。、b、G為常量，

求(1)質(zhì)點(diǎn)動量的大?。?2)質(zhì)點(diǎn)相對于原點(diǎn)的角動量。

解：(1)V=^-=-aωsinωtι+hωcosωtj

dt

222

p=n↑y=mω(-asinωti+bcosωtj),p=^=mωy∣asinωt+bcosωt

(2)L=r×p=(acosωti+bs?nωtj)×mω(-asinωti+bcosωtj)=abmωk

3-9質(zhì)量均為M的兩個小球〃和b固定在長為/的剛性輕質(zhì)細(xì)桿的兩端，桿可在水平面上繞。點(diǎn)軸自由轉(zhuǎn)

動，桿原來靜止?，F(xiàn)有一個質(zhì)量也為m的小球c,垂直于桿以水平速度冊與b球碰撞(如圖3-9所示)，

并粘在一起。求(1)碰撞前C球相對于。的角動量的大小和方向；(2)碰撞后桿轉(zhuǎn)動角速度。

_3

解：(1)L=r×mv0方向垂直紙面向下。L=nnv0=-lmv0

(2)系統(tǒng)對。點(diǎn)的角動量守恒。設(shè)碰撞后桿的角速度為。，則

33,.,3,.1.J..?2V

—Imv=-lz×π(2m)X(―lω)+-l×m×(-lω),ω=----0-

4°n444419/

功和動能定理

3-10一人從IOm深的井中提水，已知水桶與水共重Iokg,求(1)勻速上提時，人所作的功；(2)以"=0.1m∕s2

勻加速上提時，人所作的功；(3)若水桶勻速上提過程中，水以0.2kg∕m的速率漏水，則人所作的功為

多少？

ΛI(xiàn)OΛI(xiàn)O

解：(1)F-mg=OF=ms,A=Fdy=mgdy=980J

9JoJo

「10p10

(2)F-mg=ma,F=m(g+a),A=Fdy=6(g+α)dy=990J

JoJo

?IO?IO

(3)F-(tn-0.2y)￡=0,F=(m-0.2y)g,A=lFdy=1g(m-0.2y)dy=882J

JoJo

3?11質(zhì)量m=6kg的物體，在力E=3+4XN的作用下，自靜止開始沿X軸運(yùn)動了3m,若不計摩擦，求(1)

力凡所作的功；(2)此時物體的速度；(3)此時物體的加速度。

解：(1)A=[3Fdx=[?÷4x)dx=27J

JOJo

由動能定理A=?mv?+?AHV2??znv?,v2=3=3∏∕S

⑵11

m

⑶由牛頓定律-3=,=2.56

3-12質(zhì)量為m的物體自靜止出發(fā)沿X軸運(yùn)動，設(shè)所受外力為止加，b為常量,求在TS內(nèi)此力所作的功。

解：由牛頓定律F=?f=zn-,[btdt=∕n[dv,V=2一，/=T時?V=@-

dtJ°J°2m2m

+匕…由ΛI(xiàn)IIbT

由動能定理A=-ιnv2——mv12--mv2=------

22028m

ht~cSTbt2b2T4

另解：dx=vdr=----dtfA=[Fdx=Γhtdt=

2mJJ°2mSm

保守力的功和勢能

3?13質(zhì)量為m的小球系在長為/的輕繩一端，繩的另一端固定，把小球拉至水平位置，從靜止釋放，如圖

3-13所示，當(dāng)小球下擺6角時，(1)繩中張力了對小球做功嗎？合外力R=T+6反對小球所做的功

為多少？(2)在此過程中，小球勢能的增量為多少？并與(1)的結(jié)果比較；(3)利用動能定理求小

球下擺。角時的速率。

解：(1)T-Ldf9A7.=[f?dr=0,張力亍對小球不做功。L.

AF=J(T+mg)?df=Jnig`dr=j?(dxi+dyj)j

=→wgJdy=∕ng/Sine圖3"3'∕wQ

(2)?Ep=m,g(y2-yl)=-mgIsinθ,可見重力的功等于小球勢能增量的負(fù)值。

2

(3)由動能定理mgls?nθ=^mv,v=y∣2glsinθ

3-14質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)沿%軸正方向運(yùn)動，它受到兩個力的作用，一個力是指向原點(diǎn)、大小為B的常力，

另一個力沿X軸正方向、大小為A∕x2,A、B為常數(shù)。(1)試確定質(zhì)點(diǎn)的平衡位置；(2)求當(dāng)質(zhì)點(diǎn)從

平衡位置運(yùn)動到任意位置X處時兩力各做的功，并判斷兩力是否為保守力；(3)以平衡位置為勢能

零點(diǎn)，求任意位置處質(zhì)點(diǎn)的勢能。

A

解：(1)F=--B,F=OBj,

X

e=

(2)Al=IF↑dX=I>——dX=A(--------),A2=fF1dxf-BAx-β(xθ—x)

J3JXOXx0X-JXOJW

A2只與始末位置有關(guān)，即兩力均為保守力。

V(>

(3)Ep=PFdx=f(-4-δ)dx=^(?-?)+B(X-X0)=-+fir-2√AB

JrJKX-XX0X

功能原理和機(jī)械能守恒

3-15如圖3-15所示，一質(zhì)量為W的物塊放置在斜面的最底端A處，斜面的傾角為α,高度為〃，物塊

與斜面的動摩擦因數(shù)為〃，今有一質(zhì)量為m的子彈以速度爐。沿水平方向射入物塊并留在其中，且使

物塊沿斜面向上滑動，求物塊滑出頂端時的速度大小。

解：以物塊和子彈為研究對象，碰撞前后系統(tǒng)沿平行斜面方向動量守恒

子彈射入物塊后的速度大小為%,則

/,、mvaCOSa

mvlicoscc=(Jn+m)v,,vl=-------------

m+m,

取斜面底部為勢能零點(diǎn)，物塊滑出頂端時的速度大小為匕，由功能定理

μ{m+m,)gCOSa-------=—(m+m,)vf-----(w?+m?v?-(Jn+m')gh

Sina22

2

mv0cosa

V2=-2gΛ(∕∕cota+1)

in+mt

3-16勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧，一端固定在墻上，另一端系一質(zhì)量為勿以的物體A，放在光滑水平面上，

當(dāng)把彈簧壓縮Xo后，再靠著A放一質(zhì)量為的物體5,如圖3?16所示。開始時，由于外力的

作用系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，若撤去外力，試求A與8離開時8運(yùn)動的速度和A能到達(dá)的最大距離。

解：（1）彈簧到達(dá)原長時A開始減速，A、B分離。

設(shè)此時速度大小為L由機(jī)械能守恒

-WWWHAB0

片=3（6八+叫,）聲b<-xo→>∣ζ

圖3-16

（2）A、B分離后,A繼續(xù)向右移動到最大距離X”,處，則

3-17如圖3-17所示，天文觀測臺有一半徑為R的半球形屋面，有一冰塊從光滑屋面的最高點(diǎn)由靜止沿屋

面滑下，若摩擦力略去不計?求此冰塊離開屋面的位置以及在該位置的速度。

解：由機(jī)械能守恒HJgR（I-Sine）=3加/,/=2gR（［-sin6）

冰塊離開屋面時，由牛頓定律

.V222

mgsin0=m—,r.sin。=一,。=arcsin—=41.8°

R33

?=j2gR（l-sin6）=J,gR