一次函數(shù)與一元一次方程-省賽一等獎

在數(shù)學(xué)的天地里，重要的不是我們知道什么，而是我們怎么知道什么。

——畢達(dá)哥拉斯

用函數(shù)觀點看方程組與不等式一次函數(shù)與一元一次方程我們先來看下面兩個問題：（1）解方程220=0（2）當(dāng)自變量為何值時函數(shù)y=220的值為0？問題：1對于220=0和y=220，從形式上看，有什么相同和不同？2從問題本質(zhì)上看，（1）和（2）有什么關(guān)系？作出函數(shù)y=2202的圖象觀察圖象思考:函數(shù)圖象哪一個點的坐標(biāo)表示函數(shù)值為0與軸的交點-10,0即當(dāng)=-10時，函數(shù)y=220的值為0這也說明方程220=0的解是=-1020-100xy問題1解方程220=0得=-10所對應(yīng)的（）為何值？實質(zhì)上這可以通過解方程220=0,得出=-10，因此，這兩個問題實際上是同一個問題。問題2就是要考慮當(dāng)函數(shù)y=220的值為（）時自變量0從圖象上看：方程的解是函數(shù)與軸的交點的橫坐標(biāo)思考：由上面兩個問題的關(guān)系，能進(jìn)一步得到解方程ab=0（a，b為常數(shù)）與求自變量為何值時，一次函數(shù)y=ab的值為0有什么關(guān)系？由上面問題可以得到,一元一次方程的求解與解相應(yīng)的一次函數(shù)問題相一致。由于任何一個一元一次方程都可轉(zhuǎn)化ab=0a,b為常數(shù),a?0的形式，所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)某個一次函數(shù)值y為0時，求相應(yīng)的自變量的值從圖象上看,這相當(dāng)于已知直線y=ab,確定它與軸交點的橫坐標(biāo)的值一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系求ab=0a,b是常數(shù)，a≠0的解為何值y=ab的值為0求ab=0a,b是常數(shù)，a≠0的解確定直線y=ab與軸交點的橫坐標(biāo)從數(shù)的角度看從形的角度看練習(xí):以下的一元一次方程與一次函數(shù)問題是同一問題序號一元一次方程問題

一次函數(shù)問題1解方程3x－2=0當(dāng)x為何值時,y=3x－2的值為02解方程8x+3=03當(dāng)x為何值時,y=-7x+2的值為04解方程3x-2=8x+3當(dāng)為何值時,y=83的值為0解方程-72=0當(dāng)為何值時,y=-5-5的值為02、根據(jù)下列圖象，你能說出哪些一元一次方程并說出相應(yīng)方程的解？yyyy000022-21-15=0=02=0=-2-36=0=2-1=0=1綜合應(yīng)用例１、一個物體現(xiàn)在的速度是５米／秒，其速度每秒增加２米／秒，再過幾秒它的速度為１７米／秒？解法１：設(shè)再過ｘ秒物體的速度為１７米／秒，列方程２ｘ＋５＝１７解得ｘ＝６解法２：速度ｙ（單位：米／秒）是時間ｘ（單位：秒）的函數(shù)ｙ＝２ｘ＋５由２ｘ＋５＝１７由右圖看出直線ｙ＝２ｘ－１２與ｘ軸的交點為（６，０）得ｘ＝６得２ｘ－１２＝0用圖象求方程２ｘ－１２＝０的例題利用圖像法求方程6-3=3的解方法一：將方程6-3=3變形為6-6=0畫出y=6-6的圖像由圖像可知y=6-6與軸的交點為（1，0）所以=11-6y=6x-6yx0例題利用圖像法求方程6-3=3的解方法二：方程6-3=3可以轉(zhuǎn)化為y=6-3與y=3在自變量為何值時函數(shù)值相等？即從圖象上可以看出y=6-3與y=3的交點的橫坐標(biāo)就是方程6-3=3的解由圖像可以看出y=6-3與y=3的交點的坐標(biāo)是（1，3）即原方程的解為：=1y=6x-3y=3(1,3)y0x在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=6-3與y=3的圖象練習(xí):1、當(dāng)自變量的取值滿足什么條件時，函數(shù)y=28的值滿足下列條件？1y=0；2y=-82、已知方程ab=0的解是-2，下列圖象一定不是直線y=ab的是0xy0xy0xy0xy-2-2-2-2-2ABcDB=-4；=-83、用函數(shù)圖象求方程5-1=9的解32121-2Oxy-1-131下面三個方程有什么共同特點？你能從函數(shù)的角度對解這三個方程進(jìn)行解釋嗎？（1）21=3；（2）21=0；（3）21=-1．用函數(shù)的觀點看：解一元一次方程ab=就是求當(dāng)函數(shù)值為時對應(yīng)的自變量的值．用一用21=3的解y=2121=0的解21=-1的解例2下面三個不等式有什么共同特點？你能從函數(shù)的角度對解這三個不等式進(jìn)行解釋嗎？能把你得到的結(jié)論推廣到一般情形嗎？（1）32＞2；（2）32＜0；（3）32＜-1．用一用不等式ab＞c的解集就是使函數(shù)y=ab的函數(shù)值大于c的對應(yīng)的自變量取值范圍；不等式ab＜c的解集就是使函數(shù)y=ab的函數(shù)值小于c的對應(yīng)的自變量取值范圍．32121-2Oxy-1-13y=32y=0y=-1探究：解：1把56>310轉(zhuǎn)化為2-4>0，解得>2⑵就是要解不等式2-4>0，解得>2時函數(shù)y=2-4的值大于01解不等式：56>3102當(dāng)為何值時，函數(shù)y=2-4的值大于0議一議：在上面的問題解決過程中，你能發(fā)現(xiàn)它們之間有什么關(guān)系嗎？從數(shù)的角度看它們是同一個問題2我們?nèi)绾斡煤瘮?shù)圖象來解決:56>310解：化簡得2-4>0，畫出直線y=2-4,-42yx0Y=2x-4可以看出，當(dāng)＞2時，這條直線上的點在軸的上方，即這時y=2-4>0。從形的角度看它們是同一個問題思考：問題1：解不等式ab>0問題2：求自變量在什么范圍內(nèi)，一次函數(shù)y=ab的值大于0上面兩個問題有什么關(guān)系？從實踐中得出，由于任何一元一次不等式都可以轉(zhuǎn)化為ab＞0或ab＜0（a，b為常數(shù)，a≠0的形式，所以解一元一次不等式可以看作：當(dāng)一次函數(shù)y=ab的值大于0（或小于0）時，求自變量相應(yīng)的取值范圍。從數(shù)的角度看求ax+b＞0(a≠0)的解x為何值時y=ax+b的值大于0從形的角度看求ax+b＞0(a≠0)的解確定直線y=ax+b在x軸上方的圖象所對應(yīng)的x的值根據(jù)下列一次函數(shù)的圖象，你能求出哪些不等式的解集？并直接寫出相應(yīng)的不等式的解集。36>0>-236<0<-236≥0≥-236≤0≤-2yx0-2Y=3x+6試一試可以看出，當(dāng)<2時這條直線上的點在軸的下方，解：化簡得3-6<0，畫出直線y=3-6，即這時y=3-6<0，所以不等式的解集為<2例１用畫函數(shù)圖象的方法解不等式54<210yx-620Y=3x-6嘗試：例2：已知函數(shù)Y1=54，Y2=210，求當(dāng)為何值時，Y1=Y2？為何值時，Y1<Y2？可以看出，它們交點的橫坐標(biāo)為2，解法：畫出直線Y1=54與直線Y2=210，當(dāng)=2時，Y1=Y2。當(dāng)＜2時，對于同一個，直線Y1=54上的點在直線Y2=210上相應(yīng)點