小學(xué)數(shù)學(xué)校本教材(共51頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上目 錄第一部分 讀一讀第一講 中國古代數(shù)學(xué)家劉徽.2第二講 法國數(shù)學(xué)家勒內(nèi)笛卡爾.5第二部分 算一算第三講 速算與巧算.8第三部分 想一想第四講 平面圖形的面積（1）14第五講 平面圖形的面積（2）16第六講 平面圖形的面積（3）.18第七講 邏輯推理（1）20第八講 邏輯問題（2）29第九講 列方程解應(yīng)用題.35第十講 行程問題.41第一講 中國古代數(shù)學(xué)家劉徽劉徽 - 簡介劉徽九章算術(shù)劉徽（生于公元250年左右），是中國上一個非常偉大的數(shù)學(xué)家，在世界數(shù)學(xué)史上，也占有杰出的地位他的杰作九章算術(shù)注和海島算經(jīng)，是我國最寶貴的。九章算術(shù)約成書于之初，共有246個問題的解法。

2、在許多方面：如解聯(lián)立方程，分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算，正負(fù)數(shù)運(yùn)算，幾何圖形的面積計(jì)算等，都屬于世界先進(jìn)之列，但因解法比較原始，缺乏必要的證明，而劉徽則對此均作了補(bǔ)充證明。在這些證明中，顯示了他在多方面的創(chuàng)造性的貢獻(xiàn)他是世界上最早提出十進(jìn)小數(shù)概念的人，并用十進(jìn)小數(shù)來表示無理數(shù)的。在方面，他正確地提出了的概念及其加減運(yùn)算的法則；改進(jìn)了線性方程組的解法在幾何方面，提出了"割圓術(shù)"，即將圓周用內(nèi)接或外切正多邊形窮竭的一種求圓面積和圓周長的方法他利用割圓術(shù)科學(xué)地求出了3.14的結(jié)果。他用割圓術(shù)，從直徑為2尺的圓內(nèi)接正六邊形開始割圓，依次得正12邊形、正24邊形，割得越細(xì)，正多邊形面積和之差越小，用

3、他的原話說是“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣。”他計(jì)算了3072邊形面積并驗(yàn)證了這個值劉徽提出的計(jì)算圓周率的，奠定了此后千余年中國圓周率計(jì)算在世界上的領(lǐng)先地位。劉徽在數(shù)學(xué)上的極多，在開方不盡的問題中提出“求徽數(shù)”的思想，這方法與后來求無理根的近似值的方法一致，它不僅是精確計(jì)算的必要條件，而且促進(jìn)了十進(jìn)小數(shù)的產(chǎn)生；在線性方程組解法中，他創(chuàng)造了比直除法更簡便的互乘相消法，與現(xiàn)今解法基本一致；并在中國數(shù)學(xué)史上第一次提出了“不定方程問題”；他還建立了等差級數(shù)前n項(xiàng)和公式；提出并定義了許多數(shù)學(xué)概念：如冪（）；方程（線性方程組）；正負(fù)數(shù)等等劉徽還提出了許多公認(rèn)正確的判斷

4、作為證明的前提。他的大多數(shù)推理、證明都合乎邏輯，十分嚴(yán)謹(jǐn)，從而把九章算術(shù)及他自己提出的解法、公式建立在必然性的之上雖然劉徽沒有寫出自成體系的著作，但他注九章算術(shù)所運(yùn)用的數(shù)學(xué)知識實(shí)際上已經(jīng)形成了一個獨(dú)具特色、包括概念和判斷、并以數(shù)學(xué)證明為其聯(lián)系的理論體系劉徽在中提出的"割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割以至于不可割，則與圓合體而無所失矣"，這可視為中國古代極限觀念的佳作海島算經(jīng)一書中，劉徽精心選編了九個測量問題，這些題目的、復(fù)雜性和富有代表性，都在當(dāng)時為西方所矚目劉徽思想敏捷，方法靈活，既提倡推理又主張直觀他是我國最早明確主張用邏輯推理的方式來論證數(shù)學(xué)命題的人的一生是為數(shù)學(xué)刻苦探求

5、的一生他雖然地位低下，但人格高尚他不是沽名釣譽(yù)的庸人，而是學(xué)而不厭的偉人，他給我們中華民族留下了寶貴的財(cái)富。第二講 法國數(shù)學(xué)家勒內(nèi)笛卡爾勒內(nèi)·笛卡爾 勒內(nèi)·笛卡爾（Rene Descartes，15961650），著名的法國哲學(xué)家、科學(xué)家和數(shù)學(xué)家。 笛卡爾常作笛卡兒，1596年3月31日生于法國安德爾-盧瓦爾省笛卡爾-1650年2月11日逝于瑞典斯德哥爾摩）。 他對現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了重要的貢獻(xiàn)，因?qū)缀巫鴺?biāo)體系公式化而被認(rèn)為是解析幾何之父。他還是西方現(xiàn)代哲學(xué)思想的奠基人，是近代唯物論的開拓者提出了“普遍懷疑”的主張。他的哲學(xué)思想深深影響了之后的幾代歐洲人，開拓了所謂“歐陸

6、理性主義”哲學(xué)。人物簡介笛卡爾出身于一個地位較低的貴族家庭，父親是布列塔尼議會的議員。1歲多時母親患肺結(jié)核去世，而他也受到傳染，造成體弱多病。母親去世后，父親移居他鄉(xiāng)并再婚，而把笛卡爾留給了他的外祖母帶大，自此父子很少見面，但是父親一直提供金錢方面的幫助，使他能夠受到良好的教育。 在他8歲時笛卡爾就進(jìn)入拉夫賴士(La Flèche)的耶穌英語會學(xué)校接受教育，受到良好的古典學(xué)以及數(shù)學(xué)訓(xùn)練。1613年到普瓦捷大學(xué)學(xué)習(xí)法律，1616年畢業(yè)。畢業(yè)后笛卡爾一直對職業(yè)選擇不定，又決心游歷歐洲各地，專心尋求“世界這本大書”中的智慧。因此他于1618年在荷蘭入伍，隨軍遠(yuǎn)游。 笛卡爾對數(shù)學(xué)的興趣就是在

7、荷蘭當(dāng)兵期間產(chǎn)生的。一次他看到軍營公告欄上用佛萊芒語寫的數(shù)學(xué)問題征答引起了興趣，并且讓一位他當(dāng)兵的朋友，進(jìn)行了翻譯。他的這位朋友在數(shù)學(xué)和物理學(xué)方面有很高造詣，很快成為了他的老師。4個月后，他寫信給這位朋友，“你是將我從冷漠中喚醒的人.”，并且告訴他，自己在數(shù)學(xué)上有了4個重大發(fā)現(xiàn)?？上У氖沁@些發(fā)現(xiàn)現(xiàn)在已經(jīng)無從知道了。 26歲時，笛卡爾變賣掉父親留下的資產(chǎn)，用4年時間游歷歐洲，其中在意大利住了2年，隨后定居巴黎。 1621年笛卡爾退伍，并在1628年移居荷蘭，在那里住了20多年。在此期間，笛卡爾專心致力于哲學(xué)研究，并逐漸形成自己的思想。他在荷蘭發(fā)表了多部重要的文集，包括了方法論、形而上學(xué)的沉思(M

8、éditations métaphysiques)和哲學(xué)原理(Les Principes de la philosophie)等。 1649年笛卡爾受瑞典女王之邀來到斯德哥爾摩，但不幸在這片“熊、冰雪與巖石的土地”上得了肺炎，并在1650年2月去世。1663年他的著作在羅馬和巴黎被列入禁書之列。1740年，巴黎才解除了禁令，那是為了對當(dāng)時在法國流行起來的牛頓世界體系提供一個替代的東西。 第三講 速算與巧算一、知識要點(diǎn)：（一）四則運(yùn)算的定律、性質(zhì)、法則是進(jìn)行速算與巧算的重要依據(jù)。1、利用運(yùn)算定律使計(jì)算簡便。2、利用運(yùn)算順序的改變使計(jì)算簡便。3、利用運(yùn)算法則使計(jì)算巧妙。（二）轉(zhuǎn)

9、化是速算與巧算的主要技巧。1、當(dāng)一個數(shù)接近整十、整百、整千的時候，將其轉(zhuǎn)化為整十、整百、整千的數(shù)，計(jì)算比較簡便。2、利用數(shù)的分解或拆數(shù)，轉(zhuǎn)化后巧算。3、改變計(jì)算方法（變加為減，變減為加，變乘為除，變除為乘）使計(jì)算簡便。（三）認(rèn)真觀察算式及數(shù)的特征，剖析數(shù)于數(shù)之間的關(guān)系，是靈活的選擇和合理運(yùn)用計(jì)算技巧的主要方法。二、例題精講例1：（湊整法） 計(jì)算下面各題。（1）、5.82.320.684.2 （2）、1999199.919.991.999（3）、12.593.245.76（4）、8.17.88.28.47.97.6【思路點(diǎn)撥】 （1）5.8與4.2剛好湊成10，2.32與0.68剛好湊成3，這樣

10、湊整可以使計(jì)算簡便。（2）1999接近2000，其余各加數(shù)也分別接近一個整數(shù)，可先把各加數(shù)看作與它接近的整數(shù)。再把多加的那部分減去。（3）3.24與5.76的和是整數(shù)9，可以運(yùn)用減法運(yùn)算的性質(zhì)把原式變?yōu)?2.59（3.245.76），這樣計(jì)算就簡便了。（4）算式中的6個數(shù)都接近8，可以用8作為基準(zhǔn)數(shù)，先求出6個8的和，再加上比8大的數(shù)中少加的部分，減去比8小的數(shù)中多加的部分。也可以運(yùn)用湊整法。 例2：（分解法）計(jì)算下面各題（1）18×5.5 （2）8.88×1.25 （3）34.7×0.25（4）238÷1.25 （5）0.25×12.5

11、15;3.2 【思路點(diǎn)撥】（1） 運(yùn)用分解法巧算。把18分解為9×2，然后運(yùn)用乘法結(jié)合律，把2×5.5結(jié)合積為11，最后求出9與11的積。（2）把8.88分解為8×1.11，然后運(yùn)用乘法結(jié)合律。（3）因?yàn)?×0.25=1，所以一個數(shù)乘0.25，就相當(dāng)于這個數(shù)除以4.（4）因?yàn)?×1.25=10，所以一個數(shù)除以1.25，相當(dāng)于這個數(shù)除以10，再乘8，即先把小數(shù)點(diǎn)向左移動一位，再乘8.（5）把3.2分解為4×0.8，再運(yùn)用乘法結(jié)合律 。例3：計(jì)算（1）124.68324.68524.68724.68924.68（2）5795.5795&#

12、247;5.795×579.5【思路點(diǎn)撥】（1）可運(yùn)用拆分法巧算。把每一個加數(shù)都拆分為一個整數(shù)和一個小數(shù)的和，可以使計(jì)算簡便。（2）運(yùn)用改變運(yùn)算順序法使計(jì)算簡便。，先求出579.5除以5.795的商得100，然后再求出5795.5795 ×100的積。例4：計(jì)算下面各題。（1）1990×198.91989×198.8 （2）2.25×0.16264×0.02255.2×2.250.225×20 【思路點(diǎn)撥】（1）利用擴(kuò)縮法巧算。根據(jù)積的變化規(guī)律：一個因數(shù)擴(kuò)大若干倍，另一個因數(shù)縮小相同的倍數(shù)，積不變的道理，可以把被減

13、數(shù)寫成199×1989，然后利用乘法分配律巧算。（2）同樣利用擴(kuò)縮法簡便計(jì)算，注意選擇最佳方案。例5：計(jì)算：（10.280.84）×（0.280.840.66）（10.280.840.66） ×（0.280.84） 【思路點(diǎn)撥】可以利用設(shè)數(shù)法解題。整個式子是乘積之差的形式，兩個乘積斗的構(gòu)成很有規(guī)律：如果把 10.280.84用字母A表示，把 0.280.84用字母B表示，原式就可以變成A×（B0.66）（A0.66） ×B。在運(yùn)用乘法分配律使計(jì)算簡便。 例6：計(jì)算 4.82×0.590.41×1.590.323×5

14、.9【思路點(diǎn)撥】先改變原運(yùn)算順序（加法交換律），先求出4.82×0.59與0.323×5.9的差，可運(yùn)用擴(kuò)縮法把0.323×5.9寫成3.23×5.9,后運(yùn)用乘法分配律計(jì)算，然后再加上0.41×1.59，再次運(yùn)用乘法分配律巧算。例7：計(jì)算××.【思路點(diǎn)撥】觀察算式中數(shù)的特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)被減數(shù)中的兩個因數(shù)分別比減數(shù)中的兩個因數(shù)少1和多1，即比少1,比多1，可以利用乘法分配律簡算。解：××=×（1） （1）×=××=例8：計(jì)算1998×91999×8【思路

15、點(diǎn)撥】可以運(yùn)用數(shù)的分解和乘法分配律簡算。因?yàn)閍bab=ab×101,abcabc=abc×1001,所以9=1999×,8=1998×.這樣被減數(shù)和減數(shù)都有相同因數(shù)，就可以運(yùn)用乘法分配律進(jìn)行簡算了。解： 1998×91999×8= 1998×1999×1999×1998×=0例9：計(jì)算（1351999） （2461998） 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)減法的性質(zhì)，將原式拆開后，在配對組合，進(jìn)行等量變形。即（32）為一組，（54）為一組（19991998）為一組，這樣每組的差都是1，共分為（1998÷

16、;2）組，所以結(jié)果為1000.當(dāng)然本題也可以運(yùn)用等差數(shù)列求和的方法進(jìn)行計(jì)算。例10：計(jì)算1009998979695949387654321.【思路點(diǎn)撥】本題按順序計(jì)算太繁，觀察算式的特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)每兩個數(shù)相加后，又會減去兩個數(shù)，我們可以考慮把它們四個數(shù)分為一組，每組結(jié)果都是4，共分為100÷4=25組。所以結(jié)果是4×25=100.三、同步練習(xí)計(jì)算下面各題（1） 0.125×0.25×32 （2）16×4.5 （3） 0.25×1.25×22.4（4）0.90.990.9990.99990.99999 （5）（72×35

17、7357×28）÷（51×7×4） （6）×÷÷ （7）3.14×6.54.5×3.143.14（8）1240×3.8124×511.24×1400760×9.60.76×700（9）1÷（2÷3） ÷（3÷4）÷（4÷5） ÷÷（1999÷2000） 1234569899100100（10）（2582000） （1471999） ××（11）12

18、3456789101112131415161985198619871988198919901991199219931994第四講 平面圖形的面積（1）一、例題精講 例1 已知平行四邊形的面積是28平方厘米，求陰影部分的面積。 5厘米4厘米【思路點(diǎn)撥】 技巧4厘米既是平行四邊形的高，也是陰影三角形的高，平行四邊形的面積是28平方厘米，它的底為28÷4=7（厘米），平行四邊形的底減去5厘米就是三角形的底，7-5=2（厘米）。根據(jù)三角形的面積公式直接求出陰影部分的面積。 的面積最直接的方法是利用計(jì)算公式直接求陰影面積；還可以用總面積減去空白面積求得陰影部分面積。這兩種是最常用最簡便的方法。

19、二：同步精練15厘米1.下面的梯形中，陰影部分的面積是150平方厘米，求梯形的面積。25厘米5厘米2已知平行四邊形的面積是48平方厘米，求陰影部分的面積。6厘米3如果用鐵絲圍成如下圖一樣的平行四邊形，需要用鐵絲多少厘米？（單位：厘米）9 12 第五講 平面圖形的面積（2）一、例題精講 例2下圖中甲和乙都是正方形，求陰影部分的面積。（單位：厘米）C46BEFAG乙甲【思路點(diǎn)撥】圖中的陰影部分是一個三角形，它的三條邊的長都不知道，三條邊上的高也不知道。所以，無法用公式計(jì)算出它的面積。 仔細(xì)觀察本題的圖，我們可以發(fā)現(xiàn)，如果延長GA和FC，它們會相交（設(shè)交點(diǎn)為H），這樣就得到長方形GBFH（如下圖），

20、它的面積很容易求，而長方形GBFH中除陰影部分之外的其他三部分（AGB、BFC及AHC）的面積都能直接求出。二、同步練習(xí)1、求下圖中陰影部分的面積。（單位：厘米）43432、求下圖中陰影部分的面積。（單位：厘米）8855第六講 平面圖形的面積（3）一、例題精講 例3 如圖所示：，甲三角形的面積比乙三角形的面積大6平方厘米，求CE的長度。4厘米ADEF乙BC甲4厘米【思路點(diǎn)撥】 題目中告訴我們，甲三角形的面積比乙三角形的面積大6平方厘米，即甲-乙=6（平方厘米），而甲和乙分別加上四邊形ABCF后相減的結(jié)果還是6平方厘米，即：甲-乙=6（平方厘米）（甲+四邊形ABCF）-（乙+四邊形ABCF）=6

21、（平方厘米）即：正方形ABCD - ABE=6（平方厘米）這就是說正方形ABCD的面積比三角形ABE的面積大6平方厘米。用正方形的面積減去6就得到三角形ABE的面積，再用三角形的面積乘以2再除以AB，就得到BE的長度，從而求出CE的長度。同步練習(xí) 1、四邊形ABCD是一個長為10厘米，寬6厘米的長方形，三角形ADE的面積比三角形CEF的面積大10平方厘米。求CF的長是多少厘米？DACEBFECABFD2、正方形ABCD的邊長是12厘米，已知DE是EC長度的2倍，求：（1）三角形DEF的面積。（2）CF的長。 第七講：邏輯推理（1）一、知識要點(diǎn)四年級已經(jīng)學(xué)習(xí)過用列表法和假設(shè)法解答邏輯推理問題。從

22、廣義上說，任何一道數(shù)學(xué)題，任何一個思維過程，都需要邏輯分析、判斷和推理。我們這里所說的邏輯問題，是指那些主要不是通過計(jì)算，而是通過邏輯分析、判斷和推理，得出正確結(jié)論的問題。邏輯推理必須遵守四條基本規(guī)律：（1）同一律。在同一推理過程中，每個概念的含義，每個判斷都應(yīng)從始至終保持一致，不能改變。（2）矛盾律。在同一推理過程中，對同一對象的兩個互相矛盾的判斷，至少有一個是錯誤的。例如，“這個數(shù)大于8”和“這個數(shù)小于5”是兩個互相矛盾的判斷，其中至少有一個是錯的，甚至兩個都是錯的。（3）排中律。在同一推理過程中，對同一對象的兩個恰好相反的判斷必有一個是對的，它們不能同時都錯。例如“這個數(shù)大于8”和“這個

23、數(shù)不大于8”是兩個恰好相反的判斷，其中必有一個是對的，一個是錯的。（4）理由充足律。在一個推理過程中，要確認(rèn)某一判斷是對的或不對的，必須有充足的理由。我們在日常生活和學(xué)習(xí)中，在思考、分析問題時，都自覺或不自覺地使用著上面的規(guī)則，只是沒有加以總結(jié)。例如假設(shè)法，根據(jù)假設(shè)推出與已知條件矛盾，從而否定假設(shè)，就是利用了矛盾律。在列表法中，對同一事件“”與“×”只有一個成立，就是利用了排中律。二、例題精講例1 張聰、王仁、陳來三位老師擔(dān)任五（2）班的語文、數(shù)學(xué)、英語、音樂、美術(shù)、體育六門課的教學(xué)，每人教兩門?，F(xiàn)知道：（1）英語老師和數(shù)學(xué)老師是鄰居；（2）王仁年紀(jì)最??；（3）張聰喜歡和體育老師、數(shù)

24、學(xué)老師來往；（4）體育老師比語文老師年齡大；（5）王仁、語文老師、音樂老師三人經(jīng)常一起做操。請判斷各人分別教的是哪兩門課程。分析與解：題中給出的已知條件較復(fù)雜，我們用列表法求解。先設(shè)計(jì)出右圖的表格，表內(nèi)用“”表示肯定，用“×”表示否定。因?yàn)轭}目說“每人教兩門”，所以每一橫行都應(yīng)有2個“”；因?yàn)槊块T課只有一人教，所以每一豎列都只有1個“”，其余均為“×”。由（3）知，張聰不是體育、數(shù)學(xué)老師；由（5）知，王仁不是語文、音樂老師；由（2）（4）知，王仁不是體育老師，推知陳來是體育老師。至此，得到左下表。 由（3）知，體育老師與數(shù)學(xué)老師不是一個人，即陳來不是數(shù)學(xué)老師，推知王仁是數(shù)學(xué)

25、老師；由（1）知，數(shù)學(xué)老師王仁不是英語老師，推知王仁是美術(shù)老師。至此，得到右上表。由（4）知，體育老師陳來與語文老師不是一個人，即陳來不是語文老師，推知張聰是語文老師；由（5）知，語文老師張聰不是音樂老師，推知陳來是音樂老師；最后得到張聰是英語老師，見下表。所以，張聰教語文、英語，王仁教數(shù)學(xué)、美術(shù)，陳來教音樂、體育。以上推理過程中，除充分利用已知條件外，還將前面已經(jīng)推出的正確結(jié)果作為后面推理的已知條件，充分加以利用。另外，還充分利用了表格中每行只有兩個“”，每列只有一個“”，其余都是“×”這個隱含條件。例1的推理方法是不斷排斥不可能的情況，選取符合條件的結(jié)論，這種方法叫做排他法。例2

26、 小明、小芳、小花各愛好游泳、羽毛球、乒乓球中的一項(xiàng)，并分別在一小、二小、三小中的一所小學(xué)上學(xué)?，F(xiàn)知道：（1）小明不在一小；（2）小芳不在二??；（3）愛好乒乓球的不在三小；（4）愛好游泳的在一?。唬?）愛好游泳的不是小芳。問：三人上各愛好什么運(yùn)動？各上哪所小學(xué)？分析與解：這道題比例1復(fù)雜，因?yàn)橐袛嗳?、學(xué)校和愛好三個內(nèi)容。與四年級第26講例4類似，先將題目條件中給出的關(guān)系用下面的表1、表2、表3表示：因?yàn)楦鞅碇校啃忻苛兄荒苡幸粋€“”，所以表3可補(bǔ)全為表4。由表4、表2知道，愛好游泳的在一小，小芳不愛游泳，所以小芳不在一小。于是可將表1補(bǔ)全為表5。對照表5和表4，得到：小明在二小上學(xué)，愛好打乒

27、乓球；小芳在三小上學(xué)，愛好打羽毛球；小花在一小上學(xué)，愛好游泳。例1、例2用列表法求解。下面，我們用分析推理的方法解例3、例4。例3小說鏡花緣中有一段林之祥與多久公飄洋過海的故事。有一天他們來到了“兩面國”，卻忘記了這一天是星期幾。迎面見了“兩面國”里的牛頭和馬面。他們知道，牛頭在星期一、二、三說假話，在星期四、五、六、日說真話；馬面在星期四、五、六說假話，在星期一、二、三、日說真話。牛頭說：“昨天是我說假話的日子?！瘪R面說：“真巧，昨天也是我說假話的日子?！闭埮袛噙@一天是星期幾。分析與解：因?yàn)榕ｎ^、馬面只有星期日都說真話，其它時間總是一個說真話，另一個說假話，所以這一天不是星期日，否則星期六都

28、說假話，與題意不符。由題意知，這一天說真話的，前一天必說假話；這一天說假話的，前一天必說真話。推知這一天同時是牛頭、馬面說假話與說真話轉(zhuǎn)換的日子。因?yàn)樾瞧诙⑷?、五、六都不是說假話與說真話轉(zhuǎn)換的日子，所以這一天不是星期二、三、五、六；星期一是牛頭由說真話變?yōu)檎f假話的日子，但不是馬面由說假話變?yōu)檎f真話的日子，所以這一天也不是星期一；星期四是牛頭由說假話變?yōu)檎f真話的日子，也是馬面由說真話變?yōu)檎f假話的日子，所以這天是星期四。例4 A，B，C，D四個同學(xué)中有兩個同學(xué)在假日為街道做好事，班主任把這四人找來了解情況，四人分別回答如下。A：“C，D兩人中有人做了好事。”B：“C做了好事，我沒做。”C：“A，

29、D中只有一人做了好事。”D：“B說的是事實(shí)。”最后通過仔細(xì)分析調(diào)查，發(fā)現(xiàn)四人中有兩人說的是事實(shí)，另兩人說的與事實(shí)有出入。到底是誰做了好事？分析與解：我們用假設(shè)法來解決。題目說四人中有兩人說的是事實(shí)，另兩人說的與事實(shí)有出入。注意，此處的“與事實(shí)有出入”表示不完全與事實(shí)相符，比如，當(dāng)B，C都做了好事，或B，C都沒做好事，或B做了好事而C沒做好事時，B說的話都與事實(shí)有出入。因?yàn)锽與D說的是一樣的，所以只有兩種可能，要么B與D正確，A與C錯；要么B與D錯，A與C正確。（1）假設(shè)B與D說的話正確。這時C做了好事，A說C，D兩人中有人做了好事，A說的話也正確，這與題目條件只有“兩人說的是事實(shí)”相矛盾。所以

30、假設(shè)不對。（2）假設(shè)A與C說的話正確。那么做好事的是A與C，或B與D，或C與D。若做好事的是A與C，或C與D，則B說的話也正確，與題意不符；若做好事的是B與D，則B說的話與事實(shí)不符，符合題意。綜上所述，做好事的是B與D。三、同步練習(xí)1.A，B，C，D，E五個好朋友曾在一張圓桌上討論過一個復(fù)雜的問題。今天他們又聚在了一起，回憶當(dāng)時的情景。A說：“我坐在B的旁邊?！盉說：“坐在我左邊的不是C就是D?！盋說：“我挨著D?！盌說：“C坐在B的右邊。”實(shí)際上他們都記錯了。你能說出當(dāng)時他們是怎樣坐的嗎？沒有發(fā)言的E的左邊是誰？2.從A，B，C，D，E，F(xiàn)六種產(chǎn)品中挑選出部分產(chǎn)品去參加博覽會。根據(jù)挑選規(guī)則，

31、參展產(chǎn)品滿足下列要求：（1）A，B兩種產(chǎn)品中至少選一種；（2）A，D兩種產(chǎn)品不能同時入選；（3）A，E，F(xiàn)三種產(chǎn)品中要選兩種；（4）B，C兩種產(chǎn)品都入選或都不能入選；（5）C，D兩種產(chǎn)品中選一種；（6）若D種產(chǎn)品不入選，則E種也不能入選。問：哪幾種產(chǎn)品被選中參展？3.三戶人家每家有一個孩子，分別是小平（女）、小紅（女）和小虎（男），孩子的爸爸是老王、老張和老陳，媽媽是劉英、李玲和方麗。（1）老王和李玲的孩子都參加了少年女子體操隊(duì)；（2）老張的女兒不是小紅；（3）老陳和方麗不是一家人。請你將三戶人家區(qū)分開。4.甲、乙、丙三人，他們的籍貫分別是遼寧、廣西、山東，他們的職業(yè)分別是教師、工人、演員。已

32、知：（1）甲不是遼寧人，乙不是廣西人；（2）遼寧人不是演員，廣西人是教師；（3）乙不是工人。求這三人各自的籍貫和職業(yè)。5.甲說：“乙和丙都說謊。”乙說：“甲和丙都說謊?！北f：“甲和乙都說謊?！备鶕?jù)三人所說，你判斷一下，下面的結(jié)論哪一個正確：（1）三人都說謊；（2）三人都不說謊；（3）三人中只有一人說謊；（4）三人中只有一人不說謊。6.五號樓住著四個女孩和兩個男孩，他們的年齡各不相同，最大的10歲，最小的4歲，最大的女孩比最小的男孩大4歲，最大的男孩比最小的女孩也大4歲，求最大的男孩的歲數(shù)。第八講 邏輯問題（2）一、例題精講 例1老師拿來五頂帽子，兩頂紅的三頂白的。他讓三個聰明的同學(xué)甲、乙、丙

33、按甲、乙、丙的順序排成一路縱隊(duì)，并閉上眼睛，然后分別給他們各戴上一頂帽子，同時把余下的帽子藏起來。當(dāng)他們睜開眼后，乙和丙都判斷不出自己所戴帽子的顏色，而站在最前面的甲卻根據(jù)此情況判斷出了自己所戴帽子的顏色。甲戴的帽子是什么顏色？他是怎樣判斷的？分析與解：這是一個典型的邏輯推理問題。甲站在最前面，雖然看不見任何一頂帽子，但他可以想到：如果我和乙戴的都是紅帽子，因?yàn)橐还仓挥袃身敿t帽子，那么丙就會判斷出自己戴的是白帽子。丙判斷不出自己戴的帽子的顏色，說明我和乙戴的帽子是兩白或一白一紅。甲接著想：乙也很聰明，當(dāng)他看到丙判斷不出自己戴的帽子的顏色時，他也能判斷出我們兩人戴的帽子是兩白或一白一紅。此時，如

34、果他看到我戴是紅帽子，那么他就會知道自己戴的是白帽子，只有我戴的是白帽子時，他才可能猜不出自己戴的帽子的顏色。所以，我戴的一定是白帽子。例1中，甲的分析非常精采，嚴(yán)密而無懈可擊。例2三個盒子各裝兩個球，分別是兩個黑球、兩個白球、一個黑球一個白球。封裝后，發(fā)現(xiàn)三個盒子的標(biāo)簽全部貼錯。如果只允許打開一個盒子，拿出其中一個球看，那么能把標(biāo)簽全部糾正過來嗎？分析與解：因?yàn)椤叭齻€盒子的標(biāo)簽全部貼錯”了，貼錯的情況見下圖（表示白球，表示黑球）:如果從標(biāo)簽是兩黑的盒子中拿一個球，那么最不利的情況是拿出一個白球，此時無法判定是實(shí)際情況1，還是實(shí)際情況2，也就無法把標(biāo)簽全部糾正過來；同理，從標(biāo)簽是兩白的盒子中拿

35、一個球，若拿的是黑球，則也無法把標(biāo)簽全部糾正過來；從標(biāo)簽是一黑一白的盒子中拿出一個球，若拿出的是黑球，則能確定出是實(shí)際情況1，若拿出的是白球，則能確定出是實(shí)際情況2，因此能把標(biāo)簽全部糾正過來。所以，只要從標(biāo)簽是一黑一白的盒子中拿一個球，就能糾正全部標(biāo)簽。例3 A，B，C三名同學(xué)參加了一次標(biāo)準(zhǔn)化考試，試題共10道，都是正誤題，每道題10分，滿分為100分。正確畫“”，錯誤畫“×”。他們的答卷如下表：考試成績公布后，三人都得70分。請你給出各題的正確答案。分析與解：我們先分析一下三人的得分情況。因?yàn)槿硕嫉?0分，所以每人都錯了3道題。比較A，B的答卷發(fā)現(xiàn)，他們有6道題的答案不一樣，說明

36、這6道題A，B兩人各錯3道，也就是說，A，B答案相同的題都對了，因此找到了第1，3，4，10題的正確答案。同理，A，C的答卷也有6道題的答案不一樣，因此找到了第3，6，8，9題的正確答案；同理B，C的答卷也有6道題的答案不一樣，因此找到了第2，3，5，7題的正確答案。各題的正確答案如下表：例4 A，B，C，D，E五位選手進(jìn)行乒乓球循環(huán)賽，每兩人都只賽一盤。規(guī)定勝者得2分，負(fù)者不得分。現(xiàn)在知道的比賽結(jié)果是：A與B并列第一名（有兩個并列第一名，就不再設(shè)第二名，下一個名次規(guī)定為第三名），D比C的名次高，每個人都至少勝了一盤。試求每人的得分。分析與解：因?yàn)槠古仪虮荣悰]有平局，所以求勝的盤數(shù)與得分是一回

37、事，勝的盤數(shù)乘以2就是得分。五人進(jìn)行循環(huán)賽，共需賽10盤，總得分是2×10= 20（分）。因?yàn)槊咳硕假?盤，所以第一名最多勝4盤，但因?yàn)锳，B并列第一，A，B不可能都勝4盤，所以A，B最多各勝3盤。如果A，B沒有各勝3盤，而是各勝2盤，那么剩下的10-2×2= 6（盤）的勝利者只會是C，D，E，根據(jù)抽屜原理，C，D，E三人中至少有1人勝了至少2盤，與第一名勝2盤矛盾。所以，A，B各勝3盤，各得6分。還有4盤，已知D比C名次高，每個人都至少勝一盤，只能是D勝2盤得4分，C，E各勝一盤，各得2分。注意：題目中“每個人都至少勝一盤”是制約結(jié)果的重要條件，如果沒有這個條件，那么該題

38、的結(jié)果就有兩種可能：一是A，B各勝3盤，各得6分，D勝2盤得4分，C，E各勝1盤，各得2分；二是A，B各勝3盤，各得6分，D，E各勝2盤各得4分，C勝0盤，得0分。二、同步練習(xí)1.有個老漢想考考他的四個聰明的兒子，他拿出六頂帽子，三頂紅的、兩頂藍(lán)的和一頂黃的。然后，讓四個兒子按大的在前小的在后的順序排成一路縱隊(duì)，并讓他們閉上眼睛。接著，給他們每人戴上一頂帽子，藏起其余兩頂。當(dāng)他們睜開眼睛后，每個人都只能看見前邊人的帽子。這時，老漢依次問小兒子、三兒子和二兒子，“你戴的帽子是什么顏色？”他們都回答“不知道”。最后，老漢又問大兒子。大兒子想了一會兒，正確地說出了自己戴的帽子的顏色。 問：大兒子戴的

39、帽子是什么顏色？他是如何判斷的？2.五年級有四個班，每個班有兩名班長，每次召開年級班長會議時各班參加一名班長。參加第一次會議的是A，B，C，D，參加第二次會議的是E，B，F(xiàn)，D，參加第三次會議的是A，E，B，G。已知H三次會都沒參加，請問每個班各是哪兩位班長？3.甲、乙、丙、丁四個學(xué)生坐在同一排的相鄰座位上，座號是1號至4號。一個專說謊話的人說：“乙坐在丙的旁邊，甲坐在乙和丙的中間，乙的座位不是3號。”問：坐在2號座位上的是誰？4.李大娘問三位青年人的年齡。小張說：“我22歲。比小吳小2歲。比小徐大1歲?！毙钦f：“我不是年齡最小的。小徐和我差3歲。小徐25歲?！毙⌒煺f：“我比小張年齡小。小張

40、23歲。小吳比小張大3歲。”這三位青年人愛開玩笑，每人講的三句話中，都有一句是錯的。李大娘難辯真真假假，請你幫助李大娘弄清這三人的年齡。5. A，B，C三支足球隊(duì)舉行循環(huán)比賽（每隊(duì)之間賽一場），下面是記有詳細(xì)比賽情況的表。但后來發(fā)現(xiàn)表中有四個數(shù)是錯誤的。請按規(guī)定重制一張正確的表格。（勝一場記2分，負(fù)一場記0分，平一場雙方各記1分。）6.某次數(shù)學(xué)測驗(yàn)，共有六道試題，均是是非題。正確的畫“”，錯誤的畫“×”。每題答對得2分，不答得1分，答錯得0分。甲、乙、丙、丁的答案及前三人的得分如下表，求丁得了多少分。第九講 列方程解應(yīng)用題一、知識要點(diǎn)有些數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜的應(yīng)用題，用算術(shù)方法求解比較困

41、難。此時，如果能恰當(dāng)?shù)丶僭O(shè)一個未知量為x（或其它字母），并能用兩種方式表示同一個量，其中至少有一種方式含有未知數(shù)x，那么就得到一個含有未知數(shù)x的等式，即方程。利用列方程求解應(yīng)用題，數(shù)量關(guān)系清晰、解法簡潔，應(yīng)當(dāng)熟練掌握。二、例題精講例1 商店有膠鞋、布鞋共46雙，膠鞋每雙7.5元，布鞋每雙5.9元，全部賣出后，膠鞋比布鞋多收入10元。問：膠鞋有多少雙？分析：此題幾個數(shù)量之間的關(guān)系不容易看出來，用方程法卻能清楚地把它們的關(guān)系表達(dá)出來。設(shè)膠鞋有x雙，則布鞋有（46-x）雙。膠鞋銷售收入為7.5x元，布鞋銷售收入為5.9（46-x）元，根據(jù)膠鞋比布鞋多收入10元可列出方程。解：設(shè)有膠鞋x雙，則有布鞋（

42、46-x）雙。7.5x-5.9（46-x）=10， 7.5x-271.4+5.9x=10， 13.4x=281.4， x=21。答：膠鞋有21雙。分析：因?yàn)轭}目條件中黃球、藍(lán)球個數(shù)都是與紅球個數(shù)進(jìn)行比較，所以 答：袋中共有74個球。在例1中，求膠鞋有多少雙，我們設(shè)膠鞋有x雙；在例2中，求袋中共有多少個球，我們設(shè)紅球有x個，求出紅球個數(shù)后，再求共有多少個球。像例1那樣，直接設(shè)題目所求的未知數(shù)為x，即求什么設(shè)什么，這種方法叫直接設(shè)元法；像例2那樣，為解題方便，不直接設(shè)題目所求的未知數(shù)，而間接設(shè)題目中另外一個未知數(shù)為x，這種方法叫間接設(shè)元法。具體采用哪種方法，要看哪種方法簡便。在小學(xué)階段，大多數(shù)題目

43、可以使用直接設(shè)元法。例3某建筑公司有紅、灰兩種顏色的磚，紅磚量是灰磚量的2倍，計(jì)劃修建住宅若干座。若每座住宅使用紅磚80米3，灰磚30米3，那么，紅磚缺40米3，灰磚剩40米3。問：計(jì)劃修建住宅多少座？分析與解一：用直接設(shè)元法。設(shè)計(jì)劃修建住宅x座，則紅磚有（80x-40）米3，灰磚有（30x+40）米3。根據(jù)紅磚量是灰磚量的2倍，列出方程80x-40=（30x+40）×2， 80x-40=60x+80， 20x=120， x=6（座）。分析與解二：用間接設(shè)元法。設(shè)有灰磚x米3，則紅磚有2x米3。根據(jù)修建住宅的座數(shù)，列出方程。（x-40）×80=（2x+40）×30

44、，80x-3200=60x+1200， 20x=4400， x=220（米3）。由灰磚有220米3，推知修建住宅（220-40）÷30=6（座）。同理，也可設(shè)有紅磚x米3。留給同學(xué)們做練習(xí)。例4教室里有若干學(xué)生，走了10個女生后，男生是女生人數(shù)的2倍，又走了9個男生后，女生是男生人數(shù)的5倍。問：最初有多少個女生？分析與解：設(shè)最初有x個女生，則男生最初有（x-10）×2個。根據(jù)走了10個女生、9個男生后，女生是男生人數(shù)的5倍，可列方程x-10=（x-10）×2-9×5，x-10=（2x-29）×5，x-10=10x-145，9x=135， x=1

45、5（個）。例5一群學(xué)生進(jìn)行籃球投籃測驗(yàn)，每人投10次，按每人進(jìn)球數(shù)統(tǒng)計(jì)的部分情況如下表：還知道至少投進(jìn)3個球的人平均投進(jìn)6個球，投進(jìn)不到8個球的人平均投進(jìn)3個球。問：共有多少人參加測驗(yàn)？分析與解：設(shè)有x人參加測驗(yàn)。由上表看出，至少投進(jìn)3個球的有（x-7-5-4）人，投進(jìn)不到8個球的有（x-3-4-1）人。投中的總球數(shù)，既等于進(jìn)球數(shù)不到3個的人的進(jìn)球數(shù)加上至少投進(jìn)3個球的人的進(jìn)球數(shù)，0×7+1×5+2×4+6×（x-7-5-4）= 5+8+6×（x-16）= 6x-83，也等于進(jìn)球數(shù)不到8個的人的進(jìn)球數(shù)加上至少投進(jìn)8個球的人的進(jìn)球數(shù)，3×

46、;（x-3-4-1）+8×3+9×4+10×1，= 3×（x-8）+24+36+10= 3x+46。由此可得方程6x-83=3x+46， 3x=129，x=43（人）。例6甲、乙、丙三人同乘汽車到外地旅行，三人所帶行李的重量都超過了可免費(fèi)攜帶行李的重量，需另付行李費(fèi)，三人共付4元，而三人行李共重150千克。如果一個人帶150千克的行李，除免費(fèi)部分外，應(yīng)另付行李費(fèi)8元。求每人可免費(fèi)攜帶的行李重量。分析與解：設(shè)每人可免費(fèi)攜帶x千克行李。一方面，三人可免費(fèi)攜帶3x千克行李，三人攜帶150千克行李超重（150-3x）千克，超重行李每千克應(yīng)付4÷（150

47、-3x）元；另一方面，一人攜帶150千克行李超重（150-x）千克，超重行李每千克應(yīng)付8÷（150-x）元。根據(jù)超重行李每千克應(yīng)付的錢數(shù)，可列方程4÷（150-3x）=8÷（150-x）， 4×（150-x）=8×（150-3x）， 600-4x=1200-24x，20x=600，x=30（千克）。三、同步練習(xí)1、甲乙兩人共存款100元，如果甲取出，乙取出，那么兩人存款還剩60元。問：甲、乙二人各有存款多少元？2、大、小兩個水池都未注滿水。若從小池抽水將大池注滿，則小池還剩5噸水；若從大池抽水將小池注滿，則大池還剩30噸水。已知大池容積是小池的

48、1.5倍，問：兩池中共有多少噸水？3、一群小朋友去春游，男孩每人戴一頂黃帽，女孩每人戴一頂紅帽。在每個男孩看來，黃帽子比紅帽子多5頂；在每個女孩看來，黃帽子是紅帽子的2倍。問：男孩、女孩各有多少人？4、教室里有若干學(xué)生，走了10個女生后，男生人數(shù)是女生的1.5倍，又走了10個女生后，男生人數(shù)是女生的4倍。問：教室里原有多少個學(xué)生？5、一位牧羊人趕著一群羊去放牧，跑出一只公羊后，他數(shù)了數(shù)羊的只數(shù)，發(fā)現(xiàn)剩下的羊中，公羊與母羊的只數(shù)比是97；過了一會跑走的公羊又回到了羊群，卻又跑走了一只母羊，牧羊人又?jǐn)?shù)了數(shù)羊的只數(shù)，發(fā)現(xiàn)公羊與母羊的只數(shù)比是75。這群羊原來有多少只？第十講 行程問題一、知識要點(diǎn)行程問

49、題是研究物體的速度、時間和所經(jīng)過的路程三者之間關(guān)系的問題。按運(yùn)動物體的路線：可分為直線運(yùn)動和曲線運(yùn)動兩大類；按運(yùn)動物體的方向可分為：相向、反向、同向。行程問題的基本數(shù)量關(guān)系：速度×時間=路程 路程÷時間=速度 路程÷速度=時間相遇問題和追擊問題是行程問題中常見的兩種主要題型。主要公式為：相遇問題：速度和×相遇時間=路程 路程÷相遇時間=速度和 路程÷速度和=相遇時間追擊問題：速度差×追擊時間=追及距離 追及距離÷速度差=追擊時間追及距離÷追擊時間=速度差二、例題精講【例1】 甲、乙兩人同時從兩地騎自行車相

50、向而行，甲的速度是每小時20千米，乙每小時行18千米，兩人相遇時距中點(diǎn)3千米。甲、乙兩地相距多少千米？【分析】甲的速度快，所以甲行了全程的一半多3千米，乙行了全程的一半少3千米，甲比乙多行了（3×2=6）千米。又因?yàn)橐颐啃r比甲慢2千米，所以甲乙的相遇時間時間是6÷2=3小時。（路程差÷速度差=相遇時間） 解：（2018）×3×2÷（208） =114（千米） 【例2】甲乙兩地相距100千米，兩人同時從兩地出發(fā)，相向而行，甲每小時行6千米，乙每小時行4千米。甲帶著一只狗，狗每小時行10千米。這只狗同甲一道出發(fā)，碰到乙的時候，它就掉頭向

51、甲這邊走，碰到甲時又往乙那邊走，直到兩人相遇，這只狗一共走了多少千米？【分析】如果分段計(jì)算狗跑的路程，再求出這些路段的和是很困難的。要求狗跑的路程，就要求出狗跑的時間，而狗跑的時間正好就是甲乙兩人的相遇時間，所以用狗的速度乘相遇時間就可以了。（通過找不變量解題，既有情趣，又可以開闊思路） 解：100÷（64）=10（小時） 10×10=100（千米）【例3】兩列火車相向而行，甲車每小時行36千米，乙車每小時行54千米，兩車錯車時，甲車上一乘客發(fā)現(xiàn)：從乙車車頭經(jīng)過他的車窗時開始，到乙車 車尾經(jīng)過他的車窗共用了14秒。求乙車的長度?！痉治觥?從乙車車頭經(jīng)過甲車乘客的車窗這一刻起

52、，乙車車頭和甲車乘客開始作反向運(yùn)動。經(jīng)過1秒鐘，他們之間的距離就等于乙車車頭和甲乘客1秒鐘所行的路程之和。經(jīng)過14秒，他們之間的距離就等于乙車車頭和甲乘客1秒鐘所行路程之和的14倍。因?yàn)榧壮丝驮?4秒鐘結(jié)束時看到乙車車尾，所以乙車車頭與甲乘客在這段時間內(nèi)所走路程之和恰好等于乙車車身的長度。即乙車車長等于甲乙兩車14秒所行路程之和。解：甲每秒的路程：36000÷3600=10米乙每秒的路程：54000÷3600=15米乙車長度：（1015）×14=350 米【例4】龜兔賽跑，同時出發(fā)，全程8000米，龜以每分鐘30米的速度爬行，兔每分鐘跑330米。兔跑了10分鐘就停

53、下來睡了200分鐘，醒來后立即以原速度向前奔跑。當(dāng)兔子追上龜時，離終點(diǎn)的距離是多少千米？【分析】 在210分鐘內(nèi)，龜向前爬行了（30×210=6300米），兔只跑了（330×10=3300米） ，他們的路程差為63003300=3000米，兔醒來后追上龜需用時間為3000÷（33030）=10分鐘，這樣兔一共用了20分鐘，行了330×20=6600米。用總路程減去已行的路程 ，就求出了距離終點(diǎn)的路程。 解：330×10=3300米 30×（20010）=6300米（63003300）÷（33030）=10分鐘330×

54、;（1010） =6600米 80006600=1400米 【例5】 一支2400米長的隊(duì)伍以每分90米的速度行進(jìn)，隊(duì)伍前端的聯(lián)絡(luò)員用12分鐘的時間跑到隊(duì)伍末尾傳達(dá)命令。聯(lián)絡(luò)員每分鐘跑多少米？【分析】隊(duì)伍在向前行進(jìn)，聯(lián)絡(luò)員從排頭跑到排尾，因此，這是聯(lián)絡(luò)員和排尾隊(duì)員的相遇問題 ，當(dāng)兩人合走完這支隊(duì)伍的總長度后，就可以相遇了。所以，12分鐘兩人共行了2400米，這樣就能算出速度和，也就能算出聯(lián)絡(luò)員的速度。解： 2400÷1290=110米【例6】客車與貨車同時從甲城開往乙城，客車每小時行46千米，貨車每小時行32千米?？蛙嚨竭_(dá)乙城時，因上下旅客停留了30分鐘后，立即返回甲城，在返回途中與

55、貨車相遇。兩車從出發(fā)倒相遇用了5小時30分。求兩車相遇時離乙城多少千米？【分析】從題意可知，兩車相遇時一共行了甲乙兩城市之間距離的2倍。有知道共用了5小時30分相遇，因?yàn)榭蛙囋谝页峭Ａ袅?0分鐘，所以客車實(shí)際行駛了5小時，貨車行駛了5.5小時。解：從出發(fā)到相遇客車行駛了：46×（5.50.5）=230（千米 ） 從出發(fā)到相遇貨車行駛了：32×5.5=176（千米） 兩城市之間的距離： （230176）÷2= 203（千米）相遇時距離乙城的距離：203176=27（千米） 【例7】 兄妹兩人同時離家去上學(xué)，哥哥每分鐘走90米，妹妹每分鐘走60米。哥哥到校門口時發(fā)現(xiàn)忘

56、了帶英語書，立即沿原路返回去取，行到離學(xué)校180米處與妹妹相遇。他們家離學(xué)校有多遠(yuǎn)？【分析】從題意可知相遇時，哥哥比妹妹多行了180×2=360米，哥哥比妹妹每分鐘要多走9060=30米，那么多走360米就需要 360÷30=12分鐘，這個12分鐘就是相遇時間。 解：180×3÷30×60180=900（米） 【例8】甲乙兩車同時從A、B兩地相對開出，第一次在離A點(diǎn)80千米處相遇。相遇后兩車?yán)^續(xù)前進(jìn)，到達(dá)目的地后又立即返回，第二次相遇離B點(diǎn)60千米。求A、B兩地間的距離。 【分析】本題既沒有給出甲的速度，也沒有給出乙的速度，給解題增加了難度，可以借助線段