2023-2024學(xué)年莆田市四校高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末聯(lián)考試卷附答案解析

2023-2024學(xué)年莆田市四校高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末聯(lián)考試卷2024年1月（考試時間120分鐘，試卷總分150分）第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)符合題目要求．1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知角A的始邊在x軸非負(fù)半軸，且滿足，，則A是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角3．函數(shù)的零點(diǎn)一定位于區(qū)間（

）A．B．C．D．4．把函數(shù)圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），再把所得圖像向右平移個單位，則最終所得圖像的一條對稱軸方程可以為（

）A． B． C． D．5．已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增．若，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．6．三個數(shù)，，的大小順序是（

）A． B． C． D．7．已知函數(shù)在上的值域?yàn)?，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．已知，則（

）A． B． C． D．二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有若干個選項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分．9．溶液酸堿度是通過來計(jì)量的．的計(jì)算公式為，其中表示溶液中氫離子的濃度，單位是摩爾/升．例如純凈水中氫離子的濃度為摩爾/升，則純凈水的是7．當(dāng)時，溶液呈酸性，當(dāng)時，溶液呈堿性，當(dāng)（例如：純凈水）時，溶液呈中性．我國規(guī)定飲用水的值在之間，則下列選項(xiàng)正確的是（

）（參考數(shù)據(jù)：?。〢．若蘇打水的是8，則蘇打水中的氫離子濃度為摩爾/升B．若胃酸中氫離子的濃度為摩爾/升，則胃酸的是C．若海水的氫離子濃度是純凈水的倍，則海水的是D．若某種水中氫離子的濃度為摩爾/升，則該種水適合飲用10．已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則一定有（

）A． B． C． D．11．已知函數(shù)，則（

）A．的一個周期為 B．的圖像關(guān)于中心對稱C．的最大值為2 D．在上的所有零點(diǎn)之和為12．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，且滿足，，當(dāng)時，.則下列說法正確的是（

）A．B．當(dāng)時，的取值范圍為C．為奇函數(shù)D．方程僅有3個不同實(shí)數(shù)解第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．函數(shù)的定義域是．14．若，則.15．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．則函數(shù)的解析式為．16．中華人民共和國國旗是五星紅旗，為中華人民共和國的象征和標(biāo)志．每個五角星的一個內(nèi)角都是，利用三倍角公式等恒等變換可以求得的值．先利用可求得（用單角的正弦值表示）；再求得．四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17題滿分10分，其它題滿分12分．17．已知函數(shù)的值域?yàn)榧螦，集合，全集．(1)若，求；(2)若，求a的取值范圍．18．化簡求值：(1)已知，且為第四象限的角，求的值．(2)已知，求的值．19．已知函數(shù).（注：e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)）(1)判斷并證明f（x）的單調(diào)性和奇偶性；(2)解不等式.20．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若關(guān)于x的方程在上恰有一解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．21．在地球公轉(zhuǎn)過程中，太陽直射點(diǎn)的緯度隨時間周而復(fù)始不斷變化．如圖，設(shè)地球表面某地正午太陽高度角為，為此時太陽直射點(diǎn)的緯度，為當(dāng)?shù)氐木暥戎?，約定北緯為正值，南緯為負(fù)值，那么這三個量滿足．某科技小組以某年春分（太陽直射赤道且隨后太陽直射點(diǎn)逐漸北移的時間）為初始時間，則第x天的太陽直射點(diǎn)的緯度y近似滿足，初始時間為，定義從某年春分到次年春分為一個回歸年，一個回歸年以365天計(jì)算．(1)求的值；(2)已知莆田某小區(qū)的緯度為，該小區(qū)內(nèi)有A，B兩幢樓房，A在B的正南方向，國家工程建設(shè)標(biāo)準(zhǔn)用樓間距保障采光權(quán)，其中樓間距前樓高兩樓距，已知A，B間的樓間距1.34，求一個回歸年中B樓底層能被正午太陽光照射到的天數(shù)．參考數(shù)據(jù)22．如圖，已知直線，是，之間的一個定點(diǎn)，且點(diǎn)到，的距離分別為1，2，是直線上的一個動點(diǎn)，作，且使與直線交于點(diǎn).設(shè)，的面積為.

(1)求的最小值；(2)已知，，若對任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.1．B【分析】根據(jù)交集的定義，即可求解.【詳解】集合，,所以故選：B2．D【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義結(jié)合三角函數(shù)符號判斷象限即可.【詳解】由，得為第三、四象限角或終邊在軸負(fù)半軸上的角；由，得為第二、第四象限角．取交集可得，角的終邊一定落在第四象限．故選：．3．B【分析】利用零點(diǎn)存在性定理即可判定函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間.【詳解】因?yàn)?，所以，，又在上連續(xù)不間斷，且單調(diào)增，所以的零點(diǎn)一定位于區(qū)間，故選：B.4．A【分析】根據(jù)函數(shù)圖像的變換規(guī)律，得到變換后的函數(shù)解析式，即可求圖像的對稱軸方程．【詳解】將函數(shù)圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），可得函數(shù)的圖像，再向右平移個單位，所得圖像對應(yīng)的函數(shù)解析式，故最后所得函數(shù)的圖像的一條對稱軸方程為，即，結(jié)合所給的選項(xiàng)可得只有A滿足條件，故選：A．5．A【分析】已知在單調(diào)遞增，利用函數(shù)的偶函數(shù)對稱性得到上的單調(diào)性，由此作出函數(shù)的大致圖象，再分段求解不等式即可.【詳解】已知是定義在上的偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，所以,作出函數(shù)的大致草圖：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知：等價為或，即或，解得或，即不等式的解集為.故選：A.6．A【分析】首先利用三角函數(shù)的幾何意義判斷，再利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷，即可判斷選項(xiàng).【詳解】如圖，角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，單位圓與軸正半軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作單位圓的切線，與的延長線交于點(diǎn)，則，，，，，所以，即，則又，所以故選：A7．B【分析】根據(jù)題意可得，再利用值域可限定，解得的取值范圍為.【詳解】由及可得，根據(jù)其值域?yàn)?，且，由正弦函?shù)圖象性質(zhì)可得，即可得，解得.故選：B8．D【分析】由正弦展開式結(jié)合化簡求值解得.【詳解】因?yàn)?，所以，化簡得，所以，又，所以，故．故選：D9．ABC【分析】利用的計(jì)算公式可得A正確，將溶液中氫離子的濃度代入計(jì)算式利用參考數(shù)據(jù)可分別求得選項(xiàng)BCD的值，可得結(jié)論.【詳解】對于A，若蘇打水的是8，即，所以，即蘇打水中的氫離子濃度為摩爾/升，所以A正確；對于B，若胃酸中氫離子的濃度為摩爾/升，則，即B正確；對于C，若海水的氫離子濃度是純凈水的倍，則海水的氫離子濃度是，因此，即海水的是，所以C正確；對于D，若某種水中氫離子的濃度為摩爾/升，則；而不在范圍內(nèi)，即可得該種水不適合飲用，即D錯誤；故選：ABC10．ABD【分析】利用三角代換，結(jié)合三角函數(shù)恒等變換和性質(zhì)，即可求解.【詳解】由，令，，故A正確；，故B正確；，故C錯誤；，故D正確.故選：ABD11．ABD【分析】根據(jù)周期性和對稱性的定義，即可判斷AB；再根據(jù)正弦函數(shù)的最值，即可判斷C；利用三角函數(shù)恒等變換化簡函數(shù)，再求函數(shù)的零點(diǎn)，即可判斷D.【詳解】對于A，，所以A正確；對于B，，所以B正確；對于C，若最大值為2，則，，當(dāng)，，此時，，，故C不正確；對于D，，令得，所以或，又，所以或或或或，解得或或或或，即所有零點(diǎn)之和為，故D正確.故選：ABD12．BC【分析】根據(jù)，推導(dǎo)出，所以的周期為8，可判斷A；根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求出，，當(dāng)時，，從而確定的取值范圍，可判斷B；根據(jù)得到關(guān)于中心對稱，從而關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，即為奇函數(shù)，可判斷C；畫出與的圖象，數(shù)形結(jié)合求出交點(diǎn)個數(shù)，即可求出方程的根的個數(shù)，可判斷D.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以，即，所以，所以，所以的周期?，因?yàn)椋砸驗(yàn)?，所以，因?yàn)闀r，，所以，故，A錯誤；當(dāng)，，所以，當(dāng)，，，所以，綜上：當(dāng)時，的取值范圍為，B正確；因?yàn)?，所以關(guān)于對稱，故關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，所以為奇函數(shù)，C正確；畫出與的圖象，如下：

顯然兩函數(shù)圖象共有4個交點(diǎn)，其中，所以方程僅有4個不同實(shí)數(shù)解，D錯誤.故選：BC13．【分析】由對數(shù)真數(shù)大于0列出不等式解出即可.【詳解】由題意，解得或．則函數(shù)的定義域是，故答案為：.14．【分析】先化簡，再代值計(jì)算即可【詳解】解：因?yàn)?，所以，故答案為?5．【分析】由函數(shù)的圖像確定周期，求，由“五點(diǎn)法”，求，即可求函數(shù)的解析式.【詳解】由圖象知，，，，把點(diǎn)代入得，，，，，故答案為：．16．【分析】先根據(jù)兩角和差公式結(jié)合二倍角公式得出，再結(jié)合誘導(dǎo)公式結(jié)合二倍角公式解方程可得.【詳解】因?yàn)椋瑥亩?，即，令，則，解得舍.故答案為：；.17．(1)(2)【分析】（1）首先求集合，再根據(jù)交集的定義，即可求解；（2）首先求，再根據(jù)子集關(guān)系，列不等式求解.【詳解】（1）由函數(shù)的值域?yàn)?，得函?shù)的值域?yàn)椋?dāng)時，，所以；（2）因?yàn)?，所以或，由，得，或，解得，或，所以的取值范圍?18．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，即可求解；（2）首先利用誘導(dǎo)公式化簡原式，并用正切表示，即可求解.【詳解】（1），且為第四象限的角，（2）原式19．(1)單調(diào)遞增，奇函數(shù)，證明見解析；(2).【分析】（1）利用奇偶性和單調(diào)性的定義判斷和證明即可；（2）根據(jù)的單調(diào)性得到，然后利用換元法解不等式即可.【詳解】（1）設(shè)，則，因?yàn)椋?，，即，，所以在R上單調(diào)遞增；定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對稱，，所以為奇函數(shù).（2）原不等式可整理為，因?yàn)樵赗上單調(diào)遞增，所以不等式可整理為，即，令，則，整理得，解得，即，，所以不等式的解集為.20．(1)(2)【分析】（1）先根據(jù)二倍角公式以及輔助角公式化簡，利用整體代換法即可解出的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）先結(jié)合條件將問題轉(zhuǎn)化為“在上恰有一解”，然后分析的單調(diào)性以及函數(shù)值，從而列出關(guān)于的不等式，由此求解出結(jié)果.【詳解】（1）函數(shù)，令，，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若關(guān)于的方程在上恰有一解，即在上恰有一解，即在上恰有一解，當(dāng)時，，函數(shù)，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，而，，，或，解得或，即實(shí)數(shù)的取值范圍為．21．(1)(2)122天【分析】（1）根據(jù)周期公式計(jì)算可得；（2）根據(jù)所給公式及數(shù)據(jù)，解三角不等式計(jì)算可得.【詳解】（1）由已知，緯度函數(shù)的周期為365，所以；（2）如圖所示，當(dāng)正午太陽光恰好照射到B樓底層時，，從而，要使得能被正午太陽光照射到，則太陽高度角.由太陽高度角公式可知，解得，整理得，解得，即又，從而，所以共有122天．22．(1)2(2)答案見解析【分析】（1）解和分別可得，，則的面積，根據(jù)的范圍即可求的最小值；（2）原不等式恒成立可轉(zhuǎn)化為恒成立，令，可得，再令，根