（江蘇專用）高考數(shù)學(xué) 考前三個(gè)月 必考題型過關(guān)練 第38練“排列、組合”的常考問題 理

第38練“排列、組合”的常考問題題型一排列問題例1即將畢業(yè)的6名同學(xué)排成一排照相留念，個(gè)子較高的明明同學(xué)既不能站最左邊，也不能站最右邊，則不同的站法種數(shù)為________．破題切入點(diǎn)最左邊和最右邊是特殊位置，可采用位置分析法；由于明明同學(xué)是特殊元素，也可以采用元素分析法，也可以從反面考慮．答案480解析方法一(位置分析法)先從其他5人中安排2人分別站在最左邊和最右邊，再安排余下4人的位置，分為兩步：第1步，從除明明外的5人中選2人分別站在最左邊和最右邊，有Aeq\o\al(2,5)種站法；第2步，余下4人(含明明)站在剩下的4個(gè)位置上，有Aeq\o\al(4,4)種站法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理，知共有Aeq\o\al(2,5)Aeq\o\al(4,4)＝480(種)不同的站法．方法二(元素分析法)先安排明明的位置，再安排其他5人的位置，分為兩步：第1步，將明明排在除最左邊、最右邊外的任意位置上，有Aeq\o\al(1,4)種站法；第2步，余下5人站在剩下5個(gè)位置上，有Aeq\o\al(5,5)種站法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理，知共有Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(5,5)＝480(種)不同的站法．方法三(反面求解法)6人沒有限制的排隊(duì)有Aeq\o\al(6,6)種站法，明明站在最左邊或最右邊時(shí)6人排隊(duì)有2Aeq\o\al(5,5)種站法，因此符合條件的不同站法共有Aeq\o\al(6,6)－2Aeq\o\al(5,5)＝480(種)．題型二組合問題例2在一次國際抗震救災(zāi)中，從7名中方搜救隊(duì)隊(duì)員，4名外籍搜救隊(duì)隊(duì)員中選5名組成一支特殊搜救隊(duì)到某地執(zhí)行任務(wù)，按下列要求，分別計(jì)算有多少種組隊(duì)方法．(1)至少有2名外籍搜救隊(duì)隊(duì)員；(2)至多有3名外籍搜救隊(duì)隊(duì)員．破題切入點(diǎn)第(1)問中“至少有2名”應(yīng)包括2名、3名、4名，可以用直接法或間接法求解．第(2)問中，“至多有3名”應(yīng)包括3名、2名、1名和沒有，四種情況，應(yīng)分類討論．可用間接法．解(1)方法一(直接法)由題意，知特殊搜救隊(duì)中“至少有2名外籍搜救隊(duì)隊(duì)員”可分為3類：①只有2名外籍隊(duì)員，共有Ceq\o\al(3,7)·Ceq\o\al(2,4)種組隊(duì)方法；②只有3名外籍隊(duì)員，共有Ceq\o\al(2,7)·Ceq\o\al(3,4)種組隊(duì)方法；③只有4名外籍隊(duì)員，共有Ceq\o\al(1,7)·Ceq\o\al(4,4)種組隊(duì)方法．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，知至少有2名外籍搜救隊(duì)隊(duì)員共有Ceq\o\al(3,7)·Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,7)·Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(1,7)·Ceq\o\al(4,4)＝301(種)不同的組隊(duì)方法．方法二(間接法)由題意，知特殊搜救隊(duì)中“至少有2名外籍搜救隊(duì)隊(duì)員”的對(duì)立事件為“至多有1名外籍搜救隊(duì)隊(duì)員”，可分為2類：①只有1名外籍搜救隊(duì)隊(duì)員，共有Ceq\o\al(4,7)Ceq\o\al(1,4)種組隊(duì)方法；②沒有外籍搜救隊(duì)隊(duì)員，共有Ceq\o\al(5,7)Ceq\o\al(0,4)種組隊(duì)方法．所以至少有2名外籍搜救隊(duì)隊(duì)員共有Ceq\o\al(5,11)－Ceq\o\al(4,7)·Ceq\o\al(1,4)－Ceq\o\al(5,7)·Ceq\o\al(0,4)＝301(種)不同的組隊(duì)方法．(2)方法一(直接法)由題意，知“至多有3名外籍搜救隊(duì)隊(duì)員”可分為4類：①只有3名外籍搜救隊(duì)隊(duì)員，共有Ceq\o\al(2,7)Ceq\o\al(3,4)種方法；②只有2名外籍搜救隊(duì)隊(duì)員，共有Ceq\o\al(3,7)Ceq\o\al(2,4)種方法；③只有1名外籍搜救隊(duì)隊(duì)員，共有Ceq\o\al(4,7)Ceq\o\al(1,4)種方法；④沒有外籍搜救隊(duì)隊(duì)員，共有Ceq\o\al(5,7)種方法．由分類加法計(jì)數(shù)原理，知至多有3名外籍搜救隊(duì)隊(duì)員共有Ceq\o\al(2,7)·Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(3,7)·Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(4,7)·Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(5,7)＝455(種)不同的組隊(duì)方法．方法二(間接法)由題意，知“至多有3名外籍搜救隊(duì)隊(duì)員”的對(duì)立事件為“至少有4名外籍搜救隊(duì)隊(duì)員”．因?yàn)橹辽儆?名外籍搜救隊(duì)隊(duì)員，共有Ceq\o\al(1,7)×Ceq\o\al(4,4)種組隊(duì)方法，所以至少3名外籍隊(duì)員共有Ceq\o\al(5,11)－Ceq\o\al(1,7)Ceq\o\al(4,4)＝455(種)不同組隊(duì)方法．題型三排列與組合的綜合應(yīng)用問題例34個(gè)不同的球，4個(gè)不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi)．(1)恰有1個(gè)盒不放球，共有幾種放法？(2)恰有1個(gè)盒內(nèi)有2個(gè)球，共有幾種放法？(3)恰有2個(gè)盒不放球，共有幾種放法？破題切入點(diǎn)把不放球的盒子先拿走，再放球到余下的盒子中并且不空盒子．解(1)為保證“恰有1個(gè)盒不放球”，先從4個(gè)盒子中任意取出去一個(gè)，問題轉(zhuǎn)化為“4個(gè)球，3個(gè)盒子，每個(gè)盒子都要放入球，共有幾種放法？”即把4個(gè)球分成2,1,1的三組，然后再從3個(gè)盒子中選1個(gè)放2個(gè)球，其余2個(gè)球放在另外2個(gè)盒子內(nèi)，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(2,2)＝144(種)．(2)“恰有1個(gè)盒內(nèi)有2個(gè)球”，即另外3個(gè)盒子放2個(gè)球，每個(gè)盒子至多放1個(gè)球，也即另外3個(gè)盒子中恰有一個(gè)空盒，因此，“恰有1個(gè)盒內(nèi)有2個(gè)球”與“恰有1個(gè)盒不放球”是同一件事，所以共有144種放法．(3)確定2個(gè)空盒有Ceq\o\al(2,4)種方法．4個(gè)球放進(jìn)2個(gè)盒子可分成(3,1)、(2,2)兩類，第一類有序不均勻分組有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,1)Aeq\o\al(2,2)種方法；第二類有序均勻分組有eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(2,2)種方法．故共有Ceq\o\al(2,4)(Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,1)Aeq\o\al(2,2)＋eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(2,2))＝84(種)．總結(jié)提高(1)求解排列、組合問題，應(yīng)按元素的性質(zhì)或題意要求進(jìn)行分類，對(duì)事件發(fā)生的過程進(jìn)行分步，做到分類標(biāo)準(zhǔn)明確，分步層次清楚，才能保證不“重”不“漏”．(2)關(guān)于“至少”“至多”等計(jì)數(shù)問題，一般需要進(jìn)行分類，若分類比較復(fù)雜，可用間接法，找出其對(duì)立事件來求解．1．設(shè)集合A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{4,5,6,7,8}，則滿足S?A且S∩B≠?的集合S的個(gè)數(shù)是________．答案56解析滿足S?A時(shí)，S可以是{1,2,3,4,5,6}的一個(gè)子集，有26＝64個(gè)，滿足S∩B≠?時(shí)，S不可以是集合{1,2,3}和它的子集，有23＝8個(gè)，所以同時(shí)滿足S?A且S∩B≠?的集合S的個(gè)數(shù)是64－8＝56個(gè)．2．(2013·四川)從1,3,5,7,9這五個(gè)數(shù)中，每次取出兩個(gè)不同的數(shù)分別記為a，b，共可得到lga－lgb的不同值的個(gè)數(shù)是________．答案18解析由于lga－lgb＝lgeq\f(a,b)(a>0，b>0)，從1,3,5,7,9中任取兩個(gè)作為eq\f(a,b)有Aeq\o\al(2,5)種，又eq\f(1,3)與eq\f(3,9)相同，eq\f(3,1)與eq\f(9,3)相同，∴l(xiāng)ga－lgb的不同值的個(gè)數(shù)有Aeq\o\al(2,5)－2＝20－2＝18.3．一排9個(gè)座位坐了3個(gè)三口之家，若每家人坐在一起，則不同的坐法種數(shù)為________．答案1296解析把一家三口看作一個(gè)排列，然后再排列這3家，所以有(3！)4＝1296種．4．若從1,2,3，…，9這9個(gè)整數(shù)中同時(shí)取4個(gè)不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法共有________種．答案66解析滿足題設(shè)的取法可分為三類：一是四個(gè)奇數(shù)相加，其和為偶數(shù)，在5個(gè)奇數(shù)1,3,5,7,9中，任意取4個(gè)，有Ceq\o\al(4,5)＝5(種)；二是兩個(gè)奇數(shù)加兩個(gè)偶數(shù)其和為偶數(shù)，在5個(gè)奇數(shù)中任取2個(gè)，再在4個(gè)偶數(shù)2,4,6,8中任取2個(gè)，有Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(2,4)＝60(種)；三是四個(gè)偶數(shù)相加，其和為偶數(shù)，4個(gè)偶數(shù)的取法有1種，所以滿足條件的取法共有5＋60＋1＝66(種)．5．將2名教師，4名學(xué)生分成2個(gè)小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每個(gè)小組由1名教師和2名學(xué)生組成，不同的安排方案共有________種．答案12解析分兩步：第一步，選派一名教師到甲地，另一名到乙地，共有Ceq\o\al(1,2)＝2(種)選派方法；第二步，選派兩名學(xué)生到甲地，另外兩名到乙地，共有Ceq\o\al(2,4)＝6(種)選派方法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理得不同的選派方案共有2×6＝12(種)．6．現(xiàn)有12件商品擺放在貨架上，擺成上層4件下層8件，現(xiàn)要從下層8件中取2件調(diào)整到上層，若其他商品的相對(duì)順序不變，則不同調(diào)整方法的種數(shù)是________．答案840解析從下層8件中取2件，有Ceq\o\al(2,8)種取法，放到上層時(shí)，若這兩件相鄰，有Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(2,2)種放法，若這兩件不相鄰，有Aeq\o\al(2,5)種放法，所以不同調(diào)整方法的種數(shù)是Ceq\o\al(2,8)(Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(2,2)＋Aeq\o\al(2,5))＝840.7．現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張，從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數(shù)為________．答案472解析分兩類：第一類，含有1張紅色卡片，共有不同的取法Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,12)＝264(種)；第二類，不含有紅色卡片，共有不同的取法Ceq\o\al(3,12)－3Ceq\o\al(3,4)＝220－12＝208(種)．由分類加法計(jì)數(shù)原理知不同的取法有264＋208＝472(種)．8．用0,1，…，9十個(gè)數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為________．答案252解析無重復(fù)的三位數(shù)有：Aeq\o\al(3,9)＋Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,9)＝648個(gè)．則有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有：900－648＝252個(gè)．9．(2014·四川改編)六個(gè)人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有________種．答案216解析第一類：甲在左端，有Aeq\o\al(5,5)＝5×4×3×2×1＝120(種)方法；第二類：乙在最左端，有4Aeq\o\al(4,4)＝4×4×3×2×1＝96(種)方法．所以共有120＋96＝216(種)方法．10．方程ay＝b2x2＋c中a，b，c∈{－3，－2,0,1,2,3}，且a，b，c互不相同，在所有這些方程所表示的曲線中，不同的拋物線共有________條．答案62解析顯然a≠0，b≠0，故該方程等價(jià)于y＝eq\f(b2,a)x2＋eq\f(c,a).①當(dāng)c＝0時(shí)，從{－3，－2,1,2,3}中任取2個(gè)數(shù)作為a，b的值，有Aeq\o\al(2,5)＝20種不同的方法，當(dāng)a一定，b的值互為相反數(shù)時(shí)，對(duì)應(yīng)的拋物線相同，這樣的拋物線共有4×3＝12條，所以此時(shí)不同的拋物線有Aeq\o\al(2,5)－6＝14條．②當(dāng)c≠0時(shí)，從{－3，－2,1,2,3}中任取3個(gè)數(shù)作為a，b，c的值有Aeq\o\al(3,5)＝60種不同的方法．當(dāng)a，c值一定，而b的值互為相反數(shù)時(shí)，對(duì)應(yīng)的拋物線相同，這樣的拋物線共有4Aeq\o\al(2,3)＝24條，所以此時(shí)不同的拋物線有Aeq\o\al(3,5)－12＝48條．綜上，不同的拋物線有14＋48＝62條．11．用數(shù)字2,3組成四位數(shù)，且數(shù)字2,3至少都出現(xiàn)一次，這樣的四位數(shù)共有________個(gè)．(用數(shù)字作答)答案14解析若不考慮數(shù)字2,3至少都出現(xiàn)一次的限制，對(duì)個(gè)位、十位、百位、千位，每個(gè)“位置”都有兩種選擇，所以共有16個(gè)4位數(shù)，然后再減去“2222,3333”這兩個(gè)數(shù)，故共有16－2＝14個(gè)滿足要求的四位數(shù)．12．5名乒乓球隊(duì)員中，有2名老隊(duì)員和3名新隊(duì)員．現(xiàn)從中選出3名隊(duì)員排成1,2,3號(hào)參加團(tuán)體比賽，則入選的3名隊(duì)員中至少有1名老隊(duì)員，且1、2號(hào)中至少有1名新隊(duì)員的排法有________種．(以數(shù)字作答)答案48解析①只有1名老隊(duì)員的排法有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(2,3)·Aeq\o\al(3,3)＝36種；②有2名老隊(duì)員的排法有Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(2,2)＝12種．所以共48種．13．(2014·北京)把5件不同產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰，且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰，則不同的擺法有________種．答案36解析將產(chǎn)品A與B捆綁在一起，然后與其他三種產(chǎn)品進(jìn)行全排列，共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)種方法，將產(chǎn)品A，B，C捆綁在一起，且A在中間，然后與其他兩種產(chǎn)品進(jìn)行全排列，共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)種方法．于是符合題意的排法共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)－Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝36(種)．14．(2014·浙江)在8張獎(jiǎng)券中有一、二、三等獎(jiǎng)各1張，其余5張無獎(jiǎng)．將這8張獎(jiǎng)券分配給4個(gè)人，每人2張，不同的獲獎(jiǎng)情況有________種(用數(shù)字作答)．答案60解析把8張獎(jiǎng)券分4組有兩種分法，一種是分(一等獎(jiǎng)，無獎(jiǎng))、(二等獎(jiǎng)，無獎(jiǎng))、(三等獎(jiǎng)，無獎(jiǎng))、(無獎(jiǎng)，無獎(jiǎng))四組，分給4人有Aeq\o\al(4,4)種分法；另一種是一組兩個(gè)獎(jiǎng)，一組只有一個(gè)獎(jiǎng)，另兩組無獎(jiǎng)，共有Ceq\o\al(2,3)種分法，再分給4人有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,4)種分法，所以不同獲獎(jiǎng)情況種數(shù)為Aeq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,4)＝24＋36＝60.15．回文數(shù)是指從左到右讀與從右到左讀都一樣的正整數(shù)．如22,121,3443,94249等．顯然2位回文數(shù)有9個(gè)：11,22,33，…，99.3位回文數(shù)有90個(gè)：101,111,121，…，191,202，…，999.則：(1)4位回文數(shù)有________個(gè)；(2)2n＋1(n∈N*)位回文數(shù)有________個(gè)．答案(1)90(2)9×10n解析(1)4種回文數(shù)只用排列前面兩位數(shù)字，后面數(shù)字就可以確定，但是第一位不能為0，有9(1～9)種情況，第二位有10(0～9)種情況，所以4位回文數(shù)有9×10＝90種．(2)由上面多組數(shù)據(jù)研究發(fā)現(xiàn)，2n＋1位回文數(shù)和2n＋2位回文數(shù)的個(gè)數(shù)相同，所以可以算出2n＋2位回文數(shù).2n＋2位回文數(shù)只用看前n＋1位