（江蘇專用）高考數(shù)學二輪復習 專題檢測27 立體幾何中的計算問題

27立體幾何中的計算問題1．(2014·大綱全國改編)正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積為________．答案eq\f(81π,4)解析如圖，設球心為O，半徑為r，則Rt△AOF中，(4－r)2＋(eq\r(2))2＝r2，解得r＝eq\f(9,4)，所以，該球的表面積為4πr2＝4π×(eq\f(9,4))2＝eq\f(81,4)π.2．(2014·福建改編)以邊長為1的正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該正方形旋轉(zhuǎn)一周所得圓柱的側面積為________．答案2π解析以正方形的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)得到的圓柱底面半徑r＝1，高h＝1，所以側面積S＝2πrh＝2π.3．(2013·遼寧改編)已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上．若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球O的半徑為________答案eq\f(13,2)解析因為AB⊥AC，且AA1⊥底面ABC，將直三棱柱補成內(nèi)接于球的長方體，則長方體的對角線l＝eq\r(32＋42＋122)＝2R，R＝eq\f(13,2).4．在三棱柱ABC—A1B1C1中，各棱長相等，側棱垂直于底面，點D是側面BB1C1C的中心，則AD與平面BB答案60°解析取BC中點E，連結AE，則AE⊥平面BCC1B1，故∠ADE為直線AD與平面BB1C1C所成的角．設各棱長為a，則AE＝eq\f(\r(3),2)a，DE＝eq\f(1,2)a.∴tan∠ADE＝eq\r(3).∴∠ADE＝60°.5.如圖，四棱錐P－ABCD的底面是一直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，CD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E為PC的中點，則BE與平面PAD的位置關系為________．答案平行解析取PD的中點F，連結EF，在△PCD中，EF綊eq\f(1,2)CD.又∵AB∥CD且CD＝2AB，∴EF綊AB，∴四邊形ABEF是平行四邊形，∴EB∥AF.又∵EB?平面PAD，AF?平面PAD，∴BE∥平面PAD.6．已知兩球O1和O2在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1的內(nèi)部，且互相外切，若球O1與過點A的正方體的三個面相切，球O2與過點C1的正方體的三個面相切，則球O1和球O2的表面積之和的最小值為________答案(6－3eq\r(3))π解析設球O1，O2的半徑分別為r1，r2，由題意知O1A＋O1O2＋O2C1＝eq\r(3)，而O1A＝eq\r(3)r1，O1O2＝r1＋r2，O2C1＝eq\r(3)r2，∵eq\r(3)r1＋r1＋r2＋eq\r(3)r2＝eq\r(3).∴r1＋r2＝eq\f(3－\r(3),2)，從而S1＋S2＝4πreq\o\al(2,1)＋4πreq\o\al(2,2)＝4π(req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2))≥4π·eq\f((r1＋r2)2,2)＝(6－3eq\r(3))π.7.如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，點E為AD的中點，點F在CD上．若EF∥平面AB1C，則線段EF的長度為答案eq\r(2)解析在正方體ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，∴AC＝2eq\r(2).又E為AD的中點，EF∥平面AB1C，EF?平面ADC平面ADC∩平面AB1C＝AC，∴EF∥AC∴F為DC的中點，∴EF＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(2).8．(2014·江蘇)設甲、乙兩個圓柱的底面積分別為S1，S2，體積分別為V1，V2，若它們的側面積相等，且eq\f(S1,S2)＝eq\f(9,4)，則eq\f(V1,V2)的值是________．答案eq\f(3,2)解析設兩個圓柱的底面半徑和高分別為r1，r2和h1，h2，由eq\f(S1,S2)＝eq\f(9,4)，得eq\f(πr\o\al(2,1),πr\o\al(2,2))＝eq\f(9,4)，則eq\f(r1,r2)＝eq\f(3,2).由圓柱的側面積相等，得2πr1h1＝2πr2h2，即r1h1＝r2h2，所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(πr\o\al(2,1)h1,πr\o\al(2,2)h2)＝eq\f(r1,r2)＝eq\f(3,2).9.如圖所示，在正三角形ABC中，D，E，F(xiàn)分別為各邊的中點，G，H分別為DE，AF的中點，將△ABC沿DE，EF，DF折成正四面體PDEF(點A、B、C重合后記為P)，則四面體中異面直線PG與DH所成角的余弦值為________．答案eq\f(2,3)解析折成的正四面體如圖所示，連結HE，取HE的中點K，連結GK，PK，則GK∥DH，故∠PGK即為所求的異面直線所成角或其補角．設這個正四面體的棱長為2，在△PGK中，PG＝eq\r(3)，GK＝eq\f(\r(3),2)，PK＝eq\r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2)＝eq\f(\r(7),2)，故cos∠PGK＝eq\f((\r(3))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(7),2)))2,2×\r(3)×\f(\r(3),2))＝eq\f(2,3).即異面直線PG與DH所成角的余弦值為eq\f(2,3).10.(2013·安徽)如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，P為BC的中點，Q為線段CC1上的動點，過點A，P，Q的平面截該正方體所得的截面記為S.則下列命題正確的是________(寫出所有正確命題的編號)①當0<CQ<eq\f(1,2)時，S為四邊形；②當CQ＝eq\f(1,2)時，S為等腰梯形；③當CQ＝eq\f(3,4)時，S與C1D1的交點R滿足C1R＝eq\f(1,3)；④當eq\f(3,4)<CQ<1時，S為六邊形；⑤當CQ＝1時，S的面積為eq\f(\r(6),2).答案①②③⑤解析①當0<CQ<eq\f(1,2)時，如圖(1)．在平面AA1D1D內(nèi)，作AE∥PQ，顯然E在棱DD1上，連結EQ，則S是四邊形APQE.②當CQ＝eq\f(1,2)時，如圖(2)．顯然PQ∥BC1∥AD1，連結D1Q，則S是等腰梯形．③當CQ＝eq\f(3,4)時，如圖(3)．作BF∥PQ交CC1的延長線于點F，則C1F＝eq\f(1,2).作AE∥BF，交DD1的延長線于點E，D1E＝eq\f(1,2)，AE∥PQ，連結EQ交C1D1于點R，∵Rt△RC1Q∽Rt△RD1E，∴C1Q∶D1E＝C1R∶RD1＝1∶2，∴C1R＝eq\f(1,3).④當eq\f(3,4)<CQ<1時，如圖(3)，連結RM(點M為AE與A1D1交點)，顯然S為五邊形APQRM.⑤當CQ＝1時，如圖(4)．同③可作AE∥PQ交DD1的延長線于點E，交A1D1于點M，顯然點M為A1D1的中點，∴S為菱形APQM，其面積為eq\f(1,2)MP×AQ＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(3)＝eq\f(\r(6),2).11．已知一個圓錐的底面半徑為R，高為H，在其內(nèi)部有一個高為x的內(nèi)接圓柱．(1)求圓柱的側面積；(2)x為何值時，圓柱的側面積最大？解(1)作圓錐的軸截面，如圖所示．設內(nèi)接圓柱的半徑為r.因為eq\f(r,R)＝eq\f(H－x,H)，所以r＝R－eq\f(R,H)x，所以S圓柱側＝2πrx＝2πRx－eq\f(2πR,H)x2(0<x<H)．(2)因為－eq\f(2πR,H)<0，所以當x＝eq\f(2πR,\f(4πR,H))＝eq\f(H,2)時，S圓柱側最大．故當x＝eq\f(H,2)，即圓柱的高為圓錐高的一半時，圓柱的側面積最大．12．(2014·北京)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F(xiàn)分別是A1C1，(1)求證：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求證：C1F∥平面ABE(3)求三棱錐E－ABC的體積．(1)證明在三棱柱ABC－A1B1C1BB1⊥底面ABC，所以BB1⊥AB.又因為AB⊥BC，BB1∩BC＝B，所以AB⊥平面B1BCC1，又因為AB?平面ABE，所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)證明取AB的中點G，連結EG，F(xiàn)G.因為E，F(xiàn)分別是A1C1，BC所以FG∥AC，且FG＝eq\f(1,2)AC.因為AC∥A1C1，且AC＝A1C所以FG∥EC1，且FG＝EC1，所以四邊形F