（江蘇專(zhuān)用）高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列、推理與證明課時(shí)跟蹤檢測(cè) 理-人教高三數(shù)學(xué)試題

第六章數(shù)列、推理與證明第一節(jié)數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法1．?dāng)?shù)列的有關(guān)概念概念含義數(shù)列按照一定次序排列的一列數(shù)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)列中的每個(gè)數(shù)數(shù)列的通項(xiàng)數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an通項(xiàng)公式如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式前n項(xiàng)和數(shù)列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做數(shù)列的前n項(xiàng)和2.數(shù)列的表示方法列表法列表格表示n與an的對(duì)應(yīng)關(guān)系圖象法把點(diǎn)(n，an)畫(huà)在平面直角坐標(biāo)系中公式法通項(xiàng)公式把數(shù)列的通項(xiàng)使用公式表示的方法遞推公式使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示數(shù)列的方法3.an與Sn的關(guān)系若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))4．?dāng)?shù)列的分類(lèi)單調(diào)性遞增數(shù)列?n∈N*，an＋1>an遞減數(shù)列?n∈N*，an＋1<an常數(shù)列?n∈N*，an＋1＝an擺動(dòng)數(shù)列從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列周期性周期數(shù)列?n∈N*，存在正整數(shù)常數(shù)k，an＋k＝an[小題體驗(yàn)]1．已知數(shù)列{an}的前4項(xiàng)為1,3,7,15，則數(shù)列{an}的一個(gè)通項(xiàng)公式為_(kāi)_______．答案：an＝2n－1(n∈N*)2．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝eq\f(an,2an＋3)，則a5＝________.答案：eq\f(1,161)3．(教材習(xí)題改編)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n2＋λn，數(shù)列{an}僅在n＝3時(shí)取得最小的項(xiàng)，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是________．解析：法一：因?yàn)閍n＝n2＋λn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋\f(λ,2)))2－eq\f(λ2,4)，由于數(shù)列{an}僅在n＝3時(shí)取得最小的項(xiàng)，所以eq\f(5,2)<－eq\f(n,2)<eq\f(7,2)，從而得－7<n<－5.法二：因?yàn)閍n－an－1＝n2＋λn－[(n－1)2＋λ(n－1)]＝2n－1＋λ，由于數(shù)列{an}僅在n＝3時(shí)取得最小的項(xiàng)，所以a2>a3且a4>a3，即5＋λ<0且7＋λ>0，故－7<λ<－5.答案：(－7，－5)4．(教材習(xí)題改編)數(shù)列{an}中，已知an＝(－1)n·n＋a(a為常數(shù))，且a1＋a4＝3a2，則an解析：由題意得－1＋a＋4＋a＝3(2＋a)，所以a＝－3，則an＝(－1)n·n－3.答案：(－1)n·n－31．?dāng)?shù)列是按一定“次序”排列的一列數(shù)，一個(gè)數(shù)列不僅與構(gòu)成它的“數(shù)”有關(guān)，而且還與這些“數(shù)”的排列順序有關(guān)．2．易混項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)是兩個(gè)不同的概念，數(shù)列的項(xiàng)是指數(shù)列中某一確定的數(shù)，而項(xiàng)數(shù)是指數(shù)列的項(xiàng)對(duì)應(yīng)的位置序號(hào)．3．在利用數(shù)列的前n項(xiàng)和求通項(xiàng)時(shí)，往往容易忽略先求出a1，而是直接把數(shù)列的通項(xiàng)公式寫(xiě)成an＝Sn－Sn－1的形式，但它只適用于n≥2的情形．[小題糾偏]1．已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且Sn＝n2＋1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是________．答案：an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，n＝1，,2n－1，n≥2))2．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝－n2＋9n，則該數(shù)列第________項(xiàng)最大．答案：4或5

eq\a\vs4\al(考點(diǎn)一由數(shù)列的前幾項(xiàng)求數(shù)列的通項(xiàng)公式)eq\a\vs4\al(基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)——自主練透)[題組練透]1．?dāng)?shù)列eq\f(2,3)，eq\f(4,15)，eq\f(6,35)，eq\f(8,63)，eq\f(10,99)，…的一個(gè)通項(xiàng)公式是____________________________________．解析：通過(guò)觀察各項(xiàng)，可得分母為(2n－1)(2n＋1)，分子為2n，則an＝eq\f(2n,2n－12n＋1).答案：an＝eq\f(2n,2n－12n＋1)2．根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫(xiě)出各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：(1)4,6,8,10，…；(2)(易錯(cuò)題)－eq\f(1,1×2)，eq\f(1,2×3)，－eq\f(1,3×4)，eq\f(1,4×5)，…；(3)a，b，a，b，a，b，…(其中a，b為實(shí)數(shù))；(4)9,99,999,9999，….解：(1)各數(shù)都是偶數(shù)，且最小為4，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式an＝2(n＋1)，n∈N*.(2)這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)的絕對(duì)值都等于序號(hào)與序號(hào)加1的積的倒數(shù)，且奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式an＝(－1)n×eq\f(1,nn＋1)，n∈N*.(3)這是一個(gè)擺動(dòng)數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)是a，偶數(shù)項(xiàng)是b，所以此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，n為奇數(shù)，,b，n為偶數(shù).))(4)這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)可以寫(xiě)成10－1,100－1,1000－1，10000－1，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式an＝10n－1，n∈N*.[謹(jǐn)記通法]由數(shù)列的前幾項(xiàng)求數(shù)列通項(xiàng)公式的策略(1)根據(jù)所給數(shù)列的前幾項(xiàng)求其通項(xiàng)公式時(shí)，需仔細(xì)觀察分析，抓住以下幾方面的特征，并對(duì)此進(jìn)行歸納、聯(lián)想，具體如下：①分式中分子、分母的特征；②相鄰項(xiàng)的變化特征；③拆項(xiàng)后的特征；④各項(xiàng)符號(hào)特征等．(2)根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是利用不完全歸納法，它蘊(yùn)含著“從特殊到一般”的思想，由不完全歸納得出的結(jié)果是不可靠的，要注意代值檢驗(yàn)，對(duì)于正負(fù)符號(hào)變化，可用(－1)n或(－1)n＋1來(lái)調(diào)整．如“題組練透”第2(2)題．eq\a\vs4\al(考點(diǎn)二由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)an)eq\a\vs4\al(重點(diǎn)保分型考點(diǎn)——師生共研)[典例引領(lǐng)]已知下面數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，求{an}的通項(xiàng)公式：(1)Sn＝2n2－3n；(2)Sn＝3n＋b.解：(1)a1＝S1＝2－3＝－1，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，由于a1也適合此等式，∴an＝4n－5.(2)a1＝S1＝3＋b，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1.當(dāng)b＝－1時(shí)，a1適合此等式．當(dāng)b≠－1時(shí)，a1不適合此等式．∴當(dāng)b＝－1時(shí)，an＝2·3n－1；當(dāng)b≠－1時(shí)，an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＋b，n＝1，,2·3n－1，n≥2.))[由題悟法]已知Sn求an的3個(gè)步驟(1)先利用a1＝S1求出a1；(2)用n－1替換Sn中的n得到一個(gè)新的關(guān)系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出當(dāng)n≥2時(shí)an的表達(dá)式；(3)對(duì)n＝1時(shí)的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否符合n≥2時(shí)an的表達(dá)式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項(xiàng)公式合寫(xiě)；如果不符合，則應(yīng)該分n＝1與n≥2兩段來(lái)寫(xiě)．[即時(shí)應(yīng)用]已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.(1)若Sn＝(－1)n＋1·n，求a5＋a6及an；(2)若Sn＝3n＋2n＋1，求an.解：(1)a5＋a6＝S6－S4＝(－6)－(－4)＝－2，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝1；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(－1)n＋1·n－(－1)n·(n－1)＝(－1)n＋1·[n＋(n－1)]＝(－1)n＋1·(2n－1)，又a1也適合此式，所以an＝(－1)n＋1·(2n－1)．(2)因?yàn)楫?dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝6；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋2n＋1)－[3n－1＋2(n－1)＋1]＝2·3n－1＋2，由于a1不適合此式，所以an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6，n＝1，,2·3n－1＋2，n≥2.))eq\a\vs4\al(考點(diǎn)三由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式)eq\a\vs4\al(常考常新型考點(diǎn)——多角探明)[命題分析]遞推公式和通項(xiàng)公式是數(shù)列的兩種表示方法，它們都可以確定數(shù)列中的任意一項(xiàng)，只是由遞推公式確定數(shù)列中的項(xiàng)時(shí)，不如通項(xiàng)公式直接．常見(jiàn)的命題角度有：(1)形如an＋1＝anf(n)，求an；(2)形如an＋1＝an＋f(n)，求an；(3)形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，求an；(4)形如an＋1＝eq\f(Aan,Ban＋C)(A，B，C為常數(shù))，求an.[題點(diǎn)全練]角度一：形如an＋1＝anf(n)，求an1．在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝eq\f(n－1,n)an－1(n≥2)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．解：∵an＝eq\f(n－1,n)an－1(n≥2)，∴an－1＝eq\f(n－2,n－1)an－2，…，a2＝eq\f(1,2)a1.以上(n－1)個(gè)式子相乘得an＝a1·eq\f(1,2)·eq\f(2,3)·…·eq\f(n－1,n)＝eq\f(a1,n)＝eq\f(1,n).當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1，上式也成立．∴an＝eq\f(1,n).角度二：形如an＋1＝an＋f(n)，求an2．若數(shù)列{an}滿(mǎn)足：a1＝1，an＋1＝an＋2n，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．解：由題意知an＋1－an＝2n，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝eq\f(1－2n,1－2)＝2n－1.角度三：形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，求an3．已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝1，an＋1＝3an＋2，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．解：∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，∴eq\f(an＋1＋1,an＋1)＝3，∴數(shù)列{an＋1}為等比數(shù)列，公比q＝3，又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1－1.角度四：形如an＋1＝eq\f(Aan,Ban＋C)(A，B，C為常數(shù))，求an4．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝eq\f(2an,an＋2)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．解：∵an＋1＝eq\f(2an,an＋2)，a1＝1，∴an≠0，∴eq\f(1,an＋1)＝eq\f(1,an)＋eq\f(1,2)，即eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝eq\f(1,2)，又a1＝1，則eq\f(1,a1)＝1，∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是以1為首項(xiàng)，eq\f(1,2)為公差的等差數(shù)列．∴eq\f(1,an)＝eq\f(1,a1)＋(n－1)×eq\f(1,2)＝eq\f(n,2)＋eq\f(1,2)，∴an＝eq\f(2,n＋1)(n∈N*)．[方法歸納]典型的遞推數(shù)列及處理方法遞推式方法示例an＋1＝an＋f(n)疊加法a1＝1，an＋1＝an＋2nan＋1＝anf(n)疊乘法a1＝1，eq\f(an＋1,an)＝2nan＋1＝Aan＋B(A≠0,1，B≠0)化為等比數(shù)列a1＝1，an＋1＝2an＋1an＋1＝eq\f(Aan,Ban＋C)(A，B，C為常數(shù))化為等差數(shù)列a1＝1，an＋1＝eq\f(3an,2an＋3)一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快1．(2016·徐州調(diào)研)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2＋n，則a4的值為_(kāi)_______．解析：a4＝S4－S3＝20－12＝8.答案：82．?dāng)?shù)列1，eq\f(2,3)，eq\f(3,5)，eq\f(4,7)，eq\f(5,9)，…的一個(gè)通項(xiàng)公式an＝________.解析：由已知得，數(shù)列可寫(xiě)成eq\f(1,1)，eq\f(2,3)，eq\f(3,5)，…，故通項(xiàng)為eq\f(n,2n－1).答案：eq\f(n,2n－1)3．在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝eq\f(n－1,n)an－1(n≥2)，則an＝________.解析：an＝eq\f(an,an－1)·eq\f(an－1,an－2)·…·eq\f(a3,a2)·eq\f(a2,a1)·a1＝eq\f(n－1,n)·eq\f(n－2,n－1)·…·eq\f(2,3)·eq\f(1,2)·1＝eq\f(1,n).答案：eq\f(1,n)4．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝n2－2n＋2，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為_(kāi)_______．解析：當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝1，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n－3，由于n＝1時(shí)a1的值不適合n≥2的解析式，故an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,2n－3，n≥2，n∈N*.))答案：an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,2n－3，n≥2，n∈N*))5．(2016·泰州調(diào)研)數(shù)列{an}定義如下：a1＝1，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋a\f(n,2)，n為偶數(shù)，,\f(1,an－1)，n為奇數(shù)，))若an＝eq\f(1,4)，則n＝________.解析：因?yàn)閍1＝1，所以a2＝1＋a1＝2，a3＝eq\f(1,a2)＝eq\f(1,2)，a4＝1＋a2＝3，a5＝eq\f(1,a4)＝eq\f(1,3)，a6＝1＋a3＝eq\f(3,2)，a7＝eq\f(1,a6)＝eq\f(2,3)，a8＝1＋a4＝4，a9＝eq\f(1,a8)＝eq\f(1,4)，所以n＝9.答案：9二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)1．設(shè)an＝－3n2＋15n－18，則數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)的值是________．解析：因?yàn)閍n＝－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(5,2)))2＋eq\f(3,4)，且n∈Z，所以當(dāng)n＝2或n＝3時(shí)，an取得最大值，即最大值為a2＝a3＝0.答案：02．?dāng)?shù)列{an}滿(mǎn)足an＋an＋1＝eq\f(1,2)(n∈N*)，a2＝2，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則S21為_(kāi)_______．解析：∵an＋an＋1＝eq\f(1,2)，a2＝2，∴an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，n為奇數(shù)，,2，n為偶數(shù).))∴S21＝11×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＋10×2＝eq\f(7,2).答案：eq\f(7,2)3．(2015·無(wú)錫調(diào)研)在數(shù)列{an}中，已知a1＝2，a2＝7，an＋2等于anan＋1(n∈N*)的個(gè)位數(shù)，則a2016＝________.解析：由題意得：a3＝4，a4＝8，a5＝2，a6＝6，a7＝2，a8＝2，a9＝4，a10＝8；所以數(shù)列中的項(xiàng)從第3項(xiàng)開(kāi)始呈周期性出現(xiàn)，周期為6，故a2016＝a335×6＋6＝a6＝6.答案：64．已知數(shù)列{an}對(duì)任意的p，q∈N*滿(mǎn)足ap＋q＝ap＋aq且a2＝6，那么a10＝________.解析：a4＝a2＋a2＝12，a6＝a4＋a2＝18，a10＝a6＋a4＝30.答案：305．若數(shù)列{an}滿(mǎn)足：a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N*)，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和數(shù)值最大時(shí)，n的值為_(kāi)_______．解析：∵a1＝19，an＋1－an＝－3，∴數(shù)列{an}是以19為首項(xiàng)，－3為公差的等差數(shù)列，∴an＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n.設(shè){an}的前k項(xiàng)和數(shù)值最大，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ak≥0，,ak＋1≤0))k∈N*，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(22－3k≥0，,22－3k＋1≤0，))∴eq\f(19,3)≤k≤eq\f(22,3)，∵k∈N*，∴k＝7.∴滿(mǎn)足條件的n的值為7.答案：76．在數(shù)列－1,0，eq\f(1,9)，eq\f(1,8)，…，eq\f(n－2,n2)，…中，0.08是它的第____________項(xiàng)．解析：令eq\f(n－2,n2)＝0.08，得2n2－25n＋50＝0，即(2n－5)(n－10)＝0.解得n＝10或n＝eq\f(5,2)(舍去)．答案：107．(2016·南京四校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足：a4n－3＝1，a4n－1＝0，a2n＝an，n∈N*，則a2013＝________，a2016＝________.解析：由題意可得a2013＝a4×504－3＝1，a2016＝a1008＝a504＝a252＝a126＝a63＝a4×16－1＝0.答案：108．在一個(gè)數(shù)列中，如果?n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k為常數(shù))，那么這個(gè)數(shù)列叫做等積數(shù)列，k叫做這個(gè)數(shù)列的公積．已知數(shù)列{an}是等積數(shù)列，且a1＝1，a2＝2，公積為8，則a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________.解析：依題意得數(shù)列{an}是周期為3的數(shù)列，且a1＝1，a2＝2，a3＝4，因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28.答案：289．已知Sn為正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且滿(mǎn)足Sn＝eq\f(1,2)aeq\o\al(2,n)＋eq\f(1,2)an(n∈N*)．(1)求a1，a2，a3，a4的值；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．解：(1)由Sn＝eq\f(1,2)aeq\o\al(2,n)＋eq\f(1,2)an(n∈N*)，可得a1＝eq\f(1,2)aeq\o\al(2,1)＋eq\f(1,2)a1，解得a1＝1；S2＝a1＋a2＝eq\f(1,2)aeq\o\al(2,2)＋eq\f(1,2)a2，解得a2＝2；同理，a3＝3，a4＝4.(2)Sn＝eq\f(1,2)aeq\o\al(2,n)＋eq\f(1,2)an，①當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝eq\f(1,2)aeq\o\al(2,n－1)＋eq\f(1,2)an－1，②①－②得(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0.由于an＋an－1≠0，所以an－an－1＝1，又由(1)知a1＝1，故數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，故an＝n.10．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝n2＋kn＋4.(1)若k＝－5，則數(shù)列中有多少項(xiàng)是負(fù)數(shù)？n為何值時(shí)，an有最小值？并求出最小值；(2)對(duì)于n∈N*，都有an＋1>an，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．解：(1)由n2－5n＋4<0，解得1<n<4.因?yàn)閚∈N*，所以n＝2,3，所以數(shù)列中有兩項(xiàng)是負(fù)數(shù)，即為a2，a3.因?yàn)閍n＝n2－5n＋4＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(5,2)))2－eq\f(9,4)，由二次函數(shù)性質(zhì)，得當(dāng)n＝2或n＝3時(shí)，an有最小值，其最小值為a2＝a3＝－2.(2)由an＋1>an知該數(shù)列是一個(gè)遞增數(shù)列，又因?yàn)橥?xiàng)公式an＝n2＋kn＋4，可以看作是關(guān)于n的二次函數(shù)，考慮到n∈N*，所以－eq\f(k,2)<eq\f(3,2)，即得k>－3.所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為(－3，＋∞)．三上臺(tái)階，自主選做志在沖刺名校1．已知{an}滿(mǎn)足an＋1＝an＋2n，且a1＝33，則eq\f(an,n)的最小值為_(kāi)_______．解析：由已知條件可知，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝33＋2＋4＋…＋2(n－1)＝n2－n＋33，又n＝1時(shí)，a1＝33滿(mǎn)足此式．所以eq\f(an,n)＝n＋eq\f(33,n)－1.令f(n)＝eq\f(an,n)＝n＋eq\f(33,n)－1，則f(n)在[1,5]上為減函數(shù)，在[6，＋∞)上為增函數(shù)，又f(5)＝eq\f(53,5)，f(6)＝eq\f(21,2)，則f(5)>f(6)，故f(n)＝eq\f(an,n)的最小值為eq\f(21,2).答案：eq\f(21,2)2．若單調(diào)遞增數(shù)列{an}滿(mǎn)足an＋an＋1＋an＋2＝3n－6，且a2＝eq\f(1,2)a1，則a1的取值范圍是________．解析：由an＋an＋1＋an＋2＝3n－6，a2＝eq\f(1,2)a1得，a3＝－3－eq\f(3,2)a1，所以a4＝a1＋3，由{an}是單調(diào)遞增數(shù)列知，a4>a3>a2>a1，即a1＋3>－3－eq\f(3,2)a1>eq\f(1,2)a1>a1，解得－eq\f(12,5)<a1<－eq\f(3,2).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,5)，－\f(3,2)))3．(2016·揚(yáng)州模擬)已知數(shù)列{an}中，a1＝1，且an＋an＋1＝2n.求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．解：∵an＋an＋1＝2n，①∴an＋1＋an＋2＝2n＋1，②②－①，得an＋2－an＝2n，由a1＝1，a1＋a2＝2，得a2＝1.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an＝(an－an－2)＋(an－2－an－4)＋…＋(a3－a1)＋a1＝2n－2＋2n－4＋…＋2＋1＝eq\f(1,3)×2n＋eq\f(1,3)；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an＝(an－an－2)＋(an－2－an－4)＋…＋(a4－a2)＋a2＝2n－2＋2n－4＋…＋22＋1＝eq\f(1,3)×2n－eq\f(1,3).故an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)×2n＋\f(1,3)，n為奇數(shù)，,\f(1,3)×2n－\f(1,3)，n為偶數(shù).))第二節(jié)等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和1．等差數(shù)列的有關(guān)概念(1)定義：如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列．這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示．(2)等差中項(xiàng)：數(shù)列a，A，b成等差數(shù)列的充要條件是A＝eq\f(a＋b,2)，其中A叫做a，b的等差中項(xiàng)．2．等差數(shù)列的有關(guān)公式(1)通項(xiàng)公式：an＝a1＋(n－1)d.(2)前n項(xiàng)和公式：Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝eq\f(na1＋an,2).3．等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則{a2n}也是等差數(shù)列，公差為2d.(4)若{an}，{bn}是等差數(shù)列，則{pan＋qbn}也是等差數(shù)列．(5)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md[小題體驗(yàn)]1．(教材習(xí)題改編)在等差數(shù)列{an}中，a1＋a6＝12，a9＝17，則a4＝________.解析：由a1＋a6＝12，a9＝17，得2a1＋5d＝12且a1＋8d解得a1＝1，d＝2，所以a4＝7.答案：72．(教材習(xí)題改編)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a3＝15，an－2＝59，Sn＝999，則d＝________.解析：法一：由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(15＝a1＋2d，,59＝a1＋n－3d，,999＝na1＋\f(nn－1d,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝11，,n＝27，,d＝2.))法二：因?yàn)镾n＝eq\f(na1＋an,2)＝eq\f(na3＋an－2,2)＝eq\f(74n,2)＝999，所以n＝27，從而a25＝59，因此a25－a3＝44＝22d，所以d＝2.答案：23．(教材習(xí)題改編)已知等差數(shù)列{an}中，S4＝2，S8＝6，則S12＝________.解析：法一：因?yàn)镾4＝2，S8＝6，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝4a1＋6d，,6＝8a1＋28d，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(5,16)，,d＝\f(1,8)，))由此得S12＝12×eq\f(5,16)＋66×eq\f(1,8)＝12.法二：因?yàn)閿?shù)列{an}為等差數(shù)列，所以S4，S8－S4，S12－S8也成等差數(shù)列，故8＝2＋S12－6，解得S12＝12.答案：121．要注意概念中的“從第2項(xiàng)起”．如果一個(gè)數(shù)列不是從第2項(xiàng)起，而是從第3項(xiàng)或第4項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差是同一個(gè)常數(shù)，那么此數(shù)列不是等差數(shù)列．2．注意區(qū)分等差數(shù)列定義中同一個(gè)常數(shù)與常數(shù)的區(qū)別．3．求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的最值時(shí)，需要注意“自變量n為正整數(shù)”這一隱含條件．4．要注意公差的取值對(duì)項(xiàng)的正負(fù)的影響，特別注意正負(fù)的臨界項(xiàng)．[小題糾偏]1．已知等差數(shù)列{an}滿(mǎn)足，a1>0,5a8＝8a13，則前n項(xiàng)和Sn取最大值時(shí)，解析：設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，由5a8＝8a13，得5(a1＋7d)＝8(a1＋12d)，解得d＝－eq\f(3,61)a1，由an＝a1＋(n－1)d＝a1＋(n－1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,61)a1))≥0，可得n≤eq\f(64,3)＝21eq\f(1,3)，所以數(shù)列{an}的前21項(xiàng)都是正數(shù)，以后各項(xiàng)都是負(fù)數(shù)，故Sn取最大值時(shí)，n的值為21.答案：212．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2－6n，則{|an|}的前6項(xiàng)和T6＝________.解析：由Sn＝n2－6n得{an}是等差數(shù)列，且首項(xiàng)為－5，公差為2.所以an＝－5＋(n－1)×2＝2n－7，當(dāng)n≤3時(shí)，an<0；當(dāng)n>3時(shí)，an>0；所以T6＝－a1＋(－a2)＋(－a3)＋a4＋a5＋a6＝5＋3＋1＋1＋3＋5＝18.答案：18eq\a\vs4\al(考點(diǎn)一等差數(shù)列的基本運(yùn)算)eq\a\vs4\al(基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)——自主練透)[題組練透]1．(2015·全國(guó)卷Ⅰ改編)已知{an}是公差為1的等差數(shù)列，Sn為{an}的前n項(xiàng)和，若S8＝4S4，則a10＝________.解析：∵公差為1，∴S8＝8a1＋eq\f(8×8－1,2)×1＝8a1＋28，S4＝4a1＋6.∵S8＝4S4，∴8a1＋28＝4(4a1＋6)，解得a1＝eq\f(1,2)，∴a10＝a1＋9d＝eq\f(1,2)＋9＝eq\f(19,2).答案：eq\f(19,2)2．(2015·南通調(diào)研)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1＝1，公差d＝2，Sn＋2－Sn＝36，則n＝________.解析：法一：由題知Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝n＋n(n－1)＝n2，Sn＋2＝(n＋2)2，由Sn＋2－Sn＝36得，(n＋2)2－n2＝4n＋4＝36，所以n＝8.法二：Sn＋2－Sn＝an＋1＋an＋2＝2a1＋(2n＋1)d＝2＋2(2n＋1)＝36，解得n答案：83．(2016·衡水中學(xué)模擬)已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a1＝1，a2＝2，a3＝3，數(shù)列{an＋an＋1＋an＋2}是公差為2的等差數(shù)列，則S25＝________.解析：由題可得a4＝3，所以a2＋a3＋a4＝8，∴S25＝a1＋(a2＋a5＋…＋a23)＋(a3＋a6＋…＋a24)＋(a4＋a7＋…＋a25)＝1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×8＋\f(8×7,2)×2))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3×8＋\f(8×7,2)×2))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3×8＋\f(8×7,2)×2))＝233.答案：2334．(易錯(cuò)題)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a12＝－8，S9＝－9，則S16＝________.解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，由已知，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a12＝a1＋11d＝－8，,S9＝9a1＋\f(9d×8,2)＝－9，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝3，,d＝－1.))∴S16＝16×3＋eq\f(16×15,2)×(－1)＝－72.答案：－72[謹(jǐn)記通法]等差數(shù)列運(yùn)算的解題思路及答題步驟(1)解題思路由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及通項(xiàng)公式可知若已知a1，d，n，an，Sn中三個(gè)便可求出其余兩個(gè)，即“知三求二”，“知三求二”的實(shí)質(zhì)是方程思想，即建立方程組求解．(2)答題步驟步驟一：結(jié)合所求結(jié)論，尋找已知與未知的關(guān)系；步驟二：根據(jù)已知條件列方程求出未知量；步驟三：利用前n項(xiàng)和公式求得結(jié)果．eq\a\vs4\al(考點(diǎn)二等差數(shù)列的判斷與證明)eq\a\vs4\al(題點(diǎn)多變型考點(diǎn)——縱引橫聯(lián))[典型母題]已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn且滿(mǎn)足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a1＝eq\f(1,2).(1)求證：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))是等差數(shù)列；(2)求an的表達(dá)式.[解](1)證明：∵an＝Sn－Sn－1(n≥2)，又an＝－2Sn·Sn－1，∴Sn－1－Sn＝2Sn·Sn－1，Sn≠0.因此eq\f(1,Sn)－eq\f(1,Sn－1)＝2(n≥2)．故由等差數(shù)列的定義知eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))是以eq\f(1,S1)＝eq\f(1,a1)＝2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.(2)由(1)知eq\f(1,Sn)＝eq\f(1,S1)＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n，即Sn＝eq\f(1,2n).由于當(dāng)n≥2時(shí)，有an＝－2Sn·Sn－1＝－eq\f(1,2nn－1)，又∵a1＝eq\f(1,2)，不適合上式．∴an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，n＝1，－\f(1,2nn－1)，n≥2.))[類(lèi)題通法]等差數(shù)列的判定與證明方法方法解讀適合題型定義法對(duì)于n≥2的任意自然數(shù)，an－an－1(n≥2，n∈N*)為同一常數(shù)?{an}是等差數(shù)列解答題中證明問(wèn)題等差中項(xiàng)法2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立?{an}是等差數(shù)列通項(xiàng)公式法an＝pn＋q(p，q為常數(shù))對(duì)任意的正整數(shù)n都成立?{an}是等差數(shù)列填空題中的判定問(wèn)題前n項(xiàng)和公式法驗(yàn)證Sn＝An2＋Bn(A，B是常數(shù))對(duì)任意的正整數(shù)n都成立?{an}是等差數(shù)列[越變?cè)矫鱙[變式1]試說(shuō)明母題中數(shù)列{an}是不是等差數(shù)列．解：當(dāng)n≥2時(shí)，an＋1＝eq\f(－1,2nn＋1)，而an＋1－an＝eq\f(－1,2nn＋1)－eq\f(－1,2nn－1)＝eq\f(－1,2n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n＋1)－\f(1,n－1)))＝eq\f(1,nn－1n＋1).∴當(dāng)n≥2時(shí)，an＋1－an的值不是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù)，故數(shù)列{an}不是等差數(shù)列．[破譯玄機(jī)]本題在求解時(shí)，可以舉出反例，也可以用反證法．[變式2]若將母題條件變?yōu)椤皵?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*)，2Sn－nan＝n，”求證：{an}為等差數(shù)列．證明：∵2Sn－nan＝n，①∴當(dāng)n≥2時(shí)，2Sn－1－(n－1)an－1＝n－1，②∴①－②得：(2－n)an＋(n－1)an－1＝1，(1－n)an＋1＋nan＝1，∴2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，∴數(shù)列{an}為等差數(shù)列．[變式3]若母題變?yōu)椋阂阎獢?shù)列{an}中，a1＝2，an＝2－eq\f(1,an－1)(n≥2，n∈N*)，設(shè)bn＝eq\f(1,an－1)(n∈N*)．求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列．證明：∵an＝2－eq\f(1,an－1)，∴an＋1＝2－eq\f(1,an).∴bn＋1－bn＝eq\f(1,an＋1－1)－eq\f(1,an－1)＝eq\f(1,2－\f(1,an)－1)－eq\f(1,an－1)＝eq\f(an－1,an－1)＝1，∴{bn}是首項(xiàng)為b1＝eq\f(1,2－1)＝1，公差為1的等差數(shù)列．eq\a\vs4\al(考點(diǎn)三等差數(shù)列的性質(zhì)及最值)eq\a\vs4\al(重點(diǎn)保分型考點(diǎn)——師生共研)[典例引領(lǐng)]1．(2016·金陵中學(xué)檢測(cè))在等差數(shù)列{an}中，a3＋a9＝27－a6，Sn表示數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則S11＝________.解析：因?yàn)閍3＋a9＝27－a6,2a6＝a3＋a9，所以3a6＝27，所以a6＝9，所以S11＝eq\f(11,2)(a1＋a11)＝11a6＝99.答案：992．已知{an}為等差數(shù)列，若a1＋a2＋a3＝5，a7＋a8＋a9＝10，則a19＋a20＋a21＝________.解析：法一：設(shè)數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的公差為d，則a7＋a8＋a9＝a1＋6d＋a2＋6d＋a3＋6d＝5＋18d＝10，所以18d＝5，故a19＋a20＋a21＝a7＋12d＋a8＋12d＋a9＋12d＝10＋36d＝20.法二：由等差數(shù)列的性質(zhì)，可知S3，S6－S3，S9－S6，…，S21－S18成等差數(shù)列，設(shè)此數(shù)列公差為d.所以5＋2d＝10，所以d＝eq\f(5,2).所以a19＋a20＋a21＝S21－S18＝5＋6d＝5＋15＝20.答案：203．等差數(shù)列{an}中，設(shè)Sn為其前n項(xiàng)和，且a1>0，S3＝S11，則當(dāng)n為多少時(shí)，Sn取得最大值．解：法一：由S3＝S11，可得3a1＋eq\f(3×2,2)d＝11a1＋eq\f(11×10,2)d，即d＝－eq\f(2,13)a1.從而Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n＝－eq\f(a1,13)(n－7)2＋eq\f(49,13)a1，因?yàn)閍1>0，所以－eq\f(a1,13)<0.故當(dāng)n＝7時(shí)，Sn最大．法二：由法一可知，d＝－eq\f(2,13)a1.要使Sn最大，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1≤0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋n－1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,13)a1))≥0，,a1＋n\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,13)a1))≤0，))解得6.5≤n≤7.5，故當(dāng)n＝7時(shí)，Sn最大．法三：由S3＝S11，可得2a1＋13d即(a1＋6d)＋(a1＋7d)＝0，故a7＋a8＝0，又由a1>0，S3＝S11可知d<0，所以a7>0，a8<0，所以當(dāng)n＝7時(shí)，Sn最大．[由題悟法]1．等差數(shù)列的性質(zhì)(1)項(xiàng)的性質(zhì)：在等差數(shù)列{an}中，am－an＝(m－n)d?eq\f(am－an,m－n)＝d(m≠n)，其幾何意義是點(diǎn)(n，an)，(m，am)所在直線的斜率等于等差數(shù)列的公差．(2)和的性質(zhì)：在等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項(xiàng)和，則①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；②S2n－1＝(2n－1)an.2．求等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn最值的2種方法(1)函數(shù)法：利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)表達(dá)式Sn＝an2＋bn，通過(guò)配方或借助圖象求二次函數(shù)最值的方法求解．(2)鄰項(xiàng)變號(hào)法：①當(dāng)a1>0，d<0時(shí)，滿(mǎn)足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(am≥0，,am＋1≤0))的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最大值為Sm；②當(dāng)a1<0，d>0時(shí)，滿(mǎn)足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(am≤0，,am＋1≥0))的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最小值為Sm.[即時(shí)應(yīng)用]1．(2016·南通中學(xué)檢測(cè))設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若eq\f(a6,a5)＝eq\f(9,11)，則eq\f(S11,S9)＝________.解析：eq\f(S11,S9)＝eq\f(\f(11a1＋a11,2),\f(9a1＋a9,2))＝eq\f(11a6,9a5)＝eq\f(11,9)×eq\f(9,11)＝1.答案：12．一個(gè)等差數(shù)列的前12項(xiàng)的和為354，前12項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)的和與奇數(shù)項(xiàng)的和的比為32∶27，則該數(shù)列的公差d＝_______.解析：設(shè)等差數(shù)列的前12項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)的和為S奇，偶數(shù)項(xiàng)的和為S偶，等差數(shù)列的公差為d.由已知條件，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S奇＋S偶＝354，,S偶∶S奇＝32∶27，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S偶＝192，,S奇＝162.))又S偶－S奇＝6d，所以d＝eq\f(192－162,6)＝5.答案：53．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知前6項(xiàng)和為36，最后6項(xiàng)的和為180，Sn＝324(n＞6)，求數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)及a9＋a10.解：由題意知a1＋a2＋…＋a6＝36，①an＋an－1＋an－2＋…＋an－5＝180，②①＋②得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(a6＋an－5)＝6(a1＋an)＝216，∴a1＋an＝36，又Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝324，∴18n＝324，∴n＝18.∵a1＋an＝36，n＝18，∴a1＋a18＝36，從而a9＋a10＝a1＋a18＝36.一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快1．若等差數(shù)列{an}的前5項(xiàng)之和S5＝25，且a2＝3，則a7＝________.解析：由S5＝eq\f(a2＋a4·5,2)?25＝eq\f(3＋a4·5,2)?a4＝7，所以7＝3＋2d?d＝2，所以a7＝a4＋3d＝7＋3×2＝13.答案：132．(2016·蘇州名校聯(lián)考)在等差數(shù)列{an}中，a1＝0，公差d≠0，若am＝a1＋a2＋…＋a9，則m的值為_(kāi)_______．解析：am＝a1＋a2＋…＋a9＝9a1＋eq\f(9×8,2)d＝36d＝a37，所以m＝37.答案：373．已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝15，且3an＋1＝3an－2.若ak·ak＋1<0，則正整數(shù)k＝________.解析：3an＋1＝3an－2?an＋1＝an－eq\f(2,3)?{an}是等差數(shù)列，則an＝eq\f(47,3)－eq\f(2,3)n.∵ak＋1·ak<0，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(47,3)－\f(2,3)k))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(45,3)－\f(2,3)k))<0，∴eq\f(45,2)<k<eq\f(47,2)，∴k＝23.答案：234．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，S3＝6，S4＝12，則S6＝________.解析：設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，S3＝6，S4＝12，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a1＋\f(3×2,2)d＝6，,4a1＋\f(4×3,2)d＝12，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝0，,d＝2，))∴S6＝6a1＋eq\f(6×5,2)d＝30.答案：305．已知等差數(shù)列{an}中，an≠0，若n≥2且an－1＋an＋1－aeq\o\al(2,n)＝0，S2n－1＝38，則n等于________．解析：∵2an＝an－1＋an＋1，又an－1＋an＋1－aeq\o\al(2,n)＝0，∴2an－aeq\o\al(2,n)＝0，即an(2－an)＝0.∵an≠0，∴an＝2.∴S2n－1＝2(2n－1)＝38，解得n＝10.答案：10二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)1．在單調(diào)遞增的等差數(shù)列{an}中，若a3＝1，a2a4＝eq\f(3,4)，則a1＝________.解析：由題知，a2＋a4＝2a3又∵a2a4＝eq\f(3,4)，數(shù)列{an}單調(diào)遞增，∴a2＝eq\f(1,2)，a4＝eq\f(3,2).∴公差d＝eq\f(a4－a2,2)＝eq\f(1,2).∴a1＝a2－d＝0.答案：02．(2016·南京調(diào)研)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n2＋3n(n∈N*)，若p－q＝5，則ap－aq＝________.解析：當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋3n－[2(n－1)2＋3(n－1)]＝4n＋1，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝5，符合上式，∴an＝4n＋1，∴ap－aq＝4(p－q)＝20.答案：203．設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為正數(shù)，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，則a11＋a12＋解析：由條件可知，a2＝5，從而a1＋a3＝10，a1a3＝16，得a1＝2，a3＝8，公差為3，所以a11＋a12＋a13答案：1054．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＞0，a3＋a10＞0，a6a7＜0，則滿(mǎn)足Sn＞0的最大自然數(shù)n解析：∵a1＞0，a6a7＜0，∴a6＞0，a7＜0，等差數(shù)列的公差小于零，又a3＋a10＝a1＋a12＞0，a1＋a13＝2a7＜0，∴S12＞0，S13＜0，∴滿(mǎn)足Sn＞0的最大自然數(shù)答案：125．(2015·鹽城調(diào)研)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若eq\f(Sn,S2n)為常數(shù)，則稱(chēng)數(shù)列{an}為“吉祥數(shù)列”．已知等差數(shù)列{bn}的首項(xiàng)為1，公差不為0，若數(shù)列{bn}為“吉祥數(shù)列”，則數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為_(kāi)_______．解析：設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d(d≠0)，eq\f(Sn,S2n)＝k，因?yàn)閎1＝1，則n＋eq\f(1,2)n(n－1)d＝keq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2n＋\f(1,2)×2n2n－1d))，即2＋(n－1)d＝4k＋2k(2n－1)d，整理得(4k－1)dn＋(2k－1)(2－d)＝0.因?yàn)閷?duì)任意的正整數(shù)n上式均成立，所以(4k－1)d＝0，(2k－1)(2－d)＝0，解得d＝2，k＝eq\f(1,4).所以數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝2n－1.答案：bn＝2n－16．在等差數(shù)列{an}中，a15＝33，a25＝66，則a45＝________.解析：a25－a15＝10d＝66－33＝33，∴a45＝a25＋20d＝66＋66＝132.答案：1327．在等差數(shù)列{an}中，a1＝7，公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)且僅當(dāng)n＝8時(shí)Sn取得最大值，則d的取值范圍為_(kāi)_______．解析：由題意，當(dāng)且僅當(dāng)n＝8時(shí)Sn有最大值，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(d<0，,a8>0，,a9<0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(d<0，,7＋7d>0，,7＋8d<0，))解得－1<d<－eq\f(7,8).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(7,8)))8．(2016·蘇北四市調(diào)研)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，則正整數(shù)m的值為_(kāi)_______．解析：因?yàn)榈炔顢?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，所以am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，數(shù)列的公差d＝1，am＋am＋1＝Sm＋1－Sm－1＝5，即2a1＋2所以a1＝3－m.由Sm＝(3－m)m＋eq\f(mm－1,2)×1＝0，解得正整數(shù)m的值為5.答案：59．已知等差數(shù)列的前三項(xiàng)依次為a,4,3a，前n項(xiàng)和為Sn，且Sk(1)求a及k的值；(2)設(shè)數(shù)列{bn}的通項(xiàng)bn＝eq\f(Sn,n)，證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并求其前n項(xiàng)和Tn.解：(1)設(shè)該等差數(shù)列為{an}，則a1＝a，a2＝4，a3＝3a由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d所以Sk＝ka1＋eq\f(kk－1,2)·d＝2k＋eq\f(kk－1,2)×2＝k2＋k.由Sk＝110，得k2＋k－110＝0，解得k＝10或k＝－11(舍去)，故a＝2，k＝10.(2)證明：由(1)得Sn＝eq\f(n2＋2n,2)＝n(n＋1)，則bn＝eq\f(Sn,n)＝n＋1，故bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1，即數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，所以Tn＝eq\f(n2＋n＋1,2)＝eq\f(nn＋3,2).10．(2015·蘇州調(diào)研)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,4Sn＝aeq\o\al(2,n)＋2an－3，且a1，a2，a3，a4，a5成等比數(shù)列，當(dāng)n≥5時(shí)，an>0.(1)求證：當(dāng)n≥5時(shí)，{an}成等差數(shù)列；(2)求{an}的前n項(xiàng)和Sn.解：(1)證明：由4Sn＝aeq\o\al(2,n)＋2an－3,4Sn＋1＝aeq\o\al(2,n＋1)＋2an＋1－3，得4an＋1＝aeq\o\al(2,n＋1)－aeq\o\al(2,n)＋2an＋1－2an，即(an＋1＋an)(an＋1－an－2)＝0.當(dāng)n≥5時(shí)，an>0，所以an＋1－an＝2，所以當(dāng)n≥5時(shí)，{an}成等差數(shù)列．(2)由4a1＝aeq\o\al(2,1)＋2a1－3，得a1＝3或a1＝－1，又a1，a2，a3，a4，a5成等比數(shù)列，所以an＋1＋an＝0(n≤5)，q＝－1，而a5>0，所以a1>0，從而a1＝3，所以an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－1n－1，1≤n≤4，,2n－7，n≥5，))所以Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)[1－－1n]，1≤n≤4，,n2－6n＋8，n≥5.))三上臺(tái)階，自主選做志在沖刺名校1．設(shè)等差數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝1，an>0(n∈N*)，其前n項(xiàng)和為Sn，若數(shù)列{eq\r(Sn)}也為等差數(shù)列，則eq\f(Sn＋10,a\o\al(2,n))的最大值是________．解析：設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，依題意得2eq\r(S2)＝eq\r(S1)＋eq\r(S3)，因?yàn)閍1＝1，所以2eq\r(2a1＋d)＝eq\r(a1)＋eq\r(3a1＋3d)，化簡(jiǎn)可得d＝2a1所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，Sn＝n＋eq\f(nn－1,2)×2＝n2，所以eq\f(Sn＋10,a\o\al(2,n))＝eq\f(n＋102,2n－12)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n＋10,2n－1)))2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\f(1,2)2n－1＋\f(21,2),2n－1)))2＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(21,2n－1)))2≤121.故eq\f(Sn＋10,a\o\al(2,n))的最大值是121.答案：1212．(2016·常州調(diào)研)設(shè)等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，若對(duì)任意n∈N*都有eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(2n－3,4n－3)，則eq\f(a7,b3＋b9)＋eq\f(a5,b4＋b8)＝________.解析：因?yàn)閿?shù)列{an}，{bn}為等差數(shù)列，所以eq\f(a7,b3＋b9)＋eq\f(a5,b4＋b8)＝eq\f(a7,2b6)＋eq\f(a5,2b6)＝eq\f(2a6,2b6)＝eq\f(a6,b6)，因?yàn)閑q\f(S11,T11)＝eq\f(a1＋a11,b1＋b11)＝eq\f(2a6,2b6)，所以eq\f(a7,b3＋b9)＋eq\f(a5,b4＋b8)＝eq\f(2×11－3,4×11－3)＝eq\f(19,41).答案：eq\f(19,41)3．已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足，an＋1＋an＝4n－3(n∈N*)．(1)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，求a1的值；(2)當(dāng)a1＝2時(shí)，求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.解：(1)法一：數(shù)列{an}是等差數(shù)列，∴an＝a1＋(n－1)d，an＋1＝a1＋nd.由an＋1＋an＝4n－3，得(a1＋nd)＋[a1＋(n－1)d]＝4n－3，∴2dn＋(2a1－d)＝4n即2d＝4,2a1－d解得d＝2，a1＝－eq\f(1,2).法二：在等差數(shù)列{an}中，由an＋1＋an＝4n－3，得an＋2＋an＋1＝4(n＋1)－3＝4n＋1，∴2d＝an＋2－an＝(an＋2＋an＋1)－(an＋1＋an)＝4n＋1－(4n－3)＝4，∴d＝2.又∵a1＋a2＝2a1＋d＝2a∴a1＝－eq\f(1,2).(2)①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(an－1＋an)＝2＋4[2＋4＋…＋(n－1)]－3×eq\f(n－1,2)＝eq\f(2n2－3n＋5,2).②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(an－1＋an)＝1＋9＋…＋(4n－7)＝eq\f(2n2－3n,2).第三節(jié)等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和1．等比數(shù)列的有關(guān)概念(1)定義：如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)(不為零)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列．這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示．(2)等比中項(xiàng)：如果a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)．即：G是a與b的等比中項(xiàng)?a，G，b成等比數(shù)列?G2＝ab.2．等比數(shù)列的有關(guān)公式(1)通項(xiàng)公式：an＝a1qn－1.(2)前n項(xiàng)和公式：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.))3．等比數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，則am·an＝ap·aq＝aeq\o\al(2,k)；(3)若數(shù)列{an}，{bn}(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列，則{λan}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{aeq\o\al(2,n)}，{an·bn}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))(λ≠0)仍然是等比數(shù)列；(4)在等比數(shù)列{an}中，等距離取出若干項(xiàng)也構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…為等比數(shù)列，公比為qk.[小題體驗(yàn)]1．(教材習(xí)題改編)已知兩個(gè)數(shù)k＋9和k－6的等比中項(xiàng)是k，則實(shí)數(shù)k＝________.解析：由兩個(gè)數(shù)k＋9和k－6的等比中項(xiàng)是k，得k2＝(k＋9)(k－6)，整理得3k－54＝0，解得k＝18.答案：182．(教材習(xí)題改編)在等比數(shù)列{an}中，已知a1＝－2，S3＝－eq\f(7,2)，則公比q＝________.解析：因?yàn)閍1＝－2，S3＝－eq\f(7,2)≠3a1＝－6，所以q≠1，所以S3＝eq\f(－21－q3,1－q)＝－eq\f(7,2)，整理得q2＋q－eq\f(3,4)＝0，解得q＝eq\f(1,2)或q＝－eq\f(3,2).答案：eq\f(1,2)或－eq\f(3,2)3．(教材習(xí)題改編)在等比數(shù)列{an}中，a1<0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，則a解析：因?yàn)閍2a4＋2a3a5＋a4a6＝aeq\o\al(2,3)＋2a3a5＋aeq\o\al(2,5)＝(a3＋a5)2＝25，所以a3＋a又a1<0，a3，a5與a1同號(hào)，所以a3<0，a5<0，故a3＋a5＝－5.答案：－54．已知等比數(shù)列{an}中，q＝eq\f(1,2)，S5＝－eq\f(31,8)，an＝－eq\f(1,16)，則n＝________.解析：因?yàn)镾5＝eq\f(a1\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))5)),1－\f(1,2))＝－eq\f(31,8)，所以a1＝－2.又an＝－eq\f(1,16)＝－2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1，解得n＝6.答案：61．特別注意q＝1時(shí)，Sn＝na1這一特殊情況．2．由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即斷言{an}為等比數(shù)列，還要驗(yàn)證a1≠0.3．在運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，必須注意對(duì)q＝1與q≠1分類(lèi)討論，防止因忽略q＝1這一特殊情形而導(dǎo)致解題失誤．4．Sn，S2n－Sn，S3n－S2n未必成等比數(shù)列(例如：當(dāng)公比q＝－1且n為偶數(shù)時(shí)，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不成等比數(shù)列；當(dāng)q≠－1或q＝－1且n為奇數(shù)時(shí)，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比數(shù)列)，但等式(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)總成立．[小題糾偏]1．等比數(shù)列x,3x＋3,6x＋6，…的第四項(xiàng)等于________．解析：由(3x＋3)2＝x(6x＋6)，得x＝－1或x＝－3.當(dāng)x＝－1時(shí)，x,3x＋3,6x＋6分別為－1,0,0，則不能構(gòu)成等比數(shù)列，所以舍去；當(dāng)x＝－3時(shí)，x,3x＋3,6x＋6分別為－3，－6，－12，且構(gòu)成等比數(shù)列，則可求出第四個(gè)數(shù)為－24.答案：－242．已知數(shù)列{an}為公比是3的等比數(shù)列，前n項(xiàng)和Sn＝3n＋k，則實(shí)數(shù)k＝________.解析：數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n＋k，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝3＋k，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝3n＋k－(3n－1＋k)＝2·3n－1，因?yàn)閿?shù)列{an}為公比是3的等比數(shù)列，所以an＝2·3n－1對(duì)于n＝1時(shí)也成立，即a1＝2，又a1＝3＋k，所以3＋k＝2，所以k＝－1.答案：－13．已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn＝x·3n＋1，則x的值為_(kāi)_______．解析：令n＝1，得到S1＝3x＋1；令n＝2，得到S2＝9x＋1；令n＝3，得到S3＝27x＋1，所以a1＝S1＝3x＋1，a2＝S2－S1＝6x，a3＝S3－S2＝18x，因?yàn)閧an}為等比數(shù)列，所以aeq\o\al(2,2)＝a1·a3，則(6x)2＝18x(3x＋1)，解得18x(x＋1)＝0，即x＝0(舍去)或x＝－1，所以x＝－1.答案：－1eq\a\vs4\al(考點(diǎn)一等比數(shù)列的判定與證明)eq\a\vs4\al(重點(diǎn)保分型考點(diǎn)——師生共研)[典例引領(lǐng)](2015·廣東高考節(jié)選)設(shè)數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的前n項(xiàng)和為Sn，n∈N*.已知a1＝1，a2＝eq\f(3,2)，a3＝eq\f(5,4)，且當(dāng)n≥2時(shí)，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1.(1)求a4的值；(2)證明：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an＋1－\f(1,2)an))為等比數(shù)列．解：(1)當(dāng)n＝2時(shí)，4S4＋5S2＝8S3＋S1，即4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(3,2)＋\f(5,4)＋a4))＋5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(3,2)))＝8eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(3,2)＋\f(5,4)))＋1，解得a4＝eq\f(7,8).(2)證明：由4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1(n≥2)，4Sn＋2－4Sn＋1＋Sn－Sn－1＝4Sn＋1－4Sn(n≥2)，即4an＋2＋an＝4an＋1(n≥2)．∵4a3＋a1＝4×eq\f(5,4)＋1＝6＝4a2，∴4an＋2＋an＝4an＋1，∴eq\f(an＋2－\f(1,2)an＋1,an＋1－\f(1,2)an)＝eq\f(4an＋2－2an＋1,4an＋1－2an)＝eq\f(4an＋1－an－2an＋1,4an＋1－2an)＝eq\f(2an＋1－an,22an＋1－an)＝eq\f(1,2)，∴數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an＋1－\f(1,2)an))是以a2－eq\f(1,2)a1＝1為首項(xiàng)，eq\f(1,2)為公比的等比數(shù)列．[由題悟法]等比數(shù)列的4種常用判定方法(1)定義法：若eq\f(an＋1,an)＝q(q為非零常數(shù)，n∈N*)或eq\f(an,an－1)＝q(q為非零常數(shù)且n≥2，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列．(2)中項(xiàng)公式法：若數(shù)列{an}中，an≠0且aeq\o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(n∈N*)，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列．(3)通項(xiàng)公式法：若數(shù)列通項(xiàng)公式可寫(xiě)成an＝c·qn－1(c，q均是不為0的常數(shù)，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列．(4)前n項(xiàng)和公式法：若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝k·qn－k(k為常數(shù)且k≠0，q≠0,1)，則{an}是等比數(shù)列．[提醒](1)前兩種方法是判定等比數(shù)列的常用方法，常用于證明；后兩種方法常用于填空題中的判定．(2)若要判定一個(gè)數(shù)列不是等比數(shù)列，則只需判定存在連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可．[即時(shí)應(yīng)用]已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，在數(shù)列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.(1)設(shè)cn＝an－1，求證：{cn}是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式．解：(1)證明：因?yàn)閍n＋Sn＝n，①所以an＋1＋Sn＋1＝n＋1，②②－①得：an＋1－an＋an＋1＝1，所以2an＋1＝an＋1，所以2(an＋1－1)＝an－1，即eq\f(an＋1－1,an－1)＝eq\f(1,2).因?yàn)槭醉?xiàng)c1＝a1－1，又a1＋a1＝1，所以a1＝eq\f(1,2)，所以c1＝－eq\f(1,2)，公比q＝eq\f(1,2).所以{cn}是以－eq\f(1,2)為首項(xiàng)，公比為eq\f(1,2)的等比數(shù)列．(2)由(1)可知cn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1＝－eq\f(1,2n)，所以an＝cn＋1＝1－eq\f(1,2n).所以當(dāng)n≥2時(shí)，bn＝an－an－1＝1－eq\f(1,2n)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n－1)))＝eq\f(1,2n).又b1＝a1＝eq\f(1,2)代入上式也符合，所以bn＝eq\f(1,2n).eq\a\vs4\al(考點(diǎn)二等比數(shù)列的基本運(yùn)算)eq\a\vs4\al(?？汲Ｐ滦涂键c(diǎn)——多角探明)[命題分析]等比數(shù)列的基本運(yùn)算是高考的常考內(nèi)容，題型既有填空題，也有解答題，難度適中，屬中低檔題．常見(jiàn)的命題角度有：(1)求首項(xiàng)a1，公比q或項(xiàng)數(shù)n；(2)求通項(xiàng)或特定項(xiàng)；(3)求前n項(xiàng)和．[題點(diǎn)全練]角度一：求首項(xiàng)a1，公比q或項(xiàng)數(shù)n1．(2016·濟(jì)南二模)已知等比數(shù)列{an}的公比為正數(shù)，且a3a9＝2aeq\o\al(2,5)，a2＝2，則a1＝________.解析：∵等比數(shù)列{an}的公比為正數(shù)，且a3a9＝2aeq\o\al(2,5)，a2＝2，∴由等比數(shù)列的性質(zhì)得aeq\o\al(2,6)＝2aeq\o\al(2,5)，∴a6＝eq\r(2)a5，公比q＝eq\f(a6,a5)＝eq\r(2)，a1＝eq\f(a2,q)＝eq\r(2).答案：eq\r(2)2．在等比數(shù)列中，已知首項(xiàng)為eq\f(9,8)，末項(xiàng)為eq\f(1,3)，公比為eq\f(2,3)，則項(xiàng)數(shù)n為_(kāi)_______．解析：由eq\f(1,3)＝eq\f(9,8)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n－1，得n＝4.答案：4角度二：求通項(xiàng)或特定項(xiàng)3．若等比數(shù)列{an}(an∈R)對(duì)任意的正整數(shù)m，n滿(mǎn)足am＋n＝aman，且a3＝2eq\r(2)，那么a12＝________.解析：令m＝1，則an＋1＝ana1，所以a1＝q，an＝qn.因?yàn)閍3＝q3＝2eq\r(2)，所以a12＝q12＝64.答案：644．(2016·徐州調(diào)研)在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a1＝2，且2a1，a3,3a2成等差數(shù)列．則a解析：設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，∵2a1，a3,3a2成等差數(shù)列，∴2a1＋3a22a1＋3a1q＝2a12q2－3q－2＝0，解得q＝2或q＝－eq\f(1,2).∵q>0，∴q＝2.∵a1＝2，∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝a1qn－1＝2n.答案：2n角度三：求前n項(xiàng)和5．(2015·安徽高考)已知數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))是遞增的等比數(shù)列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的前n項(xiàng)和等于________．解析：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a1q3＝9，,a\o\al(2,1)·q3＝8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,q＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝8，,q＝\f(1,2).))又eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))為遞增數(shù)列，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,q＝2，))∴Sn＝eq\f(1－2n,1－2)＝2n－1.答案：2n－16．(2015·鹽城調(diào)研)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若27a3－a6＝0，則eq\f(S6,S3)＝________.解析：由題可知{an}為等比數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為a1，公比為q，所以a3＝a1q2，a6＝a1q5，所以27a1q2＝a1q5，所以q＝3，由Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)，得S6＝eq\f(a11－36,1－3)，S3＝eq\f(a11－33,1－3)，所以eq\f(S6,S3)＝eq\f(a11－36,1－3)·eq\f(1－3,a11－33)＝28.答案：28[方法歸納]解決等比數(shù)列有關(guān)問(wèn)題的2種常用思想(1)方程的思想：等比數(shù)列中有五個(gè)量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過(guò)列方程(組)求關(guān)鍵量a1和q，問(wèn)題可迎刃而解．(2)分類(lèi)討論的思想：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式涉及對(duì)公比q的分類(lèi)討論，當(dāng)q＝1時(shí)，{an}的前n項(xiàng)和Sn＝na1；當(dāng)q≠1時(shí)，{an}的前n項(xiàng)和Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).eq\a\vs4\al(考點(diǎn)三等比數(shù)列的性質(zhì))eq\a\vs4\al(重點(diǎn)保分型考點(diǎn)——師生共研)[典例引領(lǐng)]1．(2016·廣州綜合測(cè)試)已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，若a4＋a6＝10，則a7(a1＋2a3)＋a3a解析：a7(a1＋2a3)＋a3＝a7a1＋2a7a3＋a3a9＝aeq\o\al(2,4)＋2a4a6＋aeq\o\al(2,＝(a4＋a6)2＝102＝100.答案：1002．在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1ana解析：設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由a1a2a3＝4＝aeq\o\al(3,1)q3與a4a5a6＝12＝aeq\o\al(3,1)q12，可得q9＝3，an－1anan＋1＝aeq\o\al(3,1)q3n－3＝324，因此q3n－6＝81＝34＝q36，所以3n－6＝36，即n＝14，答案：143．?dāng)?shù)列{an}是等比數(shù)列，若a2＝2，a5＝eq\f(1,4)，則a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝________.解析：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由等比數(shù)列的性質(zhì)知a5＝a2q3，求得q＝eq\f(1,2)，所以a1＝4.a2a3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a2))＝eq\f(1,4)a1a2，anan＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)an－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)an))＝eq\f(1,4