高量16-角動(dòng)量和轉(zhuǎn)動(dòng)群

第五章角動(dòng)量理論§22角動(dòng)量和轉(zhuǎn)動(dòng)群§22-1本章概述軌道角動(dòng)量的兩個(gè)引入途徑：同經(jīng)典角動(dòng)量類比：空間轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱性：自旋角動(dòng)量：沒有經(jīng)典類比，與軌道角動(dòng)量有相同的對(duì)易關(guān)系，且1§22-2空間轉(zhuǎn)動(dòng)一、有限轉(zhuǎn)動(dòng)位形空間的無限小轉(zhuǎn)動(dòng)

1.基矢的轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)系轉(zhuǎn)動(dòng)變換定義為將位置矢量r和s變?yōu)楹筒?duì)任意r和s，滿足的變換。因此Q是一個(gè)實(shí)的幺正矩陣或2矢量r可寫成

轉(zhuǎn)動(dòng)后成為其中表示基矢的轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)系。利用3D位形空間的完全性關(guān)系有其中是在基矢下的轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣元32.分量的關(guān)系同一基矢下新老兩個(gè)矢量的分量與之間的關(guān)系由〔22.5〕式知由〔22.6〕式有所以得4二、正當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)和非正當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)1．3D轉(zhuǎn)動(dòng)群對(duì)幺正變換矩陣Q，有取其行列式，那么所以

當(dāng)時(shí)，稱此類轉(zhuǎn)動(dòng)為正當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，稱此類轉(zhuǎn)動(dòng)為非正當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)。5任意屢次正當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)相繼進(jìn)行，結(jié)果仍相當(dāng)于一個(gè)正當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)；而兩次或偶次非正當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)相繼進(jìn)行，那么相當(dāng)于一個(gè)正當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)，全部滿足幺正條件的算符Q構(gòu)成三維轉(zhuǎn)動(dòng)群，記為O(3)；全部正當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)的Q是O(3)的一個(gè)子群，記為SO(3)或三維正當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)群；而全部非正當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)的Q不是群，因?yàn)樗粷M足封閉性條件〔兩個(gè)非正當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)相乘是正當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)，屬于SO(3)群〕。6對(duì)空間反演算符P,

在轉(zhuǎn)動(dòng)的定義下也是一種轉(zhuǎn)動(dòng)，但由于即所以這種轉(zhuǎn)動(dòng)是非正當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)。任何正當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)繼之以空間反演就成為非正當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)；非正當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)繼之以空間反演就成為正當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)，所以三維轉(zhuǎn)動(dòng)群O(3)是三維正當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)群與空間反演群的直積群。72.三正交矢量的轉(zhuǎn)動(dòng)三個(gè)正交的矢量假設(shè)構(gòu)成右手系的關(guān)系，那么在正當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)變換之后仍然保持這種關(guān)系，而在非正當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)之后那么變成左手關(guān)系；即假設(shè)

那么假設(shè)Q為正當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)假設(shè)Q’為非正當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)8所有的正當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)都可以用兩類簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)動(dòng)相繼進(jìn)行而到達(dá)，其中一個(gè)是繞z軸轉(zhuǎn)角三、轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣的構(gòu)造另一個(gè)是繞y軸轉(zhuǎn)角因此有

注意這里是基矢的轉(zhuǎn)動(dòng)：

9類似有n在xy平面上的投影與i軸夾角為令：n與k的夾角為那么10四、歐拉角歐拉角是三個(gè)角：任何正當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)其最后位置和初始位置之間可以用以下三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)得到用這三個(gè)參數(shù)表征所有的正當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)。即先繞軸轉(zhuǎn)，再繞轉(zhuǎn)，再繞轉(zhuǎn)1112可以證明注意此時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)的軸是固定的坐標(biāo)系。22.14式。歐拉角的取值范圍是：可得到13§22-3正當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)群、研究轉(zhuǎn)動(dòng)群性質(zhì)的根本思路研究群的性質(zhì)，主要是求群的全部不可約表示及其特征標(biāo)。為到達(dá)這個(gè)目的，往往是找另一個(gè)與此群同構(gòu)〔或同態(tài)〕的群，去求這個(gè)群的不可約表示，而后者往往是某一矢量空間中的變換矩陣群，因?yàn)榍笠粋€(gè)矢量空間中的變換的矩陣表示是很容易的事情。14要研究正當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)群的性質(zhì)，由于這個(gè)群與函數(shù)空間中的轉(zhuǎn)動(dòng)算符群和Hilbert空間中的轉(zhuǎn)動(dòng)算符群同構(gòu)，因而知道了的性質(zhì)，的性質(zhì)也就知道了。二、SU(2)群的構(gòu)造SU(2)群是2D幺模幺正群，在一定條件下〔選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)〕，可以使得正當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)群SO(3)與SU(2)保持同態(tài)關(guān)系，知道了SU(2)群的不可約表示，就可以知道SO(3)群的不可約表示。15SU(2)群是全部行列式為+1的復(fù)幺正矩陣的集合，其一般形式為

，導(dǎo)致條件

①而幺正導(dǎo)致條件（）16

②

③

④

⑤以上5式共包含以下6個(gè)實(shí)方程（其中，分別為的實(shí)部和虛部）

①17①

②③④⑤可以證明，上述6個(gè)方程是線性相關(guān)的，獨(dú)立的方程只有5個(gè)。矩陣中4個(gè)復(fù)變數(shù)有8個(gè)實(shí)參數(shù)，考慮到5個(gè)條件，故SU(2)群的每個(gè)群元由3個(gè)實(shí)參數(shù)確定，其一般形式可以寫成18

可取而為使

再取于是u的一般形式可寫為式中19三、SO(3)與SU(2)的同態(tài)關(guān)系1.u和Q的對(duì)應(yīng)關(guān)系為建立二者的關(guān)系，首先建立3D位形空間中的點(diǎn)r與一個(gè)2D復(fù)矢量空間中的算符〔即矩陣〕h的關(guān)系：當(dāng)一個(gè)SU(2)的群元u對(duì)算符h作幺正變換時(shí)，得到一個(gè)新算符20而h’又與3D位形空間中的另一個(gè)點(diǎn)r’對(duì)應(yīng)由于所以可見:通過h算符作為橋梁，由一個(gè)SU(2)的元u可以把點(diǎn)r變成r’而保持其距原點(diǎn)的距離不變，即每一個(gè)u肯定與SO(3)中的某一個(gè)元等價(jià)，把這個(gè)元記為Q(u)，且于是有21對(duì)于SU(2)中的兩個(gè)群元u1,u2，有這樣SO(3)和SU(2)之間建立了同態(tài)關(guān)系，SO(3)群的表示也就是SU(2)群的表示。22舉例:首先取u為一個(gè)一般的對(duì)角矩陣又比較得即23從r到r’的變換正是繞z軸轉(zhuǎn)角的：得到對(duì)應(yīng)關(guān)系：[22.21][22.11]

24再取u為一般的實(shí)矩陣正好是繞y軸轉(zhuǎn)角的可得對(duì)應(yīng)，即從而有[22.23]

[22.12]25一般的對(duì)應(yīng)的是這就是的一般形式，與一般式比較發(fā)現(xiàn)因而262.u和Q的同態(tài)關(guān)系由知，u和-u是與相同的Q對(duì)應(yīng)的。假設(shè)u1和u產(chǎn)生同樣的h’，即也與Q對(duì)應(yīng)，那么兩邊左乘u-1，右乘u1：厄米矩陣，可以證明，同所有這種厄米矩陣都對(duì)易的2×2矩陣u-1u1只能是正的或復(fù)的單位矩陣。因u,u1都是幺正幺模矩陣，即u-1u1也是一個(gè)模為1的2×2矩陣，而又顯然是一個(gè)跡為0的27證明：令利用可得，可知即b.當(dāng)時(shí)，a.當(dāng)時(shí)，

，但，，，可得，即所以，則。利用這就證實(shí)了與u對(duì)應(yīng)相同Q的只有-u一個(gè)。對(duì)應(yīng)關(guān)系是二對(duì)一的同態(tài)關(guān)系。28四、SU(2)群的表示尋找一個(gè)群的表示的一般方法a.建立一個(gè)自變量空間，使得這個(gè)群本身成為自變量空間對(duì)稱變換群，或者與其對(duì)稱變換群同構(gòu)。比方位置矢量及其變換群{Q}。b.建立一個(gè)這些自變量的函數(shù)空間作為表示空間。找出函數(shù)空間中與原來的群同構(gòu)或同態(tài)的算符群，而函數(shù)空間中這個(gè)算符群的表示就是原來群的一個(gè)表示。比如函數(shù)變換算符群。

利用29c.表示的維數(shù)等于函數(shù)空間的維數(shù)。為求群的有限維表示，必須找到一個(gè)有限維的函數(shù)空間，使得其中所有函數(shù)〔矢量〕在群的作用下都不跑出空間之外。2.SU(2)矩陣群的表示

建立一個(gè)復(fù)2維的矢量空間?？臻g中一般矢量的兩個(gè)分量（復(fù)數(shù)）便構(gòu)成兩個(gè)獨(dú)立的自變量：30幺正矩陣正好作為這種矢量的變換算符：b.建立表示空間。表示空間的基矢應(yīng)該是的函數(shù)，基矢的數(shù)目就是表示的維數(shù)。是發(fā)現(xiàn)，變換的線性變換。如果將基矢取為的齊次多項(xiàng)式，就可以保證表示空間中的任意函數(shù)變換后仍是同次的齊次多項(xiàng)式，滿足表示空間的封閉性條件。31

可能的齊次多項(xiàng)式如下：零次：1；即1項(xiàng)1次：；

即2項(xiàng)2次：；

即3項(xiàng)…………次：項(xiàng)所以若求維表示，可取由于次的齊次多項(xiàng)式共有個(gè)線性無關(guān)的項(xiàng)，32將上面的基矢稍作變換，乘上一系數(shù)，式中共2j+1個(gè)。這是一般表示空間的基矢。把2j+1維空間的基矢寫成標(biāo)準(zhǔn)形式：33在2D自變量空間的變換u(a,b)之下，函數(shù)空間中的各基矢的變換為由，有于是將此式按基函數(shù)展開，展開系數(shù)就是表示矩陣2j+1維34可以求出矩陣元：這就是SU(2)群的2j+1維表示的一般形式。其中，n取分母上的四個(gè)階乘都不為負(fù)的一切整數(shù)，

，共2j+1個(gè)值。35五、表示的性質(zhì)SU(2)群的所有整數(shù)維表示的主要性質(zhì)有：1.這些表示都是幺正表示；2.它們都是不可約表示；3.它們是SU(2)群的全部不可約表示。證明自閱36六、SO(3)群的表示因?yàn)橥琒O(3)群的每一個(gè)群元相對(duì)應(yīng)的SU(2)群元是相當(dāng)于37可得SO(3)群的群元表示矩陣元：

當(dāng)j=l，即j為整數(shù)時(shí)，當(dāng)j=半數(shù)時(shí)，38下面寫出j=1/2,1兩種情況的表示矩陣Dj的明顯形式，在矩陣中行和列的編號(hào)m’和m習(xí)慣上取由大到小的順序，即m’大的在上面，m大的在左邊。計(jì)算：由，有

39所以40

可得41七、特征標(biāo)計(jì)算特征標(biāo)是類的函數(shù)，而所有相同轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)動(dòng)和一定會(huì)有轉(zhuǎn)動(dòng)S〔不止一個(gè)〕，將n軸轉(zhuǎn)到n’軸：即和同屬一類。

所以求特征標(biāo)就可以利用一個(gè)轉(zhuǎn)角為的最簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)動(dòng)，例如那么屬于同一類，因?yàn)閷?duì)42所以特征標(biāo)

43§22-4正當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)與角動(dòng)量現(xiàn)在設(shè)法找到正當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)群的全部不可約表示22.38式的基矢，因?yàn)樗鼈冇泻軓?qiáng)的物理意義。一、正當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)群表示基矢的尋找對(duì)于正當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)群，已經(jīng)找到了一個(gè)算符群以及位置表象中另一個(gè)算符群這兩個(gè)算符都與正當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)群同態(tài)。

44考慮了自旋變量之后，擴(kuò)展為利用表示基矢與表示矩陣的關(guān)系，設(shè)Hilbert空間中第j個(gè)不可約表示Dj的第m個(gè)基矢為那么有首先取Q(nφ)為繞z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)Q(kφ)，這時(shí)Q(kφ)的歐拉角形式為而

45于是按照22.49式，有對(duì)取導(dǎo)數(shù)

令46再取繞y軸繞角的轉(zhuǎn)動(dòng)，這時(shí)的歐拉角形式為，由22.38式可求得由此得同樣有47由以上二式得由又可得〔自證〕證明中有48證明中和會(huì)相互抵消，最后可得22.54式。49可知，在Hilbert空間中，正當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)群的表示基矢就是角動(dòng)量J的本征矢量：這是一個(gè)很重要的結(jié)論，它將轉(zhuǎn)動(dòng)群的表示同物理上的角動(dòng)量的本證矢量聯(lián)系了起來，因此有，50二、在態(tài)函數(shù)空間中尋找基矢即在態(tài)函數(shù)空間中尋找的表示基函數(shù)。取j=l，并取位置表象，令那么由于是空間的函數(shù)，所以轉(zhuǎn)角改為

對(duì)22.49式51

首先取轉(zhuǎn)動(dòng)為這時(shí)

而22.57式右邊由于函數(shù)，求和只剩一項(xiàng)，為

，左邊由19.4式可得所以取上式兩邊的

，得但是是單位球面與z軸的交點(diǎn)，此點(diǎn)與無關(guān)，應(yīng)有52由以上兩式〔22.58和22.59〕看，只有m=0時(shí)才能不為零，否那么只能為零，即

〔f為常數(shù)〕因此又可得出m=0的要求，使得j只能為整數(shù)l而不能取半數(shù)?！惨?yàn)樯厦娴奶亓姓f明m取值時(shí)要有0，如果j為半數(shù)的話，m取值時(shí)沒有0，而是m=±1/2,±3/2…〕因此函數(shù)空間只能成為轉(zhuǎn)動(dòng)群的奇數(shù)維〔2j+1〕的表示空間，而不能成為偶數(shù)維的表示空間。53